河南省南阳六校2020-2021学年高二月考联考理科数学试题
河南省南阳市2020年秋期六校第一次联考高二年级数学试题
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
2、在△ABC 中，已知 b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形有 ( )
A．无解
B．一解
C．两解
D．一解或两解
3、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1 a3 a5 3 ,则 S5
()
A． 5
＝2b，则＝
.
15、在数列 中， ㄵ，
t
，若对于任意的
，
恒成立，则实数 k 的最小值为
．
16、圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形
ABCD 的面积为
.
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答写出文字说明，证明过程和演
算步骤.）
17、已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14
行的速度为( )
17 A. 6海里/小时
2
B．34 6海里/小时
17 2 C. 海里/小时
2
D．34 2海里/小时
8、在
中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，①若 t ，则 ݅ t ݅ ；
②若 ݅
݅ ，则△ 一定为等腰三角形；③若sin sin
sin ，则△ 为直角三角形；④若△ 为锐角三角形，则 ݅ t 㰍㠰 ੪
以上结论中正确的有
()
A.①③
B. ①④
C. ①②④ D. ①③④
9、若数列{an}是正项递减等比数列，Tn 表示其前 n 项的积，且 T8＝T12，则
当 Tn 取最大值时，n 的值等于
()
A．9
B．10
河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二下学期第四次月考数学(理)试题
【全国百强校】河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二下学期第四次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知31i z i -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1- C ．1 D ．22．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是（ ）A ．判断模型的拟合效果B ．对两个变量进行相关分析C ．给出两个分类变量有关系的可靠程度D ．估计预报变量的平均值3．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据得到样本的平均数3x =， 2.7y =，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ）A ．0.2 3.3y x =-+B ．0.4 1.5y x =+C ．2 3.3y x =-D ．28.6y x =-+4．已知某批电子产品的尺寸服从正态分布()1,4N ，从中随机取一件，其尺寸落在区间()3,5的概率为（附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,P X μσμσ-<<+=(22)0.9545)P X μσμσ-<<+=（ ） A ．0.3174 B ．0.2781 C ．0.1359 D ．0.0456 5．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．已知5112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A ．80-B ．40-C ．40D ．80 7．函数 ()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）A ．1055010C C ⋅ B ．10550102C C ⋅ C ．105250102C C A ⋅⋅ D ．55250452C C A ⋅⋅ 9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）A ．516B ．1132C ．1564 D ．1116 10．已知实数x ，y 满足()2ln 436326x y x y ex y +-+--≥+-，则x y +的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1- 11．一布袋中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ）A ．若9n =，则乙有必赢的策略B ．若7n =，则甲有必赢的策略C ．若6n =，则甲有必赢的策略D ．若4n =，则乙有必赢的策略12．已知函数()()),0x f x e g x a ==≠，若函数()y f x =的图象上存在点()00,P x y ，使得()y f x =在点()00,P x y 处的切线与()y g x =的图象也相切，则a的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(C ．(D ．e ⎤⎥⎦二、填空题13．100sin xdx π-=⎰⎰______ 14．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为__________．15．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．16．已知函数()()e 1,ln xf x xg x x kx =⋅-=+,且()()f x g x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立,则实数k 的最大值为______.三、解答题17．若二项式n +的展开式中的常数项为第5项. (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项；18．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：（1）女生都不相邻有多少种排法？（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？20．已知a ，b ，c 使等式()()()222211223 (112)n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对*n N ∈都成立，（1）猜测a ，b ，c 的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.21．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：相关系数公式()()n n i i i i x xy y x y nx y r ---==∑∑回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()111222111ˆn n i i i i i n n i i i x xy y x y nx y b xx x nx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.22．已知函数2()ln 2()f x x a x x a R =+-∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <且12()0f x mx -≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，进而可得结果. 【详解】因为3(3)(1)422 1(1)(1)2i i i iz ii i i--++====+ --+,所以2z i=-，故z的虚部为1-，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．C【解析】【分析】根据独立性检验的概念，即可作出判定，得到答案．【详解】对两个分类变量进行独立性检验目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度，故选C．【点睛】本题主要考查了独立性检验的概念及判定，其中熟记独立性检验的概念是判定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．3．A【解析】【分析】利用变量x与y负相关，排除正相关的选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可．