人口预测与控制模型
差分方程人口预测模型
1 差分方程人口预测模型一、名词和符号说明名词解释：（1）拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica 做曲线拟合。
（2）差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。
（3）迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
设r 是f(x)=0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（0x ,f(0x )）做曲线y=f(x)的切线L ，L 的方程为))(()(000x x x f x f y -'+=,求出L 与x 轴交点的横坐标 )()(0001x f x f x x '-=,称1x 为r 的一次近似值，过点（1x ,f(1x )）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x 轴的横坐标)()(1112x f x f x x '-=称2x 为r 的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列{Xn},其中)()(11n n n n X f X f X X '-=++,称为r 的n+1次近似值。
上式称为牛顿迭代公式。
符号说明：)(k x i 第 k 年i 岁的女性总人数)(k x 女性人口的（按年龄）分布向量)(k b i 第k 年i 岁的女性生育率 i d 第k 年i 岁的女性死亡率 i s 第 k 年i 岁的女性存活率i 岁女性的生育模式)β(k k 年总和生育率（控制人口数量的主要参数）i hA 存活率矩阵B 生育模式矩阵二、模型假设针对本题中出现的数据的代表意义和建立模型时能够使问题理想化、简单化，我们应用已知数据，将其时间离散化,由于女性是影响总人口变化的主要因素 ,因此本模型从考虑女性人口的发展变化出发，我们在不失科学性的前提下作出如下合理的基本假设：（1）假设女性最大年龄为90岁,最小年龄为0岁，以1岁为1个年龄组,1年为1个时段，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化。
人口预测模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。
美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
离散化为连续，方便研究§3.2Malthus 模型与Logistic 模型模型1马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d ,b 为出生率，d 为死亡率），既：1dN r N dt =dN rN dt =或（3.5）0()0()r t t N t N e -=（3.6）（3.1）的解为：其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有：002rTN N e =ln 2T r =故模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。
19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N /人马尔萨斯模型人口预测模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。
例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。
人口预测的数学模型与预测方法分析
人口预测的数学模型与预测方法分析人口预测是对未来一定时期内人口数量和结构的变动进行估计和预测的过程。
人口预测在社会经济发展规划、城市规划、教育医疗资源配置等方面具有重要的参考价值。
为了准确预测人口的变动趋势，需要建立合理的数学模型和选择适当的预测方法。
人口预测的数学模型主要包括线性回归模型、指数模型、Logistic模型等。
线性回归模型是一种用来描述两个变量之间线性关系的统计模型，可以用来预测人口随时间的变化。
指数模型假设人口数量按照指数规律增长或减少，适用于人口增长较快的情况。
Logistic模型则适用于人口增长速度放缓后的情况，它是一种描述增长速度逐渐趋近于饱和的模型。
在选择数学模型时，需要综合考虑以下几个因素：人口历史变动趋势、人口自然增长率、人口迁移和流动情况、政策调控等因素。
同时，还需根据实际情况对模型的参数进行合理的设定和修正，以提高预测的准确性。
在预测方法上，常用的有趋势线法、复合增长率法、比较推理法、时间序列分析法和系统动力学方法等。
趋势线法是基于历史数据的发展趋势来进行预测，适用于人口变动趋势比较稳定的情况。
复合增长率法是将历史数据中的增长率按一定规则进行加权平均，再用来推算未来人口的增长率。
比较推理法通过对不同因素的比较和推理，来估计未来人口的变化。
时间序列分析法是根据时间序列数据的历史模式来预测未来的变化趋势。
系统动力学方法则是通过对不同因素的动态关系建立模型，用来探索人口变动的内在机制和规律。
在具体应用时，可以结合不同的数学模型和预测方法，进行多角度的分析和预测。
