导数的概念经典例题
导数典型例题讲解
资料一 ：导数.知识点1．导数的概念例1．已知曲线yP (0, 0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2∴ k ＝00limlim (4)4x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,∴21St t t∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+, 即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒∴ v (t )=S ’＝00limlim(21)21t t St t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆ 即v (5)＝2×5＋1＝11.∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数yx =1处的导数。
解析：∆y1=, ∴ y x ∆∆, ∴ 0limx y x ∆→∆∆=1lim 2x ∆→=-.例5．已知函数f (x )=21sin 00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－f (0)=21()sin x x∆∆,y x∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0lim x yx ∆→∆∆=01lim sin x x x ∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0.∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.例6．已知函数f (x )=21(1)121(1)12x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？解析：f (1)=1, 20001[(1)1]112lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,001(11)112lim lim 2x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y x x -+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导． 例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,∴ y x∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0lim x y x ∆→∆∆=6x 2.例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－61， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－61( x －1)，即 6y ＋x －31＝0. 例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？解析：∵ y ’=0lim x yx ∆→∆∆=220()lim2x x x x x x∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5.例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值(1) 000()()lim x f x m x f x x ∆→-∆-∆； (2) 000()()lim x x f x f x t x∆→∆+-∆.解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。
导数的概念及题型
导数的概念及题型一、变化率 设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数值的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx ∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.也就是说：所谓平均变化率也就是 函数值 的增量y ∆与 自变量 的增量x ∆的比值.举例说明：+例1已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2]变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率二、导数的概念 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆举例说明：f(x)=3x+5, 2＇例2求f （）练习.函数32)(f 2++=x x x ，求)3(f '小结利用导数的定义求导，步骤为： 第一步，求函数的增量； 第二步：求平均变化率； 第三步：取极限得导数.三、导数的物理意义 设0t 时刻一车从某点出发，在1t 时刻该车走了一定的位移）（t S S =。
在0t －1t 这段时间里，位移的变化量)()t (01t S S -，这段时间车的平均速度为101)(t t t t S S --）（；当1t 很接近0t 时，该平均速度近似于0t 时刻的瞬时速度，若令1t →0t ，则可认为0101)()(lim 01t t t S t S t t --→，即）（0't S 就是0t 时刻的瞬时速度。
导数的概念及运算1
例1. （14分）已知曲线y=31x 3+34. (1)求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y ′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k=y ′|x=2=4. 3分 ∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.6分（2）设曲线y=31x 3+34与过点P （2，4）的切线相切于点 A(x 0，31x 03+34)，则切线的斜率 k=y ′|0x x ==x 02.8分∴切线方程为y-(31x 03+34)=x 02(x-x 0), 即y=x 02·x-32x 03+34.10分∵点P （2，4）在切线上，∴4=2x 02-32x 03+34,即x 03-3x 02+4=0,∴x 03+x 02-4x 02+4=0, ∴x 02 (x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.例 2.【2010·北京丰台一模】函数21(01)y x x =+≤≤图象上点P 处的切线与直线0,0,1y x x ===围成的梯形面积等于S ，则S 的最大值等于 ，此时点P 的坐标是 ．【答案】54 15,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()2101y x x =+≤≤在P ()200,1x x +点处的切线方程为()()200012y x x x x -+=⋅-，即20021y x x x =⋅-+，它与y 轴的交点为201x -，与1x =的交点为20021x x -+．于是题中梯形的面积()()222000001121112S x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅=-++⎣⎦201524x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当012x =时，S 取得最大值为54，此时P 点坐标为211,122⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即15,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．例题3.【2010·湖北理数】复习巩固1.【2010·江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为（ ）【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
导数典型例题(含答案)
