切应力τ的计算公式剪切强度条件挤压强度条件
切应力τ的计算公式剪切强度条件挤压强度条件
切应力τ的计算公式剪切强度条件挤压强度条件
切应力τ是一种刻画物体内部材料抗剪能力的物理量，它代表了物
体内部单位面积上所受到的切割作用力。
在弹性力学中，切应力可以通过
以下公式进行计算：
τ=F/A
其中，τ表示切应力，F表示作用在物体上的切割力，A表示受力面
的面积。
剪切强度条件是指材料在受到切应力时能够抵抗剪切破坏的能力。
剪
切强度是材料的一个重要参数，也是材料设计和工程应用中需要考虑的一
个关键因素。
一般情况下，剪切强度与材料的直接抗拉强度有一定的关联。
根据材料的性质和试验数据，可以得到剪切强度与抗拉强度之间的经验关系。
挤压强度条件是指材料在受到纵向挤压应力时能够抵抗挤压破坏的能力。
挤压强度是材料设计和工程应用中常常需要考虑的一个参数。
在挤压
过程中，由于材料在横截面上受到侧向作用力，会引起横截面上的应力分布。
根据材料的性质和试验数据，可以得到挤压强度与抗拉强度之间的经
验关系。
在考虑剪切强度和挤压强度条件时，常常需要考虑材料的塑性变形特性。
材料在受到外界应力作用时，会发生塑性变形，形成塑性流动区域。
在塑性流动区域内，材料的应力和应变之间存在一定的关系，常用应力应
变曲线来表征材料的塑性形变特性。
总结起来，剪切应力τ可以通过公式τ=F/A来计算，剪切强度和挤压强度是材料在受到剪切和挤压应力时抵抗破坏的能力。
在实际应用中，常常需要考虑材料的塑性变形特性来确定剪切强度和挤压强度的条件。
材料力学拉伸压缩剪切扭转名称公式判别及汇总
一、拉（压）杆强度条件：--------（1）二、（剪切）切应力条件和挤压强度条件1.切应力强度条件：τ --------（2）2.挤压强度条件：--------（3）三、圆轴扭转时的强度和刚度条件资料个人收集整理，勿做商业用途1.扭转强度条件：-----------（4）----------------（5）2.扭转刚度条件：-----------（6）----------------（7）四：弯曲正应力强度条件：------(8)符号释义：1.：正应力2. τ：切应力3.T：扭矩4.：轴力5.：剪切力6.7.A：剪切截面面积8.：抗扭截面系数9.：横截面对圆心的极惯性矩10.y: 正应力到中性轴的距离11.ε：正应变(线应变) 三个弹性材料的关系：1.E：弹性模量（GN/m²）2. μ：为泊松比（钢材的μ为0.25-0.33）3.G：剪切弹性模量（GN/m²）剪切胡可定律：τ=Gγ16.E：抗拉刚度17.胡可定律：σ=Eεσ=E18.ρ：曲率半径19.：梁弯曲变形后的曲率20.M：弯矩轴力、剪切力、均为内力求内力的方法-截面法：1.假想沿m-m横截面将杆件切开2.留下左半端或右半段3.将弃去部分对留下部分的作用(力)用内力代替4.对留下部分写平衡方程，求出内力的值。
当你选择好研究对象时，建立坐标系，这个对象的所有受力的x方向的代数和，和y方向的代数和为零，这就建立平衡方程，【me=o】，就是你在研究对象上选取一个点作为支点，然后所有力对这个点取矩，顺时针和逆时针方向的代数和为零，这样就分别建立三个平衡方程，可以联立接触其中未知数，这种情况只是用于解决静定结构的。
12.γ：切应变(角应变)21.：外力偶矩13.EA：抗拉强度(钢材的EA约为200GPa)14.δ：断后伸长率15.ψ：断面收缩率/相对扭转角梁受力有：轴力、剪切力和弯矩M。
一、材料力学的几个基本感念1.构件：工程结构或机械的每一组成部分。
剪切和挤压
1、 了解剪切变形的特点
2、 掌握剪切实用计算 3、 掌握挤压实用计算
二、重点内容 1、 剪切实用计算 2、 挤压实用计算
本章主要内容
§3-1 剪切与挤压的概念 §3-2 剪切和挤压的强度计算
§3-1 剪切与挤压的概念
剪切的工程实例
剪切件简化如下图
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
平键连接
焊接连接
榫连接
