第三章 (计算机图形学基本图形算法之三)
计算机图形学中的基本算法
计算机图形学中的基本算法计算机图形学是指利用计算机来生成、处理、显示和存储各种图形的学科。
它与计算机科学、数学、物理等学科密切相关。
计算机图形学中的基本算法主要包括几何变换算法、渲染算法、图像处理算法等。
下面将对这些算法进行详细的介绍。
一、几何变换算法几何变换是指将一个图形在平面内旋转、缩放、移动等操作，使其达到一定的位置、大小和角度的变化过程。
计算机图形学中的几何变换算法包括平移、旋转、缩放、错切等操作。
其中，平移是指沿着水平和垂直方向移动一个图形；旋转是指将一个图形绕着一个指定的点进行旋转；缩放是指按照指定的比例拉伸或缩小一个图形；错切则是指利用斜角度数将一个图形在平面上扭曲。
在几何变换算法中，矩阵变换是应用最广泛的算法之一。
矩阵变换的原理是将一个图形的顶点坐标与变换矩阵相乘，得到变换后的新的顶点坐标。
二、渲染算法渲染算法是指将数学模型变成可视的图像的过程。
计算机图形学中的渲染算法包括光照模型、投影、纹理映射等。
其中，光照模型主要是指计算出一个物体表面上每一个点的颜色，包括漫反射、镜面反射等各种光照情况；投影是指将一个三维模型映射成为二维的图像；纹理映射则是指将一个图像贴到一个三维模型上，使其更加逼真。
常用的渲染算法包括光线跟踪、光栅化、体积渲染等。
光线跟踪是指跟踪光线的路径，并计算出光线和物体的相交点，进而得到图像的颜色、阴影等信息；光栅化则是将物体投影到屏幕上，并对每个像素点进行操作，确定其颜色和浓度；体积渲染则是将物体看作是一个体积，通过计算对光线的投影，得出图像的颜色和亮度。
三、图像处理算法图像处理算法主要是指对二维图像进行处理和优化。
计算机图形学中的图像处理算法包括图像变换、信号处理等。
其中，图像变换主要是指对图像进行缩放、旋转、扭曲等处理，以获得更好的显示效果；信号处理则是指对图像的灰度、对比度、亮度等进行调整，以使图像更加清晰、鲜明。
常用的图像处理算法包括图像过滤、边缘检测、形态学、分割等。
计算机图形学的基本原理和算法
计算机图形学的基本原理和算法计算机图形学是计算机科学中的一个重要分支，它研究的是如何利用计算机来进行图像和模型的处理、生成和表示。
在现代社会中，计算机图形学已经广泛应用于游戏、电影、设计等领域，它不仅为人们带来了极大的乐趣和便利，也为科学技术的发展带来了重要的推动作用。
本文将介绍计算机图形学的基本原理和算法，包括三维图形学、二维图形学和几何计算等方面的内容。
一、三维图形学三维图形学是计算机图形学的核心领域之一，它研究的是如何使用计算机来生成、处理和显示三维图像。
三维图形学的基本原理是利用数学模型来描述和表示三维图像，其中最基本的数学模型是三维坐标系和向量。
三维坐标系中的每个点都可以用三个坐标来表示，而向量则是以两个点之间的差值来表示。
在三维图形学中，常用的向量运算包括加法、减法、点积和叉积，在这些运算中，向量的长度和方向都是非常重要的参数。
三维图形学中的常用算法包括三维渲染、立体几何、曲面细分和体绘制等。
三维渲染算法是将物体表面和光线结合起来，生成真实的三维图像的过程。
其中常用的三维渲染算法包括光线跟踪、简单光照和阴影投射算法等。
另外，立体几何和曲面细分算法则是用来对三维模型进行建模和细化的，它们可以帮助设计师快速地创造各种复杂的三维模型。
最后，体绘制算法则可以将三维模型表示为一系列立体图形，以使其更加直观和易于理解。
二、二维图形学二维图形学是计算机图形学中另一个重要的分支，它主要研究的是如何使用计算机来生成、处理和显示二维图像。
在二维图形学中，最常用的数学模型是笛卡尔坐标系和矩阵运算。
笛卡尔坐标系采用了直角坐标系的表示方法，在这种坐标系中，每个点都可以用一个有序的数对来表示，其中横坐标代表点在水平方向上的位置，纵坐标则代表点在垂直方向上的位置。
二维图形学中常用的算法包括图形转换、图形填充、线段裁剪和图像滤波等。
图形转换算法是将图像从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，其中最常用的算法包括平移、缩放、旋转和剪切等。
第三章 基本图形的扫描转换讲解
本章学习目标
扫描转换的基本概念 Jack Elton Bresenham简介 直线的扫描转换算法 圆的扫描转换算法
本章内容
直线的扫描转换 圆的扫描转换 本章小结
