2018年高考数学一轮复习专题31数列求和押题专练理!
【高考复习】2018年高考数学 数列 综合题专项练习(含答案)
2018年高考数学 数列 综合题专项练习一、选择题：1.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =( ) A.60 B.75 C.90 D.1052.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，7825a a -=，则11S 为（ ） A.110 B.55 C.50 D.不能确定3.若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.)21,1[- B.[-1,1） C.[-2,1) D.)23,2[- 二、填空题：4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 21＋a 2=1，a 22＋a 3=1，则a 1=________.5.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 . 三、解答题：6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1＋2，S 3=9＋32. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和； (2)设b n =nS n，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.7.已知数列{a n }的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ错误！未找到引用源。
0. （1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式. （2）若53132S =，求λ.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且3S n =a n+1﹣1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设等差数列{b n }的前n 项和为T n ，a 2=b 2，T 4=1+S 3，求的值.9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式.10.已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）.（1）证明数列{a n ﹣2n}是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求b n 的前n 和S n .11.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+ a 2 =6, a 1a 2= a 3 （1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n 。
2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练 理
2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练理1．(2016·北京卷)已知{}a n 为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝6.解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，∵a 1＝6，a 3＋a 5＝0，∴6＋2d ＋6＋4d ＝0，∴d ＝－2，∴S 6＝6×6＋6×52×(－2)＝6. 2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{}a n 的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝－1n. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0.∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n. 3．(2016·山东卷)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{}b n 是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{}b n 的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n ，求数列{}c n 的前n 项和T n .解析：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{}b n 的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d .可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝n ＋n ＋1n ＋n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]2 ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2.所以T n ＝3n ·2n ＋2.4．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{}a n 的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和．解析：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2.又由a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{}a n 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{}b n 的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝nn ＋.。
2018届高考数学第四章数列31等比数列试题理
考点测试31 等比数列一、基础小题1．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝( ) A ．10 B ．25 C ．50 D ．75答案 B解析 因为a 7·a 12＝a 8·a 11＝a 9·a 10＝5，∴a 8a 9a 10a 11＝52＝25.2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13D.13答案 D解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 2·a 6＝9a 4，得a 2·a 2q 4＝9a 2q 2，解得q 2＝9，所以q＝3或q ＝－3(舍)，所以a 1＝a 2q ＝13.故选D.3．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝( ) A ．8B ．15(2＋1)C ．15(2－1)D ．15(1－2)答案 B解析 ∵a 2a 6＝a 24＝8，∴a 21q 6＝8，∴q ＝2，∴S 8＝1－q81－q＝15(2＋1)．4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 由a n a n ＋1＝a 2n q ＝16n>0知q >0，又a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝16n ＋116n ＝16，∴q ＝4.5．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若n ∈N *时，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…，应选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B.13 C ．－12D.12答案 A解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，∴a ＋16＝a 2，∴a ＝－13.故选A.7．已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7答案 D解析 设数列{a n }的公比为q .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 4×a 1q 5＝a 1q 3×a 1q 6＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝－2，a 1q 6＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝4，a 1q 6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12.当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝1＋(－2)3＝－7；当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝(－8)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－7.综上，a 1＋a 10＝－7.故选D.8．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.答案 16解析 由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 二、高考小题9．[2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84答案 B解析 解法一：由于a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.解法二：同解法一求出q 2＝2，由a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝42，故选B. 10．