第三章 计算机图形学基础
计算机辅助设计与制造第3章计算机图形学基础
3.3计算机绘图软件
3.3.1计算机绘图软件的主要功能 1．窗口定义与视区 2．图形描述 3．图形编辑与变换 4．图形控制 5．图形文件处理 6．交互处理功能
目前，绝大多数图形支撑软件都提供读、写 IGES文件的接口，使不同软件系统之间交换图形 成为现实。
(2)STEP产品模型数据交换标准
产品模型数据交换标准STEP(Standard for the Exchange of Product model data)是由ISO制 定并于1992年公布的国际标准。它是一套系列标 准，其目标是在产品生存周期内为产品数据的表 示与通信提供一种中性数字形式，这种数字形式 完整地表达产品信息并独立于应用软件，也就是 建立统一的产品模型数据描述。STEP标准能够 解决生产过程中产品信息的共享，从根本上解决 了CAD/CAM集成，CIMS信息集成的问题。
20世纪70年代之后，大规模集成电路技术的应 用使计算机的性能得到飞跃提高，为计算机绘图过 程中大量数据的检索、存储、处理提供了保证。图 形处理技术的进一步发展和完善，使人机交互图形 的生成趋于完善。
20世纪80年代是计算机绘图、CAD/CAM技术 进一步发展与推广使用的阶段，其硬件、软件都由 最初的研制、开发转向成熟和使用。以超级微机工 作站为基础的计算机绘图系统得到迅速发展。
2．鼠标 鼠标是一种手动输入的屏幕指示装 置，它用于控制光标在屏幕上的位置，以便在该 位置上输入图形、字符或激活屏幕菜单。鼠标器 操作简单、使用方便、价格便宜，是CAD/CAM系 统普遍采用的输入设备之一。鼠标器有机械式、 光电式、感应式和空间球四种。
3计算机图形学基础(2)
定义全局变量theMatrix， 代表3×3阶变换矩阵
void matrix3x3SetIdentity (Matrix3x3 m) { 初始化3×3矩阵函数 int i, j; 初始化结果为： for ( i=0; i<3; i++ ) for ( j=0; j<3; j++ ) m m[ i ][ j ] = ( i == j ); }
1 0 0 xm y 1 0 1 0 m n 1 0 0 1
y n 1
7
（2）旋转变换
Rotation
• 绕原点的旋转θ • 逆时针为正，顺时针为负
几何 形式
x x cos y sin y x sin y cos
定义函数matrix3x3PreMultiply实现矩阵乘法 22
二维图形的基本变换编程示例（C语言）
void translate2 (int tx, int ty) { Matrix3x3 m; matrix3x3SetIdentity (m); m[ 2 ][ 0 ]=tx; m[ 2 ][ 1 ]=ty; matrix3x3PreMultiply ( theMatrix, m ); }
cos sin 0 sin cos 0 x ' y ' 1 x y 1 0 1 0 x cos y sin x sin y cos 1
矩阵 形式
变换矩阵
cos sin T sin cos 0 0
计算机图形学基础教程
计算机图形学基础教程第一章：引言计算机图形学是研究计算机处理和生成图像的一门学科，它涵盖了从数学、计算机科学到视觉感知等多个领域。
本教程将介绍计算机图形学的基本原理和技术，并通过实例演示来帮助读者理解和应用这些知识。
第二章：矢量图形矢量图形是计算机图形学中重要的概念之一。
本章将介绍矢量图形的定义、特点以及其在计算机图形学中的应用。
我们将学习如何使用数学表示矢量图形，如何进行矢量图形的变换和组合等。
第三章：三维图形的表示与变换三维图形的表示与变换是计算机图形学中的核心问题之一。
本章将介绍三维图形的表示方法，包括顶点表示和多边形表示，并讨论如何进行三维图形的变换，如旋转、平移、缩放等。
第四章：光照模型与渲染技术光照模型和渲染技术是实现真实感图形的重要手段。
