计算机图形学 第三章 变换与裁剪
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计算机图形学-第三章 图形的几何变换与观察变换
位置直线变成能应用基本变换的特殊位置直线。
所以整个变换的实现过程为：先把任意位置直线变（应用
基本变换）为特殊位置直线；应用基本的对称变换矩阵进行变
换；最后恢复原状。
Hale Waihona Puke （1）让直线沿 x 轴方向平移 C/A，使其通过坐标系原点。 变换矩阵为：
1 0 C / A
T1 0 1
0
0 0 1
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0
0 x x cos y sin
0
y
x
sin
y
cos
1 1
1
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计算机图形学
如图所示，由于：
x* r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin y* r sin( ) r sin cos r cos sin x sin y cos
系。此外，三维的图形要在二维的屏幕或图纸上显示出来要通
过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要求能对对象作
旋转变换， 放大缩小和平移变换更是经常要用的。 绘图过程中
还需要用窗口来规定要显示的内容，用视区来规定在屏幕或图
纸上显示的位置。利用图形变换可实现改变或管理显示，例如,
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计算机图形学
1 0 0 1 1 1
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计算机图形学
即：x* = x + r12·y； y* = y。 从以上结果可以看到：新图形各顶点的 y 坐标没有变，而 x
坐标是在原有的值上加一个有关 y 正比例函数值的增量。所以 使得整个图形在等高的前提下发生了倾斜。并且，当：r12 0 时，图形沿 x 正向错切。r12 0 时，图形沿 x 负向错切。
图形变换与裁剪课件
错切变换是指图形在水平或垂直方向上倾斜，产生错位效果。
总结词
错切变换常用于创建倾斜角度或斜切效果，使图形更加生动和富有动态感。在计算机图形学中，错切变换可以通过应用错切矩阵运算来实现。
详细描述
03
CHAPTER
图形裁剪技术
基本裁剪方法
总结词
窗口裁剪是最基本的裁剪方法，通过定义一个矩形窗口，只显示窗口内的部分图形。
图形变换与裁剪课件
目录
图形变换基础图形变换技术图形裁剪技术图形变换与裁剪的实践应用图形变换与裁剪的优化技巧案例分析
01
CHAPTER
图形变换基础
01
02
图形变换在计算机图形学中广泛应用于图像处理、动画制作、游戏开发等领域。
图形变换是指对图形进行旋转、平移、缩放、镜像等操作，以改变图形的位置、大小和方向。
交互设计
通过图形变换和裁剪技术，实现虚拟现实和增强现实的实时跟踪，提高虚拟物体的真实感和动态效果。
实时跟踪
05
CHAPTER
图形变换与裁剪的优化技巧
在图形处理中，尽量减少不必要的变换操作，特别是那些不会改变图像内容的变换。
减少不必要的变换
选择高效的变换算法，如矩阵乘法、仿射变换
01
02
03
04
绕某一点旋转图形。
沿某方向移动图形。
改变图形的大小。
以某轴为对称轴翻转图形。
02
CHAPTER
图形变换技术
总结词
平移变换是指图形在水平或垂直方向上移动而不发生旋转或缩放。
详细描述
平移变换通常用于调整图形位置，使其符合特定的布局或设计需求。在计算机图形学中，平移变换通常通过在图形数据的坐标系中添加一个偏移量来实现。
总结词
错切变换常用于创建倾斜角度或斜切效果，使图形更加生动和富有动态感。在计算机图形学中，错切变换可以通过应用错切矩阵运算来实现。
详细描述
03
CHAPTER
图形裁剪技术
基本裁剪方法
总结词
窗口裁剪是最基本的裁剪方法，通过定义一个矩形窗口，只显示窗口内的部分图形。
图形变换与裁剪课件
目录
图形变换基础图形变换技术图形裁剪技术图形变换与裁剪的实践应用图形变换与裁剪的优化技巧案例分析
01
CHAPTER
图形变换基础
01
02
图形变换在计算机图形学中广泛应用于图像处理、动画制作、游戏开发等领域。
图形变换是指对图形进行旋转、平移、缩放、镜像等操作，以改变图形的位置、大小和方向。
交互设计
通过图形变换和裁剪技术，实现虚拟现实和增强现实的实时跟踪，提高虚拟物体的真实感和动态效果。
