唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷与参考答案
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高三理科数学参考答案第 4 页
当且仅当 a＝b＝1 时，取“＝” ． 2 2 （2）∵a ＋b ≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b) 2＝4， ∴a2＋b2≥2， ∴(a＋b3)(a3＋b)＝a4＋b4＋a3b3＋ab≥a4＋b4＋2a2b2＝(a2＋b2) 2≥4， 当且仅当 a＝b＝1 时，取“＝” ．
唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题： A 卷：CDBAA B 卷： 二．填空题： （13）－4 （14）7 （15）2π 3 3 （16） 2 CDBAC BC
三．解答题： （17）解： （1）令 n＝1，得 a1＋ a1＝2，( a1＋2)( a1－1)＝0，得 a1＝1， 所以 Sn＝n，即 Sn＝n2． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn-1＝2n－1， 当 n＝1 时，a1＝1 适合上式， 所以 an＝2n－1． an＋1 2n＋1 1 1 － － － （2）bn＝(－1)n 1• ＝(－1)n 1• 2 ＝(－1)n 1• ＋ n n＋1 Sn＋n n ＋n 当 n 为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ ＋ － ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋…－ ＋ 1 2 2 3 3 4 4 5 n n＋1 1 n ＝1－ ＝ ， n＋1 n＋1 当 n 为奇数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ ＋ － ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋…＋ ＋ 1 2 2 3 3 4 4 5 n n＋1 n＋2 1 ＝1＋ ＝ ， n＋1 n＋1 n ，(n为偶数)， n＋1 综上所述，Tn＝ n＋2 ，(n为奇数)． n＋1 另解： Tn＝b1＋b2＋…＋bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＝ ＋ － ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋…＋(－1)n 1• ＋ 1 2 2 3 3 4 4 5 n n＋ 1 1 － ＝1＋(－1)n 1• n＋1 － n＋1＋(－1)n 1 ＝ . n＋1 （18）解：
( )
( )
4 2 3 32 P(X＝4)＝ × ＝ ． 5 3 135
( )
X 的分布列为： X P
0 1 135
1 10 135
2 36 135
3 56 135
4 32 135 …12 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ． 135 135 135 135 135 5 （21）解： ln x （1）由 f (x)≥0 得 ax－ ≥0， x ln x ln x 从而 ax≥ ，即 a≥ 2 ． x x 1－2ln x ln x 设 g (x)＝ 2 ，则 g (x)＝ ， （x＞0） x x3 所以 0＜x＜ e时，g (x)＞0，g (x)单调递增； x＞ e时，g (x)＜0，g (x)单调递减， 1 所以当 x＝ e时，g (x)取得最大值 g ( e)＝ ， 2e
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高三理科数学参考答案第 5 页
(
)
→ PC ＝(1，4，－ 3)，→ PF ＝(－1，2，－ 3)，
设平面 PCF 的法向量为 m＝(x，y，z)，
P
z A
→ x＋4y－ 3z＝0， PC ·m＝0， 则 即 → －x＋2y－ 3z＝0， PF ·m＝0，
则 m＝(－1，1， 3)， 易知 n＝(0，1，0)为平面 PBE 的一个法向量， cosm，n＝ －10＋11＋ 30 (－1)2＋12＋( 3) 2 ＝ 1 5 ＝ ， 5 5 5 ． 5
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（1）因为 E，F 分别为 AB，AC 边的中点， 所以 EF∥BC， 因为∠ABC＝90° ， 所以 EF⊥BE，EF⊥PE， 又因为 BE∩PE＝E， 所以 EF⊥平面 PBE， 所以 BC⊥平面 PBE． …5 分 （2）取 BE 的中点 O，连接 PO， 由（1）知 BC⊥平面 PBE，BC平面 BCFE， 所以平面 PBE⊥平面 BCFE， 因为 PB＝BE＝PE， 所以 PO⊥BE， 又因为 PO平面 PBE，平面 PBE∩平面 BCFE＝BE， 所以 PO⊥平面 BCFE， …7 分 过 O 作 OM∥BC 交 CF 于 M，分别以 OB，OM，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系，则 P(0，0， 3)，C(1，4，0)，F －1，2，0 ．
x B O
E
F M C y
所以平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值 （19）解：
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1 1 （1）当 k＝ 时，直线 l：y＝ (x＋4)即 x－2y＋4＝0. 2 2 x－2y＋4＝0 此时，直线 l 与抛物线 C 相切，由 2 得 y2－4py＋8p＝0， y ＝2px 由＝0 即 16p2－32p＝0，得 p＝2， 所以 C 的方程为 y2＝4x. （2）直线 l：y＝k(x＋4)，(k≠0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝k(x＋4) 4 由 2 得：y2－ y＋16＝0， k y ＝4x 4 y1＋y2＝ ， k 则 …① y1y2＝16， 1 又 A 为 PB 的中点，得：y1＝ y2， …② 2
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2 由①②得：k2＝ ， 9 所以|AB|＝
(1＋k1 )[(y ＋y ) －4y y ]＝4
2 1 2 2 1 2
(1＋k2)(1－4k2) ＝2 11. k2
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（20）解： （1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）. （2）将列联表中的数据代入公式计算得 K2＝
高三理科数学参考答案第 3 页
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1 故 a 的取值范围是 a≥ ． 2e （2）设 y＝f (x)的图像与 y＝a 相切于点(t，a)， f (t)＝a， 依题意可得 f '(t)＝0． 1－ln x 因为 f (x)＝a－ ， x2 ln t at－ ＝a， t 所以 1－ln t a－ 2 ＝ 0 ， t 消去 a 可得 t－1－(2t－1)ln t＝0． 令 h (t)＝t－1－(2t－1)ln t， 1 1 则 h (t)＝1－(2t－1)· －2ln t＝ －2ln t－1， t t 显然 h (t)在(0，＋∞)上单调递减，且 h (1)＝0， 所以 0＜t＜1 时，h (t)＞0，h (t)单调递增； t＞1 时，h (t)＜0，h (t)单调递减， 所以当且仅当 t＝1 时 h (t)＝0． 故 a＝1． （22）解： π （1）当 α＝ 时，l：x＝1； 2 π 当 α≠ 时，l：y＝tan α(x－1)． 2 由 ρ(1－cos2θ)＝8cos θ 得 2ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 因为 x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ， 所以 C 的直角坐标方程 y2＝4x． （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t2－(4cos α)t－4＝0, 4cos α 4 则 t1＋t2＝ 2 ，t1t2＝－ 2 ， sin α sin α 4 因为|AB|＝|t1－t2|＝ (t1＋t2)2－4t1t2＝ 2 ＝8， sin α 2 2 所以 sinα＝ 或－ ， 2 2 2 因为 0＜α＜π，所以 sinα＝ ， 2 π 3π 故 α＝ 或 ． 4 4 （23）解： （1）∵a，b 是正实数，∴a＋b≥2 ab， ∴ ab≤1， ∴( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab≤4， ∴ a＋ b≤2，
