2020年陕西省咸阳市二模 理科数学试题含答案
2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西高三二模理科第1题5分 2020年陕西咸阳高三二模文科第2题5分 2020年陕西咸阳高三二模理科第2题5分 已知复数z =41+i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A. 2B. 2iC. −2D. −2i2、【来源】 2020年陕西高三二模理科第2题5分已知集合A ={x |−1⩽x <1} ,B ={y |y =x 2,x ∈A }，则 A ∪B = （ ）． A. {x |−1⩽x <1} B. {x |−1⩽x ⩽1} C. {x |−1<x <1} D. {x |−1<x ⩽1}3、【来源】 2020年陕西高三二模理科第3题5分若变量x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3x −y +1⩽0x +2y −6⩽0，则目标函数z =2x −y 的最小值是（ ）．A. −3B. 0C. 13D. 1034、【来源】 2020年陕西高三二模理科第4题5分已知向量a →，b →满足a →=(1,√3)，(a →−2b →)⊥a →，则b →在a →上的投影为（ ）． A. −1B. 1C. −12D. 125、【来源】 2020年陕西高三二模理科第5题5分已知函数f(x)={−lnx,0<x⩽1−x2+4x−3,x>1，若f(f(a))=1，则满足条件的实数a的个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 46、【来源】 2020年陕西高三二模理科第6题5分设X∼N(0,1)，其正态分布密度曲线如图所示，点A(1,0)，点B(2,0)，点C(2,1)，点D(1,1)，向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（）．（注：X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973）A. 0.8641B. 0.6587C. 0.5228D. 0.97857、【来源】 2020年陕西高三二模理科第7题5分在公差不为0的等差数列{a n}中，a1=1，a32=a4a6，则a2=（）．A. 711B. 511C. 311D. 1118、【来源】 2020年陕西高三二模理科第8题5分2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市第三中学高一下学期月考第3题4分已知0<α<β<π2，且cos(α−β)=6365，sinβ=1213，则sinα=（）．A. −35B. 35C. −45D. 459、【来源】 2020年陕西高三二模理科第9题5分2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三零模理科第6题5分若将函数f(x)=2sin(3x +π4)的图象向右平移a(a >0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（ ）． A. π4 B. 5π4 C. π12 D. 5π1210、【来源】 2020年陕西高三二模理科第10题5分在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BC =AC =a ，AA 1=b ，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a +b =2，则该球的表面积的最小值为（ ）． A. 7π3 B. 13π4 C. 52π21 D.16π711、【来源】 2020年陕西高三二模理科第11题5分已知抛物线C:y 2=4x ，点M (3,0)，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB |=8，则△AMB 的面积为（ ）．A. 4B. 4√2C. 4√3D. 812、【来源】 2020年陕西高三二模理科第12题5分已知函数f (x )=xe x +12x 2+x +a ，g (x )=xlnx +1，若存在x 1∈[−2,2]，对任意x 2∈[1e 2,e]，都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）． A. [−3−1e−2e 2,e −3−2e 2] B. (−3−1e −2e 2,e −3−2e 2)C. [e−3−2e2,32]D. (e−3−2e2,32)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第13题5分如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．14、【来源】 2020年陕西高三二模理科第14题5分在(x+1)(ax+1)5的展开式中，x2的系数为15，则a=．15、【来源】 2020年陕西高三二模理科第15题5分在△ABC，D为AC的中点，且AD:BD:AB=1:√7:3，若BC=√7，则△ABC的周长为．16、【来源】 2020年陕西高三二模理科第16题5分已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过双曲线C的左焦点F作一斜率为√2的直线交双曲线C的左支于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则双曲线C的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西高三二模理科第17题12分如图，正四棱锥P−ABCD的底边长为2，侧棱长为√3，M为PC上一点，且PM=3CM，点E，F 分别为AD，BC上的点，且AE=BF=3ED．(1) 证明：平面MEF//平面PAB．(2) 求锐二面角P−EF−M的余弦值．18、【来源】 2020年陕西高三二模理科第18题12分已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n a n+1(n∈N∗)．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 若数列{b n}满足b n=a2n，令T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n b n，求证：T n<n⋅2n+1．19、【来源】 2020年陕西高三二模理科第19题12分某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取100份，统计得出如下2×2列联表：(1) 根据上述列联表，是否有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？(2) 现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率．(3) 以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用X表示这10人中优秀的人数，求随机变量X的期望和方差．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d）．20、【来源】 2020年陕西高三二模理科第20题12分已知函数f(x)=e x(x2+ax+1)(a∈R)．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 当3<a<4时，若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：−5e3<f(x1)f(x2)<−3e4．21、【来源】 2020年陕西高三二模理科第21题12分已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，点P的坐标为(0,32)，且椭圆C上任意一点到点P的最大距离为√7．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 若过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M为椭圆C长轴上的一点，求△MAB面积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年陕西高三二模理科第22题10分2020年陕西高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=82+ty=4t2+t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．(ρ>0)与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．(2) 若射线θ=π4选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年陕西高三二模理科第23题10分2020年陕西高三二模文科第23题10分设函数f(x)=|x−1|+|x−t|(t>0)的最小值为1．(1) 求t的值．(2) 若a3+b3=t(a,b∈R∗)，求证：a+b⩽2．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】3.5;14 、【答案】−3或1;215 、【答案】5+√7;16 、【答案】√3;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √1010．;18 、【答案】 (1) a n=n．;(2) 证明见解析．;19 、【答案】 (1) 没有．;(2) 56．;(3) 期望5.5，方差2.475．;20 、【答案】 (1) 当a<0时，函数f(x)的极大值为2−ae ，极小值为2+ae a+1；当a=0时，无极值；当a>0时，函数f(x)的极大值为2+ae a+1，极小值为2−ae．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2) 3√32．;22 、【答案】 (1) 直线l的普通方程为x+y−4=0(x≠0)，曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) t=2．;(2) 证明见解析．;。
陕西省咸阳市2020届高考模拟考试试题理科数学(含答案)
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合{M x y ==，{}1,0,1,2N =-，则M N =A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{1,1}-D.{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i + B ．13i -+ C ．13i -D ．13i --3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于 A.64B.32C.2D.45.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 0x =B. 0y ±=C. 0y ±=D.0x =8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D 9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅= A.2- B. 4- C. 3 D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,,侧棱长为则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13.若向量(1,2)a x =-与向量(2,1)b =垂直，则x =_____ . 14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a bc cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为 (I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++。
2020届陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测数学(理)试题(带答案解析)
17．已知等差数列 满足 ， ，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面 ，且 ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
2．C
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.
