一阶线性微分方程例题与习题
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一阶微分方程习题课
sin
2y
2 sin
y cos
y, d
tan dy
y
1 cos2
. y
对方程做恒等变形得，
1 cos2
y
dy dx
x( 2 sin y cos y
x2)
0.
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自然做变化
z tan y, 原方程化为：
dz 2xz x3. dx
求解上面的线性方程得：
tan y 1 (x2 1) Cex2 . 2
(03考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g 2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
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F(x) 2F(x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
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( z z)dx (x2 x)dz 0
这是一个变量可分离方程，求解得
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1 1 C(1 z )2. x
故原方程的通解为
1 1 C(1 y )2.
x
x
例 3 求方程
dy x x2 y
（3）
dx
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解：该方程求解的困难在于右端的根号，
我们希望去根号，因此，做变化
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
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例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
2 2
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
当c c1 0时,
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
可化为齐次的方程
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
例2 解微分方程
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
微积分9章2线性微分方程
= ce ∫
1 dx x
= ce ln x = cx
dy = 2y dx dy = 2y 【解 】 dx
(5)
⇒
dy − 2y = 0 dx
[ p( x ) = −2 ]
y = ce
− ( −2 ) dx
∫
= ce
2 dx
∫
= ce 2 x
5 16
( 6)
dy = y cos x dx dy = y cos x ⇒ dy − (cos x ) y = 0 dx dx
[ p( x ) = 1 ]
y = ce
= ce − x
( 2) y ′ = y
【解 】 y ′ = y ⇒ y ′ − y = 0
[ p( x ) = −1 ]
y = ce
− ( −1) dx
∫
∫ dx = ce x = ce
[ p( x ) = x ]
− x2
4 16
1 2
( 3) y′ + xy = 0
= ( x + 1) ( x + 1) 2 + c 2 1 = ( x + 1) 4 + c ( x + 1) 2 2
注意
求解一阶线性微分方程， (1) 求解一阶线性微分方程，直接使用通解公式即
可。不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。 不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。
14 16
dx 1 + x = y2 或 dy y 这就是说， 当作未知函数， 这就是说，如果把 x 当作未知函数，那么所给出的方程是
一阶线性微分方程。 一阶线性微分方程。 【解】根据一阶线性微分方程的通解公式
一阶线性微分方程及其解法
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题 设出所求未知函数,确定初始条件。 分析问题,设出所求未知函数 确定初始条件 设出所求未知函数 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 建立微分方程。 3. 确定方程类型 求其通解. 确定方程类型,求其通解 求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而 即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 ） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式 ） dx 2）解法 常数变易法 ） 3）通解公式 ）
专题辅导12 一阶微分方程的求解
dy
= − 1+dex−x
= − ex dx, 1+ ex
得通解 − ln cos y = − ln(1+ ex ) − ln C, 即 cos=y C(1+ ex ) .
利用初始条件
π
y
x=0 =
,得 4
C=
2 , 所求特解为 4
c= os y
2 (1+ ex ). 4
例 12.3 求下列微分方程的通解或满足所给初始条件的特解：
∫ ∫ 两边积分
−
1 y2
dy
= cot xdx,
得通= 解 1 y
ln sin x + C.
利用初始条件
y
π 2
=
1 2
,得
C
=
2.
故所求特解为
y
=
2
+
1 ln sin
x
.
例 12.2 求下列微分方程的通解或满足所给初始条件的特解
（1） y′ + sin
x+ y 2
= sin x − y ; （2） cos 2
ydx + (1+ e−x ) sin
ydy
=0,
y
x=0 =
π. 4
解（1）利用三角函数公式将方程变形
y′ + sin x cos y + cos x sin y = sin x cos y − cos x sin y , 整理得 dy = −2sin y cos x .
2 2 22 2 2 22
得
=h
1,=k
2.