() ()
4 13 1 2 1 2 10 P(X＝1)＝ × ＋ ×C1 ＝ ， 3× × 5 3 5 3 3 135
( )
4 2 12 1 2 2 1 36 P(X＝2)＝ ×C1 ＋ ×C2 × ＝ ， 3× × 3× 5 3 3 5 3 3 135
( )
( )
4 22 1 1 2 3 56 P(X＝3)＝ ×C2 × ＋ × ＝ ， 3× 5 3 3 5 3 135
n(ad－bc)2 200(40×50－100×10)2 ＝ ≈3.175＞2.706， (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) 140×60×50×150
所以， 有 90%的把握认为 “此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ． …6 分 （3）以频率作为概率，从该小区随机选择 1 家企事业单位作为普查对象，入户登记 4 2 顺利的概率为 ， 随机选择 1 家个体经营户作为普查对象， 入户登记顺利的概率为 ． 5 3 X 可取 0，1，2，3，4． 1 13 1 P(X＝0)＝ × ＝ ， 5 3 135
唐山市2018-2019学年第一学期高三年级一模考试理科数学含答案
x y （10）已知双曲线 C： － 2＝1（b＞0），F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交 C 的 16 b 左、右支分别于 A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝ A．4 B．8 C．16 D．32 （11）设函数 f (x)＝aex－2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数 a 的值为 A． 2e4 C． 2e2
A
（20） （12 分） 为了保障全国第四次经济普查顺利进行， 国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北、 湖北， 从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基 层的普查小区． 在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致 入户登记不够顺利， 这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区， 共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 100 50 150 个体经营户 140 60 200 合计 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的 类别有关” ； （3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普 查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值． 附：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
π π π － 4 － π 2
B． 2e
D． 2e
（12） 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器， 当水平放置时， 如图， 水面的高度正好为棱长的一半． 若 将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A．1 B． 2 2 3 C． 3 D． 3
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCDDACCB CB B 卷：ADBBD DACAB CB二．填空题：（13）2 （14） 1 2 （15）2 6 （16）(1，3)三．解答题：17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ②①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a n a n －1＝3（n ≥2）， …3分 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1．…6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，…8分 ＝3－3n1－3－(n －1)·3n ＝(3－2n )·3n －32．…10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝4×5＋6×510×10＝ 1 2．…5分 （2）X 可取0，1，2，3．…6分 P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝ 1 6；P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝ 1 2； P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝ 3 10； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝ 1 30； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0× 1 6＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5． …12分19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥CD ， 又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥PD ，又∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)． …9分cos PA →，n ＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…12分 20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分 （2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－ 1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－ 1k ，…6分 又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋ 1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分 因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋ 2 k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3，解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分 21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ 1x ，所以f (x )＝ 1 x － 1 x 2． …1分 设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）．…3分 所以m ＝1． …4分（2）依题意得f (1)≥ e a ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分 因为f (x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f (x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋ 1ln a ．