[2014·重庆高考]对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列答案 D解析 根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)，则a m ，a k ，a n 成等比数列，故选D.11．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0，则a 1＋a 2<0，又a 1>0，所以a 2<0，所以q ＝a 2a 1<0；若q <0，可取q ＝－1，a 1＝1，则a 1＋a 2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0.所以“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件．故选C.12．[2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．答案 64解析 设{a n }的公比为q ， 于是a 1(1＋q 2)＝10，①a 1(q ＋q 3)＝5，②联立①②得a 1＝8，q ＝12，∴a n ＝24－n ，∴a 1a 2…a n ＝23＋2＋1＋…＋(4－n )＝2－12n 2＋72n ＝2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498 ≤26＝64.∴a 1a 2…a n 的最大值为64.13．[2015·安徽高考]已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n－1解析 由已知得，a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.而数列{a n }是递增的等比数列，∴a 1<a 4，∴a 1＝1，a 4＝8，从而q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，则前n 项和S n ＝a 1－q n1－q＝2n－1.三、模拟小题14．[2016·河北衡水调研]已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511D ．1023答案 B解析 ∵2a 4，a 6,48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48. ∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，又∵q ＝2，∴a 1＝1. ∴S 8＝－281－2＝255.15．[2016·济南调研]已知等比数列{a n }满足a 1＝2，a 3a 5＝4a 26，则a 3的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D.14答案 B解析 ∵{a n }为等比数列，设公比为q ， 由a 3·a 5＝4a 26可得：a 24＝4a 26，∴a 26a 24＝14，即q 4＝14.∴q 2＝12，a 3＝a 1·q 2＝1. 16．[2017·惠州质检]已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和S n 中S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7答案 A解析 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，S 3＝a 1－q31－q＝316，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝－12，∴a n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1，由a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1＝－1512，得m ＝8.17．[2017·黄冈质检]设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，有S 2n <3S n ，则q 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,2)C ．[1,2)D ．(0，2)答案 A解析 当q ≠1时，∵S 2n <3S n ，∴a 1－q2n1－q<3×a 1－q n1－q，∴q n<2.若q >1，则n <log q 2对任意的n ∈N *恒成立，显然不成立．若0<q <1，则n >log q 2对任意的n ∈N *恒成立，∴log q 2<n min ，∴log q 2<1，即0<q <2，又0<q <1，∴0<q <1.当q ＝1时，对任意的n ∈N *，有S 2n <3S n 成立．综上可得，0<q ≤1.故选A.18．[2017·东北三校联考]已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.对任意的m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m ，则数列{b m }的前m 项和S m ＝________.答案72m ＋1－748解析 设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n .由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋－2d ＝105，a 1＋9d ＝a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．对任意的m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1，所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝7×－49m1－49＝2m－48＝72m ＋1－748.一、高考大题1．[2016·全国卷Ⅲ]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.2．[2014·全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.∴a n ＋1＋12a n ＋12＝3，又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．则a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.二、模拟大题3．[2017·安徽池州模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解 (1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝－4n1－4＝n－3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋n－3＝22n ＋1＋13. 4．[2017·四川月考]已知等比数列{a n }的公比q >1，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *. (1)求q ；(2)若a 25＝a 10，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n .解 (1)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2(a n ＋a n q 2)＝5a n q . 由题意，得a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0. ∴q ＝2或q ＝12.∵q >1，∴q ＝2.(2)∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9. ∴a 1＝q ＝2.∴a n ＝a 1qn －1＝2n.∴a n 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .∴S n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝2－2n ＋13n .5．[2016·哈三中一模]数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2n.证明： (1)数列{a n ＋2n}是等比数列；(2)对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋2n，得a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)，又a 1＋2＝3，所以{a n ＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)知，a n ＝3n－2n.又3n－2n>2n(n ≥2)，故1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝11＋132－22＋…＋13n －2n <1＋122＋123＋…＋12n ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <32.6．[2017·吉林模拟]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12. ∴{b n }是公比为12的等比数列．∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列．∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。
2018届高考数学一轮复习精选试题数列(解答题) Word版含答案
数列
解答题(本大题共个小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
．函数()定义在[]上,满足且(),在每个区间,…)上, () 的图象都是平行于轴的直线的一部分.
(Ⅰ)求()及的值,并归纳出)的表达式;
(Ⅱ)设直线轴及()的图象围成的矩形的面积为, 求及
的值.
【答案】 (Ⅰ) 由()(), 得().
由及(), 得.
同理,
归纳得
(Ⅱ) 当时,
所以是首项为,公比为的等比数列.
