2竖曲线详解
3.2竖曲线设计
1. 定义 2. 分类 3. 作用 我国采用二次抛物线或圆曲线作为竖曲线 但计算时采用圆曲线
竖曲线设计
①竖曲线要素 a.直线 b.竖曲线（凹形、凸形）
②竖曲线方程
③竖曲线半径选择 满足《规范》规定竖曲线最小半径和最小长度 要求。 ④竖曲线几何要素 曲线长 L=Rω
L R(i2 i1 ) 切线长 T 2 2
外距
T E 2R
2
⑤点绘竖曲线 a.计算竖曲线上任意点纵距y： l = 任意点桩号－起点桩号 或者=终点桩号－任意点桩号
l y 2R
b.设计高程 = 切线高程±y c.绘制竖曲线
2
逐桩设计高程计算
竖曲线要素的计算公式： 变坡角ω= i2- i1 曲线长：L=Rω 切线长：T=L/2= Rω/2
纵 距： y x
2
2R
竖曲线起点桩号: QD=BPD - T 竖曲线终点桩号: ZD=BPD + T
一． 竖曲线要素计算
变坡角 1 （“ ”为凸曲线、“ ”为凹曲线） 2 曲线长L R 切线长T L 2 T2 外矢距E 2 R x2 切高y 2 R
h
X
某平原微丘区二级公路，转坡点桩号为K10+200,变坡点高程为125.52米， 两相邻路段纵坡为i1= +5%，i2=—3%。竖曲线半径选用5000米。计 算 1.竖曲线基本要素。 2.竖曲线起点和终点桩号。 3.求K10+000 ,K10+100，K10+200, K10+300, பைடு நூலகம்10+400桩号的设计标高。
作业：某平原微丘区二级公路，转坡点 桩号为K10+200,变坡点高程为125.52 米，两相邻路段纵坡为i1= －5%， i2=+3%。竖曲线半径选用5000米。计 算 1.竖曲线基本要素。 2.竖曲线起点和终点桩号。 3.求K10+000 ,K10+100，K10+200, K10+300, K10+400桩号的设计标高。 放在讲桌上 不要替没来上课的同学做
竖曲线起点桩号=变坡点桩号-T 竖曲线终点桩号=变坡点桩号+T 某桩号在凸（凹）曲线上的设计标高 =该桩号在切线上的设计高-（+）y
x2 h 2R
X
教材的方法
X
设计高程计算：
l h 2R
2
对于凸曲线，设计标高=未设竖曲线时的标高-h 对于凹曲线，设计标高=未设竖曲线时的标高+h X 推荐的方法
解：1 计算竖曲线的基本要素 两相邻纵坡的坡度差：ω =i1-i2= 0.05-(-0.03)=0.08 竖曲线长度：L=Rω=5000×0.08=400m 切线长度：T=R×ω/2=5000×0.08÷2=200m 竖曲线外距：E=T2/2R=2002/（2×5000）=4m 2,求竖曲线起点终点桩号 （1）竖曲线起点桩号=K10+200-T=K10+200-200=K10+000 （2）竖曲线终点桩号=K10+200+T=K10+200+200=K10+400 3.求竖曲线内桩号的设计标高 （1）k10+000 处 切线设计标高=125.52－200×0.05=115.52m 纵距h=0 设计标高=115.52m
2）k10+100 处 切线设计标高=115.52+100×0.05=120.52m 纵距h=x2/2R=1002/(2×5000)=1m 设计标高=120.52-1=119.52m 3）K10+200为竖曲线中点 切线设计标高=125.52m（变坡点） 纵距h=4m（外距） 设计标高=125.52-4=121.52m 4） K10+300 切线设计标高=115.52+300×0.05=130.52m 纵距h=x2/2R=3002/(2×5000)=9m 设计标高=130.52-9=121.52m 5）k10+400 处(终点） 切线设计标高=125.52－200×0.03=119.52m 纵距h=0 设计标高=119.52m
竖曲线——精选推荐
竖曲线是在变坡点处，为了行车平顺的需要而设置的一段曲线。
竖曲线的形状，通常采用圆曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上抛物线比圆曲线更为方便，故一般采用二次抛物线。
在纵坡设计时，由于纵断面上只反映水平距离和竖直高度，因此竖曲线的切线长与弧长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两条纵坡线相交角用坡度差表示。