【详解】
由题意得: ，
的虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
求出 以及 的值,即可求出向量 在向量 上的投影.
【详解】
解:由题意知, ,
则
故选:D.
【点睛】
本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量 在另一个向量 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即 ;另外还可以由向量数量积的运算可知, .
（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 （ 且 ）.
（1）讨论 的单调性；
（2）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程；
【详解】
依题意 ，由于 为定义域上的减函数，故 ，故A选项不等式成立.由于 为定义域上的增函数，故 ，则 ，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于 ，故 ，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.
【点睛】
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
解析:
（ 1 ）由已知得
．
则
，
由
，得
，
由
，得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ 2 ）由
，
得
，
若
，则
， 单调递减，而
，
∴ 有一个零点．
若
，可得当
时，
，
当
时，
．
14
∴在
上单调递增．在
上单调递减，
∴
．
令
，
则
．
当
时，
．
当
时，
，
∴ 在 上单调递减，在
上单调递增，而
．
∴当
时，
， 有两个零点．
当
时，
， 有一个零点．
，考虑到 ， 关于 轴对称，不妨设
，
，
则点 ， 的坐标分别为
，
，
此时 综上，
． 的面积为定值 ．
22.（ 1 ）直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，得
，
由
，
，得
，
因为
，消去 得
，
所以直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（ 2 ）点 的直角坐标为 ，点 在直线 上，
非高薪收入群体
高薪收入群体 高薪收入群体
合计 合计
专业 专业
合计
，
所以在犯错误的概率不超过
的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关．
（ 2 ）1 月薪频率分布表如下：
月薪（百元）
人数
频率
2020年陕西省高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年陕西省高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=i(−2+3i)(i是虚数单位)的虚部是()A. −2B. −2iC. 3D. 3i2.已知全集U={−1,0，1，2，3}，集合A={0,1，2}，B={−1,0，1}，则(C U A)∩B=()A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，1，3}3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9=()A. 100B. 40C. 20D. 124.如图，作圆(大圆)的内接正三角形，在这个三角形内作内切圆，然后再作新圆(小圆)的内接正三角形，如图所示．在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是()A. 38πB. 3√38πC. 316πD. 3√316π5.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D.1 a <1b6.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是()A. (3,+∞)B. (3,7]C. (7,+∞)D. (7,19]7.函数f(x)=e|x|−2x2在[−2,2]上的图象大致为()A. B. C. D.8.要得到函数y=3sin2x的图象，可将函数y=3cos(2x−π4)的图象()A. 沿x 轴向左平移π8 B. 沿x 轴向右平移π8 C. 沿x 轴向左平移π4D. 沿x 轴向右平移π49. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0，则z =3x −2y 的最大值是( ) A. 2B. 1C. 5D. 710. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( )A.17π12B.19π12C.19π3D.17π311. (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x 4的系数为( )A. 50B. 55C. 45D. 6012. 已知函数f(x)=ax 3+2x 2−1有且只有两个零点，则实数a 的取值集合( )A. {−1,0，1}B. {0,4√69}C. {0,2√33}D. {−4√69,0，4√69}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(−2,0)，则|2a ⃗ +b ⃗ |=____．14. 14.曲线y =e −2x +1在点(0,2)处的切线与直线y =0和y = x 围成的三角形面积为_________ 15. 若数列{a n }的前n 项和为S n =23a n +13，则数列{a n }的通项公式是an =______． 16. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过点F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则双曲线的离心率为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为√34a ，求bc 的最小值．18.某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图(物理成绩用表示，化学成绩用表示)(图1)和生物成绩的茎叶图(图2)．(1)若物理成绩高于90分，我们视为“优秀”，那么以这20人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；(2)若化学成绩高于80分，我们视为“优秀”，根据图1完成如下列联表，并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；住校非住校优秀非优秀附：(K2=2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(3)若生物成绩高于75分，我们视为“良好”，将频率视为概率，若从全年级学生中任选3人，记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量ξ，求出ξ的分布列和数学期望．19.如图，设△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，若EA：AB：DC=2：2：1，F是BE的中点．(1)证明：FD⊥平面ABE；(2)求CE与平面EAB所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1F2距离之和为4√2，离心率为√32．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A，B两点.点P(2,1)为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．21. 已知g(x)=e 2x−2−ax 2+(2a −2)x −a +1(x ≠0,a ∈R).(Ⅰ)当a =2时，求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程； (Ⅱ)若x ≥1时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2−3ty =√3t,(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求l 的极坐标方程和C 1的直角坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为θ=π6，C 2与l 的交点为A ，与C 1异于极点的交点为B ，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|3x −2|−|x −3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)+f(−x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．根据复数的四则运算及定义直接求解即可．【解答】解：复数z=i(−2+3i)=−3−2i，所以虚部为−2．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．【解答】解：∵C U A={−1,3}，∴(C U A)∩B={−1,3}∩{−1,0，1}={−1}，故选：A．3.答案：C解析：【分析】本题考查的是等差数列的性质和求和公式，属于基础题．通过求和公式得到5(a2+a9)=100,从而求出结果，属于基础题．【解答】解：∵S10=10(a1+a10)2=10(a2+a9)2=5(a2+a9)=100,∴a2+a9=20．