【详解】解：因为变量x与y负相关，而B，C正相关，故排除选项B，C；因为回归直线方程经过样本中心， 把3x =代入0.2 3.3y x =-+解得，0.23 3.3 2.7y y =-⨯+==故A 成立， 把3x =代入28.6y x =-+解得，238.6 2.6y y =-⨯+=≠，故D 不成立，故选A ．【点睛】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，是基础题．4．C【分析】由已知可得1,2μσ==，再由()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+求解． 【详解】解：由已知，得1,2μσ==，所以()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+0.95450.68270.13592-==． 故选C ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于简单题．5．A【解析】【分析】根据数学期望和方差的计算公式求得关于p 的函数关系式，根据函数单调性求得结果.【详解】()1101212222p p p E ξ-=⨯+⨯+⨯=- p ∴在()0,1内增大时，()E ξ减小()22211011121222222p p p p p D ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()221113114244p p p =--+=-++ p ∴在()0,1内增大时，()D ξ减小本题正确选项：A【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的计算，考查对于公式的掌握程度和计算能力. 6．D【分析】令1x =可得各项系数和，求出a ，根据二项展开式求出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的常数项和含x 的项与1a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭相乘，合并同类项即可求解展开式的常数项. 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +， 12a ∴+=1a551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与含x 的系数和， 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r ；令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式各项的系数和，二项展开式的通项公式，赋值法，属于中档题.7．A【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可判断函数图象；【详解】解：∵()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()()()221sin 1sin 11x x x e f x x x x e f e -⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为偶函数，其图像关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时， ()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ， 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题.8．A【分析】根据先分组，后分配的原则得到结果.【详解】 由题意，先分组，可得10550102C C ⋅，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有1052105501025010A =2C C C C ⋅⋅⋅. 故选A ．【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．9．C【分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果. 【详解】所有“重卦”共有：62种；恰有2个阳爻的情况有：26C 种∴恰有2个阳爻的概率为：26615264C p ==本题正确选项：C 【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题，属于基础题. 10．A 【分析】设m 4x 3y 6=+-，n x y 2=+-，得n lnm e m n 2-≥--，变形为n lnm m e n 2,(m 0)-≥-->，令()f m lnm m =-，()nh n e n 2=--，求导求最值得()()max min f m h n =,结合取等条件求出x,y 即可【详解】设m 4x 3y 6=+-，n x y 2=+-，则m n 3x 2y 4-=+-n lnm e m n 2-≥--，nlnm m e n 2,(m 0)-≥-->令()f m lnm m =-，f '(m)=11,0m-∴<m<1,f '(m)>0,;m>1, f '(m)<0,则()f m 在()0,1单调递增()1,∞+单调递减()()max f m f 11∴==-，()f m 1∴≤-令()nh n e n 2=--，()()()ne 1,0,0;0,0,h n n h n n h n =-∴>'<'<'>则()()h n ,0∞-单调递减，()0,∞+单调递增()()()min h n h 01h n 1∴==-∴≥-由题意()()f m h n m 1≥∴=，n 0=，436120x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，x 1∴=，y 1=,故x+y=2故选A本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题 11．A 【分析】乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解． 【详解】若9n =，则乙有必赢的策略．（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球． 所以若9n =，则乙有必赢的策略 所以选A 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，属于难题． 12．B 【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数()h t ，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得()h t 的最大值． 【详解】()()e ,xf xg x ==00(,e )x P x ，设切线与()y g x =的图象相切与点(,t()00','()x f x e g t ==由题意可得0000x xx e e e x t⎧=>⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，解得01x t =-所以01,0x t a t -==>令1(),0t h t t -=>则()111'()12t t t h t t ---=-=- 令'()0h t =，解得12t =当0t > 时，()0h t > 当102t <<时，()'0h t > ，函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 当12t < 时，()'0h t < ，函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 当t 从右侧趋近于0时，(0)h 趋近于12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭当t 趋近于+∞ 时，(0)h 趋近于0所以(a ∈ 所以选B 【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题． 13．22π-【分析】利用定积分的几何意义可求1⎰的值，再由微积分基本定理求得0sin xdx π⎰的值，从而可得结果.【详解】根据题意，12=⎰⎰，⎰等于半径为1的圆的面积的四分之一,为21144ππ⨯⨯=，所以10242ππ=⨯=⎰，()sin cos 2xdx x ππ=-=⎰，则10sin 22xdx ππ-=-⎰⎰；故答案为22π-．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解. 14．10或64. 【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出m 的所有可能的取值． 【详解】如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1， 则经过5次运算后得到的一定是2； 经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）； 经过2次运算后得到的是16； 经过1次运算后得到的是5或32； 所以开始时的数为10或64． 