秦九韶与中国剩余定理
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
数书九章中华之光——宋代数学家秦九韶小记
秦九韶，字道古。
宋宁宗嘉定元年（1208）三月，出生于普州（今四川省资阳市安岳县）天庆观街“秦苑斋”的一个书香门第、仕宦之家。
秦九韶之祖父秦臻舜，宋高宗绍兴三十年（1160）进士及第，官至通议大夫（正四品）。
父亲秦季槱，宋光宗绍熙四年（1193）进士及第，累仕显谟阁直学士（从三品）。
秦臻舜父子，同治春秋，政声亦佳。
秦九韶之祖母和母亲，均出于书香门第。
秦九韶出生于如此书香之家，受到长辈之熏陶，接受良好家庭教育。
加之，秦九韶生活在父亲结交的忠臣良相、儒雅之士挚友圈中，师长之关爱教诲，为秦九韶之健康成长培植了优良环境。
嘉定九年（1216）秋，秦九韶随祖母、母亲离开普州，与知巴州军州事之父亲团聚。
嘉定十二年（1219），兴元军士权兴等兵变犯巴州，守臣秦季槱失巴州。
第二年，秦季槱出任工部郎中。
秦九韶随父至临安，开始了“早岁侍亲中都，因得访习于太史”之励志年华。
宋理宗宝庆元年（1225）六月，秦季槱知潼川府军州事，秦九韶随之。
秦九韶后擢升郪县县尉，24岁蟾宫折桂。
宋理宗端平元年（1234）冬，秦九韶赴临安任国史院校正。
端平三年（1236）正月，秦九韶任蕲州通判。
第二年，擢升和州军州事。
后相继任职淮南西路、两浙路和广南东路、广南西路。
宋理宗景定二年（1261）七月，秦九韶知梅州军州事，宋度宗咸淳四年（1268）三月卒于梅州。
终年59岁。
数书九章 中华之光——宋代数学家秦九韶小记 文/李青春（四川省安岳县地方志办公室主任）秦九韶身处宋金、宋蒙战争乱世，仕途坎坷。
他酷爱数学，虽置身政治，但对数学研究从未放弃。
在政务之余，广泛收集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分类研究。
宋理宗淳祐四至七年（1244—1247），秦九韶利用为母守孝的宝贵时光，把长期积累之数学知识及研究所得予以整理编辑，写出中外闻名巨著《数书九章》。
早在汉、魏之间，《孙子算经》就提出了一个有名的数论科学算题，即某数除以8余7、除以5余3、除以7余2，求某数。
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中国剩余定理文章-回复中国剩余定理是一个数论中重要的定理，它被广泛应用于密码学、计算机科学以及通信等领域。
本文将以"中国剩余定理"为主题，详细介绍这一定理的含义、原理和应用。
一、引言中国剩余定理是古老而又精妙的数论问题之一。
它最早由我国古代数学家孙子所发现，被称为“孙子定理”。
孙子定理后来由中国数学家秦九韶进行了更加深入的研究和推广，因此也被称为“秦九韶定理”。
后来，西方的数学家们将其命名为中国剩余定理。
中国剩余定理是一个非常重要的数论定理，它解决了模运算中的一类复杂问题，并得到了广泛的应用。
二、数论的基本概念在介绍中国剩余定理之前，我们先了解一些基本的数论概念。
在数论中，我们经常碰到关于求余数的问题。
例如，当我们把一个数除以3时，有可能余数是0、1或2。
这种情况下，我们可以用数学符号表示为a ≡b (mod n)，其中a是被除数，b是余数，n是模数。
如果两个数满足这个关系，我们称它们是模n同余的。
三、中国剩余定理的原理中国剩余定理是一种基于同余关系的数论定理，它可以用来解决模n同余的问题。
具体而言，中国剩余定理告诉我们，如果给定了一组两两互质的模数，那么可以通过求解模数的一组同余方程来得到原方程的解。
换句话说，中国剩余定理帮助我们将原问题转化为一组相对简单的方程。
四、中国剩余定理的应用中国剩余定理在密码学和计算机科学中得到了广泛应用。
例如，在RSA 公钥加密算法中，中国剩余定理被用来加速密钥生成和解密过程。
在RSA 算法中，需要对大素数进行模n同余的计算，中国剩余定理的应用大大提高了计算效率。
此外，中国剩余定理还被用于解决模运算的扩展问题。
例如，我们可以利用中国剩余定理来求解模4、模3和模5的同余式，并得到一组解，用于解决一些问题。
中国剩余定理的应用不仅仅限于数论领域，在通信技术、电路设计等方面也有重要的应用。
五、范例让我们通过一个简单的例子来进一步理解中国剩余定理的应用。
中国剩余定理论文
用秦九韶方法证明中国剩余定理摘要：大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。
宋代数学家秦九韶在《数书九章》（1247年成书）中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。
秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。
秦九韶的方法，正是前述的中国剩余定理。
