高二数学理科选修23质量检测试题
高中数学人教A版选修212223综合测试含问题详解高二数学理科
实用文档高二下学期数学期末考试试卷(理)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的.1.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1,2)(0)，假设X在(0,2)内取值的概率为，那么X在[0,)内取值的概率为A．B．C．D．曲线ysinx与x轴在区间[0,2]上所围成阴影局部的面积为A．4B．2C．2D．43 .假设复数z满足(1i)zi，那么z的虚部为i1C．i1 A．B．D．2 2224 .用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否认“自然数a,b,c 中恰有一个偶数〞时正确的反设为A．自然数a,b,c都是奇数B．自然数a,b,cC．自然数a,b,c中至少有两个偶数D．自然数a,b,c都是偶数中至少有两个偶数或都是奇数5.在一次试验中，P(A)，那么在4次独立重复试验中，事件A恰好在前两次发生的概率是A．B．C．D．6.某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y〔单位：度〕与气温x〔单位：c〕之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：x(单位：c)1714101y(单位：度)24343864由表中数据得线性回归方程：y2x a.当气温为20c时，预测用电量约为A.20B.16C.10D.57.从1,2,3,4,5,6这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有2和3时,2必须排在3前面(不一定相邻),这样的三位数有A.108个B.102个C.98个D.96个在吸烟与患肺病这两个事件的统计计算中，以下说法正确的选项是A.假设2的观测值为 6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；文案大全实用文档C.假设从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系， 是指有5%的可能性使得推判出现错误；D.以上三种说法都不正确 .有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A.36种B. 60种C.72种D.80种10.一个袋子里装有编号为 1,2,3, ,12的12个相同大小的小球， 其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．假设从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然 后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，那么两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是3B ．173A ．4 C ．D ．16x 3 2cx 216411.假设函数f(x)x 有极值点，那么实数 c 的范围为A ．[3,)B ．(3,)C ．(,3] [3,)D ．( ,3) (3,)222222以下给出的命题中：①如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序数组x,y,z 使pxa yb zc .②O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,1).那么与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有n( 6 , 6 ,6).6 6 3③向量OA,OB,OC 可以构成空间向量的一个基底，那么向量OA 可以与向量OAOB 和向量OA OB 构成不共面的三个向量.④正四面体OABC ,M,N 分别是棱OA,BC 的中点，那么MN 与OB 所成的角为.4是真命题的序号为A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①④二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.函数f ( ) x 4 2 x 2 5在[ 1,2]上的最小值为_____________________. x14.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 14 0,S 15 0，那么n _____时此数列的前n 项和取得最小值．15.长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB AA 11,AD 2,E 为侧面AB 1的中心，F文案大全实用文档为A1D1的中点，那么EFFC1．16.在数列{a n}中，a11,a2 2且a n2a n 1 (1)n(n N),那么S50．三、解答题：本大题共6小题，共70分.把解答写在答题卡中.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔本小题总分值10分〕(2 x3x2)n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是7:2.11〔Ⅰ〕求展开式中含x2项的系数；〔Ⅱ〕求展开式中系数最大的项.〔本小题总分值12分〕为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛.〔Ⅰ〕求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；〔Ⅱ〕假设决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为X，求X的分布列和数学期望.19.〔本小题总分值12分〕观察以下等式112 3 493 4 5 6 7254 5 6 7 8 9 1049第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去〔Ⅰ〕写出第6个等式；〔Ⅱ〕你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想.文案大全实用文档20. 点B〔2，0〕，OA(0,22)，O为坐标原点，动点P满足OP OA OP OA 4 3．〔Ⅰ〕求点P的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕当m为何值时，直线l：y3x m与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足BM BN？〔Ⅲ〕是否存在直线l：ykxm(k0)与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足BMBN？