于是作变量代换 x =X +1, y =Y + 2,
高数一阶微分方程(可分离变量型)
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【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时 ，H = 37 又 ∵ t = 2 时 ，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型 ）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】 【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型 】变量代换后 化为可分离变量的微分方程题型 【例2】 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解 】 . 【解】
由 和差化积公式： 和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】 思考与练习题】
【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时 ，H = 37 又 ∵ t = 2 时 ，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型 ）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】 【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型 】变量代换后 化为可分离变量的微分方程题型 【例2】 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解 】 . 【解】
由 和差化积公式： 和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】 思考与练习题】
微分方程一阶11
2. 解线性非齐次方程 dyP(x)yQ(x). dx
采用常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
设 yc(x)eP(x)dx 是非齐次方程的解
y c (x )e P (x )d x c (x )[ P (x )]e P (x )d x ,
将y和y代入原方程 c(x得 )eP(x)dxQ(x),
例 求方 y程 1ysix n的通 . 解 xx
解1：先 求 齐 次 方 程 y1y0的 通 解 .
齐次通解为
x c y
x
常数变易法设 y c ( x ) 为非齐次的解 x
带入原方程求得 c(x)cosxc
原方程的通解为：y cos x c x
例 求 方 程 d y2y (x 1)5 0 的 通 解 . d x x 1
1 x2
(
x2 lnxdxc)
x12(1 3x3lnx1 3 x2dxc)x12(13x3lnx19x3c)
1xlnx1xc
3
9
由已知y =-1 x1 9
代入y1xlnx1xc 得c 0
3
9
所 以 特 解 为 y1xlnx1x 39
练习：解下列微分方程
(x21)y2xy0
inxdxC
1coxsC.
x
例 求 方 程 d y2y(x1)5= 0 的 通 解 . d x x1
解2： P(x) 2 , Q(x)（x1)5,
x 1
通 解 ： y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
当 Q(x)0, 方程称为齐次的.
当 Q(x)0, 方程称为非齐次的.
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程例题与习题
C1
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
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C1
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
a a
0
f ( x) x dx f C x dx
b
x不变号
x
x0
f ( s) e
a s - x0
x x0
lim
x
f ( s) e
a s - x0
ds f C e
s x0
x
a s - x0
ds ，C x0 , x
x [0,).
例6 设 f ( x)在[0,) 上连续，且
x
lim f ( x) b, 又a 0.
求证方程
dy ay f ( x) dx 的一切解 y ( x), 均有 b lim y ( x) . x a 证明 设 y y( x) 是方程的任一解，且满足 y ( x0 ) y0 ,
-
4 t 45
由求解公式，知方程的解为
y y e 0 于是
- x - x0 a
x
x0
f ( s)e e
a s - x0
ds
a s - x0
a x - x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
lim
x
x0
f ( s )e e
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
x
lim
x
x0
f ( s)e
a s - x0
ds
a x - x0
f x e lim a x - x0 x ae
a x - x0
x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
lim
x
x0
f ( s)e e
1 dx 0.05% x% = v1 100 dt V0 V0
那么，初值问题的解满足 x t 4 dx 0.2 0.05-x = 0 45 dt 解出x，有
x t =0.05+0.15e 以t=30分=1800秒代入，得 x t 0.05.
即30分钟后，室内气体接近新鲜空气的程度。
xv2 dx = C v dt 1 1 V + v v t 0 1 2
代入上式，有
即
xv2 dx =+C1v 1. dt V0 + v1 -v2 t
因此，问题归结为求解初值问题
xv2 dx =+ C v , 1 1 dt V + v -v t （ 1 ） 0 1 2 x 0 =x . 0 具体问题：某厂房容积为 45 15 6m3 . 经测定 空气中含有 0.2%的co ，通风设备以360m3 /s 2 的速度输入含有 0.05%的co 的新鲜空气，同 2
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
- x - x0
f ( x) M 1 , x [0,), 对于x0 x ， 由（1）式两端取绝对值，有
y y0 e
- x - x0
f ( s ) e ds
s- x -x
x
y0 M 1e e - e
a s - x0
ds
x
a x - x0
因此，只需证明
x x0
00 0
lim
f (s)e
a s - x0
ds , 则 lim f x 0,
x
此时有b 0.