导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim=xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f (x )=nn n k k n n n n x c nx c k x c x c c 1121221++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim= .解 ∵xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21（2nn n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 21(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim，也可以是00)()(limx x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是A.⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.故选A.点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x )的极小值个数是2个.点评 导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x )的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】 设函数f (x )与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n )，n ∈N *；③f (x )的导数f ＇(x )∈（0，1）.（1）证明：a n >α，n ∈N *；（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）即当n =k +1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解 令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，则当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2ax =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.（1）求y =f (x )的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x-≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at .（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），32ax =，当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在（0，32a）上单调递增；当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a .点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。
导数概念练习题
导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。
导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。
已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。
已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。
已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。
解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。
解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。
导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。
下面是一些求导数的练习题，供大家参考。
(1)θ=sinx,y=cosx。
(x)=3xx=0为函数的极值点。
随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。
导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。
因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。
高中数学导数经典20题附解析
导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >）， 当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立， 由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点． 综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥， 即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立． 设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）． （1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减 极小 增 所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>， 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−， 因为2e 1e 1+−e 1>−， 所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−． 【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >） 故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=， 令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >）， 令()g x =2ln x x x −， 则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−， 令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′， 故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=， 故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）． （1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值． 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可． 【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解． 所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−， 由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减， 所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++． 由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−， 所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立， 所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞， 当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”， 所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立， 由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增， 所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ， 只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立． 