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由．21．〔本小题总分值12分〕如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，DAB45，AA1AB2，AD22，点E是C1D1的中点，D1E C1点F在B1C1上且B1F2FC1.AB1F1〔Ⅰ〕证明：AC1平面EFC；〔Ⅱ〕求锐二面角A FC E平面角的余弦值．D CA B〔本小题总分值14分〕函数f(x)e x(x2ax a1)，其中a是常数.(Ⅰ)当a1时，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；〔Ⅱ〕假设f(x)在定义域内是单调递增函数，求a的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x的方程f(x)e x k在[0,)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.文案大全实用文档高二下学期数学期末考试试卷 (理)参考答案一.：每小 5分共60分ADBDA,AACCA,DD二.填空：13.6 14.715.167516.2三：17解：〔Ⅰ〕解由意知C n 4 7 ，整理得 42 (n 2)(n 3)，解得n9⋯2 分C n 2 227 r27 r11，解得r∴通公式T r1C 9r 29rx64 分令 6.6211∴展开式中含x 2的系数C 96296 672 .⋯⋯⋯⋯⋯6分 〔Ⅱ〕第r1 的系数最大，有C 9r 29r C 9r1210r ⋯⋯⋯⋯⋯8分C 9r 29rC 9r128r10r3，rN 且0r9r3.⋯⋯⋯⋯⋯10分7r3∴展开式中系数最大的 T 4 C 93 26x 55376x 5 .⋯⋯⋯⋯⋯12分18〔本小分12分〕解：〔Ⅰ〕“甲不在第一位、乙不在第六位〞事件A ，1分P(A)A 66 2A 55 A 447⋯⋯⋯⋯3分A 6610所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率7.⋯⋯⋯⋯4分X 的可能取0,1,2,3,410⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分〔Ⅱ〕随机量P(X0)A 22A 55 1P(X1)C 41A 22A 444A 66 ，A 66153P(XC 42A 22A 22A 331P(X 3) C 43A 22A 22A 3322) A 66,A 66155P(X4)A 22A 44 1(每个式子1分)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分A 66，15文案大全实用文档随机量X 的分布列：X 01234P14 1 2 131551515因EX11 4 213 24 14，315515153所以随机量X 的数学期望4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分3 11219.解：〔Ⅰ〕第6个等式6 7 816⋯⋯⋯⋯2分〔Ⅱ〕猜第n 个等式n(n 1) (n 2)(3n2)(2n1)2⋯⋯⋯⋯4分明：〔1〕当 n1然成立；〔2〕假n k(k 1,k N )也成立，即有k (k 1) (k 2) (3k2)(2k 1)2⋯⋯⋯⋯6分那么当n k 左(k 1) (k2)(3k2) (3k1) (3k)(3k1)1k (k 1) (k 2) (3k 2) (2k 1) 3k3k1(2k1)2 (2k1) (3k) (3k 1)4k 24k 1 8k (2k1)2[2(k1) 1]2而右[2(k1) 1]2就是n k 1等式也成立.⋯⋯⋯⋯10分根据〔1〕〔2〕知，等式任何n N 都成立.⋯⋯⋯⋯12分20解：〔Ⅰ〕点P(x,y) ，OP OA (x,y 2 2)，OP OA(x,y22)．由得x 2 (y 2 2)2x 2 (y 2 2)243．⋯⋯⋯〔3分〕即点P 到两定点〔0，22〕、〔0，－2 2〕的距离之和定 43，故迹C 是以〔0，22〕焦点，43的，其方程x 2 y 2 1．⋯⋯〔6分〕412(x 1 ,y 1)、N (x 2〔Ⅱ〕点 M,y 2)，段MN 的中点M 0(x 0,y 0)，由BMBN 得BM 0垂直平分MN ．立y 3x m, 消去y 得6x 2 23mx m 2 120．3x 2 y 2 12.由(2 3)224( m 2 12) 0 得 26m 26．⋯⋯⋯〔10分〕m文案大全实用文档∴x 0x 1 x 2m3(m)mmm m22 ，y 02 3．即M 0( 2 3 ,)．322m由BM 0⊥MN 得k BM 0kMN23 1．故m23所求．〔14分〕m 22 3〔Ⅲ〕假设存在直l 与C 相交于不同的两点M(x 1,y 1)、N (x 2 ,y 2)，且足BMBN ，令段MN 的中点M 0(x 0,y 0)，BM 0垂直平分MN ．立3x 12 y 12 12,两式相减得3(x 1x 2)(x 1x 2)(y 1y 2)(y 1y 2)．3x 22 y 2212.∴k MNy 1 y 23(x 1 x 2)3x 0k ．x 1x 2 y 1 y 2y 0又由BM 0⊥MN 得k BM 0y 0 1 1，y 033 x 02．∴x 0 k ．即M 0(1,)．kk又点M 0在C 的内部，故3x 02y 02 12．即3 ( 1)2(3)212．3)在直l 上，∴3k解得k1.又点M 0(1, k m ．kk∴mk 3 k3 23〔当且当k3取等号〕．kk故存在直l足条件，此m 的取范(, 2 3][23，〕．21〔本小分12分〕解:〔Ⅰ〕以A 坐原点，z D 1EC 1射AB x 的正半，建立如所示空直角坐F系Axyz ．依意,可得以下各点的坐分A 1BA(0,0,0), C(4,2，0)，C 1(4,2,2),E(3，2,2),y10 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分DCF(，,2)．3 3AxB(1,2，0),EC∴AC 1(4，2,2)，EF (1,0, 2),3 3∴AC 1EF(4，2,2)(1, 2，0) 0.AC 1 EC(4，2,2) (1,0, 2) 03 3∴AC 1EF ，AC 1 EC ．又EF,EC平面EFC∴AC 1平面EFC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分文案大全实用文档〔Ⅱ〕向量n (x,y,z)是平面AFC 的法向量，n AC,n AF ，而AC(4,2,0),AF(10 , 4,2)∴4x2y 0, 10 x 4 y2z0，1) 3 33 3令 x1 得 (1,．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分n2,3又∵AC 1是平面EFC 的法向量，n AC 1 4 42∴cosn,AC 1369|n||AC 1|1．⋯11分16 441381 49所以二面角A FCE 平面角的余弦69．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分13822. 