中国剩余定理
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理
扩展欧几里德定理
看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒， 郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给他 们出了一题：
“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数
之剩三：七七数之剩二。问物几何？”
黄蓉天资聪慧，哪里难得住她，她略微思考，答：23。
大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出这道 题的呢？
现在人的解法：
用各除数的“基础数”法解。
基础数的条件：
（1）此数必须符合除数自身的余数条件；
（2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。
第一步： 求各除数的最小公倍数 ［3，5，71）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵ 1× 3＝ 3 21×3＝［63］ （3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵ 1× 2＝ 2 ∴15×2＝［30］
其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
一、剩余问题 在整数除法里，一个数同时除以几个 数，整数商后，均有剩余；已知各除数及 其对应的余数，从而要求出适合条件的这 个被除数的问题，叫做剩余问题。
古代人的解法：
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩 一，则置二十一；七七数之剩一则置十五； 一百六以上，以一百零五减之即得。 依定理译成算式解为： 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23
第三步： 求各基础数的和 35+63+30＝128 第四步： 求基准数（最小的，只有一个） 128-105=23 第五步： 求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数）
中国剩余定理
m1 3
m2 5
取
M1 1
M2 1
M3 1
则唯一解为
x 35 (1) 2 211 3 15 1 2 (mod 105) 23
例2 求最小的正整数 n, 使得 n 被 3,5,11 除的 余数分别是 2,3,5
解 对 x 2(mod 3),x 3(mod 5), x 5(mod 11)
x bk (mod mk ) 则 (*) 有解 (mi , m j ) | ai a j
(*)
x 2(mod 3), x 3(mod 5), x 2(mod 7)
a 2 (mod 3), a 0 (mod 5), a 0 (mod 7) b 0 (mod 3), b 3 (mod 5), b 0 (mod 7) c 0 (mod 3), c 0 (mod 5), c 2 (mod 7)
设 因此
g i ( x) (ai a1 )(ai ai 1 )(ai ai 1 )(ai an )
( x a1 )( x ai 1 )( x ai 1 )( x an )
中国剩余定理的代数表示 设 m 1, 则
m 的标准分解式为 m p1 p2 ps
习题
求解 f ( x) 0(mod 35)
f ( x) x 2 x 8 x 9
4 3
1 求最小的正整数 n,使得它的 是一个平方数, 2 1 1 是一个立方数, 是一个5次方数. 3 5
广义的中国剩余定理 设
x b1 (mod m1 ), x b2 (mod m2 ),
(mod 60)
求解
f ( x) 0(mod m)
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它提供了求解一类线性同余方程组的方法。
所谓线性同余方程组，是指一组形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ an (mod mn)的方程，其中x是未知数，a1, a2, …, an是已知数，而m1, m2, …, mn是不同的正整数。
中国剩余定理的内涵是：当所给线性同余方程组的模m1, m2, …, mn 两两互素时，存在唯一解x ≡ X (mod M)，其中X是x的一个解，而M = m1 * m2 * … * mn。
简单来说，中国剩余定理告诉我们，当模数两两互素时，我们可以通过对每个方程求解，再通过一定的运算，得到原方程组的解。
中国剩余定理的应用非常广泛，特别是在密码学和计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数进行加密和解密时，可以使用中国剩余定理来进行模运算，从而快速计算得到加密后的结果。
此外，在计算机科学中，中国剩余定理也常用于优化算法和并行计算。
由于中国剩余定理能够将一个大问题拆分成多个小问题并行求解，因此可以显著提高计算效率。
总之，中国剩余定理作为数论中的重要定理，不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的实际应用。
通过它，我们可以快速求解线性同余方程组，加密和解密数据，优化算法等，从而提高计算效率和保护数据安全。
中国剩余定理
汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。
又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。
计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。
一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。
未知”。
原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。
问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。
孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。
因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。
1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。
明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。
除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。
意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。
在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。
例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。
中国剩余定理计算过程
中国剩余定理计算过程摘要：一、引言二、中国剩余定理的概念与基本原理1.定义2.基本原理三、中国剩余定理的计算过程1.确定方程组2.求解模数3.计算解四、实例演示五、中国剩余定理的应用与意义1.在数论中的运用2.在密码学中的作用六、总结与展望正文：一、引言在中国数学史上，剩余定理是一项重要的成果。
它起源于古代数学家对分数问题的研究，经过一系列的发展，最终形成了现在我们所熟知的中国剩余定理。
本文将详细介绍中国剩余定理的计算过程及其在实际应用中的重要性。
二、中国剩余定理的概念与基本原理1.定义中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的结果，它可以用来求解一组同余方程。
设m1、m2、…、mk 为正整数，a1、a2、…、ak 为整数，且gcd(m1，a1)=1，gcd(m2，a2)=1，…，gcd(mk，ak)=1，则同余方程组x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)…x ≡ ak (mod mk)有唯一解x0，且x0 ≡ ai (mod mi)，其中i=1，2，…，k。
2.基本原理中国剩余定理基于以下两个原理：（1）同余方程的解具有唯一性；（2）同余方程的解可以通过模线性方程组求解。
三、中国剩余定理的计算过程1.确定方程组给定同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)…x ≡ ak (mod mk)首先确定方程组中的模数mi（i=1，2，…，k）。
2.求解模数根据同余方程组的性质，我们可以通过求解模数来进一步求解原方程组。
