2019-2020学年北京市石景山区高三上学期期末考试数学试卷及答案
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分非必要条件
10.关于曲线 C : x2 xy y2 4 ．给出下列三个结论：
① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于 2 2
③ 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不小于 2
6
若不存在，说明理由．
20.已知函数 f (x) e x ax .（ a R ）
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）若 a 3 ， f (x) 的图象与 y 轴交于点 A ，求 y f (x) 在点 A 处的切线方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当 x 0 时， f (x) x2 3x 1 恒成立．
所以 h x h ln2 eln2 2ln2 2 2ln2 0 ，
19.已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，△PAD 是正三角形，CD平面 PAD，
E,F,G,O 分别是 PC,PD,BC,AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO平面 ABCD ；
（Ⅱ）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）线段 PA 上是否存在点 M ，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 π ，若存在，求线段 PM 的长度；
个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分．5 个有效评分与 7 个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 中位数
B. 平均数
C. 方差
D. 极差
8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值
为( )
1
A.
8
1
B.
7
1
C.
6
1
D.
5
9.在等差数列an 中，设 k,l, p, r N * ，则 k l p r 是 ak al ap ar 的（ ）
所以 a 0 时， f (x) 在 , ln a 上单调递减，在 ln a, 上单调递增. 综上所述， a 0 时， f x 单调增区间为 R ，无单调减区间， a 0 时， f x 单调增区间为 ln a, ，单调减区间为 ,ln a . （Ⅱ） a 3时， f x ex 3x 令 x 0 ，得 y 1，则 A0,1 ，
2
2
2
1 sin 2x cos 2x
2
2 2
sin
2x
4
所以函数
f
x
的最小正周期 T
2π 2
π
.
由 2kπ π 2x π 2kπ+ 3π , k Z ，
2
4
2
解得
kπ
π 8
x
kπ+
5π 8
,
k
Z
.
所以函数
f
x
的单调递减区间
kπ
π 8
,kπ+
5π 8
,k
Z
.
18.解：（Ⅰ） X 可能的取值为 0 ，1， 2 ， 3 .
A. 0,1, 2
B. 0, 2
C. 1,3
2.复数
z
1
2
i
的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( )
A. f (x) x3
B. f (x) lg | x |
C. f (x) xΒιβλιοθήκη 4.已知向量明理由．
22.已知由 n (n N*) 个正整数构成的集合 A {a1, a2 ,, an}(a1 a2 an , n ≥ 3) ，记
SA a1 a2 an ，对于任意不大于 SA 的正整数 m ，均存在集合 A 的一个子集，使得该子集的所有元
素之和等于 m.
（Ⅰ）求 a1, a2 的值；
（Ⅱ）求证：“
a1, a2 ,, an
成等差数列”的充要条件是“
SA
n(n 1) 2
”；
（Ⅲ）若 SA 2020 ，求 n 的最小值，并指出 n 取最小值时 an 的最大值.
数学试题参考答案
1-10BACBB DACDC
11.-160；12.1；13. 5 ；14.①③ ②或②③ ①；15、 1 ；16.①② 4
5
1
P
216
72
72
216
（Ⅱ）设每盘游戏没有得到 15 分为事件 A ，
则
P
A
125 216
1 216
7 12
.
设“两盘游戏中至少有一次获得 15 分”为事件 B ，
则
PB
1
P
A2
1
7 12
2
95 144
因此，玩两盘游戏至少有一次获得
15
分的概率为
95 144
.
（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .
其中，正确结论的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
11.在 (x 2 )6 的二项展开式中，常数项等于 x
．(用数值表示)
12.双曲线 x2 y2 1的焦点到它的渐近线的距离为_________________； 3
设平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 ，
所以 cos
m n mn
3
1 2 12
1
1 2.
所以平面
EFG
与平面
ABCD
所成锐二面角为
π 3
.
（Ⅲ）假设线段 PA 上存在点 M ，
使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 6 ，
即直线 GM 与平面 EFG 法向量 m 所成的角为 3 ，
2019-2020 学年北京市石景山区高三上学期期末考试数学试卷及答案
第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．
1.已知集合 A x 0 x 2 ， B 1, 0, 2,3 ，则 A B ( )
由（Ⅰ）知，Y 的分布列为：
Y
-12
15
120
125
5
1
P
216
12
216
Y
的数学期望为
EY
12
125 216
15
5 12
120
1 216
5 36
.
这表明，获得分数Y 的期望为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
19.
（Ⅰ）证明:因为△ PAD 是正三角形，
O 是 AD 的中点， 所以 PO AD . 又因为 CD 平面 PAD ， PO 平面 PAD ， 所以 PO CD .