本章将介绍光照模型的基本原理，如漫反射、镜面反射等，并讨论如何利用光照模型和渲染技术来实现真实感图形的效果。
第五章：图形管线与渲染流程图形管线是计算机图形学中的一个重要概念，它描述了图形数据如何从输入到输出的过程。
本章将介绍图形管线的基本原理和流程，并讨论图形数据的处理过程，如顶点处理、光栅化、片元处理等。
第六章：纹理映射与贴图技术纹理映射和贴图技术是计算机图形学中常用的技术之一。
本章将介绍纹理映射的原理和方法，包括纹理坐标的计算、纹理过滤、纹理混合等，并讨论如何利用纹理映射和贴图技术来增强图形的真实感。
第七章：几何建模与曲面设计几何建模和曲面设计是计算机图形学中用于创建和编辑三维模型的技术。
本章将介绍几何建模的基本原理和方法，包括点、线、面的描述，以及曲线和曲面的表示与构造等。
第八章：动画与模拟动画和模拟是计算机图形学中用于呈现动态场景的重要手段。
本章将介绍动画和模拟的基本原理和技术，包括关键帧动画、插值动画、物理模拟等，并讨论如何利用动画和模拟来实现逼真的动态效果。
第九章：图形学应用与未来发展计算机图形学的应用广泛，涵盖了游戏、电影、虚拟现实、计算机辅助设计等多个领域。
计算机图形学基础知识重点整理
计算机图形学基础知识重点整理一、图形学基础知识1、图形学的定义：图形学是一门研究图形的计算机科学，它研究如何使用计算机来生成、处理和显示图形。
2、图形学的应用：图形学的应用非常广泛，它可以用于计算机游戏、虚拟现实、图形用户界面、图形设计、图形处理、图形建模、图形分析等。
3、图形学的基本概念：图形学的基本概念包括图形、坐标系、变换、光照、纹理、投影、深度缓冲、抗锯齿等。
4、图形学的基本算法：图形学的基本算法包括几何变换、光照计算、纹理映射、投影变换、深度缓冲、抗锯齿等。
5、图形学的基本技术：图形学的基本技术包括OpenGL、DirectX、OpenCL、CUDA、OpenGL ES等。
二、图形学的基本原理1、坐标系：坐标系是图形学中最基本的概念，它是一种用来表示空间位置的系统，它由一系列的坐标轴组成，每个坐标轴都有一个坐标值，这些坐标值可以用来表示一个点在空间中的位置。
2、变换：变换是图形学中最重要的概念，它指的是将一个图形从一个坐标系变换到另一个坐标系的过程。
变换可以分为几何变换和光照变换，几何变换包括平移、旋转、缩放等，光照变换包括颜色变换、照明变换等。
3、光照：光照是图形学中最重要的概念，它指的是将光照投射到物体表面，从而产生颜色和纹理的过程。
光照可以分为环境光照、漫反射光照和镜面反射光照。
4、纹理：纹理是图形学中最重要的概念，它指的是将一张图片映射到物体表面，从而产生纹理的过程。
纹理可以分为纹理映射、纹理坐标变换、纹理过滤等。
5、投影：投影是图形学中最重要的概念，它指的是将一个三维图形投射到二维屏幕上的过程。
投影可以分为正交投影和透视投影，正交投影是将三维图形投射到二维屏幕上的过程，而透视投影是将三维图形投射到二维屏幕上，从而产生透视效果的过程。
《CADCAM技术》复习提纲整理汇总
复习提纲题型1．填空题15分2．单项选择题8分3．多项选择题8分4．判断题10分5．简答题24分6．计算算法题35分（3道题都源于第三、第四章重点内容里面）第一章概述12数据存储、数值计算、数据处理、自动控制、辅助设计、人工智能、娱乐活动2.1计算机的主要优势：储存量大，运行速度快，可无限利用已有信息3、理解“以技术人员为中心的制造模式”和“以计算机为中心的制造模式”技术中心：技术人员按照不同的分工，接受前道工序的工作才能延续下去，只能按照时间顺序执行计算机为中心：利用计算机使整个过程有序化和并行化，大大减少设计制造过程链的长度5、CAD、CAM、CAE、CAPP、PDM的概念、基本功能和CAD/CAM的技术原理？6、CAD/CAM的技术软件一般包含的基本功能？应具备图形图像处理、产品与过程建模、信息存储与管理、工程计算分析与优化、工程信息传输与交换、模拟与仿真、人机交互、信息的输入和输出等基本功能。
