扩展的欧几里得之中国剩余定理

扩展的欧几里得&中国剩余定理
扩展的欧几里得（EXTENDED-EUCLID）
一、假设：
对于给定的整数a和b，它们满足方程：ax+by=d=gcd(a,b)，求出整系数x，y
二、推理：
ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx+(a-(int)a/b*b)y=ay+b(x-(a-(int) a/b*y)
三、扩展的欧几里得算法：
1int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
2 {
3int ret, tmp；
4if (!b) {
5 x = 1; y = 0; return a;
6 }
7 ret = extended_gcd(b, a % b, x, y);
8 tmp = x;
9 x = y;
10 y = tmp - a / b * y;
11return ret;
12 }
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四、应用：
1、求解模线性方程：ax≡b (mod n)
定理一：设d=gcd(a,n)，用扩展欧几里得算法解线性方程ax'+ny'=d.如果d|b,则方程axºb(mod n)有一个解的值x0=x'(b/d)mod n
定理二：方程axºb(mod n)有解（即存在d|b,其中d=gcd(a,n)),x0是该方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的解，分别为
x(i)=x(0)+i(n/d)(i=1,2,...d-1)
//用扩展欧几里得解模线性方程ax=b (mod n)
bool modularLinearEquation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=Extended_Euclid(a,n,x,y); //ax=b (mod n) 等价于ax+n y=b
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n;
for(i=1;i<=d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
return true;
}
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2、求乘法逆元：ax≡1（mod n）
ax≡1（mod n）等价于ax+ny=1=gcd(a,n)，调用
extended_gcd(a,n,&x,&y)，并当公约数ret=1时，x%n即为a的乘法逆元。

中国剩余定理（CRT）
一、背景介绍：
在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），
问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

具体解法分三步：
1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。

2、用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相
加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

3、用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。

这个余数23就是符合条件的最小数。

二、形式化解释：
假设x是那个未知数，而除3，5，7后的余数分别为r1，r2，r3。

因此有
x≡r1(mod 3)
x≡r2(mod 5)
x≡r3(mod 7)
第一步：就是找除了r[i]之外的所有余数r[j](j≠i)的乘积（最小公倍数）；
第二步：在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

（定理：如果a%b=c，那么(a*k)%b=kc (k为大于零的整数)）
第三步：n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解，故最小解应是该解的等价类。

注：中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数，不管是不是最小的，如果不是最小的就不断减公倍数，中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加。

三、典型问题：输入b[i],r[i]（分别为除数和余数）求a（被除数）, i∈[1,n]
四、形式化定义：
x≡r[1]（mod b[1]）
x≡r[2]（mod b[2]）
︰
x≡r[n]（mod b[n]）
设m[i]是除了b[i]的所有数的乘积
m[i]=b[1]*b[2]*...*b[i-1]*b[i]...*b[n]，
定义c[i]=m[i]（m[i]¯1 mod b[i]）； //第一、二步就是求c[i]
则有a≡∑a[i]*c[i] （mod M）; M=∏b[i] //第三步
五、典型题目：猪的安家
Andy和Mary养了很多猪。

他们想要给猪安家。

但是Andy没有足够的猪圈，很多猪只能够在一个猪圈安家。

举个例子，假如有16头猪，Andy建了3个猪圈，
为了保证公平，剩下1头猪就没有地方安家了。

Mary生气了，骂Andy没有脑子，并让他重新建立猪圈。

这回Andy建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去，
然后Andy又建造了7个猪圈，但是还有2头没有地方去。

Andy都快疯了。

你对这个事情感兴趣起来，你想通过Andy建造猪圈的过程，知道Andy家至少养了多少头
猪。

输入
输入包含多组测试数据。

每组数据第一行包含一个整数n (n <= 10) – Andy建立猪圈的次数，解下来n行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示Andy 建立了ai个猪圈，有bi头猪没有去处。

你可以假定(ai, aj) = 1.
输出
输出包含一个正整数，即为Andy家至少养猪的数目。

样例输入
3
3 1
5 1
7 2
样例输出
16
代码如下：
1 #include<stdio.h>
2int main()
3 {
4int M,Mn,result;
5int r[10],b[10],i,j,n;
6while (~scanf("%d",&n))
7 {
8 result=0;
9 M=1;
10for(i=0;i<n;i++)
11 {
12 scanf("%d %d",b+i,r+i);
13 M*=b[i];
14 }
15for(i=0;i<n;i++)
16 {
17 Mn=M/b[i];
18for(j=1;(Mn*j)%b[i]!=1;j++); //求乘法逆元，也可以用上面的扩展欧几里得算法
19 result+=Mn*r[i]*j;
20 }
21 printf("%d\n",result%M);
22 }
23return0;
24 }
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参考：POJ1006: 中国剩余定理的完美演绎。