动能定理
• 动能定理这一章 , 是从能量的观点来描述一个 力学过程. 与前几章不同的是 , 不再把力分成内 力和外力, 而是分成主动力和约束反力 . • 在解题的思路上这一章与前几章也有明显的不 同. 对于刚体系统和质点系统来讲, 动能定理的运 用大都以整个系统为研究对象. 而动量定理和动 量矩定理的运用在许多场合下需要将原系统拆成 单体或简单系统 . • 运用动能定理求运动量特别是线速度和角速度 是非常方便的.
1
1 1 1 2 J 11 J 22 mv2 0 M1 mgh 2 2 2 2
R
2
由题目所给的条件可得: v v 2 1 i 12 2 i 12 R R 代入上式整理后可得:
2
h R
1 i 12 2 i 12
h R
2 v 2 ( J 1 i 12 J 2 m R2 ) 2(Mi 12hR m gR2h )
h
mg
v2
2(Mi 12 m gR)Rh 2 J 1 i 12 J 2 m R2
v
2(Mi 12 m gR)Rh 2 J 1 i 12 J 2 m R2
17
例三. ( 例13– 3) 冲击实验机如图 示.已知摆锤的质量为18kg , 重心到转动轴的距离L = 840mm. 杆重不计. 开始时将摆锤升高到摆角α1 = 70° 的地方然后释放, 冲断试件后摆锤上 升的摆角 α2 = 29° . 求冲断试件所需用的能量WK . 由动能定理: T2 －T1 = ∑WA
y
x
重力作功与质点或物体的运动路径无关, 只与其初终的位置有关. 质心下降作正功, 质心上升作负功.
3
2. 弹力的功
r0
M1
弹性力: 单位方向矢量:
F k (r l0 )r 0 r0 r r
r1
O
r
F
k
M2
w F dr k (r l 0 )r o dr r dr r r dr k (r l 0 ) r k (r l 0 )dr k (r l 0 )
定轴转动的刚体:
( z 轴为转轴) 平面运动的刚体: ω mi
li vi
1 1 n 1 2 2 2 2 T m i v i m i ri J z 2 i 1 2 i 1 2
n
C d
VC
n 1 1 1 2 2 2 T m i v i m i li J p2 2 i 1 2 i 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ( J C Md ) J C MVC 2 2 2 n
F1
dr 2
dr 2
F2
dr 1
F2
不可伸长的绳索上任意两点的位移沿其张力方向的分量大小相同，其方向一 个与张力方向相同另一个与张力方向相反，而两张力大小相等, 所以任意两点张 力之功的和为零，即
F1 dr1 F 2 dr 2 0
但单个张力的功一般不一定为零。
9
b. 固定铰支座
FA
R1
2
解: 取系统分析
由动能定理 T2 –T1 =∑WA
1 VC 1 VC S JD J 0 m g S sin M 2 2 O R 2 R R1 2 1
2
C m2g R2 D
θ
2 2 13 1 S 2 VC 2 VC m 2 R 2 2 m1R1 2 M m2g S sin 22 R2 2 R1 R1
或
VC 2
(M m 2gR1 sin)S 表明 R1 ( 3m 2 2m1 )
速度VC 是其路程 S 的函数. 鉴于此, 如果再求圆柱质心C 的加速度, 那是非常方便的. 将左上式的两边对时间t 求导数:
M
O
C m2g R2 D θ
R1
2VC aC
4(M m 2gR1 sin) VC R 1 ( 3m 2 2m1 )
A
dr OA OC rB rB rA dr dr rB rA AB dr rB rA BC
B C
5
rA
O
3. 定轴转动刚体上力和力偶矩的功
ω
z
w F dr F ds F Rd M z d
n n
微分形式 积分形式 2. 质点系的动能定理:
dT w i w i
i 1 i 1
A
N w i i 1
n
微分形式
在理想约束下
n
N w i 0
i 1
n
A dT w i
积分形式
T2 T1 w i1A 2
p
13
§13 – 3 动能定理
1. 质点的动能定理:
dv dv m Fm dr F dr dt dt mv dv w m v dv w