直线、圆、椭圆是二维场景中的最基本图形。尽管 MFC的CDC类已经提供了相关的绘制函数，但直接使用 这些函数仍然无法满足真实感图形绘制的要求。光栅扫 描显示器是画点设备，基本图形的光栅化就是在像素点 阵中确定最佳逼近于理想图形的像素点集，并用指定颜 色显示这些像素点集的过程。当光栅化与按扫描线顺序 绘制图形的过程结合在一起时，也称为扫描转换。本章 从基本图形的生成原理出发，使用绘制像素点函数实现 基本图形的扫描转换。绘制像素点函数的原型为
1,
(di 0) (di 0)
（3-3）3.1.3 递推公式来自1.中点误差项的递推公式
M(x i+2,y i+1.5）
M(x i+2,y i+0.5)
Pu
Pu
Pi(xi,yi）
Pd
Pd
（a）di<0
Pi(xi,yi） （b）di≥0 中点的递推
(1)当d<0时
di1 F(xi 2, yi 1.5)
k y y1 y0 x x1 x0
直线水平方向位移 ：
x x1 x0
直线垂直方向位移 ：
y y1 y0
理想直线将平面划分成三个区域：对于直线上的 点，F(x，y)＝0；对于直线上方的点，F（x，y）＞0； 对于直线下方的点，F（x，y）＜0。
假 设 直 线 的 斜 率 为 0≤k≤1 ， 则 |△x|≥|△y| ，
y
O
x
圆的扫描转换
计算机图形学第3章 基本图形生成算法
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。
计算机图形学实验03
计算机图形学实验03
《计算机图形学》实验报告
圆（椭圆）的生成算法
一、实验教学目标与基本要求
1．实现圆的生成算法；
2．实现椭圆的生成算法；
二、实验课程内容 (2学时)
1．写出完整的圆的Bresenham生成算法；
2．写出完整的椭圆的中点生成算法；
三、算法思想
1．圆的Bresenham生成算法：
如果我们构造函数 F(_,y)=_+y-R，则对于圆上的点有F(_,y)=0，对于圆外的点有F(_,y)_gt;0，对于圆内的点F(_,y)_lt;0 。
与中点画线法一样，构造判别式:d=F(M)=F(_p+1,yp-0.5)=(_p+1)+(yp-0.5)-R。
若d_lt;0，则应取P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为：
222d=F(_p+2,yp-0.5)=(_p+2)+(yp-0.5)-R=d+2_p+3
若d≥0，则应取P2为下一象素，而且下一象素的判别式为：
d=F(_p+2,yp-1.5)=(_p+2)+(yp-
1.5)-R=d+2(_p-yp)+5我们这里讨论的第一个象素是（0,R），判别式d的初始值为：d0=F(1,R-0.5)=1.25-R。
为了进一步提高算法的效率，将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。
2．椭圆的中点生成算法：
椭圆中点生成算法是将椭圆在第一象限中分为两个部分：
1)对于斜率绝对值小于1的区域内在_方向取单位量；
2)对于斜率绝对值大于1的区域内在y方向取单位量；
斜率可以通过椭圆的标准方程中获得为K = - (ry_ry)__/(r__r_)_y;这里中点椭圆222222222。
Bresenham 画圆算法_计算机图形学实用教程（第3版）_[共3页]
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55 01e r =− （3-39） 这样，由于判别式的初值为整数，增量也为整数，因此判别式始终为整数，即中点画圆算法可用整数加减运算来计算圆周上所有像素的位置。
中点画圆算法的描述如下。
（1）输入圆的半径r 和圆心坐标(x c , y c )，先计算以原点为圆心、r 为半径的圆周上的点，令初始点为00(,)(0,)x y r =。
（2）求初始判别式d ，1d r =−。
（3）在每一个x n 的位置，从n = 0开始，进行下列检测：如果d ＜0，则圆心在原点的圆的下一个点为(x n +1, y n )，且23n d d x =++；否则，圆的下一个点为(x n +1, y n −1)，且2()5nn d dx y =+−+。
（4）确定(x n+1, y n +1)在其余7个八分圆中的对称点位置。
（5）将计算出的每个像素位置(x , y )平移到圆心位于(x c , y c )的圆的轨迹上，即分别沿水平和垂直方向平移x c 和y c ，平移后的坐标值为(x', y' )，c x x x ′=+，c y y y ′=+。