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查与面积有关的几何概型，属于中档题．求得大圆与阴影部分的面积，根据几何概型概率公式求解．【解答】解：如图所示，设O为大圆球心，B为大圆内接正三角形一边中点，A为此边一端点，设OB=1，所以阴影三角形的边长为√3，所以阴影三角形的面积为√34×(√3)2=3√34，因为OB=1，所以OA=2，即大圆的半径为2，所以大圆的面积为4π，在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是3√316π．故选D．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．【解答】解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得：当i=2时，3(3x−2)−2≤55，当i=3时，3(9x−8)−2>55，满足判断框内的条件，退出循环，输出i的值为3．可得：3<x≤7，则输入x的取值范围是(3,7]．故选：B．模拟程序的运行过程，分析循环中变量值x的变化情况，解不等式组可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查由函数解析式选图像，属于基础题.由特殊值，排除法进行解答．【解答】解：当x=0时，f(0)=1，排除D;当x=1时，0<f(1)=1e<1，排除B，C;故选A．8.答案：B解析：解：因为函数y=3cos(2x−π4)=3sin(2x+π4)，所以可将函数y=3cos(2x−π4)的图象，沿x轴向右平移π8，得到y=3sin[2(x−π8)+π4]=3sin2x，得到函数y=3sin2x的图象，故选：B．利用诱导公式化简函数y=3cos(2x−π4)为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项．本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力．9.答案：C解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4⩾03x −y −4⩽0x +y ⩾0作出可行域如图，联立{x +y =03x −y −4=0，解得C(1,−1)，化目标函数z =3x −2y 为y =32x −12z ，由图可知，当直线y =32x −12z 过C(1,−1)时，直线在y 轴上的截距最大， 即z 有最大值5． 故选：C ．10.答案：C解析： 【分析】本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =12PC ，根据勾股定理求出外接球半径，即可求解． 【解答】解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ， ∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2，设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =12，PH =2×√32×23=2√33，则R 2=OP 2=OH 2+PH 2=1912，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2=19π3．故选C ．11.答案：B解析：【分析】本题考查二项式定理，求展开式中某项的系数，属于基础题．由题意可得展开式中x 4的系数是C 54 +C 64 +C 74，运算求得结果．【解答】解：在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x 4的系数是C 54+C 64+C 74=55，故选B .12.答案：D解析：解：当a =0时，函数f(x)=2x 2−1有且只有两个零点，满足条件；当a ≠0时，令f′(x)=3ax 2+4x =0，解得：x =0，或x =−43a ，∵f(0)=1≠0，∴f(−43a )=3227a 2−1=0，解得：a =±4√69， 故a ∈{−4√69,0，4√69}，故选：D当a =0时，函数f(x)=2x 2−1有且只有两个零点，满足条件；当a ≠0时，函数的极值为0，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的零点及零点个数，分类讨论思想，难度中档． 13.答案：6解析：【分析】本题考查平面向量坐标运算以及模的计算，属于基础题.先根据向量的坐标运算得到2a⃗+b⃗ =(0,−6)，再根据模的公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为a⃗=(1,−3)，b⃗ =(−2,0)，所以2a⃗+b⃗ =(0,−6)，所以|2a⃗+b⃗ |=6．故答案为6．14.答案：解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线交点和三角形的面积，考查运算能力，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．解：∵y=e−2x+1，∴y′=(−2)e−2x∴y′|x=0=(−2)e−2x|x=0=−2∴曲线y=e−2x+1在点(0,2)处的切线方程为y−2=−2(x−0)，即2x+y−2=0令y=0，解得x=1；令y=x，解得x=y=．∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为．故答案为：．15.答案：(−2)n−1解析：【分析】本题考查利用S n求通项公式，属于中档题．【解答】解：n=1时，a1=S1=23a1+13⇒a1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1=23a n−23a n−1⇒a n=−2a n−1，∴数列{a n}是以1为首项，以−2为公比的等比数列，则a n=(−2)n−1，故答案为(−2)n−1．16.答案：√2解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1．由题意可得F(c,0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，令x=c，代入双曲线的方程，求得B，C的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F(c,0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b√c2a2−1=±b2a，可设B(c,b2a )，C(c,−b2a)，由A1B⊥A2C，可得k A1B ⋅k A2C=−1，即有b2ac+a·b2aa−c=−1，即为b4=a2(c2−a2)=a2b2，∴a=b，∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2，即e=√2，故答案为√2．17.答案：解：(1)∵√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12，∴√32sin 2A =1+cos2A 2+12， ∴√32sin 2A −cos2A 2=1， ∴sin(2A −π6)=1，∵A ∈(0,π)，∴2A −π6∈(−π6,11π6)，∴2A −π6=π2，即A =π3．(2)因为S ▵ABC =12bcsinA =√34bc =√34a ，所以a =bc ． 又因为a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc ，由b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时取等号，得2bc −bc ≤b 2c 2，即bc ≥1，所以当b =c 时，bc 取得最小值1．解析：本题主要考查了诱导公式，二倍角的公式及两角和差的公式，考查余弦定理，基本不等式及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．(1)利用诱导公式，二倍角的公式及两角和差的公式，化√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12为sin(2A −π6)=1，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值．(2)由三角形的面积公式得到a =bc.再由余弦定理，基本不等式即可求bc 的最小值． 18.答案：解：(1)由图(1)可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人；记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件A ，则P(A)=C 22+C 21C 31C 52=710；(2)填写列联表如下；计算K 2=20×(8×6−2×4)212×8×10×10=103≈3.3，经查表知K 2≈3.3<3.841，所以没有95%的把握认为优秀率与住校有关；(3)由图(2)可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为1220=35，所以从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数ξ服从二项分布，其分布列为(或ξ～B(3,35)：ξ0123P8125361255412527125计算数学期望为E(ξ)=np=3×35=95．解析：(1)由图(1)知20人中物理成绩优秀的人数以及住校生人数，计算所求的概率值；(2)填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(3)由图(2)，结合题意知ξ服从二项分布，计算分布列，求出数学期望值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了二项分布的计算问题，是中档题．