所以
．已知等差数列满足；又数列满足…
，其中是首项为，公比为的等比数列的前项和。
(）求的表达式；
(Ⅱ）若，试问数列中是否存在整数，使得对任意的正整数都有成立？并证明你的结论。
【答案】（）设的首项为，公差为，于是由
解得
(Ⅱ）
由①
得②
①—②得即
当时，，当时，。
2018年高考压轴题之数列含答案
2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.6132.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫2411，33.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.991004.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.1735.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.3786.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.1217.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.648.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<239.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 01710.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613 答案 D解析 由题意可得a m ＝S m －S m －1＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15，d ＝a m ＋1－a m ＝－2， 由S m ＝ma 1＋m (m －1)d 2＝0可得a 1－m ＝－1，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－13，可得a 1－2m ＝－15，a 1＝13，m ＝14，a n ＝15－2n ， 故T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝－12⎝⎛⎭⎫113－113－2n ＝－126＋12(13－2n )，可知当n ＝6时，T n 取得最大值613.2.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫2411，3 答案 C解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，(3－a )×10－6＜a 11－9，解得2＜a ＜3，故选C.3.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100 答案 C解析 由题意，得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n， 所以a 2n ＋1a 2n ＋2a n a n ＋1＋1＝4a 2n ＋1，(a n ＋1a n ＋1)2＝4a 2n ＋1，所以a n ＋1a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12－a n ，由a 1＝12，得a 2＝23，a 3＝34，…，a n ＝n n ＋1，所以a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 1001002＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝100101. 4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.173答案 C解析 由于a 2，a 5－1，a 10成等比数列，所以(a 5－1)2＝a 2·a 10，(a 1＋4d －1)2＝(a 1＋d )·(a 1＋9d )，解得d ＝3，所以2S n ＋n ＋32a n ＋1＝3n 2＋8n ＋323n ＋3＝13⎣⎡⎦⎤3(n ＋1)＋27n ＋1＋2≥203，当且仅当n ＝2时“＝”成立.5.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378 答案 D解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎡⎦⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时取等号，∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D.6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3， 因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121. 7.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，y ′＝4x 在点(a i ，2a 2i 处的切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42，故选C.8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<23答案 D解析 ∵a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1·2n －1＝2n， ∴b n ＋1＝(n －2λ)·2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴当n ≥2时，b n ＋1＞b n ⇒(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1⇒n ＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜32；当n ＝1时，b 2＞b 1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜23，因此λ＜23，故选D.9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 017答案 D解析 第一次循环， n ＝1，s ＝24×12－1，第二次循环， n ＝2，s ＝24×12－1＋24×22－1， 直至n ＝1 008， s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1，结束循环，输出s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1 ＝12×1－1－12×1＋1＋12×2－1－12×2＋1＋…＋12×1 008－1－12×1 008＋1＝11－13＋13＋15＋…＋12 015－12 017＝1－12 017＝2 0162 017，故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④答案 D解析 当x ∈Z 时， [)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列； 0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈()1，2 014，则方程[)x －x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________. 答案 －3 58解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∴a 2＝2×2－7＝－3，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋1＋132×7＝9＋49＝58.