§3-2 剪切和挤压的强度计算
一.剪切的强度计算
F F
F
m
m
F
剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外 力合力大小相等、方向相反且作用线很近。
和板的材料相同，试校核其强度。
解：1.板的拉伸强度
2.板的剪切强度
Fs F 50103 A 4a 4 0.08 0.01
15.7106 15.7MPa [ ]
FN F A (b 2d )
50 103
(0.15 2 0.017) 0.01
43.1106 43.1MPa [ ]
变形特点：位于两力之间的截面发生相 对错动。
假设切应力在剪切面（m-m截面）
上是均匀分布的
F
m
m
FS
FS m
m
F
得切应力计算公式： Fs
A
切应力强度条件： 常由实验方法确定
二.挤压的强度计算
F
假设应力在挤压面上是均匀分布的
F
得实用挤压应力公式
bs
Fbs Abs
*注意挤压面面积的计算
挤压强度条件：
bs 常由实验方法确定
切应力强度条件：
挤压强度条件： 塑性材料： 脆性材料：
为充分利用材料，切 应力和挤压应力应满足
剪切计算公式
2.剪切强度计算 (1) 剪切强度条件剪切强度条件就是使构件的实际剪应力不超过材料的许用剪应力。
[]sF A ττ=≤(5-6)这里[τ]为许用剪应力，单价为Pa 或MPa 。
由于剪应力并非均匀分布，式(5-2)、(5-6)算出的只是剪切面上的平均剪应力，所以在使用实验的方式建立强度条件时，应使试件受力尽可能地接近实际联接件的情况，以确定试样失效时的极限载荷τ0，再除以安全系数n ，得许用剪应力[τ]。
[]n ττ=(5-7)各种材料的剪切许用应力应尽量从相关规范中查取。
一般来说，材料的剪切许用应力[τ]与材料的许用拉应力[σ]之间，存在如下关系： 对塑性材料：[]0.60.8[]τσ= 对脆性材料：[]0.8 1.0[]τσ=(2) 剪切实用计算剪切计算相应地也可分为强度校核、截面设计、确定许可载荷等三类问题，这里就不展开论述了。
但在剪切计算中要正确判断剪切面积，在铆钉联接中还要正确判断单剪切和双剪切。
下面通过几个简单的例题来说明。
例5-1 图5-12(a)所示电瓶车挂钩中的销钉材料为20号钢，[τ]＝30MPa ，直径d=20mm 。
挂钩及被连接板件的厚度分别为t ＝8mm 和t 1＝12mm 。
牵引力F=15kN 。
试校核销钉的剪切强度。
图5-12 电瓶车挂钩及其销钉受力分析示意图解：销钉受力如图5-12(b)所示。
根据受力情况，销钉中段相对于上、下两段沿m-m 和n-n 两个面向左错动。
所以有两个剪切面，是一个双剪切问题。
由平衡方程容易求出：2s F F =销钉横截面上的剪应力为：332151023.9MPa<[]2(2010)4s F A ττπ-⨯===⨯⨯故销钉满足剪切强度要求。
例5-2 如图5-13所示冲床，F max =400KN ，冲头[σ]=400MPa ，冲剪钢板的极限剪应力τb =360 MPa 。
试设计冲头的最小直径及钢板最大厚度。
图5-13 冲床冲剪钢板及冲剪部分受力示意图解：(1) 按冲头压缩强度计算dmax max2=[]4F F d Aσσπ=≤所以0.034 3.4d m cm≥===(2) 钢板的剪切面是直径为d 高为t 的柱表面。
建筑力学主要公式
W
＝
z
bh2 6
max＝23
FQmax A
对于工字型钢
正应力强度条件
剪应力强度条件
max
M max Wz
Wz查 型 钢 表
m
＝
ax
F Q m ax Iz d
Sz
Iz 、 d查 型 钢 表 Sz
五、压杆稳定
1、临界力计算公式
Fcr
2E I ( l )2
1 abl 4
3、静定结构由于支座移动而产生的位移计算公式
Kc Rici
仅用于静定结构
KC由 支 座 移 动 引 起 的 结 构 在 K点 沿 某 方 向 的 位 移 ； Ci 支 座 位 移 ； Ri 虚 设 单 位 荷 载 所 引 起 的 相 应 支 座 位 移 处 的 支 座 反 力 。 当 Ri与 Ci同 向 时 ， 乘 积 为 正 ， 反 之 为 负 。