2 d(1 m v ) w 2 1 2 2 2 m v2 1 m v 1 w1 2 2
i 1
n
i 1
14
例一. (书上例 13–2 ) 卷扬机的鼓轮在力偶M的作用下将圆柱沿斜坡往上拉. 已知鼓轮的半径为 R1 , 质量为m1 , 且质量分布在轮缘上; 圆柱的半径为R2 , 质量为m2 , 质量均匀 分布. 斜坡的倾角为θ , 圆柱只滚不滑. 系统从静止开始运动. 求圆柱中心 C 经过路程 S 后的速度. M O
2(M m 2gR1 sin) aC R 1 ( 3m 2 2m1 )
16
例二. ( 书上 例14 – 3 ) 绞车的主动轴Ⅰ上作用一恒力偶M 以提升重物. 已知重物的质量为 m ; 主动轴 Ⅰ 和从动轴Ⅱ连同安装在轴上的齿轮和鼓轮等附件的转动惯量分别为J1 和J2 , 传 动比 ω1 : ω2 =i12 ; 鼓轮的半径为R . 吊索的质量及各处的摩擦不计. 系统开始静止. 求: 当重物上升的距离为h 时的速度. 解: 系统分析 由动能定理 M T2 T1 WA
Fij dr i F ji dr j 0
质点系内力功之和未必为零. 对刚体内任意两点必有:
mi
dr j
刚体
dr i
mi
mj
Fij dr i F ji dr j 0
dr j
F ij
F ji
刚体内力功之和必为零.
8
6. 各种约束反力的功
a . 不可伸长的绳索
dr 1
F1
质点m :
z
M1 (x1 y1 z1 )
M
w 1 2 Xdx Ydy Zdz
M1 z2
M2
m gdz m g( z 1 z 2 )
z1
mg
M 2 (x2 y 2 z 2 )
O
质点系{mi }:
W12 m i g( z i1 z i 2 ) Mg( ZC1 ZC2 ) g m i ( z i1 z i 2 )
L
L α2
0 0 mgL(cos 2 cos1 ) w k w k 18 9.8 0.84 (cos290 cos700 ) 78.918( J )
设试件的最小横截面为S , 则有: mg mg
α1
mg
试件
ak
wk S
ak 称为材料的冲击韧度, 它是
衡量材料抗冲击能力的一个指标.
4(M m 2gR1 sin) S 整 理 得: V R1 ( 3m2gR1 sin)S VC 2 R1 ( 3m 2 2m1 ) 15
2 请 注 意: VC
4(M m 2gR1 sin) S R1 ( 3m 2 2m1 )
18
例四. ( 习 14 – 9 ) 质量为2kg 的物块A 在弹簧上处于静止 , 弹簧的刚度系数k 为 400/m . 现在将 质量为4kg 的物块B 放在物块A 上 , 刚一接触就释放它. 求: (1) 弹簧对物块的最大作用力; (2) 两物块得到的最大速度. 解: (1) 先求弹簧的原静伸长 δ0 m g 2 9.8 0 A 0.049(m ) k 400 设弹簧的最大的伸长量为h ( 此时二物块 的速度为零) 由动能定理: 0 0 (m A m B )g (h 0 ) k
显然, 这里约束反力的功之和为零.
B
C
理想约束: 若约束反力的功或约束反力的功之和为零 , 则这一类 约束称为理想约束.
除了弹性约束和摩擦面约束, 我们所见到的约束大都是理想约束.
7. 纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功
11
作纯滚动的刚体在与地面接触的那一 点上作用有法向反力和静摩擦力.
O D
VO
对于任何刚性支撑面, 法向反力的功一 定是零. 注意这里VD =0 . 于是对于作用在D点 的静滑动摩擦力FD 的功, 我们有:
r2
c
r dr 1 2 d( r r )
2 1 dr rdr 2
w F dr k (r l0 )d(r l0 )
r1
r2
k k 2 r2 (r - l0 ) (r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 r1 2 2 k 2 k 2 2 ( 1 2 ) ( 2 末) 始 2 2 4
F
Fz
O dθ R
Fn F
w w
c
2
1
M z d
如 果Mz 是 常 量 ,则有 w M z ( 2 1 )
6
4. 平面运动刚体上的力系的功
由平面运动微分方程式可以看出, 平面运动刚体上的力系是一个平面任意 力系.