实时跟踪
05
CHAPTER
图形变换与裁剪的优化技巧
在图形处理中，尽量减少不必要的变换操作，特别是那些不会改变图像内容的变换。
减少不必要的变换
选择高效的变换算法，如矩阵乘法、仿射变换
01
02
03
04
绕某一点旋转图形。
沿某方向移动图形。
改变图形的大小。
以某轴为对称轴翻转图形。
02
CHAPTER
图形变换技术
总结词
平移变换是指图形在水平或垂直方向上移动而不发生旋转或缩放。
详细描述
平移变换通常用于调整图形位置，使其符合特定的布局或设计需求。在计算机图形学中，平移变换通常通过在图形数据的坐标系中添加一个偏移量来实现。
计算机图形学-二维图形变换与裁剪ppt课件
18
基本几何变换——比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。 其中Sx和Sy称为比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
比例变换(Sx=2,Sy=3)
以坐标原点为缩放参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位置(离原点的距离 )
19
基本几何变换——比例变换
21
基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’ 的重定位过程。
P' r θ r
α
图 旋转变换
22
Y
P X
基本几何变换——旋转变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P' r P X
推导: α x r cos y r sin 极坐标: 逆时针旋转θ 角
P P T
27
规范化齐次坐标——平移变换矩阵
平移：
x 'y ' x y T xT y
1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 T T 1 x y
28
规范化齐次坐标——比例变换矩阵
比例:
S 0 x x ' y ' x y 0 S y
16
基本几何变换——平移变换
平移 将P点从一个坐标位置 移到另一个坐标位置的 重定位过程。
T P Tx
P' Ty
Y
X
图 平移变换
17
基本几何变换——平移变换
推导：
x' x Tx y ' y Ty
基本几何变换——比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。 其中Sx和Sy称为比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
比例变换(Sx=2,Sy=3)
以坐标原点为缩放参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位置(离原点的距离 )
19
基本几何变换——比例变换
21
基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’ 的重定位过程。
P' r θ r
α
图 旋转变换
22
Y
P X
基本几何变换——旋转变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P' r P X
推导: α x r cos y r sin 极坐标: 逆时针旋转θ 角
P P T
27
规范化齐次坐标——平移变换矩阵
平移：
x 'y ' x y T xT y
1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 T T 1 x y
28
规范化齐次坐标——比例变换矩阵
比例:
S 0 x x ' y ' x y 0 S y
16
基本几何变换——平移变换
平移 将P点从一个坐标位置 移到另一个坐标位置的 重定位过程。
T P Tx
P' Ty
Y
X
图 平移变换
17
基本几何变换——平移变换
推导：
x' x Tx y ' y Ty
计算机图形学-变换
1
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
图形变换与裁剪ppt课件
1.齐次坐标技术的引入
平移、比例和旋转等变换的组合变换
处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点
– 便于变换合成 – 便于硬件实现
3.齐次坐标技术的基本思想
把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决