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______. 答案 π2解析 因为ʃ204－x 2d x ＝π， 所以a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ＝π，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝a 2 014a 2 012＋2a 22 014＋a 2 014a 2 016＝a 22 013＋2a 2 013a 2 015＋a 22 015＝(a 2 013＋a 2 015)2＝π2.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________. 答案 10解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.答案 －325解析 不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得n ＝1上式成立.综上，a n ＝6n －1， 同理可得b n ＝8n ＋1⇒a 1＋a 4b 3＝2825.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝2825AB →＋λ·AC →⇒1－λ＝2825，λ＝－325.。
2018版高考数学文理通用新课标一轮复习课时达标检测：
课时达标检测（三十一） 等比数列及其前n 项和练基础小题——强化运算能力]1．(2017·湖北华师一附中月考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.2．(2017·安徽皖江名校联考)已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )A ．32B ．64C ．128D ．256解析：选C ∵a 2·a 4＝a 23＝16，∴a 3＝4(负值舍去)①，又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3q 2＋a 3q ＋a 3＝7②，则联立①②，得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝－23或q ＝2，∵a n >0，∴q ＝2，∴a 1＝a 3q 2＝1，∴a 8＝27＝128.3．等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.13(4n －1) B.13(2n －1) C ．4n －1D ．(2n －1)2解析：选A 由题知a 1＝1，公比q ＝2，故数列{a 2n }是首项为1，公比为4的等比数列，故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)，故选A.4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0.由a 25＝a 3a 7得a 24＝4a 3a 7＝4a 25＝4a 24q 2，所以q 2＝14，q ＝12.又a 1＋2a 2＝a 1＋2a 1q ＝3，即2a 1＝3，所以a 1＝32，所以a n ＝a 1q n －1＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . 答案：32n5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________.解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∵S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.答案：73练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选D 由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6，所以q 2＝a 21，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.2．(2016·杭州质检)在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( )A ．3B ．－13C ．3或13D ．－3或－13解析：选C 根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧(a 3q 5)2＝3，a 3(1＋q 10)＝4，化简得3q 20－10q 10＋3＝0，解得q 10＝3或13，所以a 15a 5＝a 5q 10a 5＝q 10＝3或13.3．(2017·长沙模拟)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.4．(2016·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －1解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2q n －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，则a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2－2q )＝0，所以q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.5．(2017·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81D ．16解析：选A 由题意知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7(a 4q )＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里解析：选B 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96 里，故选B.二、填空题7．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________．解析：因为1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，易知b 2>0，所以b 2＝3，所以b 2a 1＋a 2＝310. 答案：3108．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －19．在等比数列{}a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.解析：∵S 99＝30，∴a 1(299－1)＝30.又∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207.答案：120710．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．解析：由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 016＝a 2 016， 故a 1a 2a 3·…·a 2 015＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1， 所以a 1 008＝1，公比0＜q ＜1，所以a 1 007＞1且0＜a 1 009＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 007或1 008.答案：1 007或1 008 三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1.又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2.当n ＝1时a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.12．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15，∴a n＋2a n－1≠0(n≥2)，∴a n＋1＋2a na n＋2a n－1＝3(n≥2)，∴数列{a n＋1＋2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n＋1＋2a n＝15×3n－1＝5×3n，则a n＋1＝－2a n＋5×3n，∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n.。