…7分 设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ，则g (x )＝ e x －1＝e －xx ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减，从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分 又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而 1 ln a ≥ ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0，即log a (ln a )＋ 1 ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．…5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)| 因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π 4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分 （2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）． …10分唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）12（14）2 （15）1 （16）(3，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝1－2n1－2－n·2n …10分＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）-x甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；-x乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×25×30＋300×35×20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280×12×30＋280×12×20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，又因为PD 平面PBD ，∴PD ⊥CD ． …5分（2）∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ．…8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以PD ＝AD ＝2，PB ＝PC ＝BC ＝2．S △ABC ＝2，S △PBC ＝3，设A 点到平面PBC 的距离为d ，由V P -ABC ＝V A -PBC 得，1 3S △ABC ×PD ＝ 13S △PBC ×d ，∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为 263．…12分 20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y 得，x 2－2kx －2m ＝0，＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，…2分 因为AB 的中点在x ＝1上，所以x 1＋x 2＝2．即2k ＝2，所以k ＝1．…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22， …5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ，…6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22， 化简得m 2＋8m －20＝0， 所以m ＝－10或m ＝2． …10分 由⎩⎨⎧＞0，d ＜23得－ 12＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2．…12分 21．解：（1）f (x )＝2(ln x ＋1)．…1分 所以当x ∈(0， 1e )时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈( 1e ，＋∞)时，f (x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝ 1 e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2e ．…5分 （2）x 2－x ＋ 1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x －2ln x )，…7分 令g (x )＝x － 1 x －2ln x ，则g (x )＝1＋ 1 x 2－ 2 x ＝ (x －1)2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为g (1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0，…10分 所以(x －1)(x － 1x －2ln x )≥0，即f (x )≤x 2－x ＋ 1x ＋2ln x ．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π 4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)|因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π4＜5π4， 从而有－2＜22sin (α＋ π 4)≤22． 所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 1 2，－2x ＋2， x ＞ 12， 由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
河北唐山市2018届高三数学一模试卷理科有答案
河北唐山市2018届高三数学一模试卷（理科有答案）唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A．B．C．D．2.设集合，，则（）A．B．C．D．3.已知，且，则（）A．B．C．D．4.两个单位向量，的夹角为，则（）A．B．C．D．5.用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（）A．B．C．D．6.已知，，，则（）A．B．C．D．7.如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A．求B．求C．求D．求8.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．10.已知为双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（）A．B．C．D．11.已知函数，则下列关于的表述正确的是（）A．的图象关于轴对称B．，的最小值为C．有个零点D．有无数个极值点12.已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，满足约束条件，则的最小值是．14.的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15.已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则．16.在中，角，，的对边分别为，，，边上的高为，若，则的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列为单调递增数列，为其前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：.18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（i）求日需求量的分布列；（ii）该经销商计划每日进货公斤或公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货公斤还是公斤？19.如图，在三棱柱中，平面平面，.（1）证明：；（2）若是正三角形，，求二面角的大小.20.已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，长轴长为，为直线：上的动点，，.当时，与重合.（1）若椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于，两点，若，求的值.21.已知函数，.（1）设，求的最小值；（2）证明：当时，总存在两条直线与曲线与都相切. （二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）设曲线：（为参数且），与圆，分别交于，，求的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A卷：DCBDADCCABDBB卷：ACBDDDCAABDB二．