（6）重复第（3）至（5）步，直到x ≥y 时为止。
下面以半径r = 10、圆心在原点的圆为例来说明按上述算法计算第一八分圆上的像素位置的过程。
首先求出初始点(x 0, y 0) = (0, 10)，判别式d 0 = 1−r =1−10 = −9，其后续的判别式计算结果和生成的像素位置如表3-1所示。
经过计算最后生成的从(x 0, y 0)到(x 7, y 7)第一八分圆上的8个像素位置如图3-8所示。
表3-1以原点为圆心r =10的第一八分圆的判别式的值和像素位置 n d 2x n + 32x n − 2y n + 5 (x n , y n ) 0 −9 3- (0, 10) 1 −6 5- (1, 10) 2 −1 7- (2, 10) 3 6 -−9 (3, 10) 4 −3 11- (4, 9) 5 8 -−3 (5, 9) 6 5 -1 (6, 8) 7 6 - - (7, 7)3.2.4 Bresenham 画圆算法与中点画圆算法一样，Bresenham 画圆算法也是先考虑圆心在原点、半径为r 的第一四分圆的生成，即取(0, r )为起点，按顺时针方向生成第一四分圆，然后根据圆的对称特性通过对称变换生成整圆。
计算机图形学的基本概念与算法
计算机图形学的基本概念与算法计算机图形学是研究如何利用计算机生成、处理和显示图像的学科。
它在许多领域中都有广泛应用，例如电影制作、游戏开发、医学成像等。
本文将介绍计算机图形学的基本概念和算法，并分步详细列出相关内容。
一、基本概念1. 图像表示：计算机图形学中，图像通常使用像素（Pixel）来表示。
每个像素包含了图像上一个特定位置的颜色或灰度值。
2. 坐标系统：计算机图形学使用不同的坐标系统来表示图像的位置。
常见的坐标系统有笛卡尔坐标系、屏幕坐标系等。
3. 颜色模型：计算机图形学中常用的颜色模型有RGB模型（红、绿、蓝）和CMYK模型（青、品红、黄、黑）等。
RGB模型将颜色表示为三个分量的组合，而CMYK模型用于打印颜色。
4. 变换：变换是计算机图形学中常用的操作，包括平移、旋转、缩放和剪切等。
通过变换，可以改变图像的位置、大小和方向。
5. 插值：在计算机图形学中，插值是指通过已知的数据点来推测未知位置的值。
常见的插值方法有双线性插值和双三次插值等。
二、基本算法1. 线段生成算法：线段生成是图形学中最基本的操作之一。
常见的线段生成算法有DDA算法（Digital Differential Analyzer）和Bresenham算法。
DDA算法通过计算线段的斜率来生成线段上的像素，而Bresenham算法通过绘制画板上的一个像素来逐渐描绘出整条直线。
2. 多边形填充算法：多边形填充是将一个多边形内的区域用颜色填充的过程。
常见的多边形填充算法有扫描线算法和边界填充算法。
扫描线算法通过扫描多边形的每一条水平线，不断更新当前扫描线下方的活动边并进行填充。
边界填充算法从某点开始，向四个方向延伸，逐渐填充整个多边形。
3. 圆弧生成算法：生成圆弧是计算机图形学中常见的操作之一，常用于绘制圆形和曲线。
常见的圆弧生成算法有中点圆生成算法和Bresenham圆弧生成算法。
中点圆生成算法通过计算圆弧中的每个点与圆心的关系来生成圆弧上的像素，而Bresenham圆弧生成算法通过在八个特定的扫描区域内绘制圆弧上的像素。
计算机图形学的基本算法
计算机图形学的基本算法计算机图形学是研究如何利用计算机生成、处理和显示图像的学科。
图形学的基本算法涵盖了多个方面，包括图像绘制、几何变换、光照和渲染等。
以下将详细介绍计算机图形学的基本算法及其步骤。
1. 图像绘制算法：- 像素绘制算法：基于像素的图形绘制算法包括点绘制、线段绘制和曲线绘制。
例如，Bresenham线段算法可用于绘制直线。
- 多边形填充算法：多边形填充算法用于绘制封闭曲线图形的内部区域。
常见的算法包括扫描线填充算法和种子填充算法。
2. 几何变换算法：- 平移变换：平移变换算法用于将图像在平面上进行上下左右的平移操作。
- 旋转变换：旋转变换算法用于将图像按照一定的角度进行旋转。
- 缩放变换：缩放变换算法用于按照一定的比例对图像进行放大或缩小操作。
- 剪切变换：剪切变换算法用于按照一定的裁剪方式对图像进行剪切操作。
3. 光照和渲染算法：- 光照模型：光照模型用于模拟物体与光源之间的相互作用。