关键词：同余式大衍求一术计算步骤剩余定理英文文摘：Big yan problem stems from "the grandson is the" in "thing don't know the number of questions:" today there are things that I do not know its number, since the number of remaining two, three of those Numbers, the number of remaining 2 groups, ask thing?" This is modern number theory to solve a congruence equations. Qin Jiushao song dynasty mathematicians in the number of book chapter nine > book (1247) in the solution of such problems in system, and call it the big yan asked a. Qin Jiushao explicitly in "the number" nine chapter systematically described the general calculation steps of solving a congruence group. Qin Jiushao method, it is the Chinese remainder theorem前言：秦九韶所创造的“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。
数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介
数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介秦九韶(1208年-1261年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)。
南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
秦九韶提出的秦九韶算法是中世纪的数学泰斗。
下面是店铺为你搜集数学家秦九韶简介的相关内容，希望对你有帮助!数学家秦九韶简介作为著名数学家秦九韶来说，他并不是一出生就是数学家，而是凭借着自己对数学方面的喜好和勤奋好学。
在他小时候就很是聪敏勤学，宋绍定四年的时期，秦九韶考中进士，他每每在政务之余，就会对数学进行潜心钻研。
除此之外，他还喜欢广泛的搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析和研究。
他曾在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。
被称为“中国剩余定理”。
而其中他所论的“正负开方术”，还被称之为“秦九韶程序”。
他之所以能够成为著名的数学家，跟他的父亲是有密切联系的。
当时他的父亲担任工部郎中和秘书少监的期间，正好是他努力学习和积累知识的时候。
而他的父亲正好掌管营建，以及图书，在他的下属机构还设有太史局，因此，他便有机会阅读大量典籍，同时还可以拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题。
此外，他又曾向“隐君子”学习数学，向著名词人李刘学习骈俪诗词，并达到较高水平。
秦九韶算法秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。
在西方则被称作霍纳算法。
它也是中国古代著名和伟大的数学家、中世纪的数学泰斗---秦九韶的算法理论之一。
秦九韶算法具体是将一种将一元n次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法。
它的解答方法大大简化了整个的计算过程，即便是在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。
而“秦九韶算法”的主人公则是著名人物秦九韶。
他是南宋末年人，出生帝是在鲁郡。
早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，便跟随父迁徙。
奇人秦氏九韶 奇书《数书九章》 首创“大衍求一” 媲美《九章算术》 “正负开方”两术 誉称两部九章
78 \China Science & Technology Education Column专 栏［中国科技教育史话］奇人秦氏九韶奇书《数书九章》首创“大衍求一”媲美《九章算术》“正负开方”两术誉称两部九章 王渝生，中国科学院理学博士，教授，博士生导师，国家教育咨询委员会委员，中国科普产学研创新联盟副理事长，中国科学院自然科学史研究所原副所长，中国科学技术馆原馆长，北京市科学技术协会原副主席。
2020年6月5日，经实施四川历史名人文化传承创新工程领导小组会议审议通过，确定文翁、司马相如、陈寿、常璩、陈子昂、薛涛、格萨尔王、张栻、秦九韶、李调元（按年代排序）10位为第2批四川历史名人。