动能定理
第十二章动能定理12-1 功和功率2、变力在曲线运动中的功Mvr Fr dsM ′rr ∆rr r r ′为弧的路程上所作的总功在力21M M F r∫=21M M W W δ∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx rd F M M rr ∫⋅=21F W r ⋅δrd F W M M rr ∫⋅=21∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx W ds F W M M ϕcos 21∫=dtv F W M M ∫⋅=21rr影为重力在三坐标轴上的投运动到沿曲线轨迹设质点,21M M M mgG Z Y X −=−===,0δδk F F =成正比。
弹簧变形的大小与在弹性极限内，弹性力r)(212221δ−δ=k W 上式表明，当初始变形大于末变形时，弹性力作功为正。
反之为负。
的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr AB B r d F ⋅=的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr221ii V m T ∑=1、刚体平动的动能221k k V m T ∑=设瞬心在P点2)(21ωk k r m ∑=2221kk r m ∑=ω221ωz J =均质圆柱体作纯滚动时的动能RCCV r r得到两边同乘以,dt V r d r r =2121由动力学基本方程有FdtVd mr r=W r d F δ=⋅r r FdtV m d r r=)(或r d F dt V dtV m d rr r r⋅=⋅)()21()(2)(2mV d V V d m dt V dt V m d =⋅=⋅r r r r W mV d δ=⇒)21(2力的元功。
用于质点上微分等于作质点动能的W mV d δ=)21(2δ二、质点的动能定理的积分形式质点动能在某一路程上的改变量，等于作用于质点上力在同一路程上所作的功。
§12-5 质点系的动能定理)21(2i i V m d ∑∑=)21(2i i V m d *ii W W δδ∑+∑=质点系动能的微分等于作用在该质点系的全部外力和内力的元功的总和。
动能定理动能与速度的关系
动能定理动能与速度的关系动能定理是物理学中一个重要的定理，描述了动能与物体速度之间的关系。
动能即物体由于运动而产生的能量，是一个标量量，通常用K表示，单位是焦耳（J）。
速度是物体在单位时间内的位移变化量，是一个矢量量，通常用v表示，单位是米每秒（m/s）。
动能定理表明，物体的动能与其质量和速度的平方成正比。
具体而言，动能定理可表示为以下公式：K = 1/2 * m * v^2其中，K表示物体的动能，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
从上述公式可以看出，动能与速度的平方成正比，即速度增加一倍时，动能将增加四倍。
这说明了速度对于物体动能的影响非常显著。
当物体的速度增加时，其动能也会随之增加。
以汽车为例，假设有两辆汽车，质量相同，但速度不同。
其中一辆汽车的速度是另一辆汽车的两倍。
根据动能定理，动能与速度的平方成正比，那么速度是两倍的汽车的动能将是速度较小汽车的四倍。
这说明了速度对物体动能的影响。
动能定理也可以用来解释物体的加速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与物体受到的力以及物体的质量成正比。
而速度是由加速度导致的位移变化率。
因此，当物体受到一定力的作用时，加速度增加，速度也会相应增加，进而动能增加。
在实际应用中，动能定理有着广泛的应用。
例如，工程中的运动物体动能分析，机械设计中的动能转换和传递，以及交通工程中的汽车碰撞分析等。
理解动能定理与速度的关系，可以帮助我们更好地理解物体运动中的能量转化和效应。
总结起来，动能定理指出了动能与速度的平方成正比。
物体的速度越大，其动能越大；速度增加一倍时，动能将增加四倍。
这一关系在物理学和工程应用中具有重要的意义。
通过深入理解动能定理，我们可以更好地解释物体运动中的能量转化和效应。
动能定理
• 质量为 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面 质量为m的小球被系在轻绳的一端， 的小球被系在轻绳的一端 内作半径为R的圆周运动 运动过程中 内作半径为 的圆周运动.运动过程中，小球受到 的圆周运动 运动过程中， 空气阻力的作用， 空气阻力的作用，在某一时刻小球通过轨道最低 点时绳子的拉力为7mg，此后小球继续作圆周运 ， 点时绳子的拉力为 动，转过半个圆周恰好通过最高点，则此过程中 转过半个圆周恰好通过最高点， 小球克服阻力所做的功为多大？ 小球克服阻力所做的功为多大？
解析：对全过程应用由动能定理： 解析：对全过程应用由动能定理：
mgh − fs = 0得s =
mgh h = = 3m µmg µ
3 = 6倍 0.5
相当于BC段长度的n =