设
uuur PM
uur PA
，
0,1
，
uuur uuur uuur uuur uur GM GP PM GP PA, ，
uuur
所以 GM 2, 4, 2 3 1
所以 cos
cos
GM , m
3 ，
3
2 4 2 6 7
整理得 2 2 3 2 0 ， ，方程无解， 所以，不存在这样的点 M . 20. 解：（Ⅰ） f (x) ex a ，
13.已知数列an n (n N* ) 为等比数列， a1 1 ， a2 2 ，则 a3 _______
14.已知平面 , , ．给出下列三个论断：① ；② ；③ ∥ ．以其中的两个论断作为条件，
余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___
15.在 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 b c 1 a, 2 sin B 3sin C ，则 cos A 的 4
① 线段 AB 的中点的广义坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
②
向量 OA 平行于向量 OB 的充要条件是 x1 y2
x2 y1
③
向量 OA 垂直于向量 OB 的充要条件是 x1x2
y1 y2
0
其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号）
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
a
5,
m
，
b
2,
2
，若
ab
b ，则实数 m
(
)
D. 1, 0,1, 2,3
D. 第四象限
D. f (x) cos x
A. -1
B. 1
C. 2
D. -2
5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）
每次抛掷骰子，出现“6
点”的概率为
p
1 6
.
P( X
0)
C30 (1
1 )3 6
125 216
，
P( X
1)
C31
1 (1 6
1)2 6
75 216
，
P( X
2)
C32
(
1 6
)
2
(1
1) 6
15 216
， P(X
3)
C33
(
1 6
)3
1 216
，
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
125
25
石景山高三期末(数学文)有答案
石景山区2019学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21M x x =∈≤Z ，{}12N x x =∈-<<R ，则MN =（ ）A ． {}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}12．已知复数1iz i=＋，则复数z 的模为（ ）A ．2B ．C ．12D ．12+12i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（ ） A ．1123cm B ．32243cm C ．963cmD ．2243cm4.在一盒子里装有i 号球i 个（1i =，2，3），现从盒子 中每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码 之积为6的概率是（ ） A ．12B ．15C ．13D ．165．下列说法中，正确的是（ ） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ”1 C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件6．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2221x x +等于（ ）A ．32B ．34 C ．38D ．3167．已知O 为坐标原点，点A ),(y x 与点B 关于x 轴对称，(0,1)j =，则满足不等式20OA j AB +⋅≤的点A 的集合用阴影表示为（ ）8．已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ． 其中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．已知(,0)2πα∈-，3sin 5α=-，则cos()πα-＝ ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入100，则输出的结果为 ， 如果输入2-，则输出的结果为 ．11．已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．12．已知△ABC 的三边长分别为7AB =，5BC =， 6CA =，则A B B C ⋅的值为________．13．从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知m 是 ．14．已知数列{}n a 满足122a =，n a 的通项公式为 ，na n的最小值为 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求4(πf 的值；（Ⅱ）若2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足)(2*2N n a a S n n n ∈+=． （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若1()2n an b n =，求数列}b {n 的前n 项和n T ．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF CD ⊥；（Ⅲ）若G 是线段AD 上一动点，试确定G 点位置，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ． 求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．19．（本小题满分14分）已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的极值；（Ⅲ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）如图111(,)P x y ，222(,)P x y ，，(,)n n n P x y ，12(0,)n y y y n N *<<<<∈是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n =在x 轴的正半轴上，1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .（Ⅰ）求123,,a a a ；（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式.石景山区2019学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． ……………4分 （Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-= )32sin(π-=x ． ……………6分20π<<x ， 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………8分 （Ⅲ） )32sin()(π-=x x f ， 若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解得4π=x 或127π=x ． ……………10分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ． ……………11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3,2,1321===a a a ． ……………3分 （Ⅱ） n n n a a S +=22， ①12112---+=n n n a a S ， （n ≥2 ） ② ……………5分①—②即得 0))(1(11=+----n n n n a a a a ， ……………6分因为01≠+-n n a a ， 所以n a a a n n n ==--所以,11（n ∈*N ）…………8分（Ⅲ）nn n b )21(=n n T )21(n )21(2212⨯+⋯+⨯+=， 132)21(n )21(2)21(21+⨯+⋯+⨯+=n n T ． 两式相减得，112221)21(n )21()21(2121+++-=⨯-+⋯++=n n n n n T所以 nn nT 222+-=． ……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：E,F 分别是,AB PB 的中点，//.EF AP ∴,EF PAD AP PAD ⊄⊂又平面平面，//EF PAD ∴平面． ……………………4分 （Ⅱ）证明：四边形ABCD 为正方形，AD CD ∴⊥．PD ABCD ⊥又平面，=PD CD AD PD D ∴⊥，且．CD PAD ∴⊥平面， PA PAD ⊂又平面， CD PA ∴⊥． //EF PA 又，EF CD ∴⊥． ……………………8分 （Ⅲ）解：G 是AD 的中点时，.GF PCB ⊥平面证明如下： ……………………9分取PC 中点H ，连结DH ，HF ． ,.PD DC DH PC =∴⊥又,,.BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥平面平面1////,2HF BC DG DGFH ==∴四边形为平行四边形，//DH GF ∴，.GF PCB ∴⊥平面 ……………………14分18．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得 2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-=． ………………… 6分 由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k +=-+， 212241234m x x k -=+ ． ………………… 8分由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．………………… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m kmk km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ……………………… 13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） ∵4=a ， ∴x x x f 4ln )(+=且ee f 5)(=． ……………………… 1分 又∵22ln 3)4(ln )4(ln )(x xx x x x x x f --='+-'+='， ∴223ln 4()e f e e e--'==-． ……………………… 3分 ∴)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(452e x ee y --=-，即0942=-+e y e x ． ……………………… 4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞，2)(ln 1)(x a x x f +-='，……………………… 5分令0)(='x f 得ae x -=1．当),0(1ae x -∈时，0)(>'xf ，)(x f 是增函数；当),(1+∞∈-aex 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； …………………… 7分∴)(x f 在aex -=1处取得极大值，即11)()(--==a ae ef x f 极大值．