其中，南宋数学家秦九韶（1208—1268）因其数学名著《数书九章》（1247）而入选。
2天后，6月7日，我约当年《秦九韶籍贯考》考证秦氏为四川安岳人的内江市原副市长邵启昌同赴安岳秦九韶纪念馆考察，受到安岳县人大常委会副主任谢贻奎等领导热情接待。
回想1987年在北京师范大学举行的“纪念秦九韶《数书九章》成书740周年国际学术研讨会”（国内又称“全国第一次秦九韶学术研讨会”）上，当时尚为四川省内江市数学教师的邵启昌的论文《秦九韶籍贯考》，力排“鲁郡”山东、河南范县或陕西“秦凤间”的误传，一锤定音，确定了秦九韶是四川普州即今安岳县人。
2000年，我们参与组织了“秦九韶纪念馆落成典礼暨全国第二次秦九韶学术研讨会”。
当时我请中国科学院院长路甬祥题写的馆名“秦九韶纪念馆”还悬挂在纪念馆大门上，我撰文的碑刻《秦九韶其人其书》和邵启昌撰文的碑刻《数书九章 中华之光》仍在纪念馆大厅内秦九韶塑像两侧，迄今已整整20年了。
现在秦九韶纪念馆已被命名为四川省爱国主义教育基地、四川省科普教育基地和四川师范大学数学史教育研究基地，每年前来参观的青少年学生和外地游客络绎不绝。
秦九韶从小生活在家乡安岳，进士出身的父亲秦季槱是一位学识渊博、办事极为认真的知识分子，他对孩子因材施教，特色教导，助推秦九韶稳步成长。
中国剩余定理
中国剩余定理最近在看中国古典数学，对秦九韶的⼤衍术求解⼀次同余⽅程组颇有些⼼得体会，记录⼀下，以免忘记。
⼀次同余⽅程组的解法现在被称为中国剩余定理，即是对我国古代数学家在同余⽅程组求解⽅⾯的杰出贡献的⼀种肯定。
这种⽅法，源于我国古代天⽂历法的推算，由于历代封建统治阶级都把天⽂历算奉为天机，其推算⽅法被称为内算，从不外传，因此很难在流传的算书中找到记载，直到南宋时期秦九韶集前⼈之⼤成，系统⽽全⾯的把⼀次同余⽅程的解法记录在他的著作《数书九章》中。
秦⽒称⾃⼰的解法为⼤衍总数术，现在所说的中国剩余定理只是其中的⼀个主要部分，即当模数两两互素时候的求解⽅法。
秦⽒所研究的问题相当于把模数推⼴到任意有理数的情形，从理论⾓度⽽⾔，唯⼀美中不⾜的是他没有谈到⽅程是否有解的判定，这与中国传统数学重视应⽤⽽忽视理论严密性的习惯有关。
然⽽这⼀点瑕疵丝毫不能掩盖秦⽒在算法设计⽅⾯的杰出贡献，其设计的算法在今天看来仍然是漂亮⽽⾼效的。
在⼤衍术中，秦⽒创造了两个解决⼀般同余⽅程组的主要算法，其⼀是化任意模数为两两互素模数的算法，其⼆就是求解两两互素模数的同余⽅程组的核⼼算法——⼤衍求⼀术。
⼤衍求⼀术的精妙之处在于它可由更相减损术⾃然扩展⽽得，其计算过程简洁巧妙，完全符合现代计算机对算法设计的要求。
⽽对于化任意模数为两两互素模数的算法，秦⽒没有给它命名，因其计算过程要⽐求⼀术复杂得多，甚⾄于后⼈对该算法的理解仍有诸多分歧，因此也有⼈认为秦⽒这⼀算法是不够准确和完美的，并提出了改进的算法。
然⽽，撇开该算法的完美性不说，就这个算法所解决的问题⽽⾔，它恐怕也是⾄今为⽌唯⼀⼀个有效的算法，因为它提供了⼀种不通过分解质因数的⽅式化简N个数为两两互素的⽅法。
我们知道，对于⼤整数的质因数分解，到现在为⽌也还没有⼀个好的算法能做到。
该算法经过后⼈整理，可以简单描述如下（仅限于整数情形，分数、⼩数情形秦⽒也有算法将其转化为整数情况）：第⼀步：两两连环求等（最⼤公约数），约后不约前。
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理导言：本文将介绍中国古代最完美和最值得骄傲的数学成果“中国剩余定理”，希望能有更多的读者和学生能重视我们国家的传统文化，并通过对中国剩余定理的了解和学习喜欢上数论。
在中外几乎每一本基础数论的教课书中，都会介绍一个被称之为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）的知识。
在我的印象里，自己是在小学四五年级的时候接触到这个知识的，并知道如何去应用它，但要等到初中后才真正明白其原理。
中国剩余定理是中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果，它是中国对世界数学思想史的重要贡献。
但很遗憾，现在的孩子大部分都已经不学这部分知识。
距我当年学习这部分内容已经近三十年了，我不知道我们的数学教育到底出了什么问题。
那么，今天我们就来了解和学习一下这个数论中的著名定理“中国剩余定理”。
第一部分：问题的起源中国剩余定理起源于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，因此又名“孙子剩余定理”。
《孙子算经》，中国南北朝数学著作，《算经十书》之一。
全书共分三卷：上卷详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法；中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内；下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。
下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为“中国剩余定理”。
