高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件
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8.3.2球的内接与外切类型总结课件(人教版)
和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
球的接、切、截问题课件-2024届高考数学一轮复习
四面体放入一个长、宽、高分别为 x ， y ， z 的长方体中，并且 x 2＋ y 2
＝3， x 2＋ z 2＝5， y 2＋ z 2＝4.设四面体 A － BCD 的外接球的半径为 R ，
即长方体的外接球的半径为 R ，所以（2 R ）2＝ x 2＋ y 2＋ z 2＝6，即4 R 2
＝6.所以四面体 A － BCD 的外接球的表面积为4π R 2＝6π.
外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与
该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
返回目录
[对点训练]
（2023·长春一模）如图，两个全等的矩形 ABCD 与 ABEF 所在的平面互
相垂直， AB ＝2， BC ＝1， P 为线段 CD 上的动点，则三棱锥 P － ABE
的外接球体积的最小值为（
＝12，所以 r ＝
.所以截面的面积为π×
＝ .
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[拓展探究]
2. 已知直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1的棱长均为2，∠ BAD ＝60°，则
π .
以 D 1为球心、 5 为半径的球面与侧面 BCC 1 B 1的交线长为
总结提炼
与球截面有关的解题策略
（1） 定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如
则三棱锥 M － PAD 的外接球的表面积为（ C ）
A. 12π
B. 34π
C. 68π
D. 126π
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总结提炼
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方
法有如下几种：
（1） 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的
球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章 §7.2 球的切、接问题[培优课]
![2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章 §7.2 球的切、接问题[培优课]](https://img.taocdn.com/s3/m/bd31667dfd4ffe4733687e21af45b307e871f9ec.png)
思维升华
(1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果 是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. (2)正四面体的外接球的半径 R＝ 46a，内切球的半径 r＝126a，其半径 之比 R∶r＝3∶1(a 为该正四面体的棱长).
题型二 补形法
例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的
中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，
EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外
接球半径R与内切球半径r的比值为
A.2 3
√C.2 6
B.4 3 D. 6
跟踪训练 2 (1)在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ABC，
△ACD，△ADB 的面积分别为 22， 23， 26，则三棱锥 A－BCD 的外接球
的体积为
√A. 6π
B.2 6π
C.3 6π
D.4 6π
在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体， 两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径. 设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c， 由题意得 ab＝ 6，ac＝ 3，bc＝ 2， 解得 a＝ 3，b＝ 2，c＝1， 所以球的直径为 32＋ 22＋1＝ 6， 它的半径为 26，球的体积为43π× 263＝ 6π.
3 3和 4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
√A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为
与球有关的切、接问题教学课件(共19张PPT)——2022届高三数学一轮复习专题
2．与球的常见组合结论 1 正方体的内切球：R=___a____
（1）正方体与球：
②与正方体各棱相切的球：R＝
2
2a
2
③正方体的外接球：R＝
3a
2
(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
补形为长方体（正方体），利用体对角线长=外接球直径
a2 b2 c2 2R,即R a2 b2 c2 2
： 补 形 正 方 体
3
3
4
A
目的：通过作截面，转化为平面几何求解
三【高考考向】 考点1：多面体外接球 例1（ 2019年全国1卷理12） 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E,F分别
是PA,AB的中点，CEF 90 ,如图所示，则球O 的体积为（D ）
C.20
补形为长方体，求外接球 P
D.24
直接找球心
P
P
O
2
2
B
A
4
C
2
2
A
2
4
2
B
jB
A
4
C
C
考点2：旋转体内切球 已例知2圆（ 锥20的20底全面国半卷径III理为115，）母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___32___
分析：易知半径最大球为圆锥的内切球，
A
找球与圆锥内切时的轴截面。
正方体）
3.加强空间想象力，作图是关键。
注意 分析 探索 图形 特征及 特征 量转 化。
作业： 《多面体与球专项训练》 （十八）
谢谢
性质三：球心到截面的距离 d
与球的半径R
截面的半径r,
P
有以下关系：
高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件
)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面
高考数学一轮总复习第七章立体几何专题突破13球的切接问题课件
2
2
足 = +
ℎ2
.
4
考点一 长（正）方体的外接球
2 6
例1 正四面体的所有顶点都在表面积为36π 的球面上，则该正四面体的棱长为_____．
解：如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，正四面体为 − 1 1 .设
球的半径为，则4π2 = 36π ，解得 = 3.所以1 = 6,则正方体的
2
+ 4 +1− 2
4
3
1−
3
=
4
3
2
棱长为2 3.所以正四面体的棱长为1 = 2 6.故填2 6.