……… 8分（Ⅲ）（i ）当21e ea<-，即1->a 时，由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1ae -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，∴当aex -=1时，)(x f 取得最大值，即1max )(-=a e x f ．又当ae x -=时，0)(=xf ，当],0(aex -∈时，0)(<x f ，当],(2e ex a-∈时，],0()(1-∈a e x f ，所以，)(x f 的图像与1)(=x g 的图像在],0(2e 上有公共点， 等价于11≥-a e ，解得1≥a ，又因为1->a ，所以1≥a ． ……………… 11分（ii ）当21e ea ≥-，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2e 上是增函数，∴)(x f 在],0(2e 上的最大值为222)(eae f +=， ∴原问题等价于122≥+ea，解得22-≥e a ， 又∵1-≤a ∴无解综上，a 的取值范围是1≥a ． ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 6分 （Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则12n n n a a x -+=，n y =在正三角形1n n n P A A -中，有11||)n n n n n y A A a a --==-. 1)n n a a -=-.1n n a a -∴-= ………………………… 8分2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①，同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②.②-①并变形得1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈11n n a a +->，11220n n n a a a +-∴+--= 11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ . ∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列. ………… 10分 12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ， n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-++-， 2(123)n =++++2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈ …………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．。
2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)【优质版】
石景山区第一学期高三年级期末试卷数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A,{|01}Bx x ≤≤,那么AB 等于（）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1]2．若34i zi ，则||z （）A ．2B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)上单调递减的是（）A ．xy eB ．ln()yx C ．3yxD ．1yx5．由直线10xy ，50x y和1x 所围成的三角形区域（包括边界），用不等考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．1k a b 2kk2ka 2b k输出k是否开始结束式组可表示为（）A ．10,50,1xy xy x B ．10,50,1xy xy x C ．10,50,1xy xy xD ．10,50,1xy xy x6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h（）A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)yx图象上的点2(,(3))P t t向左平移m(m >0)个单位长度得到点Q ．若Q 位于函数2y x 的图象上，则以下说法正确的是（）A ．当2t 时，m 的最小值为3B ．当3t 时，m 一定为3C ．当4t时，m 的最大值为3D ．tR ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x的展开式中，5x 的系数是（结果用数值表示）．10．已知ABC △中，=3AB ，=1BC ，sin =3cos C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214xym的渐近线方程为32yx ，则双曲线的焦点坐标是．12．等差数列{}n a 中，12a ，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．侧视图正视图4h俯视图313．有以下4个条件：①a b ；②||||a b ；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其中a //b 的充分不必要条件有．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x，①方程()f x x 有________个根；②若方程()f x ax 恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 3cos22f x x x x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126上的最大值．16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个a c20个以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大．3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列学生．．中随机抽取和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BAPD 于点A ，3PDBC ，且1ABBC．沿AB 把PAB △折起到P AB △的位置（如图2），使90P AD．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）求二面角AP DC 的余弦值；（Ⅲ）线段P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD ．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)xy C a b ab的离心率为32，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B ．直线B A 与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数2()11x f x x，2()(0)a xg x x e a．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；BCAPDB A CP ′ABCD（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ，12()()f x g x 恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D BA ，则BD ，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AAD的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0；AD表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对AD ,记max kA ，()max(1)AA Df k （其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 12345678答案CDADABBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 3cos2f x x x x……１分sin 23cos2xx……２分π2sin(2)3x，……４分因此)(x f 的最小正周期为π．…………６分（Ⅱ）当ππ[,]126x 时，ππ2π2633x，………８分题号9 10 11 12 13 14答案18932(7,0)4①③1,11[,)4e当ππ232x，πsin(2)3x有最大值1．………10分即π12x时，()f x 的最大值为2．……………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a 解得35a ，5110020b，35710020c．…………………３分（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633．……………7分（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P．X 的所有可能取值0，1，2，3．……………8分则0033270()(1)2255125P XC ，1123541()(1)2255125P XC ，2213362()(1)2255125P XC ，33383()(22551)125P XC ．其分布列如下：X123P2712554125361258125所以，2754368601231251251251255EX．……………13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD ，所以P A ⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP ．又ADAB A ，所以P A ⊥面ABCD ．因为CD 面ABCD ，所以P A ⊥CD ．……３分因为等腰梯形BCDE 中，ABBC ，3PDBC ，且1ABBC．所以2AC ，2CD ，2AD ．所以222ACCDAD ．所以AC ⊥CD ．因为P A AC =A , 所以CD ⊥平面P AC ．……５分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA ⊥面ABCD ，AB ⊥AD ，如图，建立空间直角坐标系，A 0,0,0，B 1,0,0，C 1,1,0，D 0,2,0，P 0,0,1．…………５分所以(1,0,0)AB，(1,1,1)P C．由（Ⅰ）知，平面P AD 的法向量为(1,0,0)AB，设(,,)nx y z 为平面P CD 的一个法向量，则n CD n P C ,即00x y xyz，再令1y ，得(1,1,2)n ．cos ,AB n =AB nAB n=66．所以二面角AP DC 的余弦值为66．…………９分（Ⅲ）若线段P A 上存在点M ，使得BM ∥平面P CD ．依题意可设AM AP ,其中01．所以(0,0,)M ，(1,0,)BM．由（Ⅱ）知，平面P CD 的一个法向量(1,1,2)n．因为BM ∥平面P CD ，所以BMn ，所以120BM n ，解得12．所以，线段P A 上存在点M ，使得BM ∥平面P CD …………………14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a ．