2018年高考数学(理)一轮复习文档 第五章 数列 第4讲 数列求和 Word版含答案
第讲数列求和．等差数列的前项和公式＝＝＋．．等比数列的前项和公式＝．一些常见数列的前项和公式()＋＋＋＋…＋＝；()＋＋＋＋…＋(－)＝；()＋＋＋＋…＋＝＋．．辨明两个易误点()使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．()在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解．．数列求和的常用方法()倒序相加法如果一个数列{}的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和即是用此法推导的．()错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和就是用此法推导的．()裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．()分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．()并项求和法一个数列的前项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如＝(－)()类型，可采用两项合并求解．．数列{}的前项和为，已知＝－＋－＋…＋(－)－·，则＝( )．．．．＝－＋－＋－＋…＋－＋＝＋(－＋)＋(－＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)＋(－＋)＝＋＋＋…＋＝.数列{}中，＝，若{}的前项和为)，则项数为( )．．．．＝＝－，＝－＋－＋…＋－＝－＝＝)，所以＝ .．等差数列{}的通项公式为＝＋，其前项的和为，则数列的前项的和为( )．．．．因为＝＝(＋)，所以＝＋.故＋＋…＋＝.．若数列{}的通项公式为＝＋－，则数列{}的前项和为．＝＋＝＋－＋.＋＋－．已知数列{}的前项和为且＝·，则＝．＝×＋×＋×＋…＋×，①所以＝×＋×＋×＋…＋×＋，②①－②得－＝＋＋＋…＋－×＋＝－×＋，所以＝(－)＋＋.(－)＋＋。
2018年高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和实战演练理
2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练板块简/者题集萃•实战演练1. (2016 •北京卷)已知｛a n ｝为等差数列，S 为其前n 项和.若a i = 6, a s + a 5 = 0,则 S 6 = 6.解析：设等差数列｛a n ｝的公差为 d ,： a 1= 6, a 3+ a 5 = 0,「. 6 + 2d + 6 + 4d = 0, — d =6X5 —2 ,••• Se = 6X 6+ 可X ( — 2) = 6.2. （2015 •全国卷n ）设S n 是数列｛ a n ｝的前n 项和，且 日=一 1, a n +1= SS +1，贝V S = n1 1 解析：T a n + 1 = S+ 1 — S n ,「. S+ 1 — S n = S+1 Si ，又由 &1 =— 1,知 $工 0. •- 一 ~= 1 ,• S n S n +11 11 等差数列，且公差为—1,而£ = —=— 1,^=— 1 + (n — 1) X ( — 1)= — n ,「. S = S a 1 S n1 n .3. （2016 •山东卷）已知数列｛&｝的前n 项和S n = 3n 2+ 8n , ｛b n ｝是等差数列，且 a n = b n + b n + 1.（1）求数列｛b n ｝的通项公式;解析：（1）由题意知，当n 》2时，a n = S —S —1 = 6n + 5.当 n = 1 时，a 1= S = 11,所以 a n = 6n + 5.设数列｛ 6｝的公差为d .了 a = b 1+ b 2,了11 = 2b 1+ d , 由即 a 2= b 2+ b 3,17= 2b + 3d . 所以 b n = 3n + 1. ⑵由⑴知c n = ^g^ = 3(n +1)・2又 T n = C 1 + C 2+—+ C n ,⑵令C n = a n + 1 n + 1b n + 2 求数列｛ C n ｝的前n 项和T n .可解得b 1 = 4, d = 3.得T n= 3X [2 X 2 2+ 3X 2 3+…+ (n+1)X2n+1],2T n= 3X [2 X 2 3+ 3X 2 4+…+ ( n+ 1) X2 n+2],两式作差，得一T n= 3X [2 X 2 2+ 23+ 24+…+ 2n+1—( n+ 1) X2 n+ 2]2 所以 T n = 3n F 2 4. (2015 •全国卷I )S 为数列｛a n ｝的前n 项和.已知a n > 0, a 2+ 2勿=4S + 3. ⑴求｛ a n ｝的通项公式；1⑵设b n = ，求数列｛ b n ｝的前n 项和.a n a n +1解析：(1)由 a 2 + 2a n = 4$+ 3，可知 a ?+1+ 2a n +1 = 4S +1+ 3. 可得 a n + 1— a n + 2( a n + 1— a n ) = 4a n + 1 ,2 2即 2( a n + 1 + a n ) = a n + 1 — a^ = ( a n + 1 + a n )( a n + 1 — a n ). 由于 a n >0,所以 a n +1 — a n = 2.又由 a 1 + 2a 1 = 4a 1 + 3，解得 a 1 = — 1(舍去)或 a 1 = 3. 所以｛a n ｝是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为 a n = 2n + 1.丄 … 1 1(2)由 a n = 2n +1 可知 b n = = = — .a n a n +1 汕 + n + 2 2n + 1 2n + 3=3X |4 + 4 1 — 2n 1 — 2n +1 X2n +2 =-3n ・2n +2设数列｛ b n ｝的前n 项和为T n ,则。
2018版高中数学理一轮全程复习课时作业第五章 数列 三
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)设等差数列{an}的公差是d.
∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，
∴d＝－3，
∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.
(2)记cn＝(－1)n ，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析：(1)设{an}的公差为d，则a10＝a1＋9d＝19，S10＝10a1＋ ×d＝100.
解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.
所以b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝2n＋1，①
当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，b1·b2·b3·…·bn－1＝2n－1.②
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.