综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在 上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在 上单调递减，在 +∞上单调递增． （2） 对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=． 当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+， 设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出． （2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）． （1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=， 令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<， 当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减． （2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增， 当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减， 不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+， 令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减， 即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立， 所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立， 因为1y x x=+在(]1,2上单调递增， 所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数． （1）求函数()f x y x=的单调区间； （2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间； （2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤， 再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<． 综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2． （2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x m mg x f x x x x x=−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−， 则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数； 当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间． （2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥． 【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−， 当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−， 由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<， 当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程． （2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可． 【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=． 即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ， 可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<， 当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<； （3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−， 由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >． 即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞； （2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<． 由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减， 可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=， 当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=， 即有ln 1x x x >−，则原不等式成立； （3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−， 由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<； 即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减； 又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证； 即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−． （1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−． 当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点， 当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增， 又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<， 故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x ′<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ， 由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a． 故当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =， 当1n =时，114T =， 当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ， 所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <． 【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >）， 当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增； 当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增； （2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+． 则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=， 消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点． 若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3． 综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）． （1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值； （2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =， 问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点， 当22e a >即e a >时，有2个交点， 当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明． 【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=， 当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞递增； （2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈， 则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−， 故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=， 又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间； （2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >）， 令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <， 又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意， 综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）． （1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点； （2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增， 故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意； 当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减， 故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在 递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=， 故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
《导数的概念及其几何意义》典型例题
《导数的概念及其几何意义》典型例题深研1 导数的几何意义1.可导函数在0x x =处切线的斜率为此处函数的导数值.2.根据导数值的变化可确定原函数图象的变化情况. 考向1 由切线确定导数值例1（★）如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+,点P 的横坐标是4,则(4)(4)f f +'=_______________.解析 ∵函数()f x 的图象在点P 处的切线为29y x =-+, ∴2(4)k f '=-=切.又 ∵点P 在切线29y x =-+上,∴(4)1f =,∴(4)(4) 1.f f +'=-① 答案 1-考向2 由切线特点确定函数图象②例2（★）已知函数()y f x =的图象如图所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是___________.（填序号）解析 由()y f x =的图象及导数的几何意义可知,当x ＜0时,()f x '＞0；当x ＝0时,()f x '＝0；当x ＞0时,()f x '＜0,故②符合. 答案 ② 方法技巧①1.由切线方程可确定函数()y f x =在0x 处的导数值,即()0f x k '=切. 2.切点为切线与曲线的公共点. 即时训练1.（1）（★★）已知函数()f x 在R 上可导,其部分图象如图所示,设(2)(1)21f f a -=-,则下列不等式正确的是（ ）A.(1)(2)f f a '<'<B.(1)(2)f a f '<<'C.(2)(1)f f a '<'<D.(1)(2)a f f <'<'解析 由题中图象可知,在区间(0,)+∞上,函数()f x 增长得越来越快,∴(1)f '(2)f <',∵(2)(1)21f f a -=-,∴通过作切线与割线可知(1)(2)f a f '<<',故选B.答案 B 方法技巧②导数的符号、曲线的升降、切线的斜率、切线的倾斜角之间的关系即时训练2.（★）()()()y f x y g x y h x ===，，的图象如图1所示：而图2是其对应导数的图象：则()y f x =的导数图象对应___________；()y g x =的导数图象对应___________；()y h x =的导数图象对应___________.解析 由导数的几何意义,知()f x 图象上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,故()y f x =的导数图象对应B ；()y g x =图象上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故()y g x =的导数图象对应C ；()y h x =图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故()y h x =的导数图象对应A. 答案 B ；C ；A深研2 求曲线的切线方程由于可导函数()f x 在0x x =处切线的斜率为0()f x ',从而可用点斜式确定切线方程.考向1 求过曲线上一点的切线方程 例3（★★）求曲线213y x x=+-在2x =处的切线方程. 解析 设()y f x =,则21()3f x x x=+-.2222(2)(2)11(2)32322114()224().2(2)14.2(2)y f x f x x x x x xx x x yx x x ∆=+∆-⎛⎫=+∆+--+- ⎪+∆⎝⎭=∆+∆+-+∆∆=∆+∆+∆∆∴=+∆-∆+∆-∵当x ∆无限趋近于0时,y x ∆∆无限趋近于115444-=, ∴曲线()y f x =在2x =处的切线斜率为154. 又2x =时,32y =,∴切点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴曲线在2x =处的切线方程为315(2)24y x -=-, 即154240x y --=.考向2 求过曲线外一点的切线方程例4（★★）求曲线2y x =过点（3,5）的切线方程.思路分析 先判断点（3,5）是否在曲线上,不在曲线上则需设切点坐标为（0x ,20x ）,再利用（3,5）与（0x ,20x ）连线的斜率等于0()f x '建立方程求0x ,从而确定切线斜率.解析 因为点（3,5）不在曲线上,所以设切点坐标为（0x ,20x ）, 又()()()220000lim lim 22x x x x x f x x x x x∆→∆→+∆-'==+∆=∆,故切线斜率为02x ,则切线方程为()20002y x x x x -=-, 因为点（3,5）在切线上,所以()2000523x x x -=-,解得01x =或05x =,则切点坐标为(1,1)或(5,25),故切线方程为12(1)y x -=-或2510(5)y x -=-, 即210x y --=或10250x y --=. 主编点评求过某点的曲线的切线方程④时,需先设切点（0x ,0y ）,再对()y f x =求导得出切线斜率()0f x ',从而得到含参的切线方程0y y -=()()00f x x x '-,最后代入已知点,从而求出切点坐标以及切线方程.即使已知点在曲线上,也不能按在某点处的切线方程求解,否则易漏解.⑤ 方法技巧③求曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程,其切线只有一条,点()00,P x y 在曲线()y f x =上,且是切点.