又因为32c ea，所以3c ，221bac．所以椭圆C 的标准方程为：2214xy．……………………５P B A CP ’ABCD xyz分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n ．设直线AB ：(1)(0)y k x k．……………………６分联立22(1)440y k x x y和，得：2222(14)8440k x k xk．所以2122814kx x k，21224414kx x k．……………８分直线AB 的方程为121112()y y yy xx x x ，……………９分令0y，解得112122111212()y x x x y x y nx y y y y (11)分又1122(1),(1)y k x y k x ，所以121212()42x x x x nx x ．所以直线B A 与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x 2222211111．……２分当x 变化时，()f x ，()f x 的变化情况如下表：x (,)1(,)11(,)1()f x ()f x 所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)11，单调递减区间是(,)1，(,)1．…………５分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ，12()()f x g x 恒成立”等价于“对于任意[0,2]x，minmax ()()f x g x 成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f ，2(2)115m f ，所以函数()f x 的最小值为(0)1f ．所以应满足max ()1g x ．………………………………………………７分因为2()e axg x x ，所以2()(+2)e axg x ax x ．………８分因为0a，令()0g x 得，10x ，22x a．（ⅰ）当22a，即10a 时，在[0,2]上()0g x ，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e ag x g ．由24e1a得，ln 2a，所以1ln 2a ．……………11分（ⅱ）当202a ，即1a时,在2[0,)a上()0g x ，在2(,2]a上()0g x ，所以函数()g x 在2[0,)a 上单调递增，在2(,2]a上单调递减，所以max2224()()eg x g a a ．由2241ea 得，2ea，所以1a ．……………13分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]．……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D……２分此时112(1)(1)(1)(1)(1)0AA D…………４分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为kD （ⅰ）易知当2DD 时，(1)AA D达到最大值，所以21122(1)32(2)(1)(1)(1)122n n n n nn f C C n…６分（ⅱ）设D 是使得max kA 的任一个“向下封闭”的子集族，记'''DDD ，其中'D 为不超过2k元的子集族，''D 为1k 元或k 元的子集则(1)AA D='''''(1)(1)(2)(1)AAAA DA DA Df k ………8 分现设''D有l （kn l C ）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k 元子集至多出现在1n k个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k kC个1k 元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC nk个不同的1k 元子集．''11(1)(1)(1)111k Ak k k knnnA DlCkkl l C CCn k n k n k 1(1)(2)()Ak k nnA Df kCC f k 由（ⅰ）得11221()(1)(1)(1)(1)(1)kkk ii nnnni f k CCCC …13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
1【石景山区】2019-2020高三数学
石景山区2019—2020学年第一学期高三期末试卷数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21i z =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是A. 3()f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m =A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 9. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l+ A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于；③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2．其中，正确结论的个数是A.0B. 1C. 2D. 3 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x -的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ． 13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____．15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14bc a ， 2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ③ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ）（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a+=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥， 记12A n S a a a =+++，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m .（Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.。
2019-2020学年北京石景山高三上学期期末数学试卷+参考答案+评分标准
石景山区2019—2020学年第一学期高三期末试卷数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =I A. {}0,1,2 B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A. a b c << B. a c b << C. b c a << D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于 ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=， 2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e u r ，2e u u r是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+u u u r u r u u r时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA u u u r 平行于向量OB u u u r的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA u u u r 垂直于向量OB u u u r的充要条件是12120x x y y +=.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<L L ≥， 记12A n S a a a =+++L ，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21Λ成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.石景山区2019-2020学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．160-； 12．1； 13． 5；14．①③⇒② 或②③⇒①； 15. 14-； 16. ①② ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为 20πα<<，且53sin =α， 所以 4cos 5α==. ……………2分 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ……………5分 （Ⅱ）()()21cos sin cos 21cos sin cos 2-+⋅=-+=x x x x x x x f ……………8分 所以函数()x f 的最小正周期2ππ2T ==. ……………9分 由ππ3π2π22π+242k x k ,k +≤+≤∈Z ， 解得π5πππ+88k x k ,k +≤≤∈Z . ……………11分 所以函数()x f 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . ……………13分 )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. ……………1分每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==⋅-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==⋅-=，33311(3)()6216P X C ===，……………5分所以X 的分布列为：……………6分（Ⅱ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A i (i ＝1，2)，则12905()()(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. ……………8分 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为12951()()144P A P A -= 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. ……………10分 （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .由（ⅠY 的数学期望为1512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. ……12分 这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O --， )3,0,1(),3,2,1(--F E ，)3,2,1(),0,2,0(-=-=，设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,032,02z y x y令1=z ，则 )10,3(，=，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ所以21cos ==θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π. ……………9分（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6， 设]1,0[,∈=λλ，PA GP PM GP GM λ+=+=，所以))1(32,4,2(λλ--=. ……………11分所以76423,cos |6πsin2+->=<=λλ， …………13分整理得02322=+-λλ，无解，所以，不存在这样的点M . ………14分20.