由积分中值定理证。
b
lim f x b 0 , 假设 x 那么，由积分中值定 理，对任意闭区间x , x , 有
x
y0 M 1 1 - e
x0
x0
- x - x0
y0 M 1 M 2 . 当0 x x0时，由（ 1 ）知解有界，即存在
M 3 , 使得
y ( x) M 3 , x [0, x0 ]
取 M max ( M 2 , M 3 ), 则有
yx M
一阶线性微分方程习题 例5 设函数 f ( x)在[0,) 上连续且有界，试证 明方程
dy y f ( x) dx 的所有解在 [0,) 上有界。
证明 设 y y( x) 为方程的任一解，满足
y ( x0 ) y0 , x0 [0,)
由公式或按上述变易法求解，得到
y y0e
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
a a
0
f ( x) x dx f C x dx
b
x不变号
x
x0
f ( s) e
a s - x0
x x0
lim
x
f ( s) e
a s - x0
ds f C e
s x0
x
a s - x0
ds ，C x0 , x
x [0,).
例6 设 f ( x)在[0,) 上连续，且
x
lim f ( x) b, 又a 0.
求证方程
dy ay f ( x) dx 的一切解 y ( x), 均有 b lim y ( x) . x a 证明 设 y y( x) 是方程的任一解，且满足 y ( x0 ) y0 ,
-
4 t 45
由求解公式，知方程的解为
y y e 0 于是
- x - x0 a
x
x0
f ( s)e e
a s - x0
ds
a s - x0
a x - x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
lim
x
x0
f ( s )e e
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
x
lim
x
x0
f ( s)e
a s - x0
ds
a x - x0
f x e lim a x - x0 x ae
a x - x0
x0
x
lim y lim y0 e
x
- a x - x0
lim
x
x0
f ( s)e e
1 dx 0.05% x% = v1 100 dt V0 V0
那么，初值问题的解满足 x t 4 dx 0.2 0.05-x = 0 45 dt 解出x，有
x t =0.05+0.15e 以t=30分=1800秒代入，得 x t 0.05.
即30分钟后，室内气体接近新鲜空气的程度。
xv2 dx = C v dt 1 1 V + v v t 0 1 2
代入上式，有
即
xv2 dx =+C1v 1. dt V0 + v1 -v2 t
因此，问题归结为求解初值问题
xv2 dx =+ C v , 1 1 dt V + v -v t （ 1 ） 0 1 2 x 0 =x . 0 具体问题：某厂房容积为 45 15 6m3 . 经测定 空气中含有 0.2%的co ，通风设备以360m3 /s 2 的速度输入含有 0.05%的co 的新鲜空气，同 2
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
- x - x0
f ( x) M 1 , x [0,), 对于x0 x ， 由（1）式两端取绝对值，有
y y0 e
- x - x0
f ( s ) e ds
s- x -x
x
y0 M 1e e - e
a s - x0
ds
x
a x - x0
因此，只需证明
x x0
00 0
lim
f (s)e
a s - x0
ds , 则 lim f x 0,
x
此时有b 0.
由积分中值定理证。
b
lim f x b 0 , 假设 x 那么，由积分中值定 理，对任意闭区间x , x , 有
x
y0 M 1 1 - e
x0
x0
- x - x0
y0 M 1 M 2 . 当0 x x0时，由（ 1 ）知解有界，即存在
M 3 , 使得
y ( x) M 3 , x [0, x0 ]
取 M max ( M 2 , M 3 ), 则有
yx M
一阶线性微分方程习题 例5 设函数 f ( x)在[0,) 上连续且有界，试证 明方程
dy y f ( x) dx 的所有解在 [0,) 上有界。
证明 设 y y( x) 为方程的任一解，满足
y ( x0 ) y0 , x0 [0,)
由公式或按上述变易法求解，得到
y y0e