7、CAD/CAM的主要任务有哪些？几何建模、工程绘图、计算分析、优化设计、有限元分析、计算机辅助工艺规程设计、数控编程、动态仿真、计算机辅助测试技术、工程数据管理7、能写出五种以上的主流计算机辅助软件，并能简述其特点。
Proe：以其参数化、基于特征、全相关等概念闻名于CAD界。
该软件的应用领域主要是针对产品的三维实体模型建立、三维实体零件的加工、以及设计产品的有限元分析。
Ug：一般认为UG是业界最好、最具有代表性的数控软件，它提供了功能强大的刀具轨迹生成方法Solidword：三维造型是该软件的主要优势，功能强大、易学易用、技术创新这三大特点❖AutoCAD，CAXA，Pro/E，I-DEAS，UG，CATIA，SolidWorks8、CAD/CAM技术的发展趋势？设计思想参数化、设计平台微机化、应用模式集成化、设计过程智能化、应用手段网络化、设计模型实体化与可视化、设计方法并行化、设计技术标准化4、掌握现代产品研发的过程和在不同的阶段采用哪种具体的CAD/CAM技术。
计算机图形学基础答案全
计算机图形学作业答案第二章图形系统第二章图形系统1． 什么是图像的分辨率？什么是图像的分辨率？解答：在水平和垂直方向上每单位长度（如英寸）所包含的像素点的数目。
在水平和垂直方向上每单位长度（如英寸）所包含的像素点的数目。
2． 计算在240像素像素//英寸下640640××480图像的大小。
图像的大小。
解答：（640/240640/240））×(480/240)(480/240)或者（或者（或者（8/38/38/3）×）×）×22英寸。
英寸。
3． 计算有512512××512像素的2×2英寸图像的分辨率。
英寸图像的分辨率。
解答：512/2或256像素像素//英寸。
英寸。
第三章 二维图形生成技术a) 一条直线的两个端点是（0，0）和（6，18），计算x 从0变到6时y 所对应的值，并画出结果。
并画出结果。
解答：由于直线的方程没有给出，所以必须找到直线的方程。
下面是寻找直线方程（由于直线的方程没有给出，所以必须找到直线的方程。
下面是寻找直线方程（y y ＝mx mx＋＋b ）的过程。
首先寻找斜率：）的过程。
首先寻找斜率： m m ＝＝ ⊿y/y/⊿⊿x x ＝＝ （y 2－y 1）/（x 2－x 1） ＝ （1818－－0）/(6/(6－－0) 0) ＝＝ 3 接着b 在y 轴的截距可以代入方程y ＝3x 3x＋＋b 求出求出 0 0 0＝＝3（0）＋）＋b b 。
因此b ＝0，所以直线方程为y ＝3x 3x。
b) 使用斜截式方程画斜率介于0°和45°之间的直线的步骤是什么？°之间的直线的步骤是什么？ 解答：1.1. 计算dx dx：：dx dx＝＝x 2－x 1。
2.2. 计算dy dy：：dy dy＝＝y 2－y 1。
3.3. 计算m ：m ＝dy/dx dy/dx。
4.4. 计算b: b b: b＝＝y 1－m ×x 15.5. 设置左下方的端点坐标为（x ，y ），同时将x end 设为x 的最大值。
第3讲 计算机图形学基础
抖动反走样算法：高分辨率计算，低分辨率显示
3.2 图形变换
• 图形变换的数学基础
– 向量运算 – 矩阵运算
• 二维变换 • 三维变换
矩形的包围盒是其本身，圆的包围盒是该圆的边界矩形 圆弧的包围盒的计算主要是由因弧的起始点和终止点，以及 与通过圆心的4个坐标轴相交的交点
自由曲线的包容盒则可根据离散的小直线段的起始点和终止 点比较后获得，若精确求解并不经济，因图形显示采用离散 多边形，且图形变换频繁。
复杂组合图形的包容盒则可以在简单图形的包容盒基础上 进行比较得到。
求交算法
求交计算是常用算法。区域填充时要求线段交点， 消隐算法需要直线和平面多边形的求交等。 求交运算比较复杂，为减小计算量，求交计算前， 先用凸包进行粗略比较，先排除显然不相交情形。 求交计算是CAD系统的重要部分，其准确性与效率 直接影响CAD系统的可靠性与实用性。
求交问题可以分为两类 ： 求交点：线线求交、线面求交 求交线：面面求交