【点拨】①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线
长的一半．②可以补成长方体的一些特殊三棱锥如下,上面讲到的“共斜边直角三角形
所成三棱锥”也可算作其中1种，据此可确定球心.
图形特征
图示
三棱锥的三条侧棱两两
三棱锥的四个面均是直
[2 2, 2 3]
正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是___________．
解：设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每
个顶点，所求球的半径最大.外接球直径
2′ = 1 = 42 + 42 + 42 = 4 3，则′ = 2 3，故max = 2 3.
sin ∠
=
3
3
2
= 2 3，
可得 = 3.
设三棱锥 − 的外接球球心为，连接,1 ，则 = 2,
1 =
1
.由2
2
=
12
+ 1
2 ，得4
=
1
2
4
+ 3，解得 = 2.故填2.
2
足 = +
ℎ2
.
4
考点一 长（正）方体的外接球
2 6
例1 正四面体的所有顶点都在表面积为36π 的球面上，则该正四面体的棱长为_____．
解：如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，正四面体为 − 1 1 .设
球的半径为，则4π2 = 36π ，解得 = 3.所以1 = 6,则正方体的
2
+ 4 +1− 2
4
3
1−
3
=
4
3
2
棱长为2 3.所以正四面体的棱长为1 = 2 6.故填2 6.
【点拨】①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线
长的一半．②可以补成长方体的一些特殊三棱锥如下,上面讲到的“共斜边直角三角形
所成三棱锥”也可算作其中1种，据此可确定球心.
图形特征
图示
三棱锥的三条侧棱两两
三棱锥的四个面均是直
[2 2, 2 3]
正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是___________．
解：设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每
个顶点，所求球的半径最大.外接球直径
2′ = 1 = 42 + 42 + 42 = 4 3，则′ = 2 3，故max = 2 3.
sin ∠
=
3
3
2
= 2 3，
可得 = 3.
设三棱锥 − 的外接球球心为，连接,1 ，则 = 2,
1 =
1
.由2
2
=
12
+ 1
2 ，得4
=
1
2
4
+ 3，解得 = 2.故填2.
球的内切与外接问题讲课
综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆 半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结 合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半 径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆 的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等， 且每条边与内切圆相切。由此可推导出内 切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其 外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造 一个包含该正四面体的正方体来求解 。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之 和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的 正方体，则该正方体的体对角线长等 于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的 外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。
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一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 2 7 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
D
B. 6 2
C
C. 6 8
D. 6 24
P
A
E
B
D
C
E
图3
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
2、构造长方体 已知A 点BA、6,BA 、C = C2 、1 D3 在,A 同D 一=8个，球则面B上、，CA 两B点间平 的面 A 球BC 面D距离B是C34 D C.
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， D 平 A A， 面 B A C B B ,D C A A B B C 3 则球O的体积等于
9
2
D
A
O
A
B
图4 C
O C
P
B
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
二、构造法 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
D C
求正方体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
2、在等腰梯形ABCD中，A B 2D C 2, DA 6B 0， 0 E为AB的中点，将AD与 EBEC 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ C ）
A. 4 3 27
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 1 4 ，故球的表面积为1 4 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 1 6 B. 2 0 C. 2 4 D. 3 2
一、 球体的体积与表面积
B.125 9
C .125 6
D.125 3
D
AO
C
图4 B
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
四、公式法
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
五、构造直角三角形 例13、求棱长为1的正四面体外接 球的体积．
解：S设 O 1是正四S面 A体 BC的 D高，外接球 O在的 SO 1上 球， 心设外接球 R,A半 O 1径 r, 为
球与多面体的内切、外接
球的半径r 的棱长a有什么关系？
.r
a
如果一个多面体的各个顶点都在同一个
球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球.有关多 面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用.
D. 1: 8: 27
A
D1 A1
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。 S乙 4 R22 =2
棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
球与棱柱的组合体问题 高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（公开课课件） 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
O B
C D 图 5
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
三、确定球位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
A.125 12
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D
C 求正多面体外接球的半径
高三一轮复习 《球的内切和外接问题》教学课件（ 公开课 课件）
二、球与①多V面球体的43接、R切3
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
66x433,x2h,hx
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 Rr2d21, V 2球43 .
d
3 2
小结 本题是运用公式 R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．