常见的光照模型有Lambert模型和Phong模型等。
- 阴影生成算法：阴影生成算法用于在渲染过程中生成逼真的阴影效果。
例如，阴影贴图和阴影体积等算法。
- 光线追踪算法：光线追踪算法通过模拟光线的路径和相互作用，实现逼真的光影效果。
常见的光线追踪算法包括递归光线追踪和路径追踪等。
4. 图像变换和滤波算法：- 傅里叶变换算法：傅里叶变换算法用于将图像从时域转换到频域进行分析和处理。
- 图像滤波算法：图像滤波算法用于对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作。
常见的滤波算法包括均值滤波、高斯滤波和Sobel算子等。
5. 空间曲线和曲面生成算法：- Bézier曲线和曲面算法：Bézier算法可用于生成平滑的曲线和曲面，包括一阶、二阶和三阶Bézier曲线算法。
- B样条曲线和曲面算法：B样条算法可用于生成具有更高自由度和弯曲度的曲线和曲面。
以上列举的是计算机图形学中的一些基本算法及其应用。
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y′轴计算矩，那么矩具有旋转不变性。
y(xi , yj )O Nhomakorabeax
多边形位置由质心表示 多边形方向可由主轴定义
问题：如何用几何矩求面积？
m q p ( )dxdy pdx qdy x y k 1 Lk
令q=x,p=-y,得
1 m 1 m pk 1 S ydx xdy pk ydx xdy 2 k 1 pk pk 1 2 k 1 1 m ( xk yk 1 xk 1 yk ) 2 k 1
2 矢量
既有大小又有方向的量，也称向量。其几何意义一 般是指从起点指向终点的有向线段。 矢量的加减法 矢量的点乘：a· b=|a|· |b|· cos(a,b) 矢量的叉乘：∣a×b∣=|a|· |b|· sin(a,b)
矢量的混合积： (a×b)· c
3 点与线的关系
点在线上 点在有向线的左侧 点在有向线的右侧
思考：如何求线段与线段的距离？
12 几何矩
对于二元有界函数f ( x , y )，它的( j + k )阶矩为
M jk
x j y k f ( x, y )dxdy j, k 0,1,2,
集合{Mjk }对于函数f (x，y)是惟一的，也只有
f(x，y)才具有这种特定的矩集。
问题：用向量叉乘的方法能不能计算多边形的面积？ 如何判断多边形的走向是顺时针还是逆时针？
顺向点 逆向点
10 三角网剖分
简单多边形的三角剖分
离散点集的三角网剖分
11 点到线段的距离
11 点到线段的距离
如何判断角度是锐角还是钝角 如何计算点到直线的距离 （ 1 ）构建直线方程，利用点到直线的距离公式 求取距离。 （ 2 ）计算向量叉乘，其结果的一半为三角形的 面积，除以边长的2倍，即得高，就是要求的距 离。
6 线与面的关系
当N=-1时，令λ=│D1│/ (│D1│+│D2│) 若N2<0，则线段的[0,λ]间的部份在面的前面；
6 线与面的关系
当 N=0时，线段在面之上。此时线段在面的正面 或在面的背面。若另两个端点中有一端点在面的 前面，则此线段在 面的正面，可见；若另两端 点均在面之后，此时线段在面的背面，需和此面 比较，他们的投影公共部份即为棱的不可见部份。
计算机图形学基础
Computer Graphics
第三章 基本图形算法（三）
赵东保 华北水利水电学院 2011.9
1 概述
在计算机图形学中，经常需要处理一些共性的 问题，如判断两条线段是否相交，它们的交点 是多少；线段与面之间的位置关系；点是否落 在面内，点与线段的位置关系等等，这些问题 也是计算机图形学的基本问题。
7 面与面的关系
二维平面内，多边形的关系主要为 多边形之间相交 一个多边形在另一个多边形内 多边形之间相离
7 面与面的关系
三维空间内，如何判断多边形之间的遮挡关系？
8 射线求交
射线与直线求交 设直线方程为 ax+by+c=0 ，射线方程为 x=d1t+x0 ， y=d2t+y0。(t>0) 把射线方程代入直线方程有： (ad1+bd2)t+ax0+by0+c=0 若ad1+bd2=0，直线与射线平行 若ad1+bd2不为零，可求得t=-(ax0+by0+c)/(ad1+bd2) 若t<0，则无交点；t=0，直线与射线重合，t>0,则 有交点。
M ' jk
x 1 N j k ( x x ) ( y y ) f ( x, y ) y 1 M