图形的具体应用范围很广，但是从基本的处理技术看只有两类： 一类是线条，如工程图、地图、曲线图表等；
另一类是明暗图，与照片相似。为了生成图形，首先要有原 始数据或数学模型，如工程人员构思的机械零件模型，飞机 的总体方案模型，地形航测的判读数据等等。这些数字化的 输入经过计算机处理后变成图形输出。
对字母T进行旋转变换 （旋转60°)
平移变换
上述四种变换都可以通过变换矩阵 必须满足下面的关系 x ' x x
y' y y
计算机图形学基础(第2版)课后习题答案__陆枫
第一章绪论概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、图形的几何要素、非几何要素、数字图像处理；计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。
第二章图形设备图形输入设备：有哪些。
图形显示设备：CRT的结构、原理和工作方式。
彩色CRT：结构、原理。
随机扫描和光栅扫描的图形显示器的结构和工作原理。
图形显示子系统：分辨率、像素与帧缓存、颜色查找表等基本概念，分辨率的计算第三章交互式技术什么是输入模式的问题，有哪几种输入模式。
第四章图形的表示与数据结构自学，建议至少阅读一遍第五章基本图形生成算法概念：点阵字符和矢量字符；直线和圆的扫描转换算法；多边形的扫描转换：有效边表算法；区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；内外测试：奇偶规则，非零环绕数规则；反走样：反走样和走样的概念，过取样和区域取样。
5.1.2 中点Bresenham 算法（P109）5.1.2 改进Bresenham 算法（P112）习题解答习题5（P144）5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
（P111）解：k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最大位移方向故有构造判别式：推导d各种情况的方法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：所以有：y Q-kx Q-b=0 且y M=y Qd=f(x M-kx M-b-(y Q-kx Q-b)=k(x Q-x M)所以，当k<0，d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 P l(x i-1,y i+1)。
d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr(x i,y i+1)。
d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点Pr(x i,y i+1) 。
所以有递推公式的推导：d2=f(x i-1.5,y i+2)当d>0时,d2=y i+2-k(x i-1.5)-b 增量为1+k=d1+1+k当d<0时,d2=y i+2-k(x i-0.5)-b 增量为1=d1+1当d=0时,5.7 利用中点Bresenham 画圆算法的原理，推导第一象限y＝0到y＝x圆弧段的扫描转换算法（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
计算机图形学(1-3章讲义汇总整理)
图形显示系统是计算机图形处理系统中极其重要的部分。图形显示系统负责实时显示图 形处理的中间或最终结果，为用户提供可视的工作界面等。PC 机的图形显示系统逻辑上是 由监视器(Monitor，又称显示器)和显示卡(又称显示适配器)两大部分组成。目前显示器中主 要包括阴极射线管(CRT)，液晶显示器(LCD)和等离子显示器(PDP)。
图形输入板与坐标数字化仪