同时，还需要不断对模型进行修正和优化，以适应不断变化的人口变动趋势和社会经济背景。
此外，还应该注意对预测结果的不确定性进行评估和把握，提供多种可能性的预测结果，为决策者提供科学的参考依据。
人口预测模型(经典)
中 国 人 口 预 测 模 型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。
考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：其次，建立Leslie 人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。
最后我们BP 神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归 灰色序列预测 逻辑斯蒂模型 Leslie 人口模型BP 神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。
由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。
而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。
而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。
准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。
例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。
根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。
人口预测模型 (2)
人口预测模型引言人口预测是社会经济规划和发展的重要因素之一。
了解和预测人口的变化趋势对于制定战略、决策政策和规划城市发展至关重要。
传统的人口预测方法可以基于历史数据和统计模型来进行，但随着数据科学和机器学习的发展，人口预测模型已经变得更加准确和可靠。
人口预测模型简介人口预测模型是一种使用统计学和机器学习等方法来预测人口变化的模型。
它可以通过分析历史数据和当前的人口特征来预测未来的人口趋势。
人口预测模型可以帮助政府、城市规划者和经济学家等决策者做出更准确的人口规划和发展决策。
常用的人口预测模型方法线性回归模型线性回归模型是一种常见的人口预测模型方法。
它基于历史数据，通过建立一个线性方程来描述人口变化的趋势。
线性回归模型可以通过拟合历史数据来预测未来的人口变化。
时间序列模型时间序列模型是一种常用的人口预测模型方法，它基于时间变量和历史数据来预测未来的人口变化情况。
时间序列模型可以考虑人口的季节性、趋势性和周期性等因素，从而提高预测的准确性。
基于机器学习的人口预测模型随着机器学习的发展，越来越多的人口预测模型开始采用机器学习算法来进行预测。
基于机器学习的人口预测模型可以通过学习历史数据和自动调整模型参数来进行预测，从而提高预测的准确性和鲁棒性。
人口预测模型的应用城市发展规划人口预测模型可以帮助城市规划者制定更科学和有效的城市发展规划。
通过预测人口变化的趋势，城市规划者可以合理安排城市的建设和改造，提前做好基础设施建设和公共服务的规划，从而更好地满足人口增长的需求。
经济发展决策人口预测模型可以为经济发展决策提供有力的参考依据。
通过预测人口的变化，决策者可以制定更精确的经济发展政策和战略，合理安排资源配置，促进经济的健康发展。
社会政策制定人口预测模型可以帮助政府制定更合理和有效的社会政策。
通过对人口变化的预测，政府可以及时调整社会福利、教育、医疗等社会政策，提前做好相关准备，更好地满足人口的需求。
结论人口预测模型是一种重要的工具，可以帮助政府、城市规划者和决策者做出更准确和科学的决策。
中国人口增长预测模型
中国人口增长预测模型摘要本文针对我国人口增长中出现的新特点，建立了两个符合实际情况的预测模型，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。
模型一：建立时间序列分析法中的ARMA 模型, 对中国人口总数进行预测。
根据处理后的数据的自相关函数和偏相关函数的拖尾性，估计出ARMA 的参数p和q，并对估计的参数进行检验和调节，最终确定参数，建立出ARMA(p ,q)模型。
用此模型预测出2020 年和2030 年的人口分别为138135.3 万人和143352.6 万人。
模型二：建立阻滞增长模型，把出生率和死亡率考虑进去，对人口进行预测，并用Matlab软件编程进行求解。
通过此模型预测出2020年和2030年的人口分别为142108.3万人和146768.4万人，并且人口在2036年左右达到峰值。
模型三：建立人口发展方程，模型一需要的原始数据少，操作简单，适合于中短期预测，但长期预测效果不佳；模型二和模型三综合考虑了各因素，对中短期和长期均有较好的预测效果，但所需数据量大，操作较为复杂。
关键字时间序列模型Eviews 人口发展模型微分方程1.问题重述近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据资料，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；并指出模型中的优点与不足之处。