所以正整数m 的值为10或64． 故答案为10或64． 【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 15．66 【分析】根据题意，分3种情况讨论：①当A 、C 、E 种同一种植物，②当A 、C 、E 种二种植物，③当A 、C 、E 种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案． 【详解】根据题意，分3种情况讨论：①当A 、C 、E 种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法； ②当A 、C 、E 种二种植物，此时共有C 32×A 32×2×1×1=36种方法； ③当A 、C 、E 种三种植物，此时共有A 33×1×1×1=6种方法； 则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案； 故答案为66． 【点睛】本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 16．1 【解析】由题意可得ln 1e xx k x x ≤--对任意的()0,x ∞∈+恒成立,令()ln 1e x x h x x x=--,()2´2e ln x x x h x x+=,易知存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()´00h x =，且()h x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数,即函数的最小值为0()h x ,又()1e 11h =->,111e e 1e e h e e e ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭,因此0()1h x ≥,所以1k ≤，即实数k 的最大值为1. 点睛：不等式()()f x g x ≥恒成立问题的常用解法：（1）化不等式为()()()0h x f x g x =-≥，然后求()h x 的最小值，由这个最小值0≥可得参数范围．（2）利用参数分离法，化不等式为()()H k h x ≥，一般化为()k h x ≥（或()k h x ≤）然后求得()h x 的最大值max ()h x ，解不等式max ()()H k h x ≥，可得结论． 17．（1）10； （2）5615360x - . 【分析】（1）根据二项式的展开式的通项公式求出n 的值，（2）根据二项式的展开式的通项公式系数列不等式组，解得系数最大时的项数，再代入通项公式得结果. 【详解】(1)因为二项式的展开式的通项公式为1n rrr r nT C -+=，所以x 的指数为32n r r--+.又因为n+的展开式中的常数项为第五项， 所以4r =,且44032n --+=，解得n=10. (2)因为10110rrr r T C -+=，其系数为10102r r C-⋅.设第k+1(k N ∈)项的系数最大，则101910101011110102222k k k k k k k kC C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 化简得()2110,112,k k k k ⎧+≥-⎨-≥⎩即81133k ≤≤， 因为k N ∈,所以3k =，即第四项系数最大，且553766410215360T C xx --=⋅⋅=.【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式及其应用，考查综合分析与运算能力，属中档题. 18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①4960；②数学期望为6，方差为2.4. 【分析】（1）完成列联表，由列联表，得2258.333 6.6353K =≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人，偶尔或不用网购的有30103100⨯=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=，由题意100.6XB （，），由此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ． 【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得： ()2220050305070258.333 6.635120801001003K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人， 偶尔或不用网购的有30103100⨯=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：2137373104960c c c P c +==． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=， 将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6， 由题意()100.6XB ，，∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =⨯=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=． 【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（1）43200（2）60480（3）287280 【解析】试题分析：（1）不相邻排法，可使用插空法，先将男生排好，再将男生排入女生的空档中；（2）可以先将所有学生任意全排列，再将男生三人的多余排法除去；（3）分类，先考虑甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位与末位的． 试题解析：解：（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有545643200A A = (种)不同排法.（2）9人的所有排列方法有99A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，又对应甲、乙、丙只有 一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有993360480A A = (种)．（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有88A 种排法，若甲不在末位，则甲有17A 种排法，乙有17A 种排法，其余有77A 种排法，综上共有(88A +17A 17A 77A )＝ 287280(种)排法． （或者）99A -288A +77A =287280(种） （或者）99A -217A 77A -77A =287280(种)点睛：在处理排列问题时，要以两个原理为基础，确定好是分类还是分步，再用排列数表示每类或每步的个数，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常见思路解决．一般情况下，会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论，对于相邻问题，常用”捆绑法”；对于不相邻问题，常用”插空法”(特殊元素后考虑)，对于”在”与”不在”的问题，常常使用”直接法”或”排除法”(特殊元素先考虑)． 20．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）通过举例：1,2,3n =得到三元一次方程组求解并猜测a ，b ，c ；（2）代入a ，b ，c 的值，利用数学归纳法的常规步骤去证明等式成立即可. 【详解】(1)假设存在符合题意的常数a ，b ，c ， 在等式()()()222211223 (112)n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++中， 令1n =，得()146a b c =++ ① 令2n =，得()122422a b c =++②令3n =，得7093a b c =++③由①②③解得3,11,10a b c === ，于是， 对于1,2,3n =都有()()()222211223 (13111012)n n n n n n c +⋅+⋅+++=++（*）成立． (2)下面用数学归纳法证明：对一切正整数n ，（*）式都成立． （1）当1n =时，由上述知，（*）成立． （2）假设(1)n k k =≥时，（*）成立， 即()()()222211223 (13111012)k k k k k k k +⋅+⋅+++=++ 那么当1n k =+时，()()()22221223...112k k k k ⋅+⋅++++++ ()()()()()()()2221123111012317241212k k k k k k k k k k k +++=+++++=++ ()()()()212311111012k k k k ++⎡⎤=++++⎣⎦，由此可知，当1n k =+时，（*）式也成立．