19.答案：证明：(1)取AB中点M，连结MC，∵△ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，∴FM//EA，FM=12EA=1=DC，又EA//DC，∴FM//DC，且FM=DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD//MC，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CM，又AE//CD，∴AE⊥CM，∵CM⊥AB，∴DF⊥AE，DF⊥AB，AE∩AB=A，∴FD⊥平面ABE．解：(2)连结EM，∵MC⊥平面ABE，∴∠CEM是CE与平面EAB所成角，∵△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，EA：AB：DC=2：2：1，∴CM=√4−1=√3，CM=√22+22=2√2，sin∠CEM=CMCE =√32√2=√64．∴CE与平面EAB所成角的正弦值为√64．解析：(1)取AB中点M，连结MC，推导出FM//EA，从而FM//DC，且FM=DC，进而四边形FMCD 是平行四边形，FD//MC，由CD⊥平面ABC，得CD⊥CM，从而AE⊥CM，求出DF⊥AE，DF⊥AB，由此能证明FD⊥平面ABE．(2)连结EM，由MC⊥平面ABE，得∠CEM是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)∵a=2√2,e=√32∴c=√6,b2=2，∴椭圆的标准方程为x28+y22=1；(2)设直线l的方程为y=12x+m，并设点A(x1,y1),B(x2,y2)将直线方程代入到椭圆方程中可得x2+ 2mx+2m2−4=0，∴，∴|AB|=√1+14|x1−x2|=√52√(−2m)2−4(2m2−4)=√5(4−m2)，又因为点P到直线l的距离为d=√5，所以S▵PAB=12|AB|⋅d=√(4−m2)⋅m2≤2，当且仅当m=√2<2，满足题意.所以△PAB的面积最大值为2.解析：本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、面积最值问题等，属中档题．(1)依题意a=2√2,e=√32即可求椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y=12x+m，将直线方程代入到椭圆方程中，由韦达定理得∴|AB|=√1+14|x1−x2|=√52√(−2m)2−4(2m2−4)=√5(4−m2)，点P到直线l的距离为d=√5，所以S▵PAB=12|AB|⋅d=√(4−m2)⋅m2≤2，即可求△PAB的面积最大值．21.答案：解：(Ⅰ)当a=2时，g(x)=e2x−2−2x2+2x−1，所以g(1)=0，∴g′(x)=2e2x−2−4x+2，∴函数g(x)在(1,g(1))处的切线斜率k=g′(1)=0，∴函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y=0．(Ⅱ)若x≥1时，g(x)=e2x−2−ax2+(2a−2)x−a+1≥0，∴g′(x)=2e2x−2−2ax+2a−2，设ℎ(x)=2e 2x−2−2ax +2a −2，∴ℎ′(x)=4e 2x−2−2a ，当a ≤2时，ℎ′(x)≥0(当且仅当a =2,x =1时等号成立)，∴ℎ(x)即g′(x)在(1,+∞)上是增函数，∴当x ≥1时，g′(x)≥g′(1)=0，∴g(x)在(1,+∞)上是增函数，∴当x ≥1时，g(x)≥g(1)=0；当a >2时，当1<x <12ln a 2+1时，ℎ′(x)<0，∴g′(x)在(1,12ln a 2+1)是减函数，∴当1<x <12ln a 2+1时，g′(x)<g′(1)=0，∴g(x)在(1,12ln a 2+1)是减函数，∴当1<x <12ln a 2+1时，g(x)<g(1)=0，不满足题中条件，∴实数a 的取值范围为(−∞,2].解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值． (Ⅰ)求出g′(x)，得到g′(1)，就求得函数g(x)在(1,g(1))处的切线斜率，由点斜式求出切线方程； (Ⅱ)求出g′(x)=2e 2x−2−2ax +2a −2，利用导数研究g′(x)的单调性，当a ≤2时，求出g′(x)的最小值，可得到g′(x)≥0，从而得到g(x)为增函数，g(x)≥g(1)=0；当a >2时，可得到g(x)在(1,+∞)上先减后增，不满足g(x)≥0恒成立，由此可求得a 的取值范围．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =2−3t y =√3t ,(t 为参数)， 转换为直角坐标方程为：x +√3y −2=0．设代入x +√3y −2=0，整理得直线l 的极坐标方程为， 曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ．转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4，(2)曲线C 2的极坐标方程为θ=π6，曲线C 2与l 的交点为A ，则：ρA cos π6+√3ρA sin π6−2=0，解得：ρA =2√33， 与C 1异于极点的交点为B ，所以：ρB =4cos π6=2√3，则：|AB|=|ρA −ρB |=4√33．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，(2)利用线的关系建立方程组，求出极径，进一步求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)①当x <23时，2−3x +x −3≥4，解得x ≤−52；②当23≤x ≤3时，不等式可化为3x −2+x −3≥4，解得x ≥94，∴94≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为3x −2−x +3≥4，即得x >52，∴x >3综上所述：不等式的解集为{x|x ≤−52或x ≥94}；(Ⅱ)g(x)=|3x −2|−|x −3|+|3x +2|−|x +3|①当x <−3时，g(x)=−4x >12；②当−3≤x <−23时，g(x)=−6x −6>−2；③当−23≤x <23时，g(x)=−2；④当23≤x <3时，g(x)=6x −6≥−2；⑤当x ≥3时，g(x)=4x ≥12综上所述：g(x)的最小值为−2．解析：(Ⅰ)对x 分3种情况讨论去绝对值；(Ⅱ)对x 分5种情况讨论．本题考查了绝对值不等式的解法．属中档题．。
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
2020年陕西高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．A. B. C. D.2.已知集合 ,，则 （ ）．A. B. C. D.3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）．A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）．A. B. C. D.5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（ ）．A.B.C.D.6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）．（注：，则，，）A.B.C.D.7.在公差不为的等差数列中，，，则（ ）．A.B.C.D.8.已知，且，，则（ ）．A.B.C.D.9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 ．频率组距14.在的展开式中，的系数为，则．15.在，为的中点，且，若，则的周长为 ．16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且．证明：平面平面．求锐二面角的余弦值．（1）（2）18.已知正项数列的前项和为， ，．求数列的通项公式．若数列满足，令，求证：．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男女总计（1）（2）（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取人，求这三位市民中男女都有的概率．以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．附：（其中）．（1）（2）20.已知函数．求函数的极值．当时，若函数有两个极值点，，且，求证：．（1）（2）21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为．求椭圆的标准方程．若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值．四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．23.设函数的最小值为．【答案】解析:方法一：本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:本题考查集合并集的运算．由题意可知集合，∴．故选．解析:本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）（2）求的值．若，求证：．C1.B2.A3.其中，， ．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值，故选．解析:本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得，，∴，∴在上的投影为，故选．