2.问题的分析一个国家人口的变化和随时间的发展过程，是由很多因素决定的，社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平、战争、自然灾害和移民等等，都能严重地影响社会人口的发展过程。
要预测人口发展的总趋势，首先要预测的是人口总数。
在当代中国社会，环境稳定，如果没有大规模传染病和战争等的影响，每年的死亡率应该相对稳定，出生率也一直在国家政策的控制中，所以人口总数的预测可以看成一个平稳序列的预测，这样我们考虑用时间序列来进行预测。
人口增长预测模型
年龄密度函数
F ( r1 , t ) F ( r2 , t ) = ∫ p( r , t )dr 不同时刻同一年龄 r2
段的人口数
p( r , t )dr 表示 t
时刻年龄在区间 [r , r + dr ] 的人口数 死亡率
t + Δt 时刻同样的年龄段的人口数
p( r , t )dr p( r + dr1 , t)drdt
{[ p( r + dr1 , t + dt ) p( r , t + dt )] + [ p( r , t + dt ) p( r , t )]}dr = μ ( r , t ) p( r , t )drdt
p p { ( r , t + dt )dr1 + ( r , t )dt }dr = μ ( r , t ) p( r , t )drdt r t p p + = μ ( r , t ) p( r , t ) r t
边界（初始）条件： p( r , 0) = p0 ( r ) p(0, t ) = f ( t ) p( rm , t ) = 0
μ ( r , t ) 只与 r 有关
r p p ∫ μ ( s ) ds + = μ ( r , t ) p( r , t ) ,0 ≤ t ≤ r r t p0 ( r t )e r t p( r , t ) = r ∫ μ ( s ) ds f ( t r )e 0 p( r ,0) = p0 ( r ), p(0, t ) = f ( t ) ,t > r p( rm , t ) = 0
总体分析，并没有考虑年龄大小、性别比例，
不妨设 t 时刻年龄小于 r 的人口记作 F ( r , t ) 假设 t 时刻人口总数为N ( t ), 最高的年龄为 rm 初始条件： F (0, t ) = 0, F ( rm , t ) = N ( t )
Logistic人口模型的检验与中国未来人口的预测与控制
数学建模大作业——人口模型班级：周一、周三姓名：石星宇学号：02123010学院：电子工程学院任课教师：李伟Logistic人口模型的检验与中国未来人口的预测与控制摘要本文利用已有的Logistic人口模型，对中国近年来的人口数据进行了分析。
用MATLAB数学软件对人口数据做曲线拟合，得到三次多项式如下：33269=-+⨯-⨯+⨯.y x x x0.7011 4.1738108.280910 5.475510±，可见该模型根据实际人口数和计算人口数的比较得知，最大的误差为0.5能够很好地预测人口发展趋势，由此验证了Logistic人口模型的正确性。
并用得到的三次多项式对今年年末的人口进行预测，计算结果为132850万人。
本文最后还对当前国内的人口政策做出了一定的讨论，论述了控制人口发张的一些方法及策略。
例如，提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育等。
还对近年来提出的“单独二胎”、“双独二胎”政策做了相应的讨论。
得出结论：这些政策的实施将会导致婴儿出生率短期内显著回升，有望在5年内新增750万新生儿，在人口结构方面，政策调整将使2030年增加2200万劳动年龄人口。
关键词：Logistic人口模型曲线拟合人口预测与控制1、问题重述人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一。
一些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重的威胁着人类的正常生活，而有些发达国家的自然生长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力短缺，也是不容忽视的问题。
由于我国20世纪50~60年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且年龄结构也不合理，使得对人口增长的严格控制会导致人口老化问题严重。
因此，在首先保证人口有限增长的前提下适当控制人口老化，把年龄结构调整到合适的水平，是一项长期而又艰巨的任务。
我们目前面对的问题有：（1）检验Logistic人口模型的正确性；（2）预测中国未来人口的发展状况；（3）评价中国现有的人口政策。
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人口预测与控制模型
问题分析：预测中国人口增长对研究中国经济和社会发展具有重要
意义。
根据相关人口统计数据，建立相应的人口发展模型，并预测未来10年内的人口发展
趋势。
要求有明确的模型，并估计出相关的参数。
预测我国2010—2020的人口数量和滁州市2010—2020的人口数量。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
模型准备：查找数据。
为了有效了解、控制我国人口的增长，我国隔几年就进行一次人口普查。