（本小题14分）解：（Ⅰ）()x f x e a '=-， ……………1分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ……………3分 当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …5分 （Ⅱ）令0x =，得1y =，则()0,1A ， …………6分因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-， …………7分 所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. ………9分 （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----，则()e 2x g x x '=-.令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-， 当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； …………11分 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->，即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()()01010g x g >=--=，………13分所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立． …………14分21.（本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ， 可得24112a +=，解得28a =． …………2分 所以222826c ab =-=-=， …………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e == …………5分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行． …………6分证明如下：由题意，设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--，设点A11,)x y （，B 22,)x y （， 由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得 22241)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=（， …………8分 所以128(21)2+41k k x k -=+，所以21288241k k x k --=+，同理2228+8241k k x k -=+， 所以1221641k x x k -=-+， …………10分 由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++， 有121228()441k y y k x x k k -=+-=-+， 因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上，所以121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =，所以直线AB 与直线OP 平行． …………13分22. （本题13分）解:（Ⅰ）由条件知A S ≤1，必有A ∈1，又n a a a <<<Λ21均为整数，11=a . ……2分A S ≤2，由A S 的定义及n a a a <<<Λ21均为整数，必有A ∈2，22=a .……………4分（Ⅱ）必要性：由“n a a a ,,,21Λ成等差数列”及11=a ,22=a得),,2,1(n i i a i Λ==此时},,3,2,1{n A Λ=满足题目要求 从而)1(21321+=++++=n n n S A Λ. ……………6分 充分性：由条件知,21n a a a <<<Λ且均为正整数，可得),,,3,2,1(n i i a i Λ=≥ 故)1(21321+=++++≥n n n S A Λ，当且仅当),,3,2,1(n i i a i Λ==时，上式等号成立. 于是当)1(21+=n n S A 时，),,3,2,1(n i i a i Λ==，从而n a a a ,,,21Λ成等差数列. 所以“n a a a ,,,21Λ成等差数列”的充要条件是“)1(21+=n n S A ”. ……8分 （Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有12-n ，故当10=n 时，10231210=-， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求. 而用11个元素的集合}1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,,3,2,1Λ共2047个正整数.因此当2020=A S 时，n 的最小值为11. ……………10分 当2020=A S 时，n 的最小值为11.记102110a a a S +++=Λ则20201110=+a S 并且11101a S ≥+.事实上若11101a S <+，11111022020a a S <+=，则101011>a ，10101110<<a S ， 所以1010=m 时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020111110-≥+=a a S ，得2202111≤a ，*11N a ∈，所以101011≤a . 当101011=a 时}1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 满足题意所以当2020=A S 时，n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010. ……13分【若有不同解法，请酌情给分】。
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北京市石景山区2020届第一学期高三期末数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于； ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b ca ， 2sin 3sin BC ，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．C20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥，记12A n S a a a =+++，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.石景山区2020届第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．160-； 12．1； 13． 5；14．①③⇒② 或②③⇒①； 15. 14-； 16. ①② ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为 20πα<<，且53sin =α， 所以 4cos 5α==. ……………2分 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ……………5分 （Ⅱ）()()21cos sin cos 21cos sin cos 2-+⋅=-+=x x x x x x x f ……………8分 所以函数()x f 的最小正周期2ππ2T ==. ……………9分 由ππ3π2π22π+242k x k ,k +≤+≤∈Z ， 解得π5πππ+88k x k ,k +≤≤∈Z . ……………11分 所以函数()x f 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . ……………13分 )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x )42sin(22)2cos 2(sin 212122cos 12sin 21π+=+=-++=x x x x x解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. ……………1分每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==⋅-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==⋅-=，33311(3)()6216P X C ===， ……………5分所以X 的分布列为：……………6分（Ⅱ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A i (i ＝1，2)，则12905()()(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. ……………8分 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为12951()()144P A P A -= 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. ……………10分 （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .由（Ⅰ）知，的分布列为：Y 的数学期望为12551512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. ……12分 这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 ⊥PO AD . 又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以⊥PO CD . D CD AD =⋂，⊂CD AD ，平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD . ……………4分 （Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(P G D C B A O --，)3,0,1(),3,2,1(--F E ，)3,2,1(),0,2,0(-=-=EG EF ，设平面EFG 的法向量为),,,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,032,02z y x y令1=z ，则 )10,3(，=m ，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=n ，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ所以21||||cos ==n m n m θ. 