一、竖曲线要素计算如图3-3所示，设变坡处相邻两纵坡度分别为i1和i2，坡度差以ω表示，则坡度差ω为i1和i2的代数差，即ω= i1-i2：当ω>0时，则为凸形竖曲线；当ω<0时，则为凹形竖曲线。
图3-3竖曲线示意图1、竖曲线的基本方程二次抛物线作为竖曲线的基本形式是我国目前常用的一种形式。
如图3-4所示，用二次抛物线作为竖曲线的基本方程：3-4 竖曲线要素示意图竖曲线上任意一点的斜率为：当x=0时：k= i1,则b= i1；当x=L，r=R时：，则：因此，竖曲线的基本方程式为：或 (3-19)2、竖曲线的要素计算曲线长：（3-20）切线长：（3-21）外距：（3-22）曲线上任意一点的竖距（改正值）：（3-23）二、竖曲线设计标准竖曲线的设计标准包括竖曲线的最小半径和最小长度。
1、竖曲线设计的限制因素（1）缓和冲击汽车在竖曲线上行驶时会产生径向离心力，在凸形竖曲线上行驶会减重，在凹形竖曲线上行驶会增重，如果这种离心力达到某种程度时，乘客就会有不舒适的感觉，同时对汽车的悬挂系统也有不利影响，故应对径向离心力加速度加以控制。
根据试验得知，离心加速度a限制在0.5～0.7m/s2比较合适。
汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为：（3-24）《标准》中确定竖曲线半径时取a=0.278 m/s2。
或（3-25）（2）行程时间不宜过短汽车从直坡段驶入竖曲线时，如果其竖曲线长度过短，汽车倏忽而过，冲击力大，旅客会感到不舒适，太短的竖曲线长度从视觉上也会感到线形突然转折。
因此，应限制汽车在竖曲线上的行程时间，一般不宜小于3s。
竖曲线讲解
竖曲线讲解Vertical Curve ExplanationA vertical curve is a geometric design element used in road and highway engineering to provide a smooth transition between two different grades or elevations. It ensures a comfortable and safe driving experience by gradually changing the slope of the road, reducing the impact on vehicles and passengers.竖曲线是道路和公路工程中使用的几何设计元素，用于在两个不同的坡度或高程之间提供平滑过渡。
它通过逐渐改变道路的坡度，确保舒适和安全的驾驶体验，减少对车辆和乘客的冲击。
There are two types of vertical curves: sag curves and crest curves. Sag curves are concave downward, resembling the shape of a valley, and are used when the road descends from a higher elevation to a lower one. On the other hand, crest curves are convex upward, resembling the shape of a hill, and are employed when the road ascends from a lower elevation to a higher one.竖曲线分为两种类型：凹曲线和凸曲线。
凹曲线向下凹，形似山谷，用于道路从较高高程降至较低高程的情况。
第三章竖曲线解析
④牵引力T与扭矩Mk之间的函数关系式
M k M T n T 0.377 MT r r V
⑤牵引力T与功率P之间的函数关系式
(N )
n P T = 0.377 MηT = 3600 ηT V V
3.汽车运动方程
汽车在道路上行驶时，必须有足够的驱动力来 克服各种行驶阻力。当驱动力与各种行驶阻力之 代数和相等的时侯，称为驱动平衡。驱动平衡方 程式（也称汽车的运动方程式）为： T=R= Rw + RR + RI
坡度＝两变坡高差/平距 直坡段 坡长：水平距离
h i L (%)
上坡为正
下坡为负 平坡为0