求解模数的过程如下：（1）计算mi 与m1、m2、…、mk 的最大公约数，记为d；（2）求解x ≡ 0 (mod mi)；（3）计算x0 = mi × (a1 × d / mi + a2 × (d / m2) + … + ak × (d / mk))；（4）检验x0 是否为方程组的解，若为解，则求解完毕；若不是解，则继续求解。
第8章中国剩余定理和RSA算法
8.4中国剩余定理
定理1-10中国剩余定理 (CRT：Chinese Remainder Theorem) 设m1,m2,…，mk是两两互素的正整数，即： (mi,mj)=1，i≠j，i, j=1,2,…，k，则同余方 程组：
X≡b1 mod m1 X≡b2 mod m2 …… X≡bk mod mk
但Diffie-Hellman的开创性论文却引起了美国麻 省理工学院（MIT）的年青教授Ron Rivest对公 钥加密技术的极大兴趣，他下决心要开发一个 最终的公钥加密技术。于是他邀请两位同事Adi Shamirt和 Len Adleman一起来解决这个问题。 1977年，三人开发出了一个能够真正加密数据 的公钥加密算法，并于1978年在一篇题为“A Method for Obtaining Digital Signatures and Public Key Cryptosystems(获取数字签名和公钥 加密系统的方法)”中公开了这个算法，这就是 著名的RSA算法（以三位发明者名字的首字母 缩写命名）。 RSA先后被ISO、ITU、SWIFT等国际化标准组 织采用作为标准。
课后习题： 1.韩信点兵的故事。今有兵员不知其数，每五个数 之，剩下1人；每六个数之，剩下5人；每七人数 之，剩下4人；每十一人数之，剩下10人，问兵 员多少？ *编写中国剩余定理算法程序。 2.什么是单向陷门函数？ 3.P201 9.2 a, b 9.3
用数学方法攻击RSA的途径有以下三种： 分解n为两个素因子。这样就可以计算出φ(n)= （p-1）（q-1），从而可以确定 d≡e-1(mod φ(n))。 直接确定φ(n)而不先确定p和q。 直接确定d，而不先确定φ(n)。 对RSA的密码分析的讨论大都集中于第一种攻击 方法，即分解n。在选择RSA的n时，密钥大小在 1024至2048位范围内是合适的。
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中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.▪主理想整环.▪一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。
比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。
交换环上推广主理想整环设R是一个主理想整环，m1, m2, ... , m k是其中的k个元素，并且两两互质。
令Mm1m2...m n为这些元素的乘积，那么可以定义一个从商环R/M R映射到环乘积R/m1R × …× R/m k R的同态：并且是一个环同构。
因此的逆映射也存在。
而这个逆映射的构造方式就如同中国剩余定理构造一元线性同余方程组的解一样。
由于m i和M i=M/m i互质，所以存在s i和t i使得而映射就是的逆映射。
也是一个主理想整环。
将以上的R换成，就能得到中国剩余定理。
因为一般的交换环设R是一个有单位元的交换环，I1,I2, ... ,I k是为环的理想，并且当时，，则有典范的环同构：数论相关数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。
初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。
高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。
它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。
此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。
本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。
初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互反律，勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。
例题解析例一：一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？采用通用的方法：逐步满足法把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
例二：一个数除以5余1，除以3也余1。
问这个数最小是多少？（1除外）特殊的方法：最小公倍法除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数减去1后是15，所以这个数是15+1=16.例三：一个数除以5余4，除以3余2。
问这个数最小是多少？这种情况也可以用最小公倍法。
数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。
数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。
所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14。
多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。
例四：有1个数，除以7余2．除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？除以7余2的数可以写成7n+2。
7n+2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（乘数之余等于余数之乘），则n最小取6。
所以满足“除以7余2，除以8余4”的最小的数是7×6+2=44，所有满足“除以7余2，除以8余4”的数都可以写成44+56×m。
要求44+56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。
（加数之余等于余数之加）56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（乘数之余等于余数之乘），则m最小取2。
所以满足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44+56×2=156。
例五：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
除以3余2和除以7余2的数可以写成21n+2。
21n+2除以5余3，要求21n除以5余1。
21n除以5余1，21除以5余1，要求n除以5余1（乘数之余等于余数之乘），则n最小取1。
所以满足“除以3余2，除以5余3，除以7余2”的最小的数是21×1+2=23。
标准解法：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算)。
即15÷7=2 (1)21÷5=4 (1)70÷3=23 (1)再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加，15×2+21×3+70×2=233. (将233处用i代替，用程序可以求出)最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.233÷105=2 (23)这个余数23就是合乎条件的最小数.例六：一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少?题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。
看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。
不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。
这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。
46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172例7：一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生?题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。
没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加7，直到所得的数除5余3。
得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”4+7=1111+7=1818+35=53。