解析:本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数的图象如图所示，x123y12O由题意可得当时，；当时，．若，则或，解得或，则或，结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:B 4.D 5.A 6.本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是，则，标准差是，而，∴，∴图中阴影部分的面积为．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则， 故正确，错误．故选．解析:本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（），则通项公式，∴，，，，∴，解得（舍去），∴．故选．解析:本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴．故选：．解析:本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，若该函数图象关于坐标原点对称，则，阴影部分的面积正方形面积A 7.D 8.C 9.解得．∵，∴，∴∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知外接圆的半径．设该三棱柱外接球的半径为，则．由可得，∴，∴，当且仅当，时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．故选．解析:方法一：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，D 10.B 11.，∴，，∴，∴，∴直线的方程为，则点到直线的距离为，∴的面积为．故选．方法二：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，，∴，∴，即，∵，∴．故选．解析:本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得，C 12.令，得，而，，，∴，，∴，∵，令，得，而，，，∴，，∴．由题意可知存在，对任意，都有等价于，即，∴，故选．解析:由样本容量为的频率分布直方图，知：的频率为，的频率为，∴该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：，故答案为：．解析:本题考查二项式定理．∵展开式的通项为，13.或14.则由可知，展开式中的系数为，∴，即，解得或．15.解析:本题考查余弦定理．令，则，，则 ．∵，∴．又点为的中点，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴， ，故的周长为 ．16.解析:本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，化简得，令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，∴，∴，∴，即，又∵，，代入化简可得，即，（1）（2）又∵双曲线的离心率，∴．解析:∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，，∴，∴．∵，平面，，，平面，，∴平面平面．如图：如图，连接，相交于点，连接．∵四棱锥为正四棱锥，∴，，又，∴，且，同理可得，∴，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，（1）证明见解析．（2）．17.，，，，（1）（2）∴，，，令平面的法向量为，则，即，解得，∴取，则，，故，同理可得平面的一个法向量，∴，∴锐二面角的余弦值为．解析:由题意可得当时，，∴；当时，， ，∴，∵，∴，∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，又∵ ，∴数列是公差为的等差数列，∴．由（）知，，，∴，，两式相减得，，（1）．（2）证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）∴，∵当时，，∴．解析:由列联表可得，∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．调查结果为一般的市民中有男人，女人，人数之比为，所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或）．由列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为，∴，，，，，，，∴~，∴，，∴随机变量的期望为，方差为．解析:由题意可得（1）没有．（2）．（3）期望，方差．19.（1）当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．（2）证明见解析．20.（2）（1），当时，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，；当时，，，，函数在上单调递增，∴无极值；当，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，，综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．由题意得，即，，由（）可知，，∴， ，∴，令，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴．解析:方法一：极大值极小值极大值极小值（1）．（2）．21.（2）由题意可得离心率，又，∴，，令点为椭圆上任意一点，则，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．方法二：由题意可得离心率，又，∴，，令椭圆上任意一点，∴，当时，，∴，满足；当时，，解得（负值舍去），，则，不满足条件，舍去．综上，，，椭圆的标准方程为．设点坐标为，直线的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，（1）由韦达定理可得，，则，化简得，点到直线的距离，∴的面积，令，则，,当时，，当且仅当，时等号成立，此时，∴，∵，∴当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积的最大值为．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−1<x<1}，N={x|y=√2x−1}，则M∩N=()A. {x|12≤x<1} B. {x|12<x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|−1<x≤12}2.已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是()A. 该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当C. 该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当4.在正项等比数列{a n}中，若a1，12a3，2a2成等差数列，则a5a3=()A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√25.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35 B. 38 C. 310 D. 3206. 已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A. α⊥β，α∩β=a ，a ⊥b ，则b ⊥αB. α⊥β，β⊥γ，则α//γC. α∩β=a ，β∩γ=b ，α⊥β，则a ⊥bD. α//β，β⊥γ，则α⊥γ7. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为( )A. x ±√3y =0B. √3x ±y =0C. x ±3y =0D. 3x ±y =08. 已知函数f(x)=10(x 2+1)x⋅e |x|，则函数f(x)的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知抛物线y =18x 2与双曲线y 2a 2−x 2=1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2√3−3B. 3−2√3C. 74D. 3410.正四棱锥P−ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2√6，则此球的表面积为()A. 18πB. 36πC. 72πD. 9π11.函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在(0,π2)上的单调递增区间是()A. (0,π4) B. (π4,π2) C. (0,π8) D. (π8,π4)12.函数f(x)=ax2+bx+lnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x−2，则b−a=()A. −1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(x,2)，若向量a⃗+b⃗ 与a⃗垂直，则x=______．14.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为________．15.已知a>0，b>0，且ℎ=min(a,ba2+b2)，求h的范围______ ．