纵断面设计线 凸型竖曲线 竖曲线段 凹型竖曲线 半径R 长度L（水平距离） 竖距h
路线纵断面线形布臵包括路基设计标高、纵坡、变坡点。 其中路基设计标高，《规范》规定如下： 1.新建公路的路基设计标高： 高速公路和一级公路采用中央分隔带的外侧边缘标高； 二、三、四级公路采用路基边缘标高,在设臵超高、加宽地 段为设超高、加宽前该处边缘标高。 2.改建公路的路基设计标高： 一般按新建公路的规定办理，也可视具体情况而采用行车 道中线处的标高。
V1取值
低速路为设计速度 高速路为载重汽车的最高速度
（3）理想的最大纵坡确定
根据V1和动力特性图查出D1，则称i1为理想的最大纵坡：
f i1
D1
i1 D1 f
（4）理想的最大纵坡的意义
在具有不大于的坡道上载重汽车能以最高速度行驶，这样， 可以指望载重汽车与小客车、重车与轻车之间的速差最小，因 而相互干扰也将最小，道路通行能力将最大。
六、缓和坡段 1.作用
（1）对于上坡，当陡坡的长度达到限制坡长时，应安排一段 缓坡，用以恢复在陡坡上降低的速度。 （2）对于下坡，如缓坡满足了一定长度，就可不用制动，对 操纵起缓冲作用，有利于行车安全。
竖曲线计算公式
第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。
可采用抛物线或圆曲线。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：二、竖曲线最小半径（三个因素）1.缓和冲击对离心加速度加以控制。
ν(m/s)根据经验，a=0.5~0.7m/s2比较合适。
我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或Lmin=V2ω/3.62.行驶时间不过短 3s的行程Lmin=V.t/3.6=V/1.23.满足视距的要求分别对凸凹曲线计算。
(一)凸形竖曲线最小半径和最小长度按视距满足要求计算1.当L<ST时，Lmin = 2ST - 4/ω2.当L≥ST时，ST为停车视距。
以上两个公式，第二个公式计算值大，作为有效控制。
按缓和冲击、时间行程和视距要求（视距为最不利情况）计算各行车速度时的最小半径和最小长度，见表4-13。
表中：（1）一般最小半径为极限最小半径的1.5~2倍；（2）竖曲线最小长度为3s行程的长度。
（二）凹曲线最小半径和长度1.夜间行车前灯照射距离要求：1）L<ST2) L≥STL<ST Lmin = 2ST - 26.92/ω (4-14)L≥STω /26.92 (4-15)3s时间行程为有效控制。
例：设ω＝2%=0.02;则L＝ωＲ竖曲线最小长度Ｌ＝Ｖ/1.2速度Ｖ=120km/h V=40km/h 一般最小半径Ｒ凸17000 700一般最小半径Ｒ凹6000 700 L凸340 14Ｌ凹120 14 例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m。
竖曲线计算公式及计算方法
⒈超高①超高方式：中央分隔带保持水平，超高将两侧行车道绕中央分隔带边缘点旋转(包括路肩点)。
②超高段横断面高程计算图11AA AAAAAA2-23-34-4-I％图12⒉横坡度计算外侧横坡度：ILLEIICXX-+=)(；(公式中的I、E均取正值，下同。
)公式 1内侧横坡度：ILIEILLIEILIEICCCXX+*+-*+--=22)((。
公式 2EBEB式中：2 I/(E+I)* L C—在L C段内横坡等于I％的长度,m。
X在区间0～2 I/(E+I)*LC时，横坡度为I；在区间2 I/(E+I)* L C～L C段内时，横坡度为I～E。
I—横坡度设计值，E—超高设计值，L C—缓和曲线长，m。
⒊竖曲线计算公式：W=I1-I2；当w＞0时，为凸曲线；当w＜0时，为凹曲线。
L=R*W；E=T2/2R；H=l2/2r；T=TA=TB=L/2=R*W/2。
式中：H—切线上任一点至竖曲线上的垂直距离；M．l—曲线上相应于H的P点至切点A或B点的距离，M．R—二次抛物线的参数。
(原点处的曲率半径)通常称竖曲率半径，M．I1、I2—切线的斜率，即纵坡度，％．纵坡度(％)，从左向右上坡取“+”，下坡取“-”值．当α很小时，tanα1≈α1=I1, tan α2≈α2=I2。
T—切线长(M)，ZH路线平面图L—竖曲线的曲线长(M)。