填空题：（13）－5（14）－160（15）32（16）[2，22]三．解答题：（17）解：（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a21＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，又为单调递增数列，所以a n≥1．…2分由2Sn＝a2n＋n得2Sn＋1＝a2n＋1＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a2n＋1－a2n＋1，整理得2an＋1＝a2n＋1－a2n＋1，所以a2n＝(an＋1－1)2．所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n．…6分（Ⅱ）bn＝an＋22n＋1anan＋1＝n＋22n＋1n(n＋1)＝12nn－12n＋1(n＋1)…9分所以Tn＝(1211－1222)＋(1222－1233)＋…＋[12nn－12n＋1(n＋1)]＝1211－12n＋1(n＋1)＜12．…12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．…3分（Ⅱ）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，P(X＝100)＝0.0010×10＝0.1；P(X＝200)＝0.0020×10＝0.2；P(X＝300)＝0.0030×10＝0.3；P(X＝400)＝0.0025×10＝0.25；P(X＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X的分布列为：X100200300400500P0.10.20.30.250.15…6分（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，此时Y1的分布列为：Y1－1007001500P0.10.20.7此时利润的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180；…8分当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：Y2－40040012002000P0.10.20.30.4此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200；…10分因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C ＝A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1．…4分（Ⅱ）以C为坐标原点，CA→的方向为x轴正方向，|CA→|为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，3)．所以CA→＝(1，0，0)，AA1→＝(－1，2，0)，AB→＝A1B1→＝(0，－1，3)．…6分设n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，则nAA1→＝0，nAB→＝0，即－x＋2y＝0，－y＋3z＝0．可取n＝(23，3，1)．…8分设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则mAB→＝0，mCA→＝0，即－y＋3z＝0，x＝0．可取m＝(0，3，1)．…10分则cosn，m＝nm|n||m|＝12．又因为二面角A1-AB-C为锐二面角，所以二面角A1-AB-C的大小为3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A(0，b)，F(－c，0)，当AB⊥l时，B(－3，b)，由AF⊥BF得kAFkBF＝bcb－3＋c＝－1，又b2＋c2＝6. 解得c＝2，b＝2．所以，椭圆Γ的方程为x26＋y22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，2)，依题意，显然m≠0，所以kAM＝－2m，又AM⊥BM，所以kBM＝m2，所以直线BM的方程为y＝m2(x－m)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．y＝m2(x－m)与x26＋y22＝1联立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，x1＋x2＝6m32＋3m2，x1x2＝3m4－122＋3m2．…7分|PM||QM|＝(1＋m22)|(x1－m)(x2－m)|＝(1＋m22)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|＝(1＋m22)|2m2－12|2＋3m2＝(2＋m2)|m2－6|2＋3m2，|AM|2＝2＋m2，…9分由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM||QM|，所以|m2－6|2＋3m2＝1，解得m＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F(x)＝(x＋1)ex－1，当x＜－1时，F(x)＜0，F(x)单调递减；当x＞－1时，F(x)＞0，F(x)单调递增，故x＝－1时，F(x)取得最小值F(－1)＝－1e2．…4分（Ⅱ）因为f(x)＝ex－1，所以f(x)＝ex－1在点(t，et－1)处的切线为y＝et－1x ＋(1－t)et－1；…5分因为g(x)＝1x，所以g(x)＝lnx＋a在点(m，lnm＋a)处的切线为y＝1mx ＋lnm＋a－1，…6分由题意可得et－1＝1m，(1－t)et－1＝lnm＋a－1，则(t－1)et－1－t＋a＝0．…7分令h(t)＝(t－1)et－1－t＋a，则h(t)＝tet－1－1由（Ⅰ）得t＜－1时，h(t)单调递减，且h(t)＜0；当t＞－1时，h(t)单调递增，又h(1)＝0，t＜1时，h(t)＜0，所以，当t＜1时，h(t)＜0，h(t)单调递减；当t＞1时，h(t)＞0，h(t)单调递增．…9分由（Ⅰ）得h(a－1)＝(a－2)ea－2＋1≥－1e＋1＞0，…10分又h(3－a)＝(2－a)e2－a＋2a－3＞(2－a)(3－a)＋2a －3＝(a－32)2＋34＞0，…11分h(1)＝a－1＜0，所以函数y＝h(t)在(a－1，1)和(1，3－a)内各有一个零点，故当a＜1时，存在两条直线与曲线f(x)与g(x)都相切．…12分（22）解：（Ⅰ）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，C1：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcosθ＋1＝1，所以ρ＝2cosθ；C2：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－6ρcosθ＋9＝9，所以ρ＝6cosθ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB|＝6cosα－2cosα＝4cosα，－2＜α＜2，C2(3，0)到直线AB的距离d＝3|sinα|，所以S△ABC2＝12×d×|AB|＝3|sin2α|，故当α＝±4时，S△ABC2取得最大值3． (10)分（23）解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|－|x|＝－1，x≤－1，2x＋1，－1＜x＜1，1，x≥1，由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，a2b＋1＋b2a＋1＝13(a2b＋1＋b2a＋1)[(b＋1)＋(a＋1)] ＝13[a2＋b2＋a2(a＋1)b＋1＋b2(b＋1)a＋1]≥13(a2＋b2＋2a2(a＋1)b＋1b2(b＋1)a＋1)＝13(a＋b)2＝13．当且仅当a＝b＝12时取等号．即a2b＋1＋b2a＋1的最小值为13．…10分。
2018年河北省唐山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
A．18
B．16
C．12
D．9
6．（5 分）已知 a＝3 ，b＝2 ，c＝ln3，则（ ）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
7．（5 分）如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所
能实现的功能是（ ）
第 1 页（共 22 页）