图形输入板与坐标数字化仪两者的工作原理与功能完全相同，它们都是将图形转变成计 算机能接收的数字量的专用设备。它们按工作原理的不同分为电磁式、超声波式、电位梯度 式、机械式等多种。数字化仪往往具在定位、拾取、选择的功能，其主要性能指标有分辨率、 精度和幅面。许多数字化仪提供多种压感。现在非常流行的汉字手写系统就是一种数字化仪。
光笔
光笔是一种手持检测光的装置，它直接在屏幕上操作，拾取位置。光笔原理简单，操作 直观，但荧光屏的分辨率、电子束扫描速度、荧光粉的特性、笔尖与荧光粉的距离和角度等 诸多因素都会影响光笔的分辨率与灵敏度。另外，光笔对于荧光屏上不发光的区域无法检测， 也不能用于液晶、等离子体等类型的显示器。
触摸屏
触摸屏利用手指等对屏幕的触摸位置进行定位。按工作原理可以分为：电阻式、电容式、 红外线式和声波表面波式。
计算机图形学的研究内容 计算机图形学的定义
计算机图形学是利用计算机来建立、处理、传输和存储从某个客观对象抽象得到的几何 和物理模型，并根据模型产生该对象图形输出的有关理论、方法和技术。1982 年，国际标 准化组织 ISO 将计算机图形学定义为：研究用计算机进行数据和图形之间相互转换的方法和 技术。
CRT 显示器
CRT 显示器由于分辨率和可靠性高、速度快、成本低等优点，多年来一直是图形显示系 统中最重要的设备。CRT 显示器的工作方式分为随机扫描和光栅扫描两种方式，目前以光栅 扫描方式为主，这是因为，虽然随机扫描图形显示器具有画线速度快、分辨率高等优点，但 难以生成具有多种灰度和颜色且色调能连续变化的图形，而光栅扫描图形显示器却可以生成 有高度真实感的图形，因而已成为 PC 机和 Macintosh 计算机以及各种工作站所使用的最重 要的信息显示设备。
3D模型设计与计算机图形学基础知识介绍
3D模型设计与计算机图形学基础知识介绍第一章：介绍随着科技的不断进步，3D模型设计和计算机图形学越来越受到人们的关注。
本文将主要介绍3D模型设计和计算机图形学的基础知识，让读者更好地了解这两个领域，并较好地使用这些知识。
第二章：3D模型设计3D模型设计是一种将物理对象转换为数字形式的过程。
用户可以在计算机上创建虚拟对象，并可以对这些对象进行编辑和修改。
3D模型设计可用于制作三维动画，建筑和产品设计等领域。
3D建模软件通常包括多种工具和功能。
最常见的工具包括平移、旋转和缩放工具。
此外，3D建模软件还可以包括细节工具，如材料和纹理工具。
使用这些工具，用户可以在3D空间中创建具有细致纹理和复杂几何形状的模型。
第三章：计算机图形学计算机图形学是指将数字图像转换为计算机处理器可以理解的形式。
计算机图形学包括渲染、动画和虚拟现实等方面。
它将3D模型设计的数字表示转换为一系列复杂的图像。
计算机图形学中的一个重要方面是图像处理。
这种处理可以是基于像素的，也可以基于几何形状的。
例如，图像处理可以用于创建视觉效果，如一部电影中的火焰和爆炸。
第四章：软件用于3D模型设计和计算机图形学的软件有许多不同的选项。
其中，最受欢迎的软件包括3ds Max、blender、Maya等。
这些软件提供了丰富的工具和特性，可帮助用户快速方便地创建3D模型和图形。
第五章：使用3D模型设计和计算机图形学的领域3D模型设计和计算机图形学已被广泛应用于许多领域。
建筑师、制造商和游戏设计者都使用它们来创建复杂的3D对象和场景。
此外，3D模型设计和计算机图形学也被广泛应用于视觉效果和虚拟现实等领域。
第六章：结论3D模型设计和计算机图形学的发展，让我们不仅能够创建独特的3D模型和图像，还能够将它们与现实世界相结合。
通过学习3D模型设计和计算机图形学的基础知识，读者可以更好地了解这两个领域，并在实践中使用这些知识。
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第三章 计算机图形学基础
一、计算机绘图技术的发展现状
计算机绘图技术起源于20 世纪50 年代，现在 计算机绘图技术已进入开放式、标准化、集成化和
智能化的发展时期。计算机绘图技术不仅在工程设
计领域得到广泛应用，而且已延伸到艺术、电影、 动画、广告和娱乐等领域，产生了巨大的经济效益 和社会效益，在国民经济和科技进步中起到了不可 替代的作用。