竖曲线运算步骤及公式讲解
1 / 2
竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2
ωR 4、竖曲线的外距： E =R T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22
= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤
如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。
（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y
某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y
-----精心整理，希望对您有所帮助!。
第二节 竖曲线设计
第二节 竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。
竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。
当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。
一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i 2 ，其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。
当 i 1- i 2为正值时，则为凸形竖曲线。
当 i 1 - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。
（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。
其基本方程为：若取抛物线参数为竖曲线的半径 ，则有：（二）竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示1、切线上任意点与竖曲线间的竖距通过推导可得：2、竖曲线曲线长： L = R ω3、竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =4、竖曲线的外距： E = ⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；R —为竖曲线的半径，m 。
二、竖曲线的最小半径Py x 22=P R Ry x 22=R xy 22=h ==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-Rl 22=2ωR R T 22Rx y 22=(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。
（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。
两种形式的竖曲线计算方法及结果分析
三级公路
３ ０
４０ Ｏ
四级公路
２ ０
２０ ｏ
ｋ ／ｈ ｍ Ｒ ｎ ｌ
其 中， Ｒ即竖 曲线的半径 ， 将式 （ ） ４ 代人式 （ ） ： １得
Ｙ
１
＝
凹 型
Ｒ Ｊ Ｒ
ｍ
３Ｏ ０ ０
ｌ ｏ ０ｏ ０
ｌ０ ０ ０
２Ｏ ｏ ０
２０ ５
４０ ０
行 加宽处理 ， 以满足交通量增长 的需要 。
配采用 Ａ 一３ 石 料选用抗 滑 、 Ｃ１ 、 耐磨石 料） 改性乳 化沥青粘层 油 ； ， ４ 考虑到二 次抛物 的 曲率是连 续变 化 的， 于行 车来 说 ， ） 对 抛
５ 对 比两者基本 方程 ， ） 二次抛物 线式竖 曲线计算公 式更为 简
种形式竖 曲线 之间相 互通 用的条件。
关键词 ： 二次抛物线 ， 圆曲线 ， 曲线 ， 竖 计算 ， 比分 析 对
中图分类号 ： ４ ２ ３ Ｕ １ ． 文献标识码 ： Ａ 由图 ２可得 ：
１ ａｃａｉ ＝ ｒｔ １ ｎ （） ６ （） ７
（） ８
Ｏ 引言