例题1:一质量为 的小球 例题 一质量为m的小球，在光滑 一质量为 的小球， 水平面上，在拉力F的作用下沿半 水平面上，在拉力 的作用下沿半 作匀速圆周运动， 径r作匀速圆周运动，当外力增至 作匀速圆周运动 8F，使小球半径变为 仍做匀速 ，使小球半径变为r/2仍做匀速 圆周运动，求小球由r变为 变为r/2的过 圆周运动，求小球由 变为 的过 程中外力对小球所做的功？ 程中外力对小球所做的功？
3Fr WF = 2
v1
F
α
从而可以看出略去中间过程，解决了变力做功问题。 从而可以看出略去中间过程，解决了变力做功问题。 v2
8F
• 如图所示，一个物体从斜面上高h处由静止滑下 如图所示，一个物体从斜面上高 处由静止滑下 并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止， 并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得 停止处与开始运动处的水平距离为s， 停止处与开始运动处的水平距离为 ，不考虑物体 滑至斜面底端的碰撞作用， 滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面 对物体的动摩擦因数相同，求动摩擦因数µ. 对物体的动摩擦因数相同，求动摩擦因数
动能定理
2 受 力 分 析
1.8 104 N
启发：此类问题，牛顿定律和动能定理都适用， 但动能定理更简洁明了。解题步骤:1、2、3、4
例2、一质量为 m的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉 θ 力F作用下，从平衡位置P点很缓慢 地移动到Q点，如图所示，则拉力 F所做的功为（ B ） P A. mgLcosθ B. mgL(1－cosθ) C. FLcosθ D. FL
分析：物体受力如图，
N
设上升的最大位移为s， 上滑过程：
f
- mgsin 37º s–f s = 0– m v02/2
下滑过程：
mgsin 37º s–f s = m（v0/2 ）2/2– 0 全过程： N f
v0
mg
–2 f s = m（v0/2 ）2/2– m v02/2
mg
式中f =μ mgcos 37º ，任意两式相除，得μ=0.45。
s F
FN
f
G
解：对飞机 s
F1
1找对象（常是单个物体） 2运动情况分析
由动能定理有
F2
3 确 定 各 力 做 功
1 2 Fs kmgs mv 2
m v2 F km g 4建方程 2s 5.0 103 602 3 0 . 02 5 . 0 10 9.8 2 2 5.3 10
(3)在动能定理中,总功指各外力对物体做功的代数 和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、 电场力或其他的力等． (4)动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有 相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于 此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如 内能）的转化． (5)各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不 同时，分别求力做功，然后求代数和． (6)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物 体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受 力等情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须 根据不同情况分别对待.
动能定理基础知识点
动能定理基础知识点动能定理是物理学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与外力所做的功之间的关系。
在本文中，我将介绍动能定理的基本概念和公式，并解释其在物理学中的应用。
一、动能定理的概念动能定理是指当物体受到外力作用时，物体的动能的增量等于外力对物体所做的功。
换句话说，如果一个物体的动能从初态到末态发生变化，那么这个变化值等于外力所做的功。
动能定理的思想基于牛顿第二定律：物体的加速度与外力成正比，加速度越大，物体的动能增加得越快。
通过动能定理，我们可以通过物体动能的变化来推断外力所做的功的大小。
二、动能定理的公式动能定理可以表述为以下公式：ΔK = W其中：ΔK表示物体动能的变化量，单位为焦耳(J)；W表示外力所做的功，单位也为焦耳(J)。
根据动能定理，如果一个物体的动能发生了变化，那么这个变化值等于外力所做的功。
三、动能定理的应用1. 碰撞与能量转化：在物体之间的碰撞中，根据动能定理可以推断出物体在碰撞过程中的动能转化情况。
例如，在弹性碰撞中，当两个物体碰撞之后，它们的动能是互相转化的，总的动能保持不变。
2. 机械能守恒定律：在只受重力做功的系统中，根据动能定理可以推导出机械能守恒定律。
机械能守恒定律指的是，在只受重力做功的系统中，物体的总机械能（动能和势能之和）保持不变。
3. 动能定理与力学工作：根据动能定理，我们可以计算外力所做的功。
功是物体在力的作用下沿着力的方向移动时所吸收或放出的能量。