综上所述，当3,11,10a b c ===时题设的等式对于一切正整数n 都成立． 【点睛】使用数学归纳法的注意事项：由n k =到1n k =+时,除等式两边变化的项外还要利用n k=时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 21．(1)0.75r =>，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2) ˆ0.7 1.5y x =+，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克． 【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，由0.75r >可得可用线性回归模型拟合y 与X 的关系；（2）求出ˆb与ˆa 的值，得到线性回归方程，取12x =求得y 值得答案． 【详解】 （1）因为2456855x ++++==，3456755y ++++==．()()51(3)(2)(1)(1)00113214ii ix x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()52222221(3)(1)01320i ix x =-=-+-+++=∑，()52222221(2)(1)01210i i y y =-=-+-+++=∑．()()550.75iix x y y r --===>∑∑． ∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）()()()5152114ˆ0.720i iii ix x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx=-=-⨯=． ∴ˆ0.7 1.5yx =+． 当12x =时，ˆ0.712 1.59.9y=⨯+=． ∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克． 【点睛】本题主要考查线性相关系数的计算和它的数值大小对相关程度的影响的理解，线性回归方程的求法以及利用方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．22．（1）12a ≥时，增区间为(0,)+∞；0a ≤时，增区间为1()2++∞；102a <<时，增区间为1(0,)2-，1()2++∞；（2）3(,ln 2]2-∞--. 【分析】（1）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间；（2）由（1）知， 102a <<且121x x =+，122a x x ⋅=， ()120f x mx ≥-恒成立，可化为()12f x m x ≤1111112ln 1x x x x =-++-恒成立，利用导数求出函数1()12ln 1g x x x x x =-++-，1(0,)2x ∈的最小值即可得结果. 【详解】 （1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222'()22a x x a f x x x x-+=+-=， 令2220x x a -+=，484(12)a a ∆=-=-，1︒若12a ≥时，0∆≤，'()0f x ≥在(0,)+∞恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 2︒若12a <，>0∆，方程2220x x a -+=，两根为1x2x =， 当0a ≤时，20x >，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. 当102a <<时，1>0x ，20x >， 1(0,)x x ∈，'()0f x >，()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. 综上，12a ≥时，函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞， 0a ≤时，函数()f x单调递增区间为1()2++∞，102a <<时，函数()f x单调递增区间为，)+∞. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <时，102a <<且121x x =+，122a x x ⋅=，则1112a x x +=，()1121a x x =-，且1102x <<，2112x <<. 此时()120f x mx ≥-恒成立，可化为()()21111112121ln 21f x x x x x x m x x +--≤=- ()()11111111121ln 11x x x x x x x -+-+--=-1111112ln 1x x x x =-++-恒成立， 设1()12ln 1g x x x x x =-++-，1(0,)2x ∈， 2221(1)1'()122ln 2ln (1)(1)x g x x x x x --=-++-=+--2(2)2ln (1)x x x x -=+-， 因为102x <<，所以(2)0x x -<，2ln 0x <，所以)'(0g x <，故()g x 在1(0,)2单调递减， 13()ln 222g x g ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，所以实数m 的取值范围是3(,ln 2]2-∞--. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
南阳一中2020-2021学年高二(下)第一次月考数学复习卷1(含答案解析)
南阳一中2020-2021学年高二(下)第一次月考数学复习卷1一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，则9+8i 1+2i =( ) A. 5−2i B. 5+2i C. 6i D. 82. 已知数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，且a 1=1，a 2=32，则a 99=( )A. 49B. 50C. 51D. 523. 已知函数f(x)=x 3−3x 2+3x −1，则函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为( )A. 3x +y −5=0B. x −3y −5=0C. 3x −y −5=0D. 3x −y +5=04. 定义A ㊣B 、B ㊣C 、C ㊣D 、D ㊣A 的运算分别对应图中的(1)、(2)、(3)、(4).则图中的甲、乙的运算式可以表示为：( )A. B ㊣D 、C ㊣AB. B ㊣D 、A ㊣CC. D ㊣B 、C ㊣AD. D ㊣B 、A ㊣C 5. 若△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x=1，则f′(x 0)等于( ) A. 2 B. −2 C. 12 D. −12 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根为−b ，则a −b 的值为( )A. 1B. −1C. 0D. −27. 已知P 是正弦曲线y =sinx 上一点，过点P 作正弦曲线的切线，则切线倾斜角的范围是( )A. [0,π4]∪[3π4,π)．B. [0,π)．C. [π4,3π4]．D. [0,π4]∪[π2,3π4]． 8. 下面是关于复数z =1+i(i 为虚数单位)的四个命题：①z 对应的点在第一象限；②|z|=2；③z 2是纯虚数；④z >z.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知定义域为R 的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意x ∈[0,+∞)，均满足：xf′(x)>−2f(x).若g(x)=x 2f(x)，则不等式g(2x)<g(1−x)的解集是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,13)C. (−1,13)D. (−∞,−1)∪(13,+∞) 10. 下面使用类比推理恰当的是( ) A. “(a +b)c =ac +bc ”类推出“a+b c =a c +b c (c ≠0)” B. “若(a +b)c =ac +bc ”类推出“(a ⋅b)c =ac ⋅bc ”C. “若a ⋅3=b ⋅3，则a =b ”类推出“若a ⋅0=b ⋅0，则a =b ”D. “(ab)n =a n b n ”类推出“(a +b)n =a n +b n ”11. 