16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2+c2)=3a2+2bc，则sinA=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=10，S4=24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=1S1+1S2+⋯+1S n，求证：T n<34．18.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=π，点E在AB上，AE=2EB=2，且DE⊥AB.以4DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB=60°．(1)求证：平面BFC⊥平面BCDE；(2)求二面角B−EF−C的余弦值．20.如图所示，已知椭圆：C∈(0,π)的离心率为，右准线方程是直线，点为直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，切点分别为、(点在x轴上方，点在轴下方)．(1)求椭圆的标准方程；(2)①求证：分别以、PB为直径的两圆都恒过定点C；②若，求直线的方程．21.设函数f(x)=e x．x−1(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若当x≥2时，f′(x)≥af(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.已知直线l过原点且倾斜角为θ0，θ0≠π，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标2系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．(I)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l´过原点且与直线l相互垂直，若l∩C=M，l´∩C=N，其中M，N不与原点重合，求△OMN面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查交集的运算．可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N={x|x≥12}；∴M∩N={x|12≤x<1}．故选：A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i +i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z−=1+i，故选：A．3.答案：C解析：【试题解析】本题考查图表，进行推理，属于基础题．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A=0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A=0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A =0.4A ，2015年教育医疗的消费额为0.3×A =0.3A ，0.4A0.3A =43，B 错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A =0.6A ，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A =0.1A ，0.6A 0.1A =6，C 对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A =0.3A ，2015年生活用品的消费额为0.15×A =0.15A ，不相等，D 错； 故选：C ．4.答案：C解析：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式，属于基础题．根据等差数列的性质，结合等比数列的通项公式求出等比数列{a n }的公比即可． 解：由于a 1， 12a 3， 2a 2成等差数列， 所以a 3=a 1+2a 2，{a n }是正项等比数列，设公比为q (q >0)，则负值舍去)，所以a5a 3=q 2=3+2√2．故选C ．5.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可． 解：如图所示，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a 和a ，∴S 阴影=S 正方形ABFG +S △BCE −S △ACG =a 2+12⋅2a ⋅2a −12⋅a ⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．6.答案：D解析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，是解答的关键．属于基础题．根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．解：若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b与α的关系不确定，故A错误；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交(此时交线与β垂直)，故B错误；若α∩β=a，β∩γ=b，α⊥β，则a与b可能平行，也可能相交，故C错误；若α//β，根据两个平行平面与第三个平面的夹角相等，结合β⊥γ可得α⊥γ，故D正确．故选：D．7.答案：B解析：解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=√3，可得渐近线方程为y=±√3x.故选B．由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．8.答案：A解析：。
【2020届咸阳二模】理科数学试题及答案解析
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 集合{}1M x y x ==-，{}1,0,1,2N =-，则M N =I A ．{0,1} B ．{1,0,1}- C ．{1,1}- D.{0,1,2}2. 已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i +B ．13i -+C ．13i -D ．13i -- 3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是 A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于A.64B.32C.2D.45. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测 算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 30x y ±=B. 30x y ±=C. 50x y ±=D.50x y ±=8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅=u u u r u u u rA.2-B. 4-C. 3D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,6,侧棱长为3则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -12()t h 3(/)y mg m 01第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题:第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.若向量(1,2)a x =-r 与向量(2,1)b =r垂直，则x =_____ .14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c 3cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的 男 女 总计 合格 不合格 总计60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===o为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为.(I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案一、选择题： BCDAD CABDC BA二、填空题： 13. 0 14. 2 15. 2， 40 16. 3 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解: (I ) 等差数列{}n a 的公差为d ,由37618,36a a S +==得5169,12a a a =+=,即1149,2512a d a d +=+=,解得11,2a d ==∴21n a n =-,2135(21)n S n n =+++⋅⋅⋅+-= ……………………6分(Ⅱ)证明:由(I )得2n S n =,∴211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++∴11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++ 即 1n T < ……………………12分 18.（本小题满分12分） 解：(I )根据茎叶图可得2240(1041016)3603.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯知有0095以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.