切线方程为()()000y y f x x x -='-.如图1,在点()00,P x y 处的切线为1l ,如图2,在点()00,P x y 处的切线为(22l l 与曲线()y f x =有两个公共点不影响结果).即时训练3.（★★）已知3()21f x x x =-+,求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程.解析 因为330()2()121()lim x x x x x x x f x x ∆→∆+-∆++-+-'=∆3220()3()32lim x x x x x x xx∆→∆+⋅∆+⋅∆-∆=∆ 220lim ()332x x x x x ∆→⎡⎤=∆+⋅∆+-⎣⎦ 232x =-,所以(1)321f '=-=, 所以切线的方程为1y x =-, 即10x y --=. 知识补充④求曲线()y f x =过点()00,P x y 的切线方程的步骤 第一步：设出切点坐标()()11,P x f x '；第二步：写出过()()11,P x f x '的切线方程()()()111y f x f x x x -='⋅-； 第三步：将点P 的坐标()00,x y 代入切线方程,求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程()()11y f x f x -='()1x x ⋅-,由此即可得过点()00,P x y 的切线方程. 误区警示⑤此处点()00,P x y 可以在曲线()y f x =上,也可以不在曲线()y f x =上.如图1,过点()00,P x y (不在曲线()y f x =上)的切线12l l ，,如图2,过点(0P x ,0y )(在曲线()y f x =上)的切线34l l ，.即时训练4.（★★）求过点（-1,-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程.解析 33002()()2limlim x x y x x x x x x y x x∆→∆→∆+∆-+∆-+'==∆∆2220lim 233()23x x x x x x ∆→⎡⎤=--∆-∆=-⎣⎦. 设切点坐标为()3000,2x x x -,则切线方程为()320000223()y x x x x x -+=--.∵切线过点(1,2)--,∴()()32000022231x x x x --+=---,即320230x x +=,解得00x =或032x =-, ∴切点坐标为(0,0)或33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭,当切点坐标为(0,0)时,切线斜率2k =,切线方程为20x y -=；当切点坐标为33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时,切线斜率23192324k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭,切线方程为192(1)4y x +=-+,即194270x y ++=. 综上可知,过点(1,2)--且与曲线32y x x =-相切的直线方程为20x y -=或19x +4270y +=.考点3 导数几何意义的综合应用求解导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导,利用题目所提供的直线的位置关系、斜率的范围等条件求解相关问题,此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 考向1 求切点坐标⑥例5（★★）在曲线2y x =上取一点,使得在该点处的切线； （1）平行于直线45y x =-； （2）垂直于直线2650x y -+=； （3）倾斜角为135︒.分别求出满足上述条件的点的坐标.思路分析 先求函数的导函数()f x ',再设切点()00,P x y ,由导数的几何意义知切点()00,P x y 处的切线的斜率为()0f x ',最后根据题意列方程,解关于0x 的方程即可求出0x ,又点()00,P x y 在曲线2y x =上,易得0y .解析 设()y f x =,则2200()()()()lim lim x x f x x f x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆lim(2)2x x x x ∆→=+∆=.设()00,P x y 是满足条件的点.（1）因为点P 处的切线与直线45y x =-平行,所以024x =,解得0x 2=,所以04y =,即(2,4)P .（2）因为点P 处的切线与直线2650x y -+=垂直,且直线265x y -+0=的斜率为13, 所以01213x ⋅=-,解得032x =-,所以094y =,即39,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）因为点P 处的切线的倾斜角为135︒,所以切线的斜率为tan1351︒=-,即021x =-,解得012x =-,所以014y =,即11,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.⑦知识补充⑥根据切线斜率求切点坐标的步骤 （1）设切点坐标为()00,x y ； （2）求导函数()f x '； （3）求切线的斜率()0f x '；（4）由斜率间的关系列出关于0x 的方程,解方程求0x ；（5）由点()00,x y 在曲线()f x 上,将()00,x y 代入解析式求0y ,即得切点坐标. 知识补充⑦求解本题注意方程思想的应用.切点坐标()00,x y 有两个变量,因此需建立两个方程求解. 即时训练5.（★）已知曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标.解析 设点P 的坐标为()300,x x ,∵()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆22300033()()lim x x x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆ 22000lim 33()x x x x x ∆→⎡⎤=+∆+∆⎣⎦ 203x =,2033x =,解得01x =±,∴点P 的坐标是(1,1)或(1,1)--. 考向2 切线围成的三角形的面积问题例6（★★）已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(1,0)处的切线,2l 为该曲线的另一条切线,且12l l ⊥. （1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.解析（1）因为()2200()()22lim lim x x x x x x x x y y x x∆→∆→+∆++∆--+-∆'==∆∆21x =+,所以12113x y ='=⨯+=,所以直线1l 的方程为3(1)y x =-,即330x y --=. 设直线2l 与曲线22y x x =+-切于点()2,2B b b b +-,则2l 的方程为2(21)2y b x b =+--.因为12l l ⊥,所以1213b +=-,所以23b =-,所以直线2l 的方程为12239y x =--,即39220x y ++=.（2）由（1）知,联立330,39220,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得1,65.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线1l 和2l 的交点坐标为15,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.又易知1l 、2l 与x 轴的交点的坐标分别为22(1,0),03⎛⎫- ⎪⎝⎭、,所以所求三角形的面积125512523212S =⨯⨯-=.主编点评本题求解时应抓住两切线斜率的关系及切线斜率与导数的关系,构建方程组求解. 方法技巧求切线围成的三角形的面积时,关键是准确求得切线方程,然后分析围成的三角形的特点,进而求其面积.6.（★★）求曲线1(0)y x x x =->上一点()00,P x y 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点,A B O 、是坐标原点,若△OAB 的面积为13,则0x =_____________.