若f(x)=xcosx ，则函数f(x)的导函数f′(x)等于( )A. 1−sinxB. x −sinxC. sinx +xcosxD. cosx −xsinx12. 从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，中得出第n 个等式是( )A. 1+2+3+⋯+n =(2n −1)2B. n +(n +1)+⋯+(2n −1)=(2n +1)2C. n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n −1)2D. n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n +1)2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在复平面内，复数5+4i i (i 为虚数单位)对应的点的坐标为______．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=__________.15. 平行四边形的一个顶点A 在平面a 内，其余顶点在a 的同侧，已知其中有两个顶点到a 的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a 的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为______ .(写出所有正确结论的编号)16. 在平面几何中，若正三角形的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2=14，类比上述命题，在空间中，若正四面体的内切球体积V 1，外接球体积为V 2，则V1V 2=__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列函数的导数：(1)y=2x；(x−1)2(2)y=(x2−x)e1−x18.当实数m 为何值时，z=(m2−2m−3)+(m2+3m+2)i．(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内．19.试用反证法，证明下列结论：已知0<a<1，则．20.已知曲线C：y=x3−3x，求过点P(1,−2)且与曲线C相切的直线方程．21.已知二次函数f(x)=ax2+ax−2b，其图象过点，且．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)设函数，求曲线ℎ(x)在x=1处的切线方程．22.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n【答案与解析】1.答案：A解析：解：9+8i1+2i =(9+8i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=255−105i=5−2i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：∵数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，且a1=1，a2=32，∴数列{a n}是首项a1=1，公差d=32−1=12的等差数列，∴a99=1+98×12=50．故选：B．由已知得数列{a n}是首项a1=1，公差d=32−1=12的等差数列，由此能求出a99．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3.答案：C解析：本题主要考查导数的几何意义与直线斜截式方程的知识点，属于基础题；求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求方程．解：求导函数，可得，，∵f(2)=1；∴y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y−1=3(x−2)，即3x−y−5=0；故选C．解析：本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系，属于中档题．根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系． 解：通过观察可知：A 在前表示向右的“−”在后表示向左的“−”，B 在前表示顺时针的“□”，再后表示逆时针的“□”，C 在前表示向上的“|”，在后表示向下的“|”，D 在前表示顺时针的“○”，在后表示逆时针的“○”．图中的(甲)、(乙)所对应的运算结果可能是D ㊣B 、C ㊣A ，故选C ．5.答案：C解析：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．先将△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x 进行化简变形，转化成导数的定义式，f ′(x 0)=△x →0limf(x 0+2△x)−f(x 0)2△x 即可解得．解：根据导数的定义可得，f ′(x 0)=△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)2△x =12△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x =12． 故选C ． 6.答案：A解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.利用韦达定理{x 1+x 2=−a x 1·x 2=b，又因为−b 是一个根，所以另一个根为−1，从而求出答案．解：利用韦达定理{x 1+x 2=−a x 1·x 2=b，又因为−b 是一个根，所以另一个根为−1 ∴−1−b =−a ，∴a =b +1，∴a −b =1．7.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，余弦函数的值域，斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题目．先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．解：y′=cosx∵cosx∈[−1,1]∴切线的斜率范围是[−1,1]∴倾斜角的范围是[0,π4]∪[3π4,π)．故选A．8.答案：B解析：本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．求出z的坐标判断①；求出|z|判断②；求得z2的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④．解：∵z=1+i，∴z对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故①正确；|z|=|z|=√2，故②错误；z2=(1+i)2=2i，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．∴其中真命题的个数为2个．故选B．9.答案：C解析：解：由题意可得函数g(x)=x2f(x)为R上的偶函数，∵当x>0时，xf′(x)>−2f(x)，故x2f′(x)+2xf(x)>0，∴g′(x)=(x2f(x))′=2xf(x)+x2f′(x)>0，又g′(0)=0，∴g(x)=x2f(x)在[0,+∞)上单调递增，∵不等式g(2x)<g(1−x)，∴|2x|<|1−x|，两边平方得4x2<1−2x+x2，即(x+1)(3x−1)<0，解得−1<x<13．故选：C由题意和乘积的导数可得偶函数g(x)=x2f(x)在R上单调递增，可化原不等式为|2x|<|1−x|，解之可得．本题考查导数的基本运算，考查利用导数研究函数单调性，考查函数奇偶性的定义，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查类比推理，其中熟练掌握各种运算性质，是解答本题的关键．解：A中“若(a+b)c=ac+bc类比推出a+bc =ac+bc(c≠0)结论正确；B中若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a⋅b)c=ac⋅bc”，结论不正确；C中“若a⋅3=b⋅3，则a=b”类推出“若a⋅0=b⋅0，则a=b”，结论不正确；D中“(ab)n=a n b n”类推出“(a+b)n=a n+b n”，结论不正确．故选A．11.答案：D解析：解：f(x)=xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)=cosx−xsinx，故选：D根据导数的运算法则计算即可．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．12.答案：C解析：本题主要考查了合情推理，属于基础题．解：观察等式可知，等号的右边为对应奇数的平方，等号的左边分别是以n开始的2n−1个数的和，所以第n个等式n+(n+1)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2，故选C．13.答案：(4,−5)解析：本题考查复数代数形式的四则运算，以及复数的代数表示法及其几何意义。