经考证，《孙子算经》的作者与《孙子兵法》的孙武并非同一人。
“中国剩余定理”在古代有“韩信点兵”、“鬼谷算”、“求一术”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”、“孙子定理”之名，是数论中主要命题，它不仅在抽象代数理论中有相应的推广，也被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明、快速傅里叶变换理论等。
首先，引述《孙子算经》中“物不知数”的原文：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。
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秦九韶与中国剩余定理报告人：宋文法一、前言：中国人的三大发明：指南针、造纸术及火药，影响整个世界既深且广。
中国古代的数学成就，更是在整个世界的数学知识历史发展中，占有举足轻重的角色，甚至是领先外国发现很久很久的，除了商高定理、圆周率的逼近、刘徽的极限割圆术，还有中国人的中国剩余定理，而谈到这个世界闻名的数论问题，更不能不谈南宋末年秦九韶的贡献。
二、自小勤奋好学的秦九韶：秦九韶（1202--1261年），南宋末期人物。
秦九韶性敏慧，勤奋好学，幼年随父居中都（今北京），受到名师指导，学习日益增进，在建筑方面也极有才能。
宋朝绍定四年（公元1231年），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、司农、寺丞等职。
他虽置身政治，但对数学的研究并未放弃。
在政务之余，还广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等数据，进行分类研究。
宋朝淳祜四至七年间（1244--1247），把长期研究积累的数学知识加以编辑，以四年的时间，在1247年九月，在浙江湖州完成了《数书九章》十八卷，此时中国的局势，正是在蒙古入侵中原，兵荒马乱的动荡时期，秦九韶因此书而名留千古。
三、孙子问题：在《孙子算经1》下卷第二十六题是一个举世闻名的数学问题，一般人称它为「孙子问题」2：今有物，不知其数。
三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。
问物几何？《孙子算经》所给的答案是：1清代戴震根據該書中有出現長安、洛陽、佛書等用語，排除該書作者為春秋軍事家孫武，近人錢寶琮認為《孫子算經》成書在西元400年(南北朝時期)左右。
《孫子算經》是一部在古代供數學初學者使用的入門書，包括度量衡制度、大數進位法、籌算記數法、九九乘法表及整數乘除法等。
困擾現在小學生的雞兔同籠問題，也早就出現在此書。
2也稱「物不知數」問題，中國後來的「韓信點兵」、「鬼谷算」、「隔墻算」、「剪管術」、「秦王暗點兵」之名，皆是指同一類的數論命題別名。
「术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。
」而所给这类问题的一般解法则为：「凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以上，以一百五3减之即得。
」也就是说，求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个数为70（而70就称为相对于3的『数论倒数』），3和7的最小公倍数21相对于5的『数论倒数』为21，3和5的最小公倍数15相对于7的『数论倒数』为15。
最后乘上它们各别的余数值2，3，2：70×2＋21×3＋15×2＝140＋63＋30＝233233便是可能的解之一。
它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23，即：233－2×105＝233－210＝2370、21、15、105这四个常数显然很重要，为了便于学习者记忆，秦九韶于1247年写下如下口诀4：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
四、秦九韶的大衍求一术：《孙子算经》虽已给出答案得数为23，但未给予理论上的证明以及详细的找解过程，例如如何找出70、21即15呢？若数字更大且更复杂，有没有快速、一统的方法呢？也就是说，若有一些两两互质的整数，则下列联立同余方程组对模的最小正整数解N ，如何有系统的找出来呢？()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡n n m r N m r N m r N mod ...mod mod 22113按古時一百六，一百五是指106、105；一百六十、一百五十才是160、1504明代數學家程大位在”算法統宗”（1592）一書中，也把這種解法編成了詩歌：「三歲孩兒七十稀，五留二十一事尤奇；七度上元重相會，寒食清明便可知」。
特別注意：上元為元月15，清明乃冬至後106天，寒食為清明前一天，第105天。