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π. ……………9分（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6， 设]1,0[,∈=λλPA PM ，PA GP PM GP GM λ+=+=，所以))1(32,4,2(λλ--=GM . ……………11分所以76423,cos |6πsin2+->=<=λλm GM ， …………13分整理得02322=+-λλ，无解，所以，不存在这样的点M . ………14分20.（本小题14分）解：（Ⅰ）()xf x e a '=-， (1)分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ……………3分 当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …5分 （Ⅱ）令0x =，得1y =，则()0,1A ， …………6分因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-， …………7分 所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. ………9分 （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----，则()e 2x g x x '=-.令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-， 当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； …………11分 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->，即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()()01010g x g >=--=，………13分所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立． …………14分21.（本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ，可得24112a +=，解得28a =． …………2分 所以222826c ab =-=-=， …………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==． …………5分（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行． …………6分证明如下：由题意，设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--，设点A11,)x y （，B 22,)x y （， 由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得 22241)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=（， …………8分所以128(21)2+41k k x k -=+，所以21288241k k x k --=+，同理2228+8241k k x k -=+， 所以1221641kx x k -=-+， …………10分由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++， 有121228()441ky y k x x k k -=+-=-+，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上，所以121212AB y y k x x -==-，又12OP k =，故AB OP k k =，所以直线AB 与直线OP 平行． …………13分22. （本题13分）解:（Ⅰ）由条件知A S ≤1，必有A ∈1，又n a a a <<< 21均为整数，11=a . ……2分A S ≤2，由A S 的定义及n a a a <<< 21均为整数，必有A ∈2，22=a .……………4分（Ⅱ）必要性：由“n a a a ,,,21 成等差数列”及11=a ,22=a得),,2,1(n i i a i ==此时},,3,2,1{n A =满足题目要求 从而)1(21321+=++++=n n n S A . ……………6分 充分性：由条件知,21n a a a <<< 且均为正整数，可得),,,3,2,1(n i i a i =≥ 故)1(21321+=++++≥n n n S A ，当且仅当),,3,2,1(n i i a i ==时，上式等号成立. 于是当)1(21+=n n S A 时，),,3,2,1(n i i a i ==，从而n a a a ,,,21 成等差数列. 所以“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“)1(21+=n n S A ”. ……8分 （Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有12-n ，故当10=n 时，10231210=-， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求. 而用11个元素的集合}1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,,3,2,1 共2047个正整数.因此当2020=A S 时，n 的最小值为11. ……………10分 当2020=A S 时，n 的最小值为11.记102110a a a S +++=则20201110=+a S 并且11101a S ≥+.事实上若11101a S <+，11111022020a a S <+=，则101011>a ，10101110<<a S ， 所以1010=m 时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020111110-≥+=a a S ，得2202111≤a ，*11N a ∈，所以101011≤a .当101011=a 时}1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1{=A 满足题意 所以当2020=A S 时，n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010. ……13分【若有不同解法，请酌情给分】。
2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末数学
石景山区2019—2020学年第一学期高三期末试卷数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D. {}1,0,1,2,3-2. 复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中既是奇函数，又在区间01（，）上单调递减的是 A. 3()f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x =4. 已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-5. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6. 已知3log 4a =，πlog 3b =，c =a ，b ，c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A. 81B. 71C. 61D.519. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于； ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2． 其中，正确结论的个数是 A.0B. 1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 在62()x x-的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 12. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ．13. 已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =________.14. 已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____． 15. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=， 2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．16. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. （本小题13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若2π0<<α，且53sin =α，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.（本小题14分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，O G F E 、、、分别是AD BC PD PC 、、、 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．C20.（本小题14分）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．21. （本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．22.（本小题13分）已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<≥，记12A n S a a a =+++，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）求证：“n a a a ,,,21 成等差数列”的充要条件是“2)1(+=n n S A ”； （Ⅲ）若2020=A S ，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.。
北京市石景山区2019-2020学年第一学期高三期末试卷数学试题及答案和答题卡
解：（Ⅰ） X 可能的取值为 0 ，1， 2 ， 3 .
……………1 分
每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为 p 1 . 6
P(X
0)
C30(1
1)3 6
125 216
，
P( X
1)
C31
1 (1 6
1)2 6
75 216
，
P( X
2)
C32
(
1 6
)2
(1
（Ⅰ）证明:因为△ PAD 是正三角形， O 是 AD 的中点，所以 PO ^ AD .
又因为 CD ^ 平面 PAD ， PO Ì 平面 PAD ，所以 PO ^ CD .
AD Ç CD = D ， AD，CD Ì 平面 ABCD ，
所以 PO ^ 面 ABCD .
……………4 分
（Ⅱ）如图，以 O 点为原点分别以 OA 、 OG 、 OP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空
2
5
所以 cos
1 sin2
4
.
5
所以
f
4 5
3 5
4 5
1 2
28 25
1 2
=
31 50
.
（Ⅱ） f x cos xsin x cos x 1 cos x sin x cos2 x 1
11 22
ssiinn22ຫໍສະໝຸດ x……………1 分
当 a 0 时， f (x) 0 恒成立，所以 f (x) 在 R 上单调递增， ……………3 分
当 a 0 时，令 f (x) 0 ，解得 x ln a .