功可以用来计算一些力学工作，比如推车沿着平面移动、抬起重物等。
4. 动能定理在运动学中的应用：动能定理也经常应用在运动学分析中，特别是在研究物体在一段时间内的加速度变化时。
根据动能定理，我们可以通过物体动能的变化来推断物体的加速度变化情况。
总结：动能定理是解决物体动能变化以及外力所做功的基本定理之一。
它提供了物体动能与外力作用之间的定量关系，并在物理学的不同领域中有着广泛的应用。
通过动能定理，我们可以深入理解物体在受力作用下的运动情况，分析碰撞、能量转化以及力学工作等问题。
动能定理
7动能和动能定理一、动能和动能定理1.基本知识(1)动能 ①定义： 物体由于 而具有的能．②表达式： E k ＝12mv 2，式中v 是瞬时速度．③单位 动能的单位与功的单位相同，国际单位都是 ，符号为J. 1 J ＝1 kg·m 2/s 2＝1 N·m. ④对动能概念的理解a ．动能是标量，只有 ，没有 ，且动能为非负数．b ．动能是状态量，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能． ⑤动能的变化量 即末状态的动能与初状态的ΔE k ＝12mv 22－12mv 21.ΔE k ＞0，表示物体的 ．ΔE k ＜0表示物体的 ．(2)动能定理的推导①建立情景 如图所示，质量为m 的物体，在恒力F 作用下，经位移l 后，速度由v 1增加到v 2.②推导依据外力做的总功：W ＝ 由牛顿第二定律：F ＝由运动学公式：l ＝v 22－v 212a.③结论：W ＝12mv 22－12mv 21 即W ＝E k2－E k1＝ΔE k .(3)动能定理的内容力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中 。
(4)动能定理的表达式 ①W ＝12mv 22－12mv 21. ②W ＝E k2－E k1. 说明：式中W 为 ，它等于各力做功的 。
(5)动能定理的适用范围不仅适用于 做功和 运动，也适用于 做功和 运动情况．二、对动能、动能定理的理解1．动能的特征(1)是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应．(2)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．(3)是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值．2．对动能定理的理解(1)内容：外力对物体做的总功等于其动能的增加量，即W ＝ΔE k . (2)表达式W ＝ΔE k 中的W 为外力对物体做的总功．(3)ΔE k ＝12mv 22－12mv 21为物体动能的变化量，也称作物体动能的增量，表示物体动能变化的大小．(4)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系．①等值关系：某物体的动能变化量总等于合力对它做的功．②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量．例1． 关于运动物体所受的合力、合力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是( )A ．合力为零，则合力做功一定为零B ．合力做功为零，则合力一定为零C ．合力做功越多，则动能一定越大D ．动能不变化，则物体所受合力一定为零规律总结： 动能与速度的关系1．瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系．2．变化关系：动能是标量，速度是矢量，当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变．训练1．(2014·苏州高一检测)一物体做变速运动时，下列说法正确的有( ) A ．合力一定对物体做功，使物体动能改变 B ．物体所受合力一定不为零 C ．合力一定对物体做功，但物体动能可能不变 D ．物体加速度一定不为零 动能定理的应用及优越性1．应用动能定理解题的基本步骤2．优越性(1)对于变力作用或曲线运动，动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法．功的计算公式W＝Fl cos α只能求恒力做的功，不能求变力的功，而由于动能定理提供了一个物体的动能变化ΔE k与合力对物体所做功具有等量代换关系，因此已知(或求出)物体的动能变化ΔE k＝E k2－E k1，就可以间接求得变力做功．算，运算简单不易出错．注意：动能定理虽然是在物体受恒力作用，沿直线做匀加速直线运动的情况下推导出来的，但是对于外力是变力或物体做曲线运动，动能定理同样成立．例2．一架喷气式飞机质量m＝5×103 kg，起飞过程中从静止开始滑行的路程s＝5.3×102 m时(做匀加速直线运动)，达到起飞速度v＝60 m/s.在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的k倍(k＝0.02)．求飞机受到的牵引力．规律总结：动能定理与牛顿运动定律在解题时的选择方法1．