下表一是我国的五次人口普查数据：
我们根据这几次人口普查，建立模型，估计出参数，并估计出2010—2020年的我国人口数量。
滁州市的人口数据（表二）：
根据这几个数据估计2010—2020年的滁州市人口数量。
模型建立：
一、指数增长模型
最简单的人口增长模型就指数增长模型：记今年人口为0x ，k 年后人口为k x ，年增长率为r ，则
k
k r x x )1(0+= (1)
显然，这个公式的基本条件是年增长率r 保持不变。
记时刻t 的人口为)(t x ，)(t x 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将
)(t x 视为连续、可微函数。
记初始时刻)0(=t 的人口为0x 。
假设人口增长率为常数r ，
即单位时间内)(t x 的增量
dt
dx 等于r 乘以)(t x ，于是得到)(t x 满足微分方程rx dt dx =，
0)0(x x = (2)
与这个方程很容易解出
)(t x o x =e rt (3)
r >0时，(3)式表示人口将按指数规律随时间增长，称之为指数增长模型。
二、阻滞增长模型
所谓阻滞增长模型就是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用，并
且随着人口的增加，阻滞作用越来越大这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将
r 表示为x 的函数()x r ，()00x x =
对()x r 的一个最简单的假定是，设()x r 为x 的线性函数，即
()()0,>-=s r sx r x r
这里r 称固有增长率，表示人口很少时(理论上是0=x )的增长率。
为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x 时人口不再增长，即增长率
()0=m x r ，代入(5)式得m
x r s =
，于是()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=m x x r x r 1，将()x r 代入方程(4)，的⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=m x x rx dt dx 1，()00x x = 方程(6)右端的因子rx 体现人口自身的增长趋势，因子⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
m
x x
1则体现了环境资源对人口增长的阻滞作用。
显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共
同作用的结果，(6)式称为阻滞增长模型。
求解方程(6)得到：rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
（4）
三、模型的参数估计、检验和预报
用指数增长模型或阻滞增长模型进行人口预报，先要作参数估计。
除了初始人口0
x 外，指数增长模型要估计r ，阻滞增长模型要估计r 和m x 。
他们可以用人口统计数据拟合得到。
为了估计指数增长模型（2）或（3）中的参数
r
和0x ，将（3）式取对数，得
0ln ,ln ,x a x y a rt y ==+= （5）
现在用表二中我国人口数据对（8）式作数据拟合：
t 195319641982199020002010x 5.747.2310.3211.612.9513.71y=lnx
1.747459 1.978239
2.3340842.4510052.5610962.618125
解出0158.0=r
，0212.29-=a ，0212.290-=e x 。
下面是实际值与理论值的对照：
t=2020时，x=18.07989. 可以看出数据拟合的误差比较大。
为了估计阻滞增长模型中的参数r 和m x ，将方程改为m
x r
s sx r x dt dx
=-=,
左端可以从实际人口数据用数值微分算出，右端对参数s r ,是线性的。
x=r/s=14.974。
解出s = 0.0028575，r= 0.042788，
m
根据滁州市人口数据对模型的参数进行估计：
t195919741984199520002010
x250.9306330.6403.6400.1393.8
y 5.525054 5.7235855.800909 6.000424 5.9917155.975843
r=0.009762,a=-13.5603.
t=2020时，x=472.9265.
根据其对照可以看出误差较大。
下面是对第二个模型进行估计：
s=1.65552E-05,r=0.006736,xm=406.876.
t=2020,x=
总结：在这个预测人口数量时，没有考虑人口的老龄化、出生率、死亡率等因素。
这篇论文利用两个明确的模型，一个是指数增长模型，另一个是阻滞增长模型。
人口的增长不可能是无限制增长的，指数模型只能对短时间的人口进行预测。
Logistic模型能够大体上反映人口的增长趋势。
这两个模型都是针对人口总数的总的增长率，没有涉及到年龄的结构。
对人口的控制，我国采取了计划生育政策，减少人口的增长，促进社会更好的发展。
正是由于这项政策，我国的人口已经得到了很好的控制。
参考文献：数学建模（第四版）姜启源。