A．求 1+3+5+…+（2n﹣1） C．求 12+22+32+…+n2 8．（5 分）为了得到函数
12．（5 分）已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ ABC＝90°，点 B 在 AC 上的射影为 D，则三棱锥 P﹣ABD 体积的最大值是 （）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．（5 分）设 x，y 满足约束条件
17．（12 分）已知数列{an}为单调递增数列，Sn 为其前 n 项和，
．
（1）求{an}的通项公式；
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（2）若
，Tn 为数列{Βιβλιοθήκη n}的前 n 项和，证明：．
18．（12 分）某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤 20 元，成本为每公 斤 15 元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部 降价处理完，平均每公斤损失 3 元．根据以往的销售情况，按[50，150），[150， 250），[250，350），[350，450），[450，550]进行分组，得到如图所示的频率 分布直方图．
C．
D．
10．（5 分）已知 F 为双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点．过点 F
最新最新题库河北省唐山市高考数学一模试卷及参考答案(理科)
X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值．
P（K 2≥ k0）
0.10
0.010
0.001
k0
2.706
6.635
10.828
第 4 页（共 16 页）
21．（ 12 分）已知函数 f（x）＝ ax﹣ ， a∈R ．
（ 1）若 f（ x）≥ 0，求 a 的取值范围； （ 2）若 y＝ f（ x）的图象与 y＝a 相切，求 a 的值． （二）选考题：共 10 分．请考生在第（ 22），（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题记分． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]（ 10 分）
B ．W＝ W×（ i+1 ） C． W＝ W×（ i +2） D． W＝ W×（ i+3）
7．（ 5 分）椭圆 C：
的左、右焦点为 F 1， F2，过 F2 垂直于 x 轴的直
线交 C 于 A， B 两点，若△ AF 1B 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（
）
A． 8．（ 5 分）二项式（
B．
第 3 页（共 16 页）
19．（ 12 分）抛物线 C： y2＝ 2px（ p＞ 0），斜率为 k 的直线 l 经过点 P（﹣ 4， 0）， l 与 C 有 公共点 A， B，当 k＝ 时， A 与 B 重合．
（ 1）求 C 的方程；
（ 2）若 A 为 PB 的中点，求 |AB |．
20．（ 12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部 选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后
C．
﹣ 3x） 6 的展开式中的常数项为（
D． ）
A ．﹣ 540
2018~2019唐山市高三摸底理科数学试题及答案
－
唐山市 2018—2019 学年度高三年级摸底考试
理科数学
注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x －5x－6＜0}，B＝{x|0≤x≤8}，则 A∩B＝ A．[0，6) B．[0，1) D．(－1，8] C．(0，6) i(1－2i) 2．设 z＝ ，则|z|＝ 2－i A． 5 41 C． 5
π 在极坐标系中，曲线 C 方程为 ρ2－2 2ρsin θ＋ －4＝0．以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半 4 x＝tБайду номын сангаасos α， （t 为参数，0≤α＜） ． 轴建立直角坐标系 xOy，直线 l： y＝tsin α （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 |OA|－|OB| 的取值范围．
a＝a×(－1) n＝n＋2 n＞19 是 输出 S 结束 否
B．2 D．1
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＋a11＝4，则 S13＝ A．13 B．26 C．39 D．52 4．随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，若 P(ξ＜2)＝0.2，P(2＜ξ＜6)＝0.6，则 μ＝ A．6 B．5 C．4 D．3 5．cos 105° －cos 15° ＝ 2 A． 2 6 C． 2 2 2 6 D．－ 2 B．－
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学理科数学(解析版)
k
或 sin x 0 ；由 cos 2x 0 ，得 2x k , k Z, x , k Z ，又 x [0, 2 ]，
2
24
3 5 7 x 或 或 或 ；
44 4 4
3 5 7 由 sin x 0 ，得 x 0或 或2 ， 0 2 7 ．
44 4 4
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， AB AC ，则该三棱锥体积的最大值是
8 6 6 5 2 22 1 3 4 5 7 8
4 3 1 23 0 2
（1）从甲、乙两位工人当天生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不相同的概率；
（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 X，求 X 的分布列和
（）
16
A．
3
32
B．
3
64
C．
3
D．32
12．答案：B
1
a2 b2
解析：设
AB
a,
AC
b ，则 S△ABC
bc ， △ABC 2
所在外接圆的半径 r
2
，球心 O 到平面
ABC 的距离 d
R2 r2
a2 b2
9
，三棱锥体积最大时， h R d 3
a2 b2
9
，
4
4
1
1
a2 b2 a2 b2
15．已知直线 l : kx y k 2 0 与圆 C : x2 y2 2 y 7 0 相交于 A, B 两点，则 AB 的最小值为
．
15．答案： 2 6
解析：直线 l 的方程为 y 2 k(x 1) ，经过定点 P(1, 2) ，由已知的圆 C 的标准方程为 x2 ( y 1)2 8 ，
河北省唐山市2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题含解析AlUKqK
唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故答案为：A.2. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合,，故两个集合相等.故答案为：C.3. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知,,将代入得到.故答案为：B.4. 两个单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】两个单位向量，的夹角为,则代入得到.故答案为：.5. 用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得到有两个1是相同的，故可以组成不同的四个数字为故答案为：D.6. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得到，，故，,故得到.故答案为：D.7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A. 求B. 求C. 求D. 求【答案】C【解析】根据题意得到：a=0,s=0,i=1,A=1,s=1,i=2,A=4,s=1+4,i=3,A=9,s=1+4+9,i=4,A=16,s=1+4+9+16,i=5,依次写出s的表达式，发现规律，满足C.故答案为：C.8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】函数,将函数的图象向做平移个单位长度即可.