河南省南阳市2020年秋期六校第一次联考高二年级数学答案
2020年秋期六校第一次联考高二年级数学参考答案一、选择题ACABDC ADBABD．二、填空题13、82014、215、 i16、38三、解答题17、解(1)设数列{a n}的公差为d，{b n}的公比为q， (1)2＝b1q＝3，3＝b1q2＝91＝1，＝3.∴{b n}的通项公式b n＝b1q n－1＝3n－1， (3)又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，...). (5)(2)设数列{c n}的前n项和为S n.∵c n＝a n＋b n＝2n－1＋3n－1， (6)∴S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×（1－3n）1－3＝2×（n＋1）n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.即数列{c n}的前n项和为n2＋3n－12 (10)18、(1)证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b (2)由正弦定理得sin A＋sin C＝2sinB (4)∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) (6)(2)解由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ， (8)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34.即cos B ＝34.………………1220、解：（1）∵a =3、b =5、c =7∴角C 最大。
由余弦定理得：215327532cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ac c b a C ，又角C 为ABC ∆内角，∴C =1200.………………4(2)在ABC ∆中，B ac S sin 21=∵acb c a B B B 2cos ,1cos sin 22222-+==+且∴22222)2(-121cos -121sin 21acb c a ac B ac B ac S -+===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41b c a c a ，即证。
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期A类重点高中六校联考数学(理科)参考答案
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河南省南阳市2020-2021学年上学期六校第一次联考高二数学试题及答案
14
7
由①，②解得
b c
7 5
，
………………………………………10
∴ S ABC
1 bc sin 2
A
10
3 ．……………………………………12
()
A. 2
B. 3
C.2
D.3
6、一个直角三角形的三边成等比数列，则最小锐角的正弦值为
A. 1
B. 3
2
5
()
C. 5 -1 2
D. 5 1 2
7、如图所示，一艘船自西向东匀速航行，
上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距
高二年级数学试题，第 1 页 共 4 页
第 7 题图
塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这艘船航
B． 7
C． 9
D．11
4、函数 f(x)定义如下表，数列{xn}满足 x0＝5，且对任意的自然数均有 xn＋1
＝f(xn)，则 x2 020＝
()
x
1
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
A.1
B．2
C．4
D．5
5、△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a＝ 5，c＝2，cos A
＝2，则 b＝ 3
2sin B cos C sin C 2(sin B cos C cos B sin C)
sin C 2cos B sin C …………………………………………3 0 C sin C 0 cos B 1
2 又∵ 0 B ，∴ B ．……………………………………5
河南省南阳市A类重点高中六校2020-2021学年高二下学期第一次阶段检测联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前河南省南阳市A类重点高中六校联考2020-2021学年高二年级下学期第一次阶段检测联合考试数学(理)试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：选修2－2,2－3,4－4,4－5。
第I卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2i ii2i+-+的虚部为A.－125B.－125i C.45D.45i2.(1－5x)5展开式中的第2项为A.－25xB.25xC.－25D.250x23.某植物种子的每百颗的发芽颗数y和温度x(单位：℃)的散点图如图所示,根据散点图,在0℃至24℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽颗数y和温度x 的回归方程类型的是A.y＝bx＋aB.y＝be x＋aC.y＝bsinx＋aD.y＝bx2＋a4.在极坐标系中,方程ρ2－(1＋cosθ)ρ＋cosθ＝0表示A.两条直线B.两个圆C.一条直线和一个圆D.一条射线和一个圆5.已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.84,超过15岁的概率为0.21。
那么在该地区内,一只寿命超过10岁的猫,寿命超过15岁的概率为A.0.21B.0.25C.0.45D.0.636.已知定义在R 上的函数f(x)恰有3个极值点,则f(x)的导函数的图象可能为7.在18个村庄中有8个村庄交通不便,现从中任意选9个村庄,用X 表示这9个村庄中交通不便的村庄个数,则91828120C ⨯＝ A.P(X ＝1) B.P(X ＝2) C.P(X ＝3) D.P(X ＝4)8.若函数f(x)＝(x 2－1)(x －2)2(x －4)3,则曲线y ＝f(x)在点(1,0)处的切线斜率为A.－27B.27C.－54D.549.现有下而四个命题： ①若z ＝2－3i,则|z ＋i|＝2②若X ～N(1,4),P(1<X<3)＝m,则P(X<－1)＝0.5－m ；③如果今天是2021年6月22日(星期二),那么两百天后是星期六；④若数列{a n }满足a 1＝3,a n ＋1＋n 2＝2a n ＋2n ＋1,则由数学归纳法可证明a n ＝n 2＋2n 。
2020-2021学年河南省南阳市第一中学高二上学期第二次月考数学试题 Word版
河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则n a 等于( )A ．22n +B ．24n +C ．21nD ．23n -2．已知ABC ∆的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为( )．A ．24-B ．2 C ．23D ．2-3．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )A ．10,45,60b A C ===B ．6,5,60a c B ===C ．7,5,60a b A ===D ．14,16,45a b A ===4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，520S =，则10a =( )A ．16B ．19C ．22D ．255．等比数列{}n a 的各项均为正数，且562918a a a a +=，则3132310log log log a a a +++的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．325log +6．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，若1a =，321c b -=，则角B 为( )A ．6π B ．65π C ．3π D ．566ππ或7．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若222,44b a c S =+-=，则ABC∆外接圆的半径为( )A 2B ．2C ．2D ．48．