4.齐次坐标表示
( x ,x ,..., x ) 1 2 n
有n个分量的向量
x
相对于原点的比例变换
y
几何关系
x' x S x y' y S y 矩阵形式
（5-9）
重心
S 0 x y x x y 0 S （5-10） y
x
相对于重心的比例变换
比例变换的性质
当 Sx Sy 时，变换前的图形与变换后的图形相似
( x , x ,..., x , ) 1 2 n
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x , x ,..., x , ) 1 2 n
( x / , x / ,..., x / ) 1 2 n
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
5.基本几何变换的齐次坐标表示
图形变换与裁剪
5.1 窗口视图变换
1.窗口和视图区 用户坐标系（world coordinate system，简称 WCS） 设备坐标系（device coordinate system，简称 DCS） 窗口区（window） 视图区（viewport）
2.窗口到视图区的变换
窗口区与视图区间的映射关系： 窗口区中的任一点(x w , y w) 与视图区中的任一点(x v , y v) 存
x 'x cos ysin （5-13） y 'x sin ycos cos sin （5-14） x y xy 矩阵形式 sin cos
变换与裁剪
记为：T(tx , ty)
计算机图形学 福建师范大学
二维几何变换
• 旋转变换(rotation transformation)
–如
– 点P(x, y)的极坐标表示 （r为P 到原点的距离） x r cos y r sin – 绕坐标原点（称为参照点，基准点）旋转角度θ （逆时针为正，顺时针为负） x' r cos( ) y' r sin( )
S s
x
s
y
s
z
• 矢量和
ux v x U V uy v y uz v z
计算机图形学
福建师范大学
数学基础
• 矢量的数乘
kux k U ku y kuz
• 矢量的点积
– 运算 U V ux v x uy v y uz vz
– 放缩变换具有可乘性
S( s x2 , s y2 ) S( s x1 , s y1 ) S( s x1 s x2 , s y1 s y2 )
计算机图形学
福建师范大学
齐次坐标
• 逆变换
– 逆平移变换：正平移距离tx，ty
1 0 t x T 0 1 t y 0 0 1
l 1 n
• 性质：结合律和分配律（不满足交换律）
计算机图形学 福建师范大学
数学基础
• 矩阵（续）
– 矩阵的转臵
a11 a12 a1n a a 22 a 2 n A 21 a m1 a m 2 a mn a11 a 21 a m1 a a 22 a m 2 AT 12 a1n a 2 n a mn
计算机图形学之裁剪算法
窗口特别小的场合。
2、中点裁剪法
中点分割裁剪法是将Cohen-Sutherland 算法中求线段与窗口边界的交点的过程用折 半查找（即求中点）的方法来代替。仍然采 用对线段端点进行编码的方式判断完全可见 和显然完全不可见的线段，对于与窗口有交 点的线段，该算法分别求离两个端点最近 （或最远）的可见点。这两个可见点之间的 线段即是原线段的可见部分。
计算P1P2的最近可见点Pma和 Pmb ： （一）直线段P1P2的一个端点可见， P1 另一个端点不可见。 只需解算不可见端点的最近的 可见点。 1）设P1不可见，计算P1P2的中点Pm1。
P1
pm
P2
P2
判断中点Pm1如果落在（接近）窗口边上，则 确定该中点为最近可见点。裁剪结束。否则，
2）判断Pm1是否可见： 如果Pm1可见，以Pm1取代P2 ，返回到 1）计算 P1Pm1的中点Pm2，判断Pm2 如果Pm1不可见，以Pm1取代P1 ，返回到 1）计 算Pm1P2的中点Pm2，判断Pm2
关键： 根据多边形的边表，逐 次对每一段边与裁剪线 (窗口边直线)比较，判 别输入顶点的个数和坐 标，并联结成封闭多边 形。
不可见侧
2
多边形边与裁剪线相对位置的四种
情况与处理方法： (1) 位于可见一侧：输出终点作 为新多边形顶点 (2) 位于不可见一侧：不输出 (3) 由可见到不可见：输出与裁剪
P2
两种线段裁剪算法的比较
Cohen-Sutherland算法是最早的、使用最广泛的线
段裁剪算法之一。在裁剪窗口很大，大部分线段完全
可见，或裁剪窗口很小，大部分线段完全不可见的情 况下，该算法特别有效；在一般情况下，该算法有时 要做不必要的求交运算，因而效率不是太高.