4 对于矩形截面：i b
12
结构力学
1、图乘公式
KP＝
AyC EI
A－－MP图的面积；
yC－－MP图的形心所对应的M图的纵坐标。
M P 图 ： 实 际 状 态 下 结 构 由 荷 载 产 生 的 弯 矩 图 ；
M 图 ： 虚 设 状 态 下 由 单 位 力 产 生 的 弯 矩 图 。
2、内力图形的面积和形心的位置：
静力学
1、平面汇交力系的平衡方程
F x= 0 F y= 0
2、平面力偶系的平衡方程
m 0
3、平面一般力系
基本形式
Fx=0 Fy=0 M O (F )= 0
剪切及挤压应力计算
剪切及挤压应力计算剪切应力的计算公式如下：τ=F/A其中，τ表示剪切应力，F表示剪力，A表示剪切面积。
剪切面积的计算取决于物体的几何形状。
对于一个长方形截面，剪切面积为宽度乘以高度（A=b*h）；对于一个圆形截面，剪切面积为π乘以半径的平方（A=π*r²）。
挤压应力的计算公式如下：σ=F/A其中，σ表示挤压应力，F表示挤压力，A表示挤压面积。
挤压面积的计算方法与剪切应力类似，取决于物体的几何形状。
在实际应用中，剪切应力和挤压应力的计算是密切相关的。
当物体受到外部力的作用时，如果该力的方向与物体表面的切线方向垂直，则产生挤压应力；如果该力的方向与物体表面的切线方向平行，则产生剪切应力。
因此，可以通过计算剪切应力和挤压应力来评估物体在受力下的变形和稳定性。
剪切应力和挤压应力的计算在工程领域具有重要的应用，例如材料力学、结构力学以及机械设计等。
通过对剪切应力和挤压应力的分析和计算，可以确定材料的承载能力、抗变形能力、抗压能力等重要参数，从而保证工程结构的安全性、稳定性和可靠性。
总之，剪切应力和挤压应力的计算是工程领域中的重要内容，通过合理的计算和分析可以更好地了解材料和结构受力状态，从而指导工程设计与实施。
1. Hibbeler, R. C. (2024). Mechanics of materials. Pearson Education.2. Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D.F. (2024). Mechanics of materials. McGraw-Hill Education.3. Timoshenko, S., & Gere, J. M. (2004). Theory of elastic stability. Courier Corporation.。
剪切应力计算
拉伸、压缩与剪切1基本概念及知识要点1.1 基本概念轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。
以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。
1.2 轴向拉压 的内力、应力及变形1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力F N ，符号规定：拉力为正，压力为负。
工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为F Aσ=N正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。
常用的单位为MPa 、Pa 。
3．强度条件强度计算是材料力学研究的主要问题之一。
轴向拉压时，构件的强度条件是[]F Aσσ=≤N可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。
4．胡克定律线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力F N 、杆的长度l 成正比，与截面尺寸A成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即F l l E EAσε∆==N式中的E 称为材料的弹性模量，EA 称为抗拉压刚度。
胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。
1.3 材料在拉压时的力学性能材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。
材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料性能指标有：E —材料抵抗弹性变形能力的指标；b s σσ,—材料的强度指标；ψδ,—材料的塑性指标。
低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。
详见教材，应理解本部分知识。
1.4 简单拉压静不定问题1． 未知力的个数超过静力平衡方程个数的问题为静不定问题，其中未知力可以是结构的约束反力或构件的内力。
2． 解决静不定问题，除列出静力平衡方程外，还需列出一定数量的补充方程，这些补充方程可由结构各部分变形之间的几何关系以及变形和力之间的物理关系求得，将补充方程和静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。
工程力学剪切与挤压的实用计算
（b×h×L=20 ×12 ×100） d=70mm， m=2KNm []= 60M Pa ， [jy]= 100M Pa
m P
2 剪切面与挤压面的判定
AQ bl
Abs
h 2
l
d
h
L
AQ
b
切应力和挤压应力的强度校核 FQ Pbs P
FQ P 57 103 28.6MPa
AQ bL 20 100源自 剪板机的工作原理工件1先落下压住钢板，随后剪刀2落下，剪断钢板；
P 12
钢板的变形
实例2：两块钢板的铆钉连接
F F
连接两块钢板的铆钉
连接两块钢板的鉚钉，给钢板沿两个方向施加外力F。
铆钉的变形
二、连接件受力分析 受力特点：
杆件受到: 两个大小相等， 方向相反、 作用线垂直于杆的轴线, 并且相互平行,
d
例2 电瓶车挂钩由插销联接，如图。插销材料为20 钢， 30 MPa ，直径 d 20mm 。挂钩及被联接的
板件的厚度分别为 t 8mm 和 1.5t 12mm 。牵引
力 P 15kN 。试校核插销的剪切强度。
分析插销受力
确定剪切面
d 2
A 4
计算内力
Fs
P 2
Fs A
15 10 3
Fs A
F / 2n
1 d 2
[ j ]
4
2F
n d 2[ j ] 3.98
jy
Fbs Ajy
F/n t1d
[
jy
]
n F
t1d[ jy ]
3.72
F
F
因此取 n=4.
I
F/n
F/n
F/n F/n
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实验结论:横截面上每一点存在相同的拉力
F
N
横截面上的内力FN 也是均匀分布的，即应力为常量，而且方向都垂直于横截面。 此时的应力称为正应力，以σ 表示。 计算公式为
FN A
正应力的符号，拉伸时正应力为正，压缩时正应力为负。
2.拉伸和压缩的强度计算 拉伸和压缩构件的强度条件
max
塑性材料
FN ≤ A
S
S
脆性材料
b
S
（三）杆件的剪切和挤压
1.剪切和挤压横截面上的应力
连接两钢板的铰制孔用螺栓，在外力的作用下，将沿着截面m-n发生剪切变形。 在承受剪切作用的同时，在传力的接触面上，由于局部承受较大压力，而出现塑性变 形，钢板的圆孔可能挤压成长圆孔，或者螺栓的侧表面被压溃。 这种在接触表面互相压紧而产生局部变形的现象，称为挤压。作用于接触面上 的压力，称为挤压力，用Fp表示。挤压面上的压强称为挤压应力，用σp表示。 挤压应力与压缩应力不同，挤压应力只分布于两构件相互接触的局部区域，而 压缩应力是分布在整个构件内部。
D0
单个螺栓所受的总拉力FQ
b
b
p
D
FQ F F
"
F
Q
D0
单个螺栓的轴向工作载荷 残余预紧力F″的推荐值查表确定。
pD 2 F 4z
1.3FQ