……………………6分(Ⅱ)从茎叶图可知, 成绩在60分以下(不含60分)的男女学生人数分别是4人和2人,从中任意选2人,基本事件总数为2615C =,0,1,2X =211224241862(0),(1),(2),1515151515155C C C C P X P X P X ==========……………………12分 19．（本小题满分12分）解:(I )证明: ∵PE EB ⊥,,PE ED EB ED E ⊥=I∴PE ⊥平面EBCD又PE 平面PEB , ∴平面PEB ⊥平面EBCD而BC 平面EBCD , BC EB ⊥, ∴平面PBC ⊥平面PEB 由,PE EB PM MB ==知EM PB ⊥,可知EM ⊥平面PBC又EM 平面EMN , ∴平面EMN ⊥平面PBC ……………………6分0118264()153E X ⨯+⨯+⨯==(Ⅱ)法1：假设存在点N 满足题意，过M 作MQ EB ⊥于Q ，由PE EB ⊥知//PE MQ 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设(02)BN x x =<<，由Rt EBN Rt ERQ ∆∆:得，BN ENRQ EQ=即1x RQ =，得RQ =∴tan MQ MRQ RQx∠==，依题意知cos 6MRQ ∠=，即tan MRQ x∠==1(0,2)x =∈，此时N 为 BC 的中点综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点. ……………………12分法2：假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线,,EB ED EP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，不妨设2PE EB ==，显然平面BEN 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r，设(02)BN m m =<<，则(1,0,1),(2,,0)EM EN m ==u u u u r u u u r设平面EMN 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，则由220EM n EN n ⋅=⋅=u u u u r u u r u u u r u u r得(1,0,1)(,,)00(2,,0)(,,)020x y z x z m x y z x my ⋅=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，取2(,2,)n m m =-u u r∴121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 依题意,=,解得1(0,2)m =∈,此时N 为BC 的中点CRBC DE MNPQ综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66，此时N 为BC 的中点. ……………………12分 20.（本小题满分12分）解: （I ）依题意得2221222222a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩解得22221a b c ⎧=⎨==⎩ ∴椭圆22:12x C y += ……………………5分 （Ⅱ）法1：设点0(2,)P y ，1122(,),(,),M x y N x y其中222211222,2x y x y +=+=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥得10201211221,122y y y y y y x x x x --⋅=-⋅=--- 即2222111102222020,20x y x y y x y x y y +--=+--= 注意到222211222,2x y x y +=+=，于是110220220,220x y y x y y --=--= 因此1122(,),(,)M x y N x y 满足0220x yy --=由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分法2：设点0(2,)P y ,过点P 且与圆222x y +=相切的直线为,PM PN ,切点分别为,,M N 由圆的知识知, ,M N 是圆以OP 为直径的圆222200(1)()1()22y yx y -+-=+和圆222x y +=的两个交点,由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩消去二次项得直线MN 方程为 0220x y y --=,由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分 21．（本小题满分12分）解: （I ）()(1)(0)xf x a x e a '=+≠当0a >时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞]Z ;当0a <时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞Z ]. ……………………5分 (Ⅱ)法1： ()()(0)f x g x x ≥>，即ln 1ln 1(0)(0)xxx x axe x x x a x xe++≥++>⇔≥> 令ln 1()(0)xx x F x x xe ++=>，则221()(1)(ln 1)(1)(ln )()()x x x xx xe x e x x x x x x F x xe x e +-+++-++'==令()ln x x x ϕ=+，显然()x ϕ在(0,)+∞Z ，注意到11()10,(1)10e eϕϕ=-<=>，于是存在 01(,1)x e∈使得000()ln 0x x x ϕ=+=，可知()F x 在00(0,)(,)x x +∞Z ]∴00max 00ln 1()()1x x x F x F x x e ++=== 综上知,1a ≥ ……………………12分法2:先证1xe x ≥+,令()1xh x e x =--,则0()1xxh x e e e '=-=-,知()h x 在(,0),-∞](0,)+∞Z ,于是()(0)0h x h ≥=,即1x e x ≥+∴ln ln 1x x xxe ex x +=≥++,当且仅当ln 0x x +=时取等号 ∴当1a ≥时, 对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立综上知,1a ≥ ……………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（I ）曲线C ：2cos 4sin ρθθ-0=，即22cos 4sin ρθρθ-0= 化为直角坐标方程为：24x y =（Ⅱ）法1：212cos 4sin 04sin cos ρθθαραθα⎧-=⇒=⎨=⎩，即124sin cos OA αρα== 同理2224sin()4cos 2sin cos ()2OB πααρπαα+===+ ∴22114sin 4cos 8161622cos sin sin cos sin 2OAB S OA OB ααααααα∆==⋅==≥当且仅当sin 21α=，即()4k k z παπ=+∈时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………5分 法2：显然12l l ⊥，设直线1:l y kx =，直线21:l y x k=-(0)k ≠ 2212440,0,4x yx kx x x k y kx ⎧=⇒-===⎨=⎩，得124OA x =-=同理24OB k ===∴221111488()1622OABk S OA OB k k k k∆+==⋅==+≥当且仅当1k k=，即1k =±时取等号 即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）解：不等式20x m x +-≤，即不等式222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤∴3x m m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，而0m >，于是x m ≥依题意得1m = ……………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a b c ++=，原不等式可化为222a b c a b c b c a++≥++ 法1：∵,,a b c ∈+R ，222a b ab +≥∴22a a b b ≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥- 三式相加得222a b c a b c b c a ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分 法2：由柯西不等式得1a b c =++=≤ （,,a b c ∈+R ，且1a b c ++=）整理得2221a b c b c a ++≥（当且仅当13a b c ===时取等号）……………………10分 法3:不妨设0a b c ≥≥>,则2221110,0a b c c b a ≥≥>≥≥>,由排序不等式知反序和最小,所以222222111111a b c a b c b c a b b c⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅,即222a b c a b c b c a ++≥++ 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分。
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理科数学
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求.