〔本小分14分〕解：(Ⅰ)由f ( x ) e x ( x 2axa 1)可得 f() e x [x 2(a 2)x 1].⋯2分x当a 1,f(1) 2e,f(1) 5e所以曲yf(x)在点(1,f(1))的切方程 y 2e 5e(x 1)即5exy 3e 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分〔Ⅱ〕由(Ⅰ)知f(x)e x [x 2(a 2)x1]，假设f(x)是增函数，f(x)恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分即x 2(a 2)x 1 0恒成立，∴ (a 2)2 4 0，4a0，所以a 的取范[4,0].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分〔Ⅲ〕令g(x)f(x) e x e x (x 2ax a)，关于x 的方程g(x)k 在[0,)上有两个不相等的数根.令g(x)e x (x 2(2当 (a 2) 0，即a上的增函数.所以 方程g(x) k 在当 (a 2)0，即ax0 g(x) 0g(x)aa)x) 0，解得x(a2)或x 0 .⋯⋯⋯⋯⋯9分2，在区[0, )上，g(x) 0，所以g(x)是[0, )[0, )上不可能有两个不相等的数根 .⋯⋯⋯⋯10分2 ，g(x),g(x)随x 的化情况如下表(0, (a2)) (a 2) ((a2),)+↘a 4↗e a 2由上表可知函数g(x)在[0,)上的最小g((a2))a4a2.⋯⋯⋯⋯12分e因函数g(x)是(0,(a2))上的减函数，是((a2),)上的增函数，文案大全实用文档且当x，g(x)所以要使方程 g(x)k 即f(xe x k在[0,)上有两个不相等的数根，k 的取范)必是(a4,a].⋯⋯⋯⋯14分e a2文案大全。
高中数学阶段质量检测(二)新人教A版选修23
高中数学阶段质量检测（二）新人教A 版选修23阶段质量检测二(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 0 1 2 3P1515110p则p 的值为( )A.12B.16C.13D.14解析：选A 因为15＋15＋110＋p ＝1，所以p ＝12，故选A.2．正态分布N 1(μ1，σ21)，N 2(μ2，σ22)，N 3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．μ1最大，σ1最大B ．μ3最大，σ3最大C ．μ1最大，σ3最大D ．μ3最大，σ1最大解析：选D 在正态曲线N (μ，σ2)中，x ＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.3．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( )A.310B.112C.12D.1112解析：选D 设事件A 为“无人中奖”，则P (A )＝C 57C 510＝112，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P (A )＝1－112＝1112.4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y <6)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：选A 由Y ＝2X －1<6，得X <3.5，∴P (Y <6)＝P (X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3.5．在区间(0,1)内随机取一个数x ，若A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0<x <12，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14<x <34，则P (B |A )等于( )A.12 B.14 C.13D.34解析：选A P (A )＝121＝12，∵A ∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14<x <12，∴P (AB )＝141＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.6．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( A.32 B ．2 C.52D ．3解析：选A 由数学期望的公式可得：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：选D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A 与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D.8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X ，则D (X )＝( )A.158B.154C.52D ．5解析：选C 每次抛掷两枚硬币，出现不同面的概率为12，10次独立重复试验中，X ～B (n ，p )，∴D (X )＝10×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝52.9．设随机变量x 服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，σ2，集合A ＝{x |x >X }，集合B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12，则A⊆B 的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由A ⊆B 得X ≥12.又∵μ＝12，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥12＝12. 10．若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则D (X 3)等于( )A ．2.5B ．1.5C ．0.5D ．3.5解析：选A 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.2n ＝2，6p (1－p )＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.5.故D (X 3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.11．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( )A.35B.815 C.1415D ．