故答案为：A.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成.面积和为故答案为：A.10. 已知为双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意画出图像，得到由结论焦点到对应渐近线的距离为b得到：AF=b,故OA=a,OF=c,而角AOF 等于角FOB ,又因为三角形AOB为直角三角形，由二倍角公式得到化简得到c=2b,故得到离心率为.故答案为：B.11. 已知函数，则下列关于的表述正确的是（）A. 的图象关于轴对称B. ，的最小值为C. 有个零点D. 有无数个极值点【答案】D【解析】A因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y轴对称；A 不正确；B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x处取得的，故得到两个图像无交点，故B是错误的;C ,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确；D，化一得到，，此时满足的x值有无数个；或者根据排除法也可得到D.故答案为：D.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学(理)扫描版
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学（理）扫描版唐山市2018—2018学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ADCBD AABCC DB B 卷：CDABDADBCBAC 【二】填空题：〔13〕(－1，0)∪(0，2] 〔14〕17 〔15〕6〔16〕－272【三】解答题： 〔17〕解：〔Ⅰ〕a 1＝S 1＝27(81－1)＝2、…1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝27(8n－1)－ 2 7(8n －1－1)＝23n －2、当n ＝1时上式也成立，因此a n ＝23n －2〔n ∈N *〕、 …6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，b n ＝log 223n －2＝3n －2， …7分因此 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝1 3[(1－ 1 4)＋( 1 4－ 1 7)＋…＋(13n －2－13n ＋1)]＝1 3(1－13n ＋1)＝n3n ＋1、…12分〔18〕解：〔Ⅰ〕如图，以A 为原点，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系、 设AA 1＝a 〔a ＞0〕，依题意得B 1(32，－ 1 2，a )，A (0，0，0)，C (0，1，0)、B 1C →＝(－32， 32，－a )，A 1C 1→＝AC →＝(0，1，0)，由异面直线B 1C 与A 1C 1所成的角为60︒，知|cos 〈B 1C →，A 1C 1→〉|＝|B 1C →·A 1C 1→|___________|B 1C →||A 1C 1→|＝323＋a 2＝12，解得a ＝6、…4分因此三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝1 2AB ·AC sin 120︒·AA 1＝ 1 2×1×1×32×6＝324、 …6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，B 1C →＝(－32，32，－6)、设n ＝(x ，y ，z )为面ACB 1的法向量，那么n ·AC →＝0，n ·B 1C →＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－32x ＋ 32y －6z ＝0．取z ＝1，得x ＝－22，因此n ＝(－22，0，1)、…9分又m ＝(0，0，1)为面ACB 的一个法向量，因此cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝ 13、因此二面角B 1-AC -B 的余弦值为13、…12分〔19〕解：〔Ⅰ〕依题意，⎩⎨⎧0.5＋a ＋b ＝1，0.5＋2a ＋3b ＝1.7．解得a ＝0.3，b ＝0.2、 …4分〔Ⅱ〕Y 的所有可能取值为0，100，200，300，400，600、 P (Y ＝0)＝0.22＝0.04，P (Y ＝100)＝C 120.2×0.3＝0.12，P (Y ＝200)＝0.32＝0.09，P (Y ＝300)＝C 120.2×0.5＝0.2，P (Y ＝400)＝C 120.3×0.5＝0.3，P (Y ＝600)＝0.52＝0.25、 …8分 Y 的分布列为…10分E (Y )＝0×0.04＋100×0.12＋200×0.09＋300×0.2＋400×0.3＋600×0.25＝360〔元〕、…12分〔20〕解：〔Ⅰ〕依照题意，|y －3|＝3·x 2＋(y －1)2、化简，得曲线E 的方程为3x 2＋2y 2＝6、 …4分 〔Ⅱ〕直线l 方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (2k 2＋3)x 2＋4kx －4＝0、…6分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝－4k2k 2＋3， ① x 1x 2＝－42k 2＋3、②AF →＝λFB →即(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝－λx 2、③由①②③，得1 2＋34k 2＝λ(λ－1)2＝1(λ－1λ)2、 (9)分因为2≤λ≤3，因此22≤λ－1λ≤233，从而 3 4≤1(λ－1λ)2≤2，解不等式3 4≤ 1 2＋34k 2≤2，得 1 2≤k 2≤3、故k 的取值范围是[－3，－22]∪[22，3]、…12分〔21〕解：〔Ⅰ〕当b ＝0时，f (x )＝x 3＋cx ＋d ，f '(x )＝3x 2＋C 、 f (0)＝d ，f '(0)＝C 、 …2分曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线为y ＝cx ＋D 、由⎩⎨⎧y ＝x 3＋cx ＋d ，y ＝cx ＋d ，消去y ，得x 3＝0，x ＝0、 因此曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线只有一个公共点即切点、 …5分〔Ⅱ〕由，切点为(1，1)、又f '(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，因此⎩⎨⎧f (1)＝1，f '(1)＝－12，即⎩⎨⎧1＋b ＋c ＋d ＝1，3＋2b ＋c ＝－12，得c ＝－2b －15，d ＝b ＋15、从而f (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15、…8分由⎩⎨⎧y ＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15，12x ＋y －13＝0，消去y ，得x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝0、 因直线12x ＋y －13＝0与曲线y ＝f (x )只有一个公共点(1，1)， 那么方程x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝(x －1)[x 2＋(b ＋1)x －b －2] ＝(x －1)(x －1)(x ＋b ＋2) 故b ＝－3、 …10分因此f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋12，f '(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)、 当x…12分〔22〕解：〔Ⅰ〕由及由切割线定理，有AB 2＝AD ·AE ＝13AC · 2 3AC ，因此AC 2＝92AB 2、…3分 由勾股定理得，BC ＝AC 2－AB 2＝7、…5分〔Ⅱ〕设圆O 与BC 的交点为F ，圆O 的半径为r 、由割线定理，得CF ·CB ＝CE ·CD ＝13AC · 2 3AC ＝AB 2，…8分 即(7－2r )×7＝14，解得r ＝52、…10分〔23〕解：〔Ⅰ〕曲线C 1的极坐标方程化为ρ＝sin θ＋3cos θ， 两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsin θ＋3ρcos θ，那么曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋3x ，即x 2＋y 2－3x －y ＝0、 …3分曲线C 2的极坐标方程化为1 2ρsin θ＋32ρcos θ＝4，那么曲线C 2的的直角坐标方程为1 2y ＋32x ＝4，即3x ＋y －8＝0、…6分〔Ⅱ〕将曲线C 1的直角坐标方程化为(x －32)2＋(y － 1 2)2＝1，它表示以(32， 12)为圆心，以1为半径的圆、该圆圆心到曲线C 2即直线3x ＋y －8＝0的距离d ＝|3×32＋ 12－8|2＝3，…8分 因此|AB |的最小值为2、…10分〔24〕解：〔Ⅰ〕f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ≥2．其图象如下：…3分当x＝12时，f(x)＝0、当x＜12时，f(x)＜0；当x＞12时，f(x)＞0、因此a＝0、…6分〔Ⅱ〕不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m、因为f(x)的最小值为－3，因此问题等价于－3＜m2－4m、解得m＜1，或m＞3、故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)、…10分。