公路路线 纵断面为沿道路 中线竖 直剖切后 的展 开线 ， 在纵 断 面的纵坡 变更 处 ， 用竖 曲线 进行缓 和 ， 采 其计 算形 式有 二次 抛 物 线 和圆曲线两种。ＪＪ １ － Ｔ １ ４公路路线设计规范 （ ０ ９ 以下简称《 旧规 范》 中规定 一般 采用 二 次抛 物 线或 圆 曲线 ； ＪＧ Ｄ ０２０ ） 而 Ｔ ２ －０ ６ 公路路 线设计 规范 （ 以下简 称《 规范》 中规 定宜 采 用 圆曲线 。 新 ） 但在 《 新规范》 的条文 说明中明确在实际设计工作 中 ， 可根据计算 的方便 ， 采用抛物线或 圆曲线 。
竖曲线
特性分析
特性分析
为了提供竖曲线上无砟轨道设计的理论依据，对列车动荷载对竖曲线桥上带减振扣件整体道床轨道动力学特 性的影响进行研究。基于多体系统动力学和轮轨系统动力学的基本原理，简化建立列车−轨道−桥梁系统垂向振动 空间模型，计算分析不同速度、坡度代数差和桥梁竖曲线半径对列车和轨道结构动力学特性的影响规律。
将车辆简化为由轮对、转向架及车体组成的刚体系统。通过阻尼器和弹簧模拟刚体与刚体之间的各种减震装 置和悬挂。每个转向架构架和车体各具有沉浮、侧滚和点头 3个位移，每个轮对具有沉浮和侧滚2个位移，总自 由度共计 17个；钢轨简化为一个无质量的黏弹性力元，轨道和桥梁结构简化为柔性系统，并通过模态综合法来 实现柔性体桥梁和轨道的动力学仿真。
竖曲线内任路线设计中的竖曲线，可采用抛物线形式，也可采用圆曲线形式，但为了简化计算，圆曲线方程最终还是可 简化为抛物线方程，因此，竖曲线的方程采用抛物线方程是没有异议的。
2）结论
无论凹形竖曲线还是凸形竖曲线，竖曲线上各点纵坡均能满足最小纵坡要求；无论凹形竖曲线(即全凹竖曲 线)还是凸形竖曲线(全凸竖曲线)，竖曲线上中间一部分纵坡不能满足最小纵坡要求。
竖曲线
建筑学术语
01 作用
03 纵坡分析 05 特性分析
目录
02 技术指标 04 公式的探讨
基本信息
竖曲线是指在线路纵断面上，以变坡点为交点，连接两相邻坡段的曲线。竖曲线有凸形和凹形两种。道路纵 断面线经常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形的基本要素。
竖曲线常采用抛物线，因为在设计和计算上，抛物线比圆曲线更方便。
竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证 安全行车的需要。凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适 当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。一般城市干路相邻坡段的坡度小于0.5%或外距小于 5cm时，可以不设置竖曲线。
第五章：竖曲线设计讲述介绍
竖曲线最小长度 与平曲线相似，当坡度角较小时，即使采用较大的竖曲
线半径，竖曲线的长度也很短，这样容易使司机产生急促的 变坡感觉；同时，竖曲线长度过短，易对行车造成冲击。我
国公路按照汽车在竖曲线上3s得行程时间控制竖曲线的最小
长度。
3、竖曲线设计
（1）竖曲线设计的一般要求 竖曲线是否平顺，在视觉上是否良好，往往是构成纵面线形优 劣的主要因素。竖曲线设计应满足以下要求： 1)宜选用较大的竖曲线半径。在不过分增加工程量的情况下，宜 选用较大的竖曲线半径。通常采用大于竖曲线一般最小半径的半 径值，特别是当坡度差较小时，更应采用大半径，以利于视觉和 路容美观。只有当地形限制或其它特殊困难不得已时才允许采用 极限最小半径。在有条件的路段，为获得平顺而连续且视觉良好 的纵面线形，可参照表选择竖曲线半径。
H1 ——计算点高程(m)；
——纵坡度。 利用该式可以直接计算直坡段上任意点的设计标高。 2)计算设计标高
i
H H1 y H ——设计标高(m)；
"" ——当为凹形竖曲线时取“＋”，当为凸形竖曲线时取“－”
2. 竖曲线设计标准
竖曲线最小半径
凹形竖曲线极限最小半径 凸形竖曲线极限最小半径 竖曲线的一般最小半径
s2 R 1.5 0.0349 s
⑶从保证跨线桥下的视距考虑 为保证汽车穿过跨线桥时有足够的视距，也应对凹形竖 曲线最小半径加以限制。
综合分析以上三种情况后，技术标准以限制凹形竖曲线
离心力条件为依据，即可制定出凹形竖曲线极限最小半径 的规定值，如下表。
公路竖曲线最小半径和最小长度
设计速度（km∕h）
L R
L T 2
T2 E 2R