1解析：选A 由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝15＝5.12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( ) A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2) C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2) D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)解析：选A 法一：(特值法)取m ＝n ＝3进行计算，比较即可． 法二：(标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ， 则ξ的所有可能取值为0,1， 则P (ξ＝0)＝nm ＋n＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝mm ＋n＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1×P (ξ1＝1)＋2×P (ξ1＝2)＝mm ＋n＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n2(m ＋n )；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2， 则P (η＝0)＝C 2nC 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1mC 2m ＋n ＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2mC 2m ＋n＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1×P (ξ2＝1)＋2×P (ξ2＝2)＋3×P (ξ2＝3)＝2mm ＋n＋1， 所以p 2＝E (ξ2)3＝3m ＋n3(m ＋n )，所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．现有两台在两地独立工作的雷达，若每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为________．解析：设所求的概率为P ，则根据题意有P ＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.答案：0.2214．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．解析：令事件A ，B 分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P (A )＝0.6，P (B )＝0.5，令事件C 表示目标被击中，则C ＝A ∪B ，则P (C )＝1－P (A )P (B )＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P (A |C )＝P (AC )P (C )＝0.60.8＝0.75. 答案：0.7515．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．解析：设生产一件该产品可获利X 元，则随机变量X 的取值可以是－20,30,50.依题意，得X 的分布列为故E (X )答案：3716．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X 表示走出迷宫所需的时间．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值．解：(1)X 的所有可能取值为1,3,4,6.P (X ＝1)＝13，P (X ＝3)＝16，P (X ＝4)＝16，P (X ＝6)＝13，所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×13＋3×16＋4×6＋6×3＝2.18．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N (70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 解：(1)设参赛学生的成绩为X ，因为X ～N (70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P (X ≥90)＝P (X ≤50)＝12[1－P (50<X <90)]＝12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8，120.022 8≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P (X ≥80)＝P (X ≤60)＝12[1－P (60<X <80)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．19．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列． 解：(1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19，∴随机变量X 的分布列为(2)根据题意知得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴Y 的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19.∴随机变量Y 的分布列为20．(本小题满分12分方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件．因为P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．21．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E (ξ)．解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A ，则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256， P (ξ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364， P (ξ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128， P (ξ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764， P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256. 