北京石景山区2019高三上学期年末考试-数学(理)
1 .设集合u1,2,3,4，A1,2 , B 2,4 ,则(脱 A)A.1,2B.2,3,4C.3,4D- 1,2,3,4若复数Z i,Z 23 i ，则 Z2()Z 1A. 1 3iB. 2 iC. 1 3iD- 3 iA C为平行四边形 ABCD 的一条对角线，unr AB uuur (2,4), AC uuur / (1,3),则 AD ' A. (2,4)B. (3,7)C. (1,1)D・(1, 1)A. 若m// ,n ,m n ，则B. 若m// ,n ,m n ，则 //C. 若m//,n,m//n ，则 ±D. 若m// ,n ,m//n ，则//5 .执行右面的框图，若输出结果为3,则可输入的实数 X 值的个数为（A. 1B. 2C. 3北京石景山区2019高三上学期年末考试-数学（理）高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.、选择题共8小题，每小题 3.2.6 .若从1,2,3,rg这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种7. 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的体积是（A. 8B. 43C. 2 D • 438. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为LK即I l . .给出如下四个结论：k 5n k n Z k o，'，2,3,4①2013 3 ；② 2 2；③Z 0 U 1 U 2 U 3 U 4；④整数a,b属于同一“类”的充要条件是a b °.其中，正确结论的个数为（）.A. iB. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9 .已知不等式组y *表示的平面区域S的面积为4，则a ;y x,x a右点P（x, y） S，贝"z 2x y 的取大值为-------------- . /B /"-■ - -%一" P10.如右图，从圆 °外一点p 引圆°的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心。
2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)-名校密卷
石景山区第一学期高三年级期末试卷数 学（理）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =D ．1y x=5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到 点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（ ） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）．10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．侧视图正视图俯视图12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其中a //b 的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==． 沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B '．直线B A '与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）B CAPDB ACP′ABCD已知函数2()11x f x x =++，2()(0)a xg x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的． （Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅+ ……1分sin 22x x =+ ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分 （Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分 当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分 即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分 （Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分 （Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =． X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '． 又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ． 因为CD 面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==．所以AC =CD 2AD =．所以222AC CD AD +=． 所以AC ⊥CD ．因为P A 'AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，AB ⊥如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C ()1,1,0，D ()0,2,0，P '()0,0,1．…………5分所以(1,0,0)AB =，(1,1,1)P C '=-．由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为AB 设(,,)n x y z =为平面P CD '的一个法向量，则0n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，再令1y =，得(1,1,2)n =．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅=6所以二面角A P D C '--的余弦值为6…………9分 （Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'=,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-． 由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =． 因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥，所以120BM n λ⋅=-+=，解得12λ=． 所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分 联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115m f =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分 因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a =-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分 （ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<， 所以函数()g x 在2[0,)a-上单调递增，在2(,2]a -上单调递减， 所以max 2224()()e g x g a a =-=． 由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分 此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0AA D∈-=-+-+-+-=∑ …………4分 （Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)A A D ∈-∑达到最大值， 所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122n n n n n n f C C n --+=-+-+-=-+= …6分 （ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集 则(1)A A D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)A A A A D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分现设''D 有l （k n l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集． ''11(1)(1)(1)111k Ak k k k n n n A D lC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()A k k n n A D f k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得011221()(1)(1)(1)(1)(1)kk ki i n n nn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑…13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
北京市石景山区2019届高三第一学期期末考试数学(理)试题