{ } 1.集合 M= x | =y 1− x N={-1,0,1,2},则 M∩N=
A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{1,-1}
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置.
13.若向量 a= (x −1, 2) 与向量 b = (2,1) 垂直,则 x=___.
14.(1-x)(1+x) 4 展开式中,含 x 2 项的系数为____.
15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 y(mg/m3) 与
θ=α(ρ∈R)和θ
= α +
π 2
(ρ
∈ R) ,其中
α≠kπ(k∈z).
(I)写出曲线 C 的直角坐标方程;
(I)设直线 l1 和直线 l 2 分别与曲线 C 交于除极点 O 的另外点 A,B,求 ΔOAB 的面积最小值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x+m|-2x≤0 解集为[1,+∞)(m>0).
时间
t（h）的函数关系为
y
=
kt, 0
<
t
<
1 2
,（如图所示）实验表明,当药物释放量
y<0.75(mg/m
3
)对人体无
1
, t
1
kt 2
害.
(1)k=_____; (2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过____分钟人方 可进入房间.(第一问 2 分,第二问 3 分)
2.
(I)求椭圆 C 的方程:
(II)设 P 是直线 x=a 2 上任意一点,过点 P 作圆 x 2 +y 2 =a 2 的两条切线,切点分别为 M,N,
求证:直线 MN 恒过一个定点.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=axe x (a∈R,a≠0),g(x)=x+lnx+1. (I)讨论 f(x)的单调性; （II）若对任意的 x>0， f（x）≥g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围.
8
12.已知函数 f (x=) ex + b 的一条切线为 y=a(x+1),则 ab 的最小值为
A. − 1 2e
B. − 1 4e
C. − 1 e
D. − 2 e
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两个部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个考生都必须作答.第 22 题~第 23 题 为选考题，考生根据要求作答.
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a > 0, b > 0 )的一个焦点为 F(c,0)(c>0),且双曲线 C1 的两条渐近线与圆
C
2
:
(x c2 均相切,则双曲线 4
C1 的渐近线方程为
A. x ± 3y = 0
B. 3x ± y =0
C. 5x ± y =0
D. x ± 5 y = 0
(I)求正数 m 的值;
(II)设 a,b,c∈R+,且 a+b+c=m,求证: a2 + b2 + c2 1. . bca
16.在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 3 sin A − cos A = 1,a=2,则 ΔABC 的面积的最大值为
_______.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 + a=7 18, S=6 36.
(I)求数列{an}的通项公式及前 n 项和为 Sn ;
(II)设 Tn
为数列{ 1 Sn +
} 的前 n
n
项的和,求证: Tn
< 1.
18.(本小题满分 12 分) 为了响应国家号召,促进垃圾分类,某校组织了高三年级学生参与了"垃圾分类,从我做起"的知识问卷作 答,随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分,作出如图所示的茎叶图,成绩大于 70 分的为"合格".
A.9
B.5
C.4
D.2
5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所
示)的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 2000 个点，己知恰有 800
个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A. 16 5
B. 32
(I)由以上数据绘制成 2×2 联表,是否有 95%以上的把握认为"性别"与"问卷结果"有关?
（II）从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，记来自男生的个 数为 X，求 X 的分布列及数学期望。
附：
19.(本小题满分 12 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E 为 AB 的中点,沿 DE 将 ΔADE 折起,使 得点 A 到点 P 位置,且 PE⊥EB,M 为 PB 的中点,N 是 BC 上的动点(与点 B,C 不重合).
(I)求证:平面 EMN⊥平面 PBC﹔
(II)是否存在点 N，使得二面角 B- EN- M 的余弦值 6 ?若存在,确定 N 点位置;若不存在，说明理由. 6
20.(本小题满分 12 分)
椭圆
C:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a > b > 0) 的离心率为
2 ,它的四个顶点构成的四边形面积为 2 2
8.
函数
f
(
x)
=
|
e
x2 x−
1
|
的大致图像是
9. 已知 AB 是过抛物线 y 2 =4x 焦点 F 的弦,O 是原点,则 OA ⋅ OB =
A.-2
B.-4
C.3
D.-3
10. 正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为 6 ,高为 3,则它的外接球的表面积
为
A.4π
B.8π
D.{0,1,2}
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z=(1+i)(2+i)的共轭复数 z =
A.1+3i
B. -1+3i
C.1-3i
D. -1-3i
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济
合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。自 2015 年以来，“一带一路”建设成果
显著。右图是 2015- 2019 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是
A.这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B.这五年，2015 年出口额最少 C.这五年，2019 年进口增速最快 D.这五年，出口增速前四年逐年下降
4. 已知数列 a1, a2 − a1, a3 − a2 ,, an − an−1 是首项为 1,公差为 2 得等差数列，则 a3 等于
C.10
5
6. 已知 a,b 为两条不同直线,α,β,γ 为三个不同平面,下列命题:
D.18 5
①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ ②若 a∥α,a∥β,则 α∥β
③若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β ④若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b
其中正确命题序号为
A.②③
B.②③④
C.①④
D.①②③
7.
双曲线
C
1
:
请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρcos 2 θ-4sinθ=0,直线 l1 和直
线
l
2
的极坐标方程分别是
C.16π
11. 关于函= 数 f (x)
2 1+
tan tan
x 2x
+
cos
2x
下列说法正确的是
A.函数 f(x)的定义域为 R
D.20π
B.函数
f(x)一个递增区间为
−
3π 8
,
π 8
C.函数 f(x)的图像关于直线 x = π 对称 8
D.将函数 y =
π 2 sin 2x 图像向左平移 个单位可得函数 y=f(x)的图像