所以ξ的分布列为E (ξ)＝－320×256－200×64－80×128＋40×64＋160×256＝40.22．(本小题满分12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：(2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题意知，样本中仅使用A 的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B 的学生有10＋14＋1＝25(人)，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．所以从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率为40100＝0.4. (2)X 的所有可能值为0,1,2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且P (C )＝9＋330＝0.4， P (D )＝14＋125＝0.6， 所以P (X ＝2)＝P (CD )＝P (C )P (D )＝0.24，P (X ＝1)＝P (C D ∪C D )＝P (C )P (D )＋P (C )P (D )＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P (X ＝0)＝P (C D )＝P (C )P (D )＝0.24.所以X 的分布列为故X 的数学期望E (X )＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P (E )＝1C 330＝14 060. 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P (E )比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．。
人教A版选修2-3第二学期期末质量检测
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）浙江省鲁迅中学2011~2012学年第二学期期末质量检测高二数学试卷（理科）本卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若集合{}1|<=x x A ，{}2,1,0=B ，()=B A C RA. {}2,1B. {}1,0C. {}2,1,0D. {}1|≥x x2. 已知复数z 满足i i z -=⋅2，则=zA. i 21--B. i 21+-C. i 21-D. i 21+3. “11<x”是“1>x ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列函数中值域为（0，∞+）的是A. xy 12= B. 12-=x yC. 12+=xyD. xy -⎪⎭⎫⎝⎛=2215. 若21log 1>x ，则x 的取值范围是A. 21<x B. 210<<x C. 21>x D. 0<x6. 观察()()3424',2'x x x x ==，()x x sin cos -='，则归纳推理可得：若定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f =-，记()x g 为()x f 的导函数，则()x g -=A. ()x fB. ()x f -C. ()x g -D. ()x g7. 函数()1||>=a x xa y x的图象的大致形状是8. 若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3213展开式中二项式系数之和为128，则展开式中31x 的系数是A. 21B. －21C. 21-D.21 9. 若x t b a ,,,都是实数，且0,1><<t b a ，t a a x+=，则xb 与t b +的大小关系是A. t b b x+>B. t b b x+=C. t b b x+<D. 不能确定10. 由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有 A. 12个 B. 48个 C. 84个 D. 96个第II 卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 设某气象站天气预报准确率为0.9，则在3次预报中恰有2次预报准确的概率为__________。
高二数学理科选修23第二章综合测试题.doc
高二数学修 2-3 第二章、第 （共 12，5 分，共 60 分） 1．在验得(x y)是A(1,2)，B(2,3)，C (3,4)，D (4,5y 与的线 ( ) ^ ^ ^ ^＝x ＋1 B. y ＝ x ＋2 C. y ＝2x ＋1 D. y ＝x － 1 A. y2．现，视容易冷 漠，下表是查果： 冷漠 不计 视 7040 110 视 20 40 60 9080 170为视与人冷漠有关系的把为 ( ) A ．90% B ．97.5%C ．95%D ．99.9%3．有甲、乙两进行数，按照大于等于 85优秀， 85 分， 得到如下所示表： 计甲班 10 b 乙班 c301052 已知在全部 105 人中随机抽取1 人优秀的法正确的是 ( ) 7 A 表中 c 为30，b 为35 B 表中 c 为15，b 为50 C ．根表中的数据，若按 95%的可靠性要求为有关系 ” D ．根表中的数据，若按 95%的 可靠性要求，为有关系 ”2≥ k ) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 P ( K k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 4．有下列数据 x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 下列四个函数中效果最( ) x A ． y ＝3×2 1 2B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 15．盒子里有25 个外形相同的球，其中10 个白的，5 个黄的，10 个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为（）A. 15B.25C.13D.236．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是（）A.5216B.25215C.31216D.912167．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有 4 台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是（）A. 0.1536B. 0.1808C. 0.5632D. 0.97288．已知随机变量X 的分布为X －1 0 1则E( X ) 等于（）P0.5 0.2 pA. 0B. －0.2C. －1D. －0.39．