强度校核公式
d / 4
2 1
≤
[ ]
设计计算公式
d1
≥
5.2 FQ
[ ]
压力容器中的螺栓连接，除满足强度要求外，还要有适当的螺栓间距t0， t0太大 会影响连接的紧密性，通常应满足 3d≤ t0 ≤7d
[ ]
设计计算公式
d1 ≥
4 1.3F ' 5.2 F ' [ ] [ ]
（2）受轴向工作载荷的紧螺栓连接
F’
受力特点 工作载荷作用前，螺栓只受预紧力F ’，接合面受 压力。
b b
工作载荷作用后，在轴向工作载荷F
残余预紧力F ”，同时作用于螺栓。
作用下，
FF’
Q
D
接合面有分离趋势，该处压力由预紧力F ’ 减为
（一）普通螺栓连接的强度计算 1.松螺栓连接连接的强度计算 螺栓以受拉力作用螺纹的小径d1
校核公式
F F 2 A d1 4
d1
≥
≤
[ ]
计算出d1 后 再按标准查选螺纹的公称直径d。
设计公式
4F [ ]
2.紧螺栓连接连接的强度计算
p p
2.5) 1.5)
四、螺栓连接的强度计算
根据连接的的工作情况，可将螺栓按受力形式分为受拉螺栓和受剪螺栓，两者失
效形式是不同的。 螺栓连接的计算方法
主要是确定螺纹小径d1，然后按照标准选定螺纹的公称直径（大径）d 等。
或校核螺栓危险截面的强度。 其他尺寸及螺纹连接件是按照等强度理论的设计来确定。不需要进行强度计算。
螺纹连接的强度校核
杆件的受力分析
1.杆件变形的基本形式
杆件在外力作用下发生的四种基本变形：
F1 F1
F
F2
F2
F
（1）拉伸与压缩
M M γ l A B F
（2）剪切
F
O
φAB A B
（3）扭转
（4）弯曲
拉伸
压缩
（二）杆件的拉伸和压缩 1.拉伸和压缩时横截面上的应力
F
F
F
F
平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为垂直于杆轴线的平面。说明杆 内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说横截面上每一点的伸长量是相同的。
螺栓危险界面上的拉伸应力
F' 2 d1 4
螺栓危险界面上的扭转剪切应力
T1 3 d1 16
对于常用的单线、三角形螺纹的普通螺栓， 当量应力
0. 5 ，根据第四理论，可求出
e 2 3 2 2 3(0.5 ) 2 1.3
强度校核公式
1 .3 F ' ≤ e 1.3 d12 4
to
D0
z
（二）铰制孔用螺栓连接的强度计算 受力特点：螺栓受载前后不需预紧，横向 载荷靠螺栓杆与螺栓孔壁之间的相互挤压
hmi
传递。
FS
n
FS
dS
失效形式：螺栓杆被剪断,螺栓杆或孔壁被
压溃。
剪切强度校核公式
挤压强度校核公式
4 FS 2 ≤ [ ] d s FS ≤ p [ p ] d s hmin
2. 剪切和挤压的强度计算 剪切面上有切应力τ 存在， 切应力τ 的计算公式
F F m FQ m FQ n F τ
FQ A
剪切面 τ
剪切强度条件
F
FQ A
Fp Ap
≤
p
1 2 A d 4
塑性材料
挤压强度条件
p
≤
Ap dt
脆性材料
(1.5～ (0.9～
FS ≤ 挤压强度 p d s hmin
（1）受横向工作载荷的紧螺栓连接 受力特点 受横向工作载荷的紧螺栓连接，在 横向工作载荷Fs的作用下，被连接件接合 面间有相对滑移趋势，为防止滑移，由预 紧力F’所产生的摩擦力应大于横向工作 载荷Fs
FS m FS
F fm
'
≥
Fs
螺栓预紧力
CFs F fm
'
螺栓内部危险截面上既有轴向预紧力F′形成的拉应力，又有螺纹副之间的摩擦 力矩T1而形成的扭转剪切应力。只受预紧力紧螺栓连接，螺栓螺纹部分处于拉伸与扭 转的复合应力状态。
小结
普通螺栓连接强度计算
F F 松连接受轴向工作载荷 A d12 4
1.3F ' 受横向工作载荷 e d12 4
受轴向工作载荷
≤
[ ]
≤
[ ]
紧连接
e
≤
1.3FQ
d
2 1
≤
[ ]
剪切强度 铰制孔用螺栓连接强度计算
4 FS 2 d s
4
[ ]
[ p ]