答案：A
4．数列{1＋2n－1}的前n项和为()
A．1＋2nB．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
答案：A
二、填空题
7．(2017·江西南昌一模)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为__________．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练三十三(A卷)5.5数列的综合应用含解析
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关闭Word文档返回原板块.课时分层提升练三十三数列的综合应用（A卷)（25分钟60分）一、选择题（每小题5分,共25分）1.（2017·济南模拟)设{a n｝是公比为q的等比数列,则“q〉1”是“{a n}为递增数列”的( ）A。
充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D。
当a1<0，q〉1时，{a n}是递减数列;当｛a n}为递增数列时,a1〈0,0〈q〈1或a1〉0，q〉1。
因此，“q〉1”是“｛a n｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】（2017·南昌模拟）在公差不为0的等差数列{a n}中，2a3-a2+2a11=0,7数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8= ( ）A。
2 B。
4 C。
8 D。
16【解析】选 D.因为｛a n}是等差数列，所以a3+a11=2a7，所以2a3-a2+2a11=4a7-a72=0，解得a7=0或4,7因为{b n}为等比数列，所以b n≠0，所以b7=a7=4,b6b8=b2=16.72。
设y=f(x)是一次函数,若f(0）=1，且f（1），f(4）,f(13）成等比数列,则f(2)+f （4)+…+f(2n ）等于 ( )A.n(2n+3)B.n(n+4）C.2n(2n+3) D 。
2n(n+4)【解析】选A 。
由题意可设f(x)=kx+1(k ≠0),则（4k+1）2=（k+1）×(13k+1)，解得k=2,f(2)+f （4）+…+f(2n ）=（2×2+1）+(2×4+1）+…+(2×2n+1)=2n 2+3n=n(2n+3）.3。
（2017·沧州模拟)已知a ，1，c 成等差数列，a 2，1，c 2成等比数列，则log （a+c)(a 2+c 2)= ( ）A 。
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专题31 数列求和
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
－12n ，其前n 项和S n ＝321
64，则项数n ＝( )
A ．13
B ．10
C ．9
D ．6 【答案】：D
【解析】：∵a n ＝2n
－12n ＝1－1
2n ，
∴S n ＝n －
1
2
－
12n
1－12
＝n －1＋12n ＝321
64
，
∴n ＝6。
2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *
)，则S 2 012＝( ) A ．2
2 012
－1 B ．3·2
1 006
－3 C ．3·21 006
－1 D ．3·2
1 005
－2
【答案】：B
3．已知函数f (x )＝x 2
＋2bx 过(1,2)点，若数列{1
f n
}的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为( )
A.2 0122 011
B.2 010
2 011 C.
2 0132 012 D.2 012
2 013
【答案】：D
【解析】：由已知得b ＝12，∴f (n )＝n 2＋n ，
∴
1
f n
＝
1n 2＋n ＝1n
n ＋＝1n －1n ＋1
， ∴S 2 012＝1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013＝1－12 013＝2 012
2 013。
4．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *
)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )
A.21
2 B ．6 C ．10 D ．11 【答案】：B
5．已知函数f (n )＝n 2
cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．－100 B ．0 C ．100 D ．10 200 【答案】：A
【解析】：若n 为偶数时，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2
－(n ＋1)2
＝－(2n ＋1)，为首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2
＋(n ＋1)2
＝2n ＋1，为首项为a 1＝3，公差为4的等差数列。
所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100。
6．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin
n ＋
π
2
，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2
014
＝( )
A ．1 006
B ．1 007
C ．1 008
D ．1 009 【答案】：C
【解析】：由a n ＋1－a n ＝sin
n ＋
π
2
⇒a n ＋1＝a n ＋sin
n ＋
π
2
，所以a 2＝a 1＋sin π＝1＋0
＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π
2＝0＋1＝1，
因此a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *
)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 014
＝4×503＋2，因此S 2 014＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008，故选C 。
7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n
(a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 013＝__________。
【答案】：－1 005
【解析】：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n
(a n ＋1)可得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005。
8．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝__________。
【答案】：13
(4n －1)
【解析】：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1
－1)＝2
n －1
，
又∵a 1＝1适合上式。
∴a n ＝2
n －1
，∴a 2
n ＝4
n －1。
∴数列{a 2
n }是以a 2
1＝1为首项，以4为公比的等比数列。
∴a 2
1
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝
－4n
1－4
＝13
(4n
－1)。
9．对于每一个正整数n ，设曲线y ＝x n ＋1
在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令
a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝__________。
【答案】：－2 【解析】：曲线y ＝x
n ＋1
在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1，即y ＝(n ＋1)x －n ，
它与x 轴交于点(x n,0)，则有(n ＋1)x n －n ＝0⇒x n ＝n
n ＋1
，
∴a n ＝lg x n ＝lg
n
n ＋1
＝lg n －lg(n ＋1)，
∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2。
10．已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *
)。
(1)求数列{a n }的通项公式。
(2)设⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n 。
11．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n＋3。
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n。
12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，它的前n项和为S n，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等
比数列。
(1)求{a n }的通项公式。
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 的前n 项和T n 。
【解析】：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13， 所以由(a 3＋1)2
＝(a 1＋1)·(a 7＋1)， 得(a 1＋5)2
＝(a 1＋1)·(a 1＋13)，
解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1。
(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 1
S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －
1
n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1
2－1n ＋1－1n ＋2
＝3
4
－2n ＋3n ＋n ＋。