动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，一般来讲凡是牛顿运动定律能解决的问题，用动能定理都能解决，但动能定理能解决的问题，牛顿运动定律不一定都能解决，且同一个问题，用动能定理要比用牛顿运动定律解决起来更简便．2．通常情况下，其问题若涉及时间或过程的细节，要用牛顿运动定律去解决；其问题若不考虑具体细节、状态或时间，如物体做曲线运动、受力为变力等情况，一般要用动能定理去解决．训练2．一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为( ) A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m三、用动能定理求变力的功例3．如图所示，AB 为14圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R .一质量为m 的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A 从静止下滑时，恰好运动到C 处停止，那么物体在AB 段克服摩擦力做功为( )A.12μmgRB.12mgR C ．mgR D ．(1－μ)mgR规律总结：1．本题中摩擦力的大小、方向都在变化，应用功的定义式无法直接求它做的功，在这种情况下，就要考虑利用动能定理．2．物体的运动过程分为多个阶段时，我们尽量对全过程应用动能定理，如果这样不能解决问题，我们再分段处理．如本题中我们直接对由A →B →C 的全过程应用动能定理，就比分为两个阶段由A →B 和由B →C 分别来处理简单一些．动能定理在多过程中的应用1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解．2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解．当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便． 例4．如图所示，ABCD 为一竖直平面的轨道，其中BC 水平，A 点比BC 高出10 m ，BC 长1 m ，AB 和CD 轨道光滑．一质量为1 kg 的物体，从A 点以4 m/s 的速度开始运动，经过BC 后滑到高出C 点10.3 m 的D 点速度为零．求：(g 取10 m/s 2)(1)物体与BC 轨道间的动摩擦因数． (2)物体第5次经过B 点时的速度．(3)物体最后停止的位置(距B 点多少米)．当堂双基达标1．对于动能的理解，下列说法错误的是( )A ．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能B ．动能总为正值C ．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化D ．动能不变的物体，一定处于平衡状态2．(多选)关于动能，下列说法正确的是( )A ．公式E k ＝12mv 2中的速度v 是物体相对于地面的速度B ．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关C ．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同D ．物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同3．(多选)一质量为0.1 kg 的小球，以5 m/s 的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )A ．Δv ＝10 m/sB ．Δv ＝0C ．ΔE k ＝1 JD ．ΔE k ＝0 4．关于动能定理，下列说法中正确的是( ) A ．某过程中外力的总功等于各力做功的绝对值之和 B ．只要合外力对物体做功，物体的动能就一定改变 C ．在物体动能不改变的过程中，动能定理不适用 D ．动能定理只适用于受恒力作用而加速运动的过程5．下列关于运动物体所受的合力、合力做功和动能变化的关系，正确的是( ) A ．如果物体所受的合力为零，那么合力对物体做的功一定为零 B ．如果合力对物体做的功为零，则合力一定为零C ．物体在合力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零D ．如果物体的动能不发生变化，则物体所受合力一定是零6．一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点．第一次小球在水平拉力F 1作用下，从平衡位置P 点缓慢地移到Q 点，此时绳与竖直方向夹角为θ(如图774所示)，在这个过程中水平拉力做功为W 1.第二次小球在水平恒力F 2作用下，从P 点移到Q 点，水平恒力做功为W 2，重力加速度为g ，且θ＜90°，则( )A ．W1＝F 1l sin θ，W 2＝F 2l sin θ B ．W 1＝W 2＝mgl (1－cos θ)C ．W 1＝mgl (1－cos θ)，W 2＝F 2l sin θD ．W 1＝F 1l sin θ，W 2＝mgl (1－cos θ)7．