计算机图形学变换和裁剪PPT课件
k a11
k A k a21
k k
a3 1 a4 1
k a12 k a22 k a32 k a42
k a13 k a23 k a33 k a43
k a14 k a24
k k
aa3444
（3）矩阵的乘法
矩阵A的列数和矩阵B的行数相同时可以相乘.设A为
m*n矩阵,B为n*p矩阵,c为乘积矩阵,则c为m*p阶
UU U
8
4.1.2 矢量-矢量的点乘
(5)矢量的点乘
矢量 U和 的V 点乘表示为 。UV定义如下：
U Vuxvxuyvyuzvz
夹角的余弦定义如下： cos UV
Uห้องสมุดไป่ตู้
U V
θ
点乘的几何意义如图4.3所示
V
图4.3 U·V即U在V上的投影乘
以V的模
由以上可得点乘的如下性质: U V0 U V
也就是说两个互相垂直的矢量(一般称为矢量正交) 的点乘为0。
24
2.放大和缩小变换
设点(x, y, z)经缩放变换后得点 (x,y,z)。两点坐标间的关系
为
x sx x
y sy y
z sz z
其中sx,sy和sz 分别为沿x, y和z轴方向
放缩的比例。
其矩阵形式是
x sx 0 0x
y
0
sy
0 y
z 0 0 sz z
（4.3）
25
以图形中心为中心的缩放
红色为新坐标系ouvw31则axayaz为z轴方向不必变换坐标系ow轴的指向和axayaz的指向一致ou轴可取在经过o点并和ow轴垂直的任一直线上则ow轴方向的单位向量为绕过原点的轴旋转的具体计算32从坐标系oxyz至坐标系ouvw的变换为由于向量uvw是互相正交的单位向量可知矩阵a的逆矩阵就是a的转臵矩阵a33231332221231211133变换公式由以上各式可得变换公式为
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局部坐标系可以简化物体的定义 物体=｛标准体素，变换｝
造型变换：
物体从局部坐标系到世界坐标系的变换 三维线性和非线性变换
21
三维模型变换：平移
三维平移T：三维点P(x,y,z)移动(tx,ty,tz)后， 得到点P'(x',y',z')
x 1 y 0 z 0 1 0 0 1 0 0 0 t x x 0 t y y 1 t z z 0 1 1
29
透视投影和平行投影
30
透视投影
31
透视投影
投影点：通常取视点坐标系中(0,0,0)点 投影平面：取作与视线方向(N方向)垂直 的平面n = d。假设在视点坐标系中的点为 (u,v,n)，那么在投影面上的对应点坐标 (up,vp)为
u up n/d
v vp n/d
32
透视投影齐次坐标表示
O
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
6
二维旋转
将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角
Y
(x',y')
(x,y)
x cos y sin 1 0
(x, y, z, 1)为世界坐标系中的点 (u, v, n, 1)为视点坐标系中的点
28
投影坐标系和投影变换
投影变换：三维二维
投影变换是在视点坐标系CUVN中进行的 透视投影：符合人类的视觉特点，产生的投 影效果更为真实 平行投影：物体的相对度量保持不变(例如两 个等长线段的投影结果仍然是等长的)，适用 于建筑和机械设计
坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置 向量UP：
N UP V N UP
U VN
得到两个向量 U=(Ux,Uy,Uz) 和V=(Vx,Vy,Vz)， 然后单位化。
27
视点坐标系的交互建立
四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换：
记投影后的齐次坐标为(U,V,N,W)，则透 视投影齐次坐标表示为：
0 0 1 0 0 1 0 1/ d 0 u 0 v 0 n 1 0
U V N , , W W W v u , ,d n/d n/d u p , vp , d
先旋转，再(非等比例)放缩
先(非等比例)放缩，再旋转
12
复合二维变换
二维变换不具有交换性
先平移，再旋转
先旋转，再平移
13
复合二维变换
上述变换的组合可以得到特殊的二维变换
刚体变换
可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化
仿射变换
可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线
22
三维模型变换：放缩
三维放缩S：三维点P(x,y,z)放缩(sx,sy,sz)后， 得到点P' (x',y',z')
x sx y 0 z 0 1 0 0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 x 0 y 0 z 1 1
变换与裁剪
内容
二维变换 三维变换 裁剪
2
内容
二维变换
齐次坐标表示 基本变换 其它变换
三维变换 裁剪
3
二维变换