若a=d=1，为恒等变换，变换后的图形不变； 若a=d≠1，>1时为等比例放大，<1时为等比例缩小； 若a≠d，图形在x，y两个坐标方向以不同的比例变换。
（2）对称变换
a b 0 x' y' 1 x y 1 c d 0 ax cy bx dy 1 0 0 1
O
x'
y ' 1 x
0 1 0 1 0 0 y y 1 0 0 1
x 1
⑤ - 45°线对称
Hale Waihona Puke 'y ' 1 x
0 - 1 0 - 1 0 0 y y 1 0 0 1
x 1
（3）旋转变换
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Txoz
1 0 0 - 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
3、错切变换
1 b c d 1 f T h i 1 0 0 0
0 0 0 1
x'
y' z ' 1 x y z 1 T x dy hz bx y iz cx fy z 1
X O
其中：l为x方向平移量，m为y方向平移量。
二维图形基本变换矩阵讨论：
a b p c d q T l m s
特点：图形变换 矩阵都是相对于 原点的变换矩阵
a T1 c
b 比例、对称、错切、 d 旋转等基本变换；
T 2 l m 实现图形平移变换；
a d T h l
b c p e f q i j r m n s
右下角子矩阵：
比例变换。
1、比例变换
a 0 T 0 0 0 0 0 e 0 0 0 j 0 0 0 1
x'
y' z ' 1 x
y
z 1 T ax ey
图形标准 软 件 标 准
GKS 图形核心系统 PHIGS 程序员层次交互图形系统
图形和图像编码
CGM计算机图形元文件编码 CGI 计算机图形接口编码 IGES初始图形交换规范 STEP 产品模型数据交换标准
数据交换标准
四、图形几何变换
计算机图形学的核心基础，是CAD/CAM系
统必不可少的重要内容，也是实现动态仿真、虚
(3) 旋 转 变 换
对于三维变换，要注意矩阵乘法也不满足交换律。
5）三维图形的投影变换
将三维坐标表示
的几何形体变为二维
图形的过程称为投影 变换。 根据投影中心与 投影平面之间距离的
不同，投影可分为平
行投影和透视投影
平行投影
(1) 正投影变换
(三视图)
机械设计中 通常需要将三维
图形转换成二维
工程图，其变换
(2) 正轴侧投影变换
将三维图形依次绕两个坐标轴转一定的角度后，
再向包含这两个坐标轴的平面作正投影变换。 例如，先绕Y轴旋转β角，再绕X轴旋转α角，然 后再向XOY 平面作投影。
Tx
0 1 0 cos 0 sin 0 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
（2）绕y轴旋转a角的 变换矩阵：平行于xoz
cos 0 Ty sin 0
0 sin 1 0 0 0 cos 0
0 0 0 1
例：平面三角形 A 齐次坐标矩阵可以表示为：
x
x1 A x2 x3
y1 1 y 2 1 y3 1
3 A 1 o 2
y
若图形 A 经过某种变换后得到图形 B 则有： B = A ·T
2）二维图形的基本几何变换
比例变换 基 本 变 换 对称变换 旋转变换
平移变换
主 要 功 能 图形控制 图形文件处理
基本功能
交互处理功能
尺寸驱动的变量设计能力 参数化建图库工具 高级语言的接口 高级功能
基本绘图指令软件
功 能
软 使用情况 件 类 型
子程序软件包 图形支撑软件 交互式绘图软件
标准机械零件图形软件 机械装配图绘制软件
专用图形软件
服装设计软件 建筑图设计生成软件 电子线路板绘图软件
错切变换
透视变换
a b p c d q T l m s
（1）比例变换
a 0 0 T 0 d 0 0 0 1
坐标点 (x , y , 1) 变换运算：
x'
y ' 1 x