河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(含答案)
唐山市2019届高三第一次模拟考试数学理试题2019.3注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩B＝A、∅B、[－2，2)C、(2，3]D、(3，＋∞)（2）设复数z 满足(1＋i)z＝2i（其中i 为虚数单位），则下列结论正确的是A、|z|＝2B、z 的虚部为iC、z2＝2D、z 的共轭复数为1－i（3）若函数f (x)＝110,1lg,1x xx x-⎧≤⎨>⎩，则f (f (10))＝A、9B、1C．110D、0（4）《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7 近似表示2，当内方的边长为5 时，外方的边长为，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为A．12B．22C．57D．2549（5）在等比数列{a n}中，若a6＝8a3＝8a22，则a n＝A、a n＝2n－1B、a n＝2nC、a n＝3n－1D、a n＝3n（6）为计算T＝，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A、W＝W×iB、W＝W×(i＋1)C、W＝W×(i＋2)D、W＝W×(i＋3)（7） 椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为 F 1， F 2，过F 2 垂直于 x 轴的直线交 C 于 A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为 A ．12 B 3 C ．13D 3（8）二项式x3x )6的展开式中的常数项为 A 、－540 B 、135 C 、270 D 、540（9） 如图， 直线 2x ＋2y －3＝0 经过函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，|φ|＜π） 图象的最高点 M 和最低点 N ，则A 、ω＝2π， φ＝4πB 、ω＝π， φ＝0C 、ω＝2π， φ＝－4πD 、ω＝π， φ＝2π（10） 已知双曲线C ：2221(0)16x y b b -=> ，F 1，F 2分别为 C 的左、右焦点，过F 2的直线 l 交 C 的左、 右支分别于 A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝ A 、4 B 、8 C 、16 D 、32（11） 设函数 f (x )＝a e x －2sin x ，x ∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数 a 的值为A 4πB 42eπ-C 22e πD 22eπ-（12） 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为A 、1 BCD二、 填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．（13） 已知向量 a ＝(1，－3)， b ＝(m ，2)， 若 a ⊥(a ＋b )，则 m ＝_____．（14） 若 x ，y 满足约束条件3301010x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则 z ＝2x ＋y 的最大值为_____．（15）在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1， AC 2，且 AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为_____． （16）已知 O 为坐标原点，圆 M ：(x ＋1)2＋y 2＝1， 圆 N ：(x －2)2＋y 2＝4．A ，B 分别为圆 M 和圆 N 上的动点，则 S △OAB 的最大值为_____．三、 解答题： 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)， (23)题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． （17）（12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且 a 1n S n ＋1． （1） 求 S n ， a n ； （2） 若 b n ＝(－1)n －1•1n n a S n++， {b n }的前 n 项和为T n ，求 T n ．（18）（12 分）如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4， ∠ABC ＝90°，E ，F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把△AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PB ＝BE ． （1） 证明： BC ⊥平面 PBE ；（2） 求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值．（19）（12 分）抛物线C：y2＝2px（p＞0），斜率为k 的直线l 经过点P(－4，0)，l 与 C 有公共点A，B，当k＝12时，A 与B 重合．（1）求 C 的方程；（2）若 A 为PB 的中点，求|AB|．（20）（12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X 的分布列，并求X 的期望值．附：（21）（12 分）已知函数f (x)＝ax－ln xx，a∈R．（1）若f (x)≥0，求a的取值范围；（2）若y＝f (x)的图像与y＝a 相切，求a的值．（二）选考题：共10 分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，0＜α＜π）． 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsi n 2θ＝4cos θ． （1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A ，B 两点，且|AB |＝8，求 α．（23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 a ，b 是正实数，且a ＋b ＝2， 证明： （1）a ＋b ≤2；（2）(a ＋b 3)(a 3＋b )≥4．理科数学参考答案一．选择题：A 卷：CDBAA CDBACBCB 卷： 二．填空题： （13）－4（14）7（15）2π（16）332三．解答题： （17）解：（1）令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1， 所以S n ＝n ，即S n ＝n 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1适合上式， 所以a n ＝2n －1．