认识换元的本质

认识换元的本质
一、学习目标
通过对因式分解、一元二次方程、二元一次方程组、无理方程等数学知识中换元问题的讨论，进一步加深对换元法的本质的理解，加强对换元法这一重要方法的掌握．
通过多个知识点中涉及到的换元，体验换元法在数学中的广泛运用，感受换元法在数学学习中的重要性．通过进一步对换元法的讨论，进一步理解和掌握探究问题的基本办法和步骤，提高探究问题的能力．
通过在各类问题中应用换元法解决问题的过程，培养学生用联系的眼光看待问题的意识，发展透过现象看本质的能力，培养思维的深刻性、灵活性和开放性．
二、重难点分析
认识换元法的本质是字母表示数，换元的作用在于对代数式、方程等进行有目的的改造，从而使得问题转化为已知解法的问题；
探索和理解解决每个具体问题的换元方法．换元法的意义在于将隐性的知识变成显性的知识，达到化繁为简的目的，这就需要解题者能够洞察问题的深层结构，对于普通的初中生来说是难点，突破本主题难点的有效方法是让学生多交流、多反思．
三、活动建议方案
《认识换元的本质》活动建议方案
一、活动流程框图
二、活动过程
2.2活动1：常值换元巧解题 2.2.1活动任务
观察几个可以将常数用字母表示从而巧妙地将问题解决的题目的例子，体会换元法的作用和本质． 2.2.2活动内容
第一步：展示与观察
老师通过展示几道通过将常数用字母表示从而巧妙地将问题解决的题目的例子（见媒体资源“常值换元巧解题1，2，3”）、 请同学谈谈自己对换元法的认识与感想；
第二步：交流与提升
同学首先以小组为单位交流自己的认识，然后在全班范围内交流、提升、总结，建议从如下几个方面进行总结：
第一，换元法的使用范围非常广泛，因式分解、代数式求值、解方程等代数领域的各个方面都有应用；
第二，换元法的本质就是字母表示数，其意义在于揭示一些特殊的数之间的一般关系，从而能够使得问题具有更清晰的代数结构，有利于问题的解决．
参考资料 1．无理方程
未知数含在根号下的方程叫做无理方程（或根式方程）． 如14532=++x 就是一个无理方程．
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式
分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．
2．什么叫换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元．它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用．
换元的方法有：整体换元、局部换元、三角换元、均值换元等．换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来．
3．方程的解的概念
方程的解：使得方程左右两边值相等的未知数的值叫方程的解． 如方程2x ＋6＝25中，当x ＝2
19
时， 方程左边＝2×
2
19
＋6＝25， 方程右边＝25， 左边＝右边，因此x ＝2
19
叫方程2x ＋6＝25的解． 2.2.3活动组织方式
本活动的组织首先由教师提出探究任务，学生在独立思考的基础上进行小组内的交流、教师进行巡视指导；
最后进行集体交流，学生充分发表自己的意见，引导其他学生倾听，在进行讨论后由教师点拨提升． 2.2.4活动评价方式
从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果性评价，采用教师评价和学生自评的方式．
学生根据过程性学习评价表和对自己的探究过程和结果进行自评，并完成学习效果测试；
教师根据学生的学生课上的探究情况和完成学习效果测试的情况，对学生进行评价．
2.2.5所需学习资源
2.2.6所需学习时间
20分钟．
2.3活动2：“无理”换元变“有理”
2.3.1活动任务
观察几道通过换元法解决的无理方程的例子，体会换元法的作用和本质．2.3.2活动内容
第一步：展示与观察
老师通过展示几道通过换元法将无理方程转化为有理方程从而解决的问题（见媒体资源“无理换元变有理1，2，3”）、请同学进一步谈谈自己对换元法的认识与感想；
第二步：交流与提升
同学首先以小组为单位交流自己的认识，然后在全班范围内交流、提升、总结，建议从如下几个方面进行总结：
第一，替换代数式的换元法的本质仍然是字母表示数，因为字母不仅仅可以表示数，还可以表示表示数的代数式，其功能仍然是将一些不明显的代数关系变得明显，从而将未知的问题转化为已知解决；
第二，换元法是解决问题的手段，这一手段的灵活运用需要建立在对问题自身的本质的分析和理解的基础上，当然，借助换元有利于我们将内隐的思维过程外显化，提高思维效率．
参考资料
数学方法简介
所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式．人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序．同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法．数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法．数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性．数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具．现代科学技术特别是电子计算机的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成．在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类：
(1)逻辑学中的方法．例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等．这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色．
(2)数学中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法，在代数中常称图象法，在我们今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法，以及将来要学习的向量法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等．这些方法极为重要，应用也很广泛．
(3)数学中的特殊方法．例如配方法、待定系数法、加减（消元）法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等．这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用，我们不可等闲视之．
2.3.3活动组织方式
本活动的组织首先由教师提出探究任务，学生在独立思考的基础上进行小组内的交流、教师进行巡视指导；
最后进行集体交流，学生充分发表自己的意见，引导其他学生倾听，在进行讨论后由教师点拨提升．
2.3.4活动评价方式
从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果性评价，采用教师评价和学生自评的方式.
学生根据过程性学习评价表和对自己的探究过程和结果进行自评，并完成学习效果测试；教师根据学生的学生课上的探究情况和完成学习效果测试的情况，对学生进行评价．
2.3.5所需学习资源
2.3.6所需学习时间
20分钟．
四、学习评价
效果测试题1．分解因式：(x2+x-2)(x2+x-12)+24．
2．分解因式：x4+2002x2+2001x+2002．3．解方程：．
参考答案：1．设a=x2+x，则原式(a-2)(a-12)+24=(a-6)(a-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8)．2．解：设2002=a，则2001=a-1，
原式=x4+ax2+(a-1)x+a=(x4-x)+a(x2+x+1)
=x(x-1)(x2+x+1)+a(x2+x+1)
=(x2+x+1)+(x2-x+a)
=(x2+x+1)+(x2-x+2002)．3．设，原方程可化为：y2+y-30=0，得y1=5，y2=-6（舍去），即：，∴x=4．
五、工具和方法
拓展资源、资料：
①一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程；
②二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程；
③二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组；
④一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；
⑤一元高次方程：一个整式方程经过整理后，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于2，这样的方程叫一元高次方程．
本子主题的探究方法是先自主探究，再小组讨论．将全班同学分成若干个学习小组，每组3～4人，设组长1人，负责组员内的任务分工和活动组织．。