一质量为m 的滑块，以速度v 在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v (方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为( )A.32mv 2 B ．－32mv 2 C.52mv 2 D ．－52mv 2 8．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F 分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s ，如图776所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F 对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )A ．力F 对甲物体做功多B ．力F 对甲、乙两个物体做的功一样多C ．甲物体获得的动能比乙大D ．甲、乙两个物体获得的动能相同9.有一质量为m 的木块，从半径为r 的圆弧曲面上的a 点滑向b 点，如图所示，如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )A ．木块所受的合力为零B ．因木块所受的力都不对其做功，所以合力做的功为零C ．重力和摩擦力做的功代数和为零D ．重力和摩擦力的合力为零10．物体在合外力作用下做直线运动的v t 图象如图所示．下列表述正确的是( )A ．在0～1 s 内，合力做正功B ．在0～2 s 内，合力总是做负功C ．在1～ 2 s 内，合力不做功D ．在0～3 s 内，合力总是做正功11．(多选)如图所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动．小环从最高点A 滑到最低点B 的过程中，小环线速度大小的平方v 2随下落高度h 的变化图象可能是图中的( )12．如图所示，一物体由A 点以初速度v 0下滑到底端B ，它与挡板B 做无动能损失的碰撞后又滑回到A 点，其速度正好为零．设A 、B 两点高度差为h ，则它与挡板碰前的速度大小为( )A. 2gh ＋v 204B.2ghC.2gh ＋v 202D.2gh ＋v 2013．质量为m的小球用长度为L的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空气阻力作用．已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为( )A.mgL4B.mgL3C.mgL2D．mgL14.物体在合外力的作用下做直线运动的v-t图像如图所示，下列表述中正确的是（）A.在0~1s内，合外力做正功B.在0~2s内，合外力总是做正功C.在1s~2s内，合外力不做正功D.在0~3s内，合外力总是做正功15．(多选)物体沿直线运动的vt图象如图所示，已知在第1秒内合力对物体做功为W，则( )A．从第1秒末到第3秒末合力做功为4WB．从第3秒末到第5秒末合力做功为－2WC．从第5秒末到第7秒末合力做功为WD．从第3秒末到第4秒末合力做功为－0.75W16．如图所示，在距沙坑表面高h＝8 m处，以v0＝22 m/s的初速度竖直向上抛出一质量m＝0.5 kg的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑d＝0.3 m深处停下．若物体在空中运动时的平均阻力是重力的0.1倍(g＝10 m/s2)．求：(1)物体上升到最高点时离开沙坑表面的高度H；(2)物体在沙坑中受到的平均阻力F是多少？17．如图所示，滑雪者从高为H的山坡上A点由静止下滑，到B点后又在水平雪面上滑行，最后停止在C点．A、C两点的水平距离为s，求滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ.18．如图所示，AB为固定在竖直平面内的14光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R.质量为m的小球由A点静止释放，求：(1)小球滑到最低点B时，小球速度v的大小；(2)小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力F N的大小；(3)小球通过光滑的水平面BC滑上固定曲面，恰达最高点D，D到地面的高度为h(已知h<R)，则小球在曲面上克服摩擦力所做的功Wf.。
高中物理动能定理的内容与公式
高中物理动能定理的内容与公式高中物理动能定理公式是W=(1/2)mV₁²-(1/2)mVo²=Ek₂-Ek₁，W为外力做的功，Vo是物体初速度，V₁是末速度，Ek₂表示物体的末动能，Ek₁表示物体的初动能。
W是动能的变化，又称动能的增量，也表示合外力对物体做的总功。
动能定理研究的对象是单一的物体，或者可以称单一物体的物体系。
动能定理的计算式是等式，一般以地面为参考系。
动能定理适用于物体的直线运动，也适应于曲线运动;适用于恒力做功，也适用于变力做功;里可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力的正负代数和。
拓展阅读：高中物理动能定理的知识点动能定理的基本概念合外力做的功，等于物体动能的改变量，这就是动能定理的内容。