在前一节的叙述中，《孙子算经》”物不知数”问题中的三个重要『数论倒数』，70为(5×7)的2倍，21为(3×7)的1倍，15为(3×5)的1倍。
也就是说，如何求出满足：()i i i m m M a mod 1≡⨯ 的权值a i ，（其中M ＝m 1×m 2×m 3×…×m n ），显然是全部问题的关键了。
这些解法与过程，秦九韶在他的《数书九章》书中的”大衍求一术”有了相当清楚、详细的解法，借用现代的数学符号，我们说明如下：首先，由i m M连续减去m i ，使最后得出的G 满足G ＜m i ，秦九韶摆开筹式，如下图最左边的方格，其算法原文是：先以右上除右下，(以G 除i m )，所得商数(I Q )与左上一相生(按：相乘)入左下(按：加入左下，与此同时把i m 改为G 除i m 时的余数i R )然后乃以右行上下以少除多，递互除之(按：辗转相除，并不断地用新的余数去代替旧的余数)，所得商数随即递互累乘，归左行上下，须使右上末得奇一而止（直算至右上角的数目变为1乃止）。
乃验左上所得，以为乘率（即i a ）。
也就是说，假设辗转相除法所得的商数依次为n 321Q ,Q ,Q ,Q ⋅⋅⋅⋅⋅，余数为n 321R R ,R ,R ⋅⋅⋅⋅⋅，并把左行上下历次算得的各数改为3K ,K ,K ,K ⋅⋅⋅⋅⋅，则方格中上下左右四个数的变化为：＞＞＞＞--- --- 11R GQ m i += 11Q K = 221R Q R G += 1K Q K 122+= 3321R Q R R += 1233K K Q K += 4432R Q R R += 2344K K Q K +=5543R Q R R += 3455K K Q K += . . . . . . . .n n 1n 2n R Q R R +=-- (1R n =) 2n 1n n n K K Q K --+= 最后得到的n K 就是所求的i a 。
（注：n 必须是偶数。
若G 为1时，1a i =。
若1n R -已为1（即n-1为奇数）时，可取1R Q 2n n -=-（但1G Q 2-=）则第n 次的n R 仍为1）现在我们用一个具体例子来说明，如求同余式 )82(mod 11993≡⨯a式中 n = 82 G = 1993 －24×82 = 25 此时(两串算式为)n = 82 = 25×3 + 7 1K = 3G = 25 = 7×3 + 4 2K = 3×3 + 1 = 10 1R = 7 = 4×1 + 3 3K = 1×10 + 3 = 13 2R = 4 = 3×1 + 1 4K = 1×13 + 10 = 23最后，当4R = 1时，因为4为偶数，所以4K = 23 即为所求之a 。
＞＞ ＞ ＞现在我们可以来看前面所提的《孙子算经》上的”孙子问题”，代入”大衍求一术”公式可知：1m = 3 2m = 5 3m = 7 1r = 2 2r = 3 3r = 2 M = 3×5×7 = 105 N )3.(mod 2≡ )5.(mod 3≡)7.(mod 2≡ 1.3537531=⨯⨯=m M 35=3×11+2 得G=2 11*23111+=+==R GQ m 1Q K 11== 1R 1= 1为奇数，故取1121G Q 2=-=-=即11*1R Q R 2G 221+=+== 211*11K Q K 122=+=+= 所以 2K a 21== (乘率)其方块图的变化为＞ ＞ 右上角为1时，左上角之值为2，故乘率1a = 22. 2157532=⨯⨯=m M 21=5×4+1 得G=1 所以 乘率2a = 1其方块图为 右上角已为1，故取此时左上角之值1即为其 2a 3.1577533=⨯⨯=m M 15 = 7×2+1 得G=1 所以 乘率3a = 1其方块图为 右上角已为1，故取此时左上角之值1即为其乘率3a故 N =（333222111m Ma r m a r m M a r ++）－ P ×M =（2×2×35+3×1×21+2×1×15）－ P ×105 = 233 － 105×P取P = 2 得N = 233 ×105×2 = 23 所以23为此题之最小正整数解。
五、历史的肯定、留芳后世，也是吊诡的历史：当时秦九韶把《数书九章》推荐给南宋朝庭，希望得到重视和推广。
但由于朝庭昏庸无能，管场勾心斗角，得不到重视。
秦九韶抑郁成疾，于宋景定二年病逝，终年59岁。
在1852年时，英国来华的传教士伟烈亚力（A . Wylie）在”中国科学摘记”一书中，向欧洲人介绍中国古人的这个数学发现，以及南宋之后的数学家在这方面的工作，尤其是秦九韶在这方面的研究工作十分透测，在解法与各种情况的讨论上均给予相当深入的说明与解释，这个成就比欧洲早了五百多年5。
以后的数学家都公认这个定理是中国人最早发现的，因此，特别称之为「中国剩余定理」。
六、参考书籍郭书春、刘钝校对，2001，算经十书，九章出版社李俨、杜石然，1992，中国古代数学简史，九章出版社5《孫子算經》書成之時較尤拉（Euler，1707-1789）和高斯（Gauss，1777-1855）的聯立一次同餘式公解研究，早了一千多年。