6.石景山区2019学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40 分）5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.则输出的x 的值为（B . 126C . 127、选择题共8小题，每小题1. 已知集合M x 2x 3 0，那么{ 1,0, 1}1}2. 复数3. {X 11}C .已知向量a(X ,1),(4 ,x)，则“ {X1}是“a // bA .充分不必要条件必要不充分条4. 5. C .充分必要条件已知数列为等差数列, ，那么数列通项公式为（执行如图所示的程序框图，若输入的既不充分也不必要条件X 的值为2 ,开始结束D . 128否12是6.y >& 3B（阴影部分）的概率为在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则Py .x 围成的区域内-1 • C1 2 3 47•用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A . 324B . 328C . 360D . 648&已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .第二部分（非选择题 共110 分）、填空题共6小题，每小题5分，共30分.x=1 2cos ,9.已知圆C 的参数方程为y 2sin ,（为参数）'则圆C 的直角坐标方程为圆心C 到直线l : x y 10的距离为 _______10.在 ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，若 a=6 , c 4 , cosB=1，则 b ____________x 1,11. 若x , y 满足约束条件 y 0 ,则z x y 的最大值为 _____________x y 2 0,12. 如图，已知在 ABC 中， B 90o , O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切 于点D , AD 2 , AE 1，则AB 的长为 _________________ ,CD 的长为 __________213.已知抛物线y 4x 的焦点为F ,准线为直线l ,过抛物线上一点 P 作PE l 于E ,若直线EF的倾斜角为150o ,则| PF | _______14. 已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线 PC 与BD 所成的角的度数为 ___________ ,当三2 3 4 5棱锥的体积取得最大值时，四棱锥P ABCD的高PA的长为_________ .三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数f(x) 2、、3sinxcosx cos2x 1 .(I)求函数的单调递增区间；(n)求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值.16.(本小题满分13分)北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在［85 ,100］之间为体质优秀；在［75 ,85)之间为体质良好；在［60 ,75)之间为体质合格；在［0,60)之间为体质不合格.现从某校高三年级的91356801122 3 3 370566796458300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下:44566779(I)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；5 6(n)根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人.(i)求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；(ii)记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望.17.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABC 90o, AD // BC，且PA AD 2 , AB BC 1 , E 为PD 的中点.(I)求证：CD 平面PAC ；(n)求二面角E AC D的余弦值；(川)在线段 AB 上是否存在一点 F (不与A ,B 两点重合)，使得AE //平面PCF ?若存在, 求出AF 的长；若不存在，请说明理由.18. (本小题满分13分)已知函数f(x) e x ax ( e 为自然对数的底数). (I)当a 2时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (n)求函数f (x)的单调区间；(川)已知函数f (x)在x 0处取得极小值，不等式f (x) mx 的解集为P ，若1M ｛x|— x 2｝，且MIP ，求实数m 的取值范围.219. (本小题满分14分)已知椭圆：()过点(2,0)，且椭圆的离心率为 (I)求椭圆的方程;uuir uuur(n)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且 MP PN ，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标20. (本小题满分13分)已知集合，对于数列中509 , (a i 1)2 107 ,则数列｛a n ｝中有多少项取值为零?50(I)若50项数列｛a n ｝满足a ii 1i 1(a i a1 a2 L a. , n N )（n）若各项非零数列｛a n｝和新数列｛b n｝满足d b i 1 a i 1（）.（i）若首项b i 0 ,末项b n n 1，求证数列｛b n｝是等差数列；（丘）若首项b i 0，末项b n 0，记数列｛b n｝的前n项和为&，求&的最大值和最小值.石景山区2019学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案、填空题共6小题，每小题5分，共30 分.（两空的题目第一空2分，第二空3分）三、解答题共6小题，共80分.15.（本小题共13分）解：(I) f(x)、、3si n 2x cos2x+12sin( 2x)+1 ,6随机变量X 的分布列为：2k 2x — 2 62k所以函数f (x)的单调递增区间为[k (n)因为 —4仝2sin(2x 所以当2x -6 16.(本小题共13分)2x6) 1，，即x= 3](k6 3 ，3 1帥“ 6)+17时，函数f(x)取得最小值解：(I)根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有 (n)依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为 1030 15:10 3: 2 .300=100人.11分13分3所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为5 5 3，从体质为优秀的学生中抽取的人数为(i)设“在选出的3名学生中至少有名体质为优秀”为事件 A ,C 3则 P(A) 1 3C；10 .故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为 10解：随机变量X 的所有取值为1 ,2,3 .P(X 1)普 10，P(X2)c ； c ；CT—,P(X 3) 10C；1012分所以,3 62 -10 •所以 ACD=90°，即 AC CD .又PAI AC A ，所以CD 平面PAC .AB , AD ,AP 所在直线分别为x , y , z 轴建立空间直角坐标系A xyz . ................... 5 分则 A(0,0, 0) , C(1,1,0),E(0,1,1) , P(0,0, 2),uuuuuur所以 AP (0,0,2) , ACuuu(1,1,0) , AE (0,1,1).uuu因为PA 平面ABCD ，所以AP (0,0,2)为平面ACD 的一个法向量.ir设平面EAC 的法向量为 n (x , y , z),ir uur ir uuu x y 0 由 q AC 0, q AE 0得y z 0 ,令 x 1 ,则 y 1 , z 1,ir所以n (1 , 1 , 1)是平面EAC 的一个法向量...... 8分10 ( 1) 0 1 2 2-1J 2( 1)212 23EX1010 1017.(本小题共14分) (I)证明:因为PA 平面ABCD , CD 所以PA CD .取AD 的中点G ，连结GC , 因为底面ABCD 为直角梯形，平面ABCD ,............. 1分所以四边形ABCG 为正方形，所以CG1AD ，且 CG = 1AD ，(n)解：如图，以 A 为坐标原点,ir uuu所以 cos m , AP13分AD // BC , ABC 90°，且 AB362因为二面角E AC D为锐角, 所以二面角E AC D的余弦值为-11 •(川)解：假设在线段AB上存在点 F (不与A , B两点重合)，使得AE //平面PCF •14分18.解: 间;uuu设F(a , 0, 0),则CF设平面PCF的法向量为uu uuur 由n2CF 0,ur uun巧CP(aur所以因为解得1，则yuun2 (1, aAE //平面1, 1,0),(x, y ,z),(axuuuCP1,2)•1)xy 2z1,|)是平面PCF的一个法向量.uuu uuPCF ,所以AE n20 ,即(a 1)所以在线段AB上存在一点F (不与A , B两点重合)(本小题共13分)(I)当a 2时，f(x) e x 2x , f(0) 1 , f (x) 所以曲线f (x)在点(0 , f (0))处的切线方程为y xf (x) e x a.12分，使得0时，f (x) 0恒成立，此时0 时，x ( , In a)时，f (x) 此时f(x)的单调递增区间为(l n a. (出)因为13分AE //平面PCF ,且AF = - •32, 得f (0)1,f (x)的单调递增区间为(, )，无单调递减区),单调递减区间为由题意知f (0) 0得a 1 ,经检验此时f (x)在xf (x) 0, (,In a).0处取得极小值.1 1M I P ，所以f(x) mx在［-,2］上有解，即x ［- ,2］使f(x) mx成立，…9分2 2• 12 •10分2.-13 •即x [!, 2]使m e —x 成立,2x所以 m (e x )mixmin・x令 g(x) - 1,xg(x )(X 1)e x2 ,x 所以 1g(x)在［丄，1］上单调递减，在［1,2］上单调递增,2则 g(x)min g(1) 12分 所以 m (e 1, +).13分19.(本小题共14分) 解：(I)因为点(2 ,0)在椭圆 C 上，所以 0 b 2 1,所以 a 24,因为椭圆 1 C 的离心率为一 2 所以- a寸，即2b 2 2a解得b 2 所以椭圆2xC 的方程为4(□)设 P( 1,y 。