…6分 （2）b n ＝(－1)n －1•a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1•2n ＋1n 2＋n＝(－1)n －1•(1 n ＋1n ＋1) …8分当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…－(1 n ＋1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1，当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋( 1 n ＋1n ＋1)＝1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1，综上所述，T n ＝⎩⎨⎧nn ＋1，(n 为偶数)，n ＋2n ＋1，(n 为奇数)． …12分PF ABCEx y zOM另解：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(－1)n －1•(1 n ＋1n ＋1)＝1＋(－1)n －1•1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －1n ＋1. …12分（18）解：（1）因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF ∥BC ， 因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ， 又因为BE ∩PE ＝E ， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ． …5分 （2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB ＝BE ＝PE ， 所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ， 所以PO ⊥平面BCFE ， …7分过O 作OM ∥BC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0，0，3)，C (1，4，0)，F (－1，2，0)．PC →＝(1，4，－3)，PF →＝(－1，2，－3)，设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧PC →·m ＝0，PF →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3z ＝0，－x ＋2y －3z ＝0，则m ＝(－1，1，3)，易知n ＝(0，1，0)为平面PBE 的一个法向量， cos 〈m ，n 〉＝－1⨯0＋1⨯1＋3⨯0(－1)2＋12＋(3)2＝ 1 5＝5 5， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55． …12分（19）解：（1）当k ＝1 2时，直线l ：y ＝12(x ＋4)即x －2y ＋4＝0.此时，直线l 与抛物线C 相切，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0y 2＝2px得y 2－4py ＋8p ＝0，由∆＝0即16p 2－32p ＝0，得p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x . …5分（2）直线l ：y ＝k (x ＋4)，(k ≠0) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋4)y 2＝4x得：y 2－4k y ＋16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝16，…① 又A 为PB 的中点，得：y 1＝12y 2，…②由①②得：k 2＝29，所以|AB |＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝4(1＋k 2)(1－4k 2)k 2＝211. …12分 （20）解：（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）.…2分 （2）将列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(40×50－100×10)2140×60×50×150≈3.175＞2.706，所以，有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． …6分 （3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为 4 5，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 23．X 可取0，1，2，3，4． P (X ＝0)＝1 5×(1 3)3＝ 1135，P (X ＝1)＝4 5×(1 3)3＋1 5×C 13×2 3×(1 3)2＝ 10135， P (X ＝2)＝4 5×C 13× 2 3×(1 3)2＋1 5×C 23×(2 3)2×1 3＝ 36 135，P (X ＝3)＝4 5×C 23×( 2 3)2×1 3＋1 5×(2 3)3＝ 56 135， P (X ＝4)＝4 5×( 2 3)3＝ 32 135．X 的分布列为：X 01 23 4 P1 135 10 135 361355613532135 E (X )＝0× 1 135＋1× 10 135＋2× 36 135＋3× 56 135＋4× 32 135＝145．…12分（21）解：（1）由f (x )≥0得ax －ln xx≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln xx2．…2分设g (x )＝ln xx 2，则g '(x )＝1－2ln x x 3，（x ＞0）所以0＜x ＜e 时，g '(x )＞0，g (x )单调递增；x ＞e 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e，故a 的取值范围是a ≥12e ．…6分（2）设y ＝f (x )的图像与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎨⎧f (t )＝a ，f '(t )＝0．因为f '(x )＝a －1－ln xx 2，所以⎩⎨⎧at －ln tt＝a ，a －1－ln tt2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0． …9分令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h '(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝1t－2ln t －1，显然h '(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h '(1)＝0，所以0＜t ＜1时，h '(t )＞0，h (t )单调递增； t ＞1时，h '(t )＜0，h (t )单调递减， 所以当且仅当t ＝1时h (t )＝0． 故a ＝1． …12分（22）解：（1）当α＝π2时，l ：x ＝1；当α≠π2时，l ：y ＝tan α(x －1)．由ρ(1－cos2θ)＝8cos θ得2ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的直角坐标方程y 2＝4x ． …4分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0,则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α，因为|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＝8，所以sin α＝22或－22，因为0＜α＜π，所以sin α＝22，故α＝π4或3π4．…10分（23）解：（1）∵a ，b 是正实数，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤1，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤4， ∴a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”． …4分（2）∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b ) 2＝4， ∴a 2＋b 2≥2，∴(a ＋b 3)(a 3＋b )＝a 4＋b 4＋a 3b 3＋ab ≥a 4＋b 4＋2a 2b 2＝(a 2＋b 2) 2≥4， 当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”． …10分。