3 主轴 使二阶中心矩从μ11变得最小的旋转角θ可以由下 式得出：
211 tan2 20 02
将x、y轴分别旋转θ角得坐标轴x′、y′，称为该物体的 主轴。如果物体在计算矩之前旋转θ角，或相对于x′、
5 线与线的关系
三维空间中，假定 Z 轴是深度 方向，如何判断空间两线段是 否相互遮挡？ 将两线段向XOY平面投影 利用参数方程求两投影线段的 交点，并获得参数λ，u。 将参数 λ ， u 代入 Z 方向的参数 方程，获得深度，比较深度可 判知遮挡关系
6 线与面的关系
二维平面内，主要有如下关系： 线段与面相交 线段在面内 线段与面相离
2 质心 当j=1, k=0 时，M10 对多边形区域来讲就是多边形区 域内所有点的 x 坐标的总和，类似地， M01 就是多边 形区域内所有点的y坐标的总和，所以
M10 M 01 x ,y M 00 M 00
就是物体的质心的坐标。 为了获得矩的不变特征，往往采用中心矩以及归 一化的中心矩。中心矩的定义为
12 几何矩
1 面积 参数j ＋k称为矩的阶。特别地，零阶矩是多边形的 面积， 即
M 00
f ( x, y )dxdy
对二维离散函数f (x，y)，零阶矩可表示为
M 00
x 1
N
f ( x, y )
y 1
M
所有的一阶矩和高阶矩除以M00后，与多边形区域大 小无关。
再令N=N1+N2
6 线与面的关系
则当N≤-2，线段在面的后面 N=0，线段在面上； N=-1，线段贯穿面； N>0，线段在面之前。（ N=1 和N=2 ）
6 线与面的关系
一条线段被一平面遮挡的判别原则如下： 当N>0时，面不遮挡线段，不用进行比较； 当N≤-2时，线段被面遮挡，两者在投影平面上的 公共部份即为线段被面遮挡的部份；
9 凸包的生成
步 1【找内点】：找到点集合的一个内点 G ，从 内点作水平向右的一向量L； 步 2【排序】：连接内点和全部点列，根据这些 连线与L的夹角按递增次序对点集排序，形成一 个双向链接表； 步 3【求凸包上的起点】：求取点列中的任一个 极点P0（X或Y的最小/大者）；
9 凸包的生成
步 4【求凸包上的一个顶点】：从 P0 出发依次考察连续 的三个顶点，如果是向逆向转（图中实心圆点），则前 进到下一点，否则删去三个顶点中的中间点（图中空心 圆点），且后退到上一点； 步5【求取凸包】：按步 4遍历点表，其结果即为点集的 有向凸包。这样求得的凸包是一个循环点列，选取任一 个起点均可作为凸包的起点。
5 线与线的关系
若A，B分别在CD的两侧；C，D分别在AB的两 侧则二者必相交 退化情况
5 线与线的关系
两线段的参数方程为：
两线段的交点应满足： 求得
代入u,v可得交点坐标
5 线与线的关系
三维空间中，怎样判断空间两线段是否相交，并 求出交点 参数方程求交 三点构成面，判断另一点是否在面上，再转为二 维平面上的判断线段是否相交 向三个平面投影：
3 点与线的关系
利用向量的叉乘可以判断点与线的各种关系
i a b xa xb j ya yb k 0 ( x a yb ya x b ) k 0
AB AD AB AC AB AE
4 点与面的关系
点在面内的包含性检测 空间一点是否在平面上
5 线与线的关系
判断两条线段是否相交 线段求交
8 射线求交
射线与面求交 假设面方程为 ax+by+cz+d=0 ，再设射线方程为 x=d1t+x0， y=d2t+y0，z=d3t+z0。(t>0) 把射线方程代入直线方程有： (ad1+bd2+cd3)t+ax0+by0+cz0+d=0 若ad1+bd2+cd3=0，射线与面平行 若ad1+bd2+cd3不为零，可求得 t=-(ax0+by0+cz0+d)/(ad1+bd2+cd3) 。若 t<0 ，则无 交点；t=0，射线与面重合，t>0,则有交点。
6 线与面的关系
二维平面内，如何判断线段在面内？
两个条件： （1）线段两端点都在面内 （2）线段和多边形边不相交 线段与多边形的交点如何求取？
6 线与面的关系
三维空间内，如何判断线段与面的遮挡关系 设线段的两端点为P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2) 平面方程：Ax+By+Cz+D=0 令 D1= Ax1+By1+Cz1+D D2= Ax2+By2+Cz2+D 当D1(D2)<0 设 N1(N2)=-2 当D1(D2)=0 设N1(N2)=0 当D1(D2)>0 设N1(N2)=1