解析 ∵1(0)y x x x=->， ∴011lim x x x x x x x y x∆→⎡⎤⎛⎫+∆--- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦'=∆011()lim x x x x x x x x∆→⎡⎤⎛⎫+∆-+- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦=∆ 0()lim x x x x x x x∆→∆∆++∆=∆ 01lim 1()x x x x ∆→⎡⎤=+⎢⎥+∆⎣⎦ 211x=+, ∴切线的斜率为2011x +,则切线的方程为()00200111y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭, 令0x =得02y x =-,令0y =得02021x x x =+,∴△OAB 的面积020********x S x x =⨯⨯=+,解得0x =(负根舍去).答案考向3 根据切线求参数值例7（★★）设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<,若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值.思路分析 先利用定义求导,结合二次函数求最值,最后结合切线斜率求a . 解析 ∵32()()()()9()1y f x x f x x x a x x x x ∆=+∆-=+∆++∆-+∆--()()3222391329(3)()()xax x x ax x x a x x +--=+-∆++∆+∆, ∴22329(3)()y x ax x a x x x∆=+-++∆+∆∆, ∴22220()lim 329399333x y a a a f x x ax x x ∆→∆⎛⎫'==+-=+---- ⎪∆⎝⎭. 由题意知()f x '的最小值是12-,∴29123a --=-,即29a =,∵0a <,∴3a =-.⑨ 主编点评本题得到()f x '的表达式是关于x 的二次函数,从而可利用二次函数求最值. 方法技巧⑨当题中涉及切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标等问题时,可利用导数的定义与几何意义迅速获解.遇到“切线的斜率最小、最大”问题时,通常只需求出导函数,再求其最值即可解决.即时训练⑦（★★）已知函数3()1f x x ax =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(1,1)-,求a 的值.解析 函数3()1f x x ax =++的导函数为3320()()11()lim 3x x x a x x x ax f x x a x∆→⎡⎤+∆++∆+---⎣⎦'==+∆, ∴(1)3f a '=+,而(1)2f a =+,∴切线方程为2(3)(1)y a a x --=+-,∵切线方程过点(1,1)-,∴12(3)(11)a a --=+--,解得5a =-.。
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经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例1、求221y x =+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求01x =，12x ∆=时平均变化率的值. 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆进行操作. 解析：当变量从0x 变到0x x +∆时，函数的平均变化率为220000()()[2()1][21]f x x f x x x x x x+∆-+∆+-+=∆∆042x x =+∆ 当01x =，12x ∆=时，平均变化率的值为：141252⨯+⨯=. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x 2+6在区间[2，2+x ∆]内的平均变化率。
【答案】2225(2)6(526)205y x x x ∆=+∆+-⨯+=∆+∆， 所以平均变化率为205yx x∆=+∆∆。
【变式2】已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为212s gt =，计算t 从3s 到3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位移s 的单位为m ）。
【答案】要求平均速度，就是求st∆∆的值，为此需求出s ∆、t ∆。
设在[3，3.1]内的平均速度为v 1，则1 3.130.1(s)t ∆=-=，22111(3.1)(3) 3.130.305(m)22s s s g g g ∆=-=⨯-⨯=。
所以1110.305 3.05(m / s)0.1s gv g t ∆===∆。
同理2220.03005 3.005(m / s)0.01s gv g t ∆===∆。
3330.0030005 3.0005(m / s)0.001s gv g t ∆===∆。
【变式4】过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.【答案】3.31 当0.1x ∆=时33(1)1(1)(1)(1)1 1.11 3.31(1)10.1PQy y f x f x k x x x x +∆-∆+∆-+∆--======+∆-∆∆∆ 类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数()y f x ==x=1处的导数。
解析：∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-====∴y x ∆=∆ ∴01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆。
总结升华：利用导数的定义求导数的步骤： 第一步求函数的增量y ∆；第二步求平均变化率yx∆∆；第三步取极限得导数。
举一反三：【变式1】已知函数1y x=（1）求函数在x=4处的导数. （2）求曲线1y x =7(4,)4P -处的切线方程。
【答案】（1）0011(2)(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x∆→∆→-+∆-+∆==∆∆0112)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=∆0lim x ∆→=15lim 4(4)16x x ∆→⎛-==- +∆⎝， （2）由导数的几何意义知，曲线在点7(4,)4P -处的切线斜率为'(4)f ，∴所求切线的斜率为516-。
∴所求切线方程为75(4)416y x +=--，整理得5x+16y+8=0。
【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数： （1）()f x c =； （2）()f x x =； （3）2()f x x =； （4）1()f x x=。
【答案】（1）()()0y f x x f x c c ∆=+∆-=-=，∴()()0y f x x f x x x∆+∆-==∆∆， ∴00'lim lim 00x x yy x ∆→∆→∆===∆。
（2）()()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=+∆-=∆，∴1y x x x∆∆==∆∆， ∴00'lim lim11x x yy x ∆→∆→∆===∆。
（3）222()()()2()y f x x f x x x x x x x ∆=+∆-=+∆-=⋅∆+∆，∴22()2y x x x x x x x∆⋅∆+∆==+∆∆∆， ∴00'limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆==+∆=∆。
（4）11()()y f x x f x x x x ∆=+∆-=-+∆()()x x xx x x x x x x--∆-∆==+∆⋅+∆⋅，∴1()y x x x x∆=-∆+∆⋅， ∴20011'limlim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆-===-∆+∆⋅。