通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界 坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏 幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示
矢量图形、卡通动画
二维图形中常见的变换
齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合
X
sin cos 0
0 x 0 y 1 1
7
二维放缩
对于进行放缩的变换公式
Y
(x,y)
O
(x',y')
X
x sx y 0 1 0
0 sy 0
0 x 0 y 1 1
24
三维造型变换
非线性三维模型变换：变换矩阵是空间位 置(x, y, z)或者旋转角度 (x, y, z)的函数。
25
视点坐标系和取景变换
视点坐标系
视点坐标系定义于世界坐标系中； 其过程类似于拍照片：
照相机镜头的朝向：视线方向 照相机的位置 UP方向
26
视点坐标系的交互建立
关于Y轴的对称变换
10
对称变换
Y y=x (x,y) O X y=-x Y (x,y)
X
(-y,-x) (y,x)
x 0 1 0 x y 1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=x的对称变换
(2) 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换 后错切成与Y轴成固定角的直线
9
对称变换
Y
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
关于X轴的对称变换
36
视域四棱锥裁剪
37
规格化设备坐标和设备变换
在投影平面上，有一个矩形区域称为视窗
上图坐标系中vovxvy的矩形和“视域四棱锥” 图中的矩形 物体投影后：二维齐次坐标表示
设备变换
投影后二维齐次坐标除以最后一个坐标分量 ，便得到了规格化设备坐标
38
屏幕坐标系和视窗变换
屏幕坐标系：通常以像素为单位 视窗变换
u U x v Vx n Nx 1 0
Uy Vy Ny 0
Uz Vz Nz 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0
0 C x x 0 C y y 1 C z z 0 1 1
O
x 0 1 0 x y 1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=-x的对称变换
11
复合二维变换
平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和S 二维变换具有结合性：(AB)C=A(BC) 二维变换不具有交换性
(-x,y)
(-x,-y)
O
(x,y) X (x,-y)
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
关于坐标原点的对称变换
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
三维变换的基本概念
场景造型：
场景坐标系：世界坐标系、局部坐标系 变换：造型变换
放置虚拟照相机
坐标系：视点坐标系(虚拟照相机的位置、朝 向以及向上的方向) 变换：取景变换 (在视域四棱锥进行裁剪和背 面剔除 )
17
三维变换的基本概念
投影(照相、摄影)：
坐标系：投影坐标系和窗口坐标系 变换：投影变换
二维变换：将定义在视窗中的规格化设备坐 标转换到以像素为单位的屏幕坐标 扫描转换：将连续的几何物体转换为离散的 光栅表示
39
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
X =1 平面 Y
5
二维平移
二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x', y')
Y (x',y') (x,y) 采用齐次坐标: (x, y) (x, y, 1) X
x ' 1 0 x t x t y ' 0 1 y y
二维显示
坐标系：窗口坐标系、规格化设备坐标系与 屏幕的物理坐标系 变换：设备变换、视窗变换
18
三维变换流程图
局部坐标系
造型变换
世界坐标系
取景变换
视点坐标系
投影变换
图像坐标系
设备变换
规格化设备 坐标系
视窗变换
屏幕坐标系
19
三维变换中的各种坐标系
20
场景坐标系和模型变换
几何场景建立于世界坐标系中 场景中的具体物体与局部坐标系相联系
23
三维造型变换：旋转
绕x轴逆时针旋转角 的旋转变换Rx
0 sin cos 0 0 x 0 y 0 z 1 1
绕y轴逆时针旋转角 的旋转变换Ry
x cos y 0 z sin 1 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 x 0 y 0 z 1 1
0 x 1 y 0 cos z 0 sin 1 0 0
绕z轴逆时针旋转角的旋转变换Rz
x cos y sin z 0 1 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 x 0 y 0 z 1 1