a 0 0 y 1 0 d 0 ax dy 1 0 0 1
基本变换矩阵之积称为复合变换矩阵。
(1) 图形相对于任一点(e，f )作旋转θ角的旋转变换
(2) 图形相对于任一点( e, f )作缩放A倍的比例变换
(3) 图形相对于任意直线 ax+by+c=0 作对称变换
b arctan( ) a
4）三维图形的基本几何变换
左上角子矩阵：比例、对 称、错切和旋转变换 左下角子矩阵： 平移变换； 右上角子矩阵： 透视变换；
p T3 q
实现图形透视变换； 实现图形全比例变换， s>1等比例缩小； 0<s<1等比例放大。
T 4 s
3）二维图形的复合变换
工程应用中的图形变化都是多种多样 的，只有对图形连续进行多次基本几何变 换后才能达到要求。
这种由几个基本变换有序地结合所构
成的变换称为组合变换或复合变换。多个
拟现实(VR)技术的基础。
图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关
系以及组成图形的面和线的表达模型所决定。
图形变换就是将图形上点的坐标变换成新图 形上对应点的坐标，图形的几何变换是点的坐标
变换。
只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型
的参数，不会改变它们的拓扑关系，而且面、线
的表达模型参数也由相关的顶点坐标所确定。
绕坐标原点旋转，逆时针为正，顺时针为负
x'
x
y ' 1 cos y 1 - sin 0 sin cos 0 0 0 1
x cos y sin
x sin y cos 1
（4）错切变换
x '
y ' 1
1 b 0 x y 1 c 1 0 0 0 1 x cy bx y 1
Y B' A' O A B C' C
x'
y ' 1 x
X
x y 1
③ 对原点对称
1 0 0 x' y' 1 x y 1 0 1 0 0 0 1
B'
C
A O A'
B
X
x y 1
C'
④ 45°线对称
A
C
B B' A' C' X
jz 1
其中，a，e，j分别为x，y，z方向的比例因子。
2、对称变换 相对于xoy平面、yoz平面和xoz平面三个坐
标平面的对称变换矩阵分别为：
1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0
Txoy
Tyoz
- 1 0 0 0
1）齐次坐标
定义：用 N+1 维向量表示一个 N 维向量。 对于一个 N 维空间位置矢量，在正常坐标
下表示为 [x1 , x2 , x3 , … , xn ]，
在齐次坐标下该矢量应该表示成 N+1 维空
间位置矢量 [ hx1 , hx2 , hx3 , … , hxn , h ]。
当 h 取不同值时，一个N维空间位置矢量在
其中：c为x方向错切系数，b为y方向错切系数。 ① 当b=0, x’=x+cy。c>0沿+x方向错切；c<0沿-x方向错切。
② 当c=0, y’=bx+y。b>0沿+y方向错切； b<0沿-y方向错切。
（5）平移变换
x '
y ' 1 0 0 1 0 m 1 1
m
Y
1 0 x y 1 l x l y m
换具有统一的变换矩阵格式，并可以将这些变换
结合在一起进行组合变换，同时也便于计算。
对于由多个点、线、面组成的N维图形，有
V* = V ·T
式中：
V 为变换以前图形的顶点齐次坐标矩阵；
V*为变换以后图形的顶点齐次坐标矩阵； T 为图形变换矩阵。 对于二维图形，T 是3×3 阶齐次矩阵； 对于三维图形，T 是4×4 阶齐次矩阵。 图形变换的主要工作就是求解变换矩阵T。
其中：d、h：沿x方向的错切系数；
b、i： 沿y方向的错切系数；
c、f： 沿z方向的错切系数。
4、平移变换
1 0 0 1 T 0 0 l m
0 0 0 0 1 0 n 1
l，m，n 为x，y，z三个坐标方向的平移量。
5、旋转变换 （1）绕x轴旋转a角的 变换矩阵：平行于yoz
可认为是一组约
定的组合变换。
主视图变换矩阵（令y＝0）