例3、求曲线y=x 3+2x 在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x 3+2x 在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设3()2f x x x =+.0(1)(1)'(1)limx f x f f x ∆→+∆-=∆330(1)2(1)(121)lim x x x x ∆→+∆++∆-+⨯=∆ 20[()35]lim x x x x x∆→∆∆+∆+=∆20lim[()35]x x x ∆→=∆+∆+5= 由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y ―3=5(x ―1)，即y=5x ―2.总结升华: 求函数()y f x =图像上点P 00(,)x y 处的切线方程的求解步骤：① 求出导函数在0x x =处的导数0'()f x （即过点P 的切线的斜率）， ② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。
举一反三：【变式】在曲线y=x 2上过哪一点的切线： （1）平行于直线y=4x ―5； （2）垂直于直线2x ―6y+5=0； （3）与x 轴成135°的倾斜角。
【答案】2200()()()'()limlim 2x x f x x f x x x x f x x x x∆→∆→+∆-+∆-===∆∆， 设所求切点坐标为P （x 0，y 0），则切线斜率为k=2x 0（1）因为切线与直线y=4x ―5平行，所以2x 0=4，x 0=2，y 0=4， 即P （2，4）。
（2）因为切线与直线2x ―6y+5=0垂直，所以01213x ⨯=-，得032x =-，094y =， 即39(,)24P -。
（3）因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。
即2x 0=―1，得012x =-，014y =， 即11(,)24P -。
例4．已知函数()f x 可导，若(1)3f =，'(1)3f =，求21()3lim 1x f x x →--解析：22211()3()3limlim[(1)]11x x f x f x x x x →→--=⋅+-- （(1)3f =） 221()(1)lim[(1)]1x f x f x x →-=⋅+- 2211()(1)lim lim(1)1x x f x f x x →→-=⋅+- （令t=x 2，x →1，t →1） 1()(1)2lim1t f t f t →-=-2'(1)236f ==⨯= 举一反三：【变式】已知函数()f x 可导，若(3)2f =，'(3)2f =，求323()lim 3x x f x x →--【答案】3323()(26)63()limlim33x x x f x x f x x x →→--+-=-- 33[2()]lim{2}3x f x x →-=+-3(3)()23lim 3x f f x x →-=+-3()(3)23lim 3x f x f x →-=--23'(3)23(2)8f =-=-⨯-=类型三：利用公式及运算法则求导数例5．求下列函数的导数：（1）41y x=； （2）y （3）222log log y x x =-； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4解析： （1）44154514'()'()'44y x x x x x----===-=-=-.（2）332155533'()'55y x x x --=====（3）∵2222log log log y x x x =-=，∴21'(log )'ln 2y x x ==⋅. （4）322'2()'3()'5()'(4)'665y x x x x x =-++=-+总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）y = （2）22sin(12cos )24x x y =-- （3）y=6x 3―4x 2+9x ―6【答案】（1）331223'(()'2y x x -====（2）22sin(12cos )24x x y =--22sin (2cos 1)24x x =-2sin cos sin 22x xx == ∴'cos y x =.（3）322'6()'4()'9()'(6)'1889y x x x x x =-+-=-+ 例6．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-；（2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ； （４）y=x x xx sin cos ++解析：（1）法一：去掉括号后求导.32()2323f x x x x =-+- 2'()662f x x x =-+法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'f x x x x x =+-++⋅-=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2 （2）y ′=（x 2）′sinx ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx（３）2(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)x x x x x y ''+--+-=-2e 2-x x（4）2(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )x x x x x x x x y x x ''++-++=+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+--举一反三：【变式1】函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D法一： 22'[(1)]'(1)(1)(1)'y x x x x =+-++- 222(1)(1)(1)321x x x x x =+⋅-++=+-∴1'|4x y ==.法二：∵22(1)(1)(1)(1)y x x x x =+-=-+321x x x =+--∴322'()'()''1'321y x x x x x =+--=+- ∴1'|4x y ==.【变式2】下列函数的导数（1）2(1)(231)y x x x =++-； （2）y =【答案】（1）法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x∴26102y x x '=++法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x 26102x x =++ （2）231212332----+-=x x xx y∴252232123233---+-+='x x x x y【变式3】求下列函数的导数.（1）2311()y x x x x =++； （2）1)y =-；（3）52sin x x y x =. 【答案】 （1）321y x x-=++，∴23'32y x x -=-.（2）1122y x x -===-，∴312211'22y x x --=--.（3）∵3322sin y x xx x --=++，∴522223'3()'sin (sin )'2y x x x x x x ---=-++52322332sin cos 2x x x x x x ---=--+.类型四：复合函数的求导 例7．求下列函数导数. （1）41(13)y x =-； （2）ln(2)y x =+；（3）21e x y +=； （4）cos(21)y x =+.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导. 解析：（1）4y u -=，13u x =-.4'''()'(13)'x u x y y u u x -=⋅=⋅-5554(3)1212(13)u u x --=-⋅-==-. （2）ln y u =，2u x =+∴'''(ln )'(2)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 1112u x =⋅=+ （3）e uy =，21u x =+.∴'''(e )'(21)'ux u x y y u x =⋅=⋅+212e 2eu x +==（4）cos y u =，21u x =+，∴'''(cos )'(21)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 2sin 2sin(21)u x =-=-+.总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。