为了测量河对岸两地A 、B 之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD ，测得CD =a 米，再测得∠ACD =90°，∠BCD =30°，∠ADC =45°，∠CDB =105°，据此计算A 、B 两地之间的距离是( ) A ．6a B ．62a C ．(31)a +D ．3a9．在中，，BC 边上的高等于,则A ．B ．C ．D ．10．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是 ，第二行共有二项是122,2，第三行共有三项是3452,2,2 ，依此类推第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是2m ，则m=（ ） A ．105 B ．109C ．110D ．21511．在ABC ∆中，60B ∠=︒，3AC =，则2BC AB -的最大值为（）A ．22B ．23C ．2D ．不存在12．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知在等差数列中，首项为20，公差是整数，从第8项开始为负项，则公差为______．14．已知在ABC ∆中，三个内角为,,A B C ，sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是______三角形.15．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，则AD 的长为______16．将边长分别为()*1,2,3,,,n n ∈N 的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为(1),(2),(3),,(),f f f f n ，则()f n =_________，前n 个阴影部分图形的面积的平均值为__________．三、解答题（共70分）17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c A +=.（1）求C ；（2）若2a =，AB 边上的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积.18．（12分）已知数列{}n a 满足1a a =，()*121n n a a n N +=+∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{}1n a +是等比数列，并求通项公式n a .19．（12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且232cos cos a c bA B-=. （1）若5sin b B =，求a ； （2）若6a =， ABC ∆的面积为5，求b c +.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．21．（12分）已知()1221*0,0,nn n n n n u a ab a b ab a b b n ---+>>=++++∈N .（1）当2a =，3b =时，求n u ； （2）若a b =，求数列{}n u 的前n 项和n S .22．（12分）已知递增数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝3，4S n ﹣4n +1＝a n 2，设b n 11n n a a +=（n ∈N *)且数列{b n }的前n 项和为T n（Ⅰ)求证：数列{a n }为等差数列； （Ⅱ)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n 23+•（﹣1)n +1恒成立，求实数λ的取值范围．高二数学月考2答案1-5AADDB 6-12AAB DBDC 13．14．等腰或直角 15．65123- 16．41n -21n17．（1）由正弦定理得sin 2sin 2sin cos +=A B C A ，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，则sin 2sin cos 0A A C +=， 又因为sin 0A ≠，所以1cos 2C =-，(0,)C π∈， 所以23C π=；……………………………………………………5分 （2）由题意知，在ABC 中，有||2==CB a ，因为2CA CBCE +=则||2||2+==CA CB CE ，平方得22||2||4CA CA CB CB +⋅+=，所以224cos443++=b b π，即2b =，……………………………………………8分 所以ABC 的面积为12sin 323==S bc π.……………………………………………10分18．（1）数列{}n a 是等差数列，1a a =，()*121n n a a n N +=+∈，设数列的公差为d ，则()11n n a a n d a a nd +=+-=+，，()211a nd a n d ∴+=+-+⎡⎤⎣⎦，即21nd d a =--对*n N ∈成立，0,1d a ∴==-.1n a a ∴==-，所以()*1n a n N =-∈.………………………………………5分（2）2a =，()*121n n a a n N +=+∈，()()*1121n n a a n N +∴+=+∈.1130a +=≠，∴数列{}1n a +是以()11a +为首项，公比为2的等比数列.…………………………………10分()11111223n n n a a --∴+=+⋅=⋅，()1*321n n a n N -∴=⋅-∈.…………………………………………………12分 19．（1）由正弦定理得：2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C BA B A B--=⇒=， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，∴，∵sin 0C ≠，∴2cos 3A =，则sin 5A = ∵5sin bB =，∴由正弦定理得：5sin sin 3b a A B =⋅=………………………………………6分（2）∵ABC ∆1sin 2bc A =，得3bc =，∵a =22463b c bc +-=，∴()21063b c bc +-=，即()216b c +=，∵00b c >>，，∴4b c +=.…………………………………………………12分20．（1）3A π=；（2）sin 4C =（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈3A π∴=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin2sin222C C C++=整理可得：3sin C C=，即3sin6C C Cπ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭sin62Cπ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C Cππππ∈-∈-，所以,6446C Cππππ-==+sin sin()46Cππ=+=.21．（1）当2a=，3b=a时，()1221*22323233n n n n nnu n---=+⋅+⋅++⋅+∈N，两边除以2n，得213333122222n nnnu-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1111332112322321212n nn nnn nu++++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===---，因此，1132n nnu++=-；…………………5分（2）若a b=，则()1nnu n a=+，所以()232341nnS a a a n a=+++++，①当1a=时，()()32312nn nS n+=++++=；……………………………………7分当1a≠时，在①的两边同乘以a，得()23412341nnaS a a a n a+=+++++，与①式作差，得()()()()2311112111nn n nna aa S a a a a n a a n aa++--=++++-+=+-+-，所以()()()1211111n nna a n aaSa aa+-+=+----.综上，()()()()123,1211,0,111nn nn naSa aa n aa aa a+⎧+=⎪⎪=⎨--+⎪+>≠⎪--⎩.……………………………………12分22．（Ⅰ)证明：依题意，当n≥2时，由4S n﹣4n+1＝a n2，可得4S n﹣1﹣4(n﹣1)+1＝a n﹣12，两式相减，可得4a n ﹣4＝a n 2﹣a n ﹣12，化简整理，得(a n +a n ﹣1﹣2)(a n ﹣a n ﹣1﹣2)＝0， ∴a n +a n ﹣1﹣2＝0，或a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0， ∵数列{a n }是递增数列，∴a n ≥a n ﹣1，则a n +a n ﹣1≥2a n ﹣1≥2a 1＝2×3＝6，∴a n +a n ﹣1﹣2＝0不符合题意， ∴a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列．