动能定理还可以表述为：过程中所有分力做的功的代数和，等于动能的改变量。
这里的合外力指研究对象受到的所有外力的合力。
动能定理的表达式动能定理的基本表达式：F合s=W=ΔEk;动能定理的其他表示方法：∫Fds=W=ΔEk;F1s1+F2s2+F3s3+……=ΔEk;功虽然是标量，但有正负一说。
最为严谨的公式是第二个公式;最常用的，有些难度的却是第三个公式。
动能定理根源我们来推导动能定理，很多学生可能认为这是没有必要的，其实恰恰相反。
近几年的高考物理试题，特别注重基础知识的推导和与应用。
理解各个知识点之间的关联，能够帮你更好的理解物理考点。
在内心理解了动能定理，知道了它的本源，才能在考试中科学运用动能定理来解题。
动能定理的推导分为如下两步：(1)匀变速直线运动下的动能定理推导过程物体做匀变速直线运动，则其受力情况为F合=ma;由匀变速直线运动的公式：2as=v2-v02;方程的两边都乘以m，除以2，有：mas=½(mv2-v02)=Ek2-Ek1=ΔEk;上述方程的左端mas=F合s=W;因此有：F合s=W=ΔEk;这就是动能定理在匀变速直线运动情况下的推导过程。
动能定理
动能定理能的概念：如果一个物体能对别的物体做功，我们就说这个物体具有能。
即：能是表示物体做功本领大小的物理量。
它反映了物体某时刻(某位置）的状态。
能的单位是焦耳，符号：J ，它是标量。
从能量的角度：v 1 v 2 ＝0 m 21m v 2122m v 21221v 22v m 2a 21v 22v m a F S F W -=-=-==KΔE K E ΔE F W ↑→→→一、动能：二、动能定理A. ΣW = ΣF ∙S COS Ө －－－合外力的功B.ΣW =W1+W2+……－－－外力做功的代数和关于动能定理的几点说明：1、 动能定理适用于单个物体2、 公式左边ΣW 是外力对物体做功的代数和。
公式右边是物体动能的变化。
由公式可知，物体动能的变化，取决于所有外力所做功的代数和，而不是某个力所做的功。
1、动能：物体运动时具有的能叫动能，用EK 表示，2、表达式：E K ＝mv 2/2 A 、动能是标量3、有关动能的几点说明：B 、其中v 是物体运动速度的大小，与参照系的选取有关， 不同的参照系中，v 可不同，物体的动能EK 也可不同， 一般地，以地为参照系。
• （1）内容：外力对物体做功的代数和（外力对物体所做的总功） 等于物体动能的变化量。
• （2）公式：ΣW=ΔEK有关ΣW 的几点说明： c os S F W ⋅∑∑＝A 、 －－－合外力的功3、动能定理既可用于恒力做功，也能用于变力做功；既能用于直线运动，也能用于曲线运动；4、上式为标量式，不需要建立坐标系5、动能定理中的位移s、初速度v1、末速度v2都以地面为参照系三、应用动能定理解题的基本步骤：1、明确研究对象；2、分析物体受力，明确各力所做的功；3、明确物体的初末动能4、根据动能定理建立方程5、解方程6、解的讨论例:如图质量为m的物块从高为h的斜面顶端自静止开始滑下，最后停止在水平面上B 点。
若改以初速度v0开始沿斜面滑下，则停止在水平面上C点。
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。
第四节 动能 动能定理
2 2 v v 2 1 2 2 x ( ) v2 v1 2ax 2a 2 2 1 2 1 2 v2 v1 m a ( ) mv 2 mv1 2 2 2a
外力对物体所做的功
末状态
初状态
1 2 ①外力对物体所做的功W等于物理量 mv 的变化 2
②而功是能量变化的量度； ③
1 2 mv 由m、v决定； 2
所以
1 2 mv 表示了动能的大小 2
2．表达式
1 2 Ek mv 2
3．单位：J（焦耳）1J=1N· m=1kg· (m/s)2
你的速度小 所以我的动能大！
一质量为10g，飞行 速度为300m/s的子弹
谁的动能大呢？
你的质量小 所以我的动能大！
一质量为4kg，飞行速 度为10m/s的铅球
类型三: 多过程运动
例1.一沙堆正上方2m处有一小金属球由静止释放，最终没 入沙堆2cm深，求沙堆对小金属球的平均阻力是重力的几 倍。
mg H=2m
f
解题注意:
mg
h=2cm
多过程问题,往往可忽略中间状态,直 接选择全过程的初末状态进行研究.
例2. 质量为2kg的滑块,以4m/s的速度在光滑的水平面上向 左滑行.从某时刻起,对滑块施加一水平向右的力,经过一段 时间,滑块的速度变为向右,大小为5m/s, 试求水平力对滑 块所做的功.
例4.人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物 体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为，当人匀速提 起重物由A点沿水平方向运动而到达B点，此时绳与水平 方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？
G
60
A
30
B
例 5．用汽车从井下提重物，重物质量为 m，定滑轮高为 H， 如图所示， 已知汽车由 A 点静止开始运动至 B 点时的速度为 v， 此时轻绳与竖直方向夹角为 θ.这一过程中轻绳的拉力做功多 大？