一阶线性微分方程例题与习题
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C1
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
1 dx 0.05% x% = v1 100 dt V0 V0
那么，初值问题的解满足 x t 4 dx 0.2 0.05-x = 0 45 dt 解出x，有
x t =0.05+0.15e 以t=30分=1800秒代入，得 x t 0.05.
即30分钟后，室内气体接近新鲜空气的程度。
a a
0
f ( x) x dx f C x dx
b
x不变号
x
x0
f ( s) e
a s - x0
x x0
lim
x
f ( s) e
a s - x0
ds f C e
s x0
x
a s - x0
ds ，C x0 , x
x [0,).
例6 设 f ( x)在[0,) 上连续，且
x
lim f ( x) b, 又a 0.
求证方程
dy ay f ( x) dx 的一切解 y ( x), 均有 b lim y ( x) . x a 证明 设 y y( x) 是方程的任一解，且满足 y ( x0 ) y0 ,
x
lim
x
x0
f ( s)e
a s - x0
ds
a x - x0
f x e lim a x - x0 x ae
a x - x0
x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
lim
x
x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( s)e e
xv2 dx = C v dt 1 1 V + v v t 0 1 2
代入上式，有
即
xv2 dx =+C1v 1. dt V0 + v1 -v2 t
因此，问题归结为求解初值问题
xv2 dx =+ C v , 1 1 dt V + v -v t （ 1 ） 0 1 2 x 0 =x . 0 具体问题：某厂房容积为 45 15 6m3 . 经测定 空气中含有 0.2%的co ，通风设备以360m3 /s 2 的速度输入含有 0.05%的co 的新鲜空气，同 2
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
由求解公式，知方程的解为
y y e 0 于是
- x - x0 a
x
x0
f ( s)e e
a s - x0
ds
a s - x0
a x - x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
lim
x
x0
f ( s )e e
- x - x0
f (s)e ds
s- x x0
x
（1）
设 f ( x) M 1 , x [0,), 对于x0 x ， 由（1）式两端取绝对值，有
y y0 e
- x - x0
f ( s ) e ds
s- x -x
x
y0 M 1e e - e
x
y0 M 1 1 - e
x0
x0
- x - x0
y0 M 1 M 2 . 当0 x x0时，由（ 1 ）知解有界，即存在
M 3 , 使得
y ( x) M 3 , x [0, x0 ]
取 M max ( M 2 , M 3 ), 则有
yx M
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
-
4 t 45
a s - x0
ds
x
a x - x0
因此，只需证明
x x0
00 0
lim
f (s)e
a s - x0
ds , 则 lim f x 0,
x
此时有b 0.
由积分中值定理证。
b
lim f x b 0 , 假设 x 那么，由积分中值定 理，对任意闭区间x , x , 有
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
一阶线性微分方程习题 例5 设函数 f ( x)在[0,) 上连续且有界，试证 明方程
dy y f ( x) dx 的所有解在 [0,) 上有界。
证明 设 y y( x) 为方程的任一解，满足
y ( x0 ) y0 , x0 [0,)
由公式或按上述变易法求解，得到
y y0e
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
1 dx 0.05% x% = v1 100 dt V0 V0
那么，初值问题的解满足 x t 4 dx 0.2 0.05-x = 0 45 dt 解出x，有
x t =0.05+0.15e 以t=30分=1800秒代入，得 x t 0.05.
即30分钟后，室内气体接近新鲜空气的程度。
a a
0
f ( x) x dx f C x dx
b
x不变号
x
x0
f ( s) e
a s - x0
x x0
lim
x
f ( s) e
a s - x0
ds f C e
s x0
x
a s - x0
ds ，C x0 , x
x [0,).
例6 设 f ( x)在[0,) 上连续，且
x
lim f ( x) b, 又a 0.
求证方程
dy ay f ( x) dx 的一切解 y ( x), 均有 b lim y ( x) . x a 证明 设 y y( x) 是方程的任一解，且满足 y ( x0 ) y0 ,
x
lim
x
x0
f ( s)e
a s - x0
ds
a x - x0
f x e lim a x - x0 x ae
a x - x0
x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
lim
x
x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( s)e e
xv2 dx = C v dt 1 1 V + v v t 0 1 2
代入上式，有
即
xv2 dx =+C1v 1. dt V0 + v1 -v2 t
因此，问题归结为求解初值问题
xv2 dx =+ C v , 1 1 dt V + v -v t （ 1 ） 0 1 2 x 0 =x . 0 具体问题：某厂房容积为 45 15 6m3 . 经测定 空气中含有 0.2%的co ，通风设备以360m3 /s 2 的速度输入含有 0.05%的co 的新鲜空气，同 2
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
由求解公式，知方程的解为
y y e 0 于是
- x - x0 a
x
x0
f ( s)e e
a s - x0
ds
a s - x0
a x - x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
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x
x0
f ( s )e e
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x
（1）
设 f ( x) M 1 , x [0,), 对于x0 x ， 由（1）式两端取绝对值，有
y y0 e
- x - x0
f ( s ) e ds
s- x -x
x
y0 M 1e e - e
x
y0 M 1 1 - e
x0
x0
- x - x0
y0 M 1 M 2 . 当0 x x0时，由（ 1 ）知解有界，即存在
M 3 , 使得
y ( x) M 3 , x [0, x0 ]
取 M max ( M 2 , M 3 ), 则有
yx M
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
-
4 t 45
a s - x0
ds
x
a x - x0
因此，只需证明
x x0
00 0
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f (s)e
a s - x0
ds , 则 lim f x 0,
x
此时有b 0.
由积分中值定理证。
b
lim f x b 0 , 假设 x 那么，由积分中值定 理，对任意闭区间x , x , 有
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
一阶线性微分方程习题 例5 设函数 f ( x)在[0,) 上连续且有界，试证 明方程
dy y f ( x) dx 的所有解在 [0,) 上有界。
证明 设 y y( x) 为方程的任一解，满足
y ( x0 ) y0 , x0 [0,)
由公式或按上述变易法求解，得到
y y0e