……………………………………5分 （Ⅱ)由（Ⅰ)知，a n ＝3+2•(n ﹣1)＝2n +1，n ∈N*，则b n ()()111121232n n a a n n +===++(112123n n -++)， 故T n ＝b 1+b 2+…+b n 12=(1135-)12+(1157-)12++(112123n n -++)12=(11111135572123n n -+-++-++)12=(11323n -+)()323n n =+，……………8分 将T n ()323n n =+代入不等式，可得λ•()323n n <+n 23+•（﹣1)n +1， 化简整理，得λ1n<(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]，构造数列{c n }：令c n 1n=(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]，则①当n 为奇数时，n +2为奇数，c n 1n =(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]1n = (2n +3)(3n +2)， c n +212n =+[2(n +2)+3][3(n +2)+2•(﹣1)n +3]12n =+ (2n +7)（3n +8)，c n +2﹣c n 12n =+(2n +7)(3n +8)1n-(2n +3)(3n +2)()()()()()()2738223322n n n n n n n n ++-+++=+()()212212n n n n +-=+，∵n 为奇数，∴n 2+2n ﹣1>0，∴c n +2﹣c n >0，即c n +2>c n ，∴数列{c n }的奇数项为单调递增数列，即c 1<c 3<c 5<… ②当n 为偶数时，n +2也为偶数，c n 1n =(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]1n =（2n +3)(3n ﹣2)， c n +212n =+[2(n +2)+3][3(n +2)+2•(﹣1)n +3]12n =+ (2n +7)(3n +4)，c n +2﹣c n 12n =+(2n +7)(3n +4)1n-(2n +3)(3n ﹣2)()212(1)2n n n +=>+0， 故数列{c n }的偶数项为单调递增数列，即c 2<c 4<c 6<…∵c1＝25，c2＝14，c3＝33，c4552=，∴λ<{c n}min＝c2＝14，∴实数λ的取值范围为(﹣∞，14)．……………………………………12分。
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16．考虑函数 与函数 的图像关系，计算： ________．
∵ ，
∴这组数据的样本中心点是( , )，
∵关于y与x的线性回归方程yˆ=2.1x+0.85，
∴ =2.1× +0.85，解得m=0.5，
∴m的值为0.5.
故选D.
4．A
【解析】
，故选A.
5．B
【解析】
因为随机变量服从二项分布～ ，且 ，选B
6．D
【解析】
(1)错。可假设 .(2)假设正确.
7．A
【解析】
A． 种B． 种C． 种D． 种
11．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 ，其中 ，传输信息为 ， ， 运算规则为： .例如原信息为111，则传输信息为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是 （ ）
A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确
7．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是 ，则
事件A 在一次试验中出现的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法：
①分类变量A与B的随机变量 越大，说明“A与B有关系”的可信度越大．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列．
21．已知数列 满足 ，
（1）求 ， ， ， ；
（2）归纳猜想出通项公式 ，并且用数学归纳法证明；
【全国校级联考】河南省南阳六校2020-2021学年高二月考联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应
19．5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：
（1）女生都不相邻有多少种排法？
（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
20．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
令事件 在一次试验中出现的概率是 ．由事件 至少发生 次的概率为 ，可知事件 一次都不发生的概率为 ，由独立事件同时出现的概率知 ，则 ．故本题答案选 ．
三、解答题
17．已知 ,在 的展开式中，第二项系数是第三项系数的 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
18．国际奥委会将于2021年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运
会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
80
年龄大于50岁
10
合计
70
100
（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5％的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．
A．18B．12C．9D．6
10．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的 四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有
②以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是 和0.3．
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中，b=2， ， ，则a=1．正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
9．在二项式（ 的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为 （ ）
（3）求证 能被15整除．
22．
参考答案
1．D
【解析】
从东边上山共 种;从西边上山共 种;从南边上山共 种;从北边上山共 种;所以应从北边上山.故选D.
2．C
【解析】
互不相等且为虚数，所以有 只能从 中选一个有 种， 从剩余的 个选一个有 种，所以根据分步计数原理知虚数有 （个），故选C.
3．D
【解析】
A．从东边上山B．从西边上山C．从南边上山D．从北边上山
2．从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数 组成复数 ，其中虚数有（ ）个
A．36B．30C．25D．20
3．已知 与 之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
，则 的值为
A． B． C． D．
4．计算 ( )
A．1B．2C．3D．4
5．随机变量服从二项分布～ ，且 则等于（）
A． B．
C．1D．0
6．有以下结论：①已知 ，求证： ，用反证法证明时，可假设 ；②已知 ， ，求证方程 的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根 的绝对值大于或等于1，即假设 ．下列说法中正确的是（ ）
A．11010B．01100C．00011D．10111
12．已知函数 = 存在两个极值点.则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13． 的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）
14．在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布N(100, ),( >0），若 在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为__________．