随机变量Y ～B( n, p) ，且E(Y) 3.6 , D(Y) 2.16 ，则此二项分布是（）A. B(4,0.9)B. B (9,0.4)C. B(18,0.2)D. B(36,0.1)10．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，如图1，则由曲线可得下列说法中正确的是（）Ａ．甲学科总体的方差最小Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同11．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2N (0,3 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布 2N(, ) ，P( ) 68.26% ，P( 2 2 ) 95.44% . ）（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%12. 在如图 2 所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.4772高二数学修 2-3 第二章、第试卷卡） _______姓名___________学号_______间12分 150 分）1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、（共 4，5 分，共 20 分） 13．关于 x 与 y ，有如下数据 x 24 5 6 8 y 30 40605070有如下的两个模型：(1)y ?6.5x 17. 5 ， (2)y ? 2 比第（2合效果好。
数学选修2-2、2-3综合检测题(高二C级)
1、已知f(x)=22x x +，则'(0)f =( ) ． A 、0 B 、-4 C 、-2 D 、23、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率是( ) ．A 、519B 、12C 、1019D 、19205、一边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，为使方盒的容积最大，x 应取( ) ．A 、1B 、2C 、3D 、47、从图中的9个顶点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）．A 、88B 、84C 、80D 、769、用反证法证明命题：“若x ，y > 0，且x + y > 2，则yx +1，x y+1中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 ．1113、在圆内画1条线段，将圆分割成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；那么，画4条线段，将圆最多可分割成 部分，画n 条线段，将圆最多分割成 部分．15、已知函数y = x lnx ．（1）求这个函数的图象在点x = 1处的切线方程； （2）求这个函数的极值．2、复数i i i ++-+42)2(5的共轭复数是( ) ． A 、1-3i B 、1+3i C 、i 371-- D 、i 371+-4、某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是( ) ．A 、甲科总体的标准差最小B 、乙科总体的标准差及平均数都居中C 、丙科总体的平均数最小D 、甲、乙、丙的总体的平均数不相同 6、曲线y =2x 与直线y – x – 2 = 0围成图形的面积是A 、133B 、136C 、92D 、738、()=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎰dx x x 10211( ) ． A 、218-π B 、214-π C 、8π D 、41π-10、6)1(xx -的展开式中的常数项是 （用数字作答）．12、函数f(x) = x 3 - 12 x 在［－3，3］上的最小值与最大值是 ． 14、已知函数f(x) =32(6)1x ax a x ++++在R 上有极值，则实数a 的取值范围是 ．16、神投手A 在一个赛季的四场加时赛中的投篮次数x 与得分y 的(x ，y)值是(1，2)，(2，5)， (4，8)，(5，9) ．（1）画出散点图； （2）求线性回归方程； （3）预测投篮13次时的得分．17、粒子A 以速度v = 3t 2 + 2（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）在一直线上运动，在此直线上与粒子A 出发的同时，距粒子A 10m 处的粒子B 以v = 10 t （t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）的速度与A 同向运动，问两粒子何时相遇？相遇地与粒子A 的出发地的距离是多少？19、一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自然数1时，从B 口得到13 ，记为()113f = ；②当从A 口输入自然数()2n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一个结果()1f n -的()()211213n n ---+倍．试问：当从A 口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B 口分别得到什么数？试猜想()f n 的关系式，并证明你的结论．18、某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题．设某幸运观众答对问题A 、B 的概率分别为31、14．你觉得他应先回答哪个问题才能使获得奖金的期望较大？说明理由．20、设k ∈R，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，F(x) = f(x) - k x ，x ∈R ．(1)当k = 1时，求函数()F x 的单调区间；(2)若函数F(x)在(-∞,-1]内是单调增函数，求k 的取值范围．数学选修2－2、2－3综合检测题（高二C 级）参考答案2、2-2 P116 A1(2) 5、2-2 P37 A2 8、2-2 P60 B1（2）9、2121≥+≥+xyy x 且 10、-20 11、13012、-16和16 2-2 P32 A6（4）13、11，1)1(21++n n 2-2 P99 B1 14、a>6或a<-315、2－2 P18 A6 (1) y=x-1 (2)函数y 在x=e 1处取得极小值e1- 16、(1)略 (2)y ∧=1.7x ＋0.9 (3) 投篮13次时的得分约为23分17、2－2 P60 A4经过5s 两粒子相遇，相遇地与粒子A 的出发地的距离是135m18、设该观众先答A 题所获奖金为ξ元，先答B 题所获奖金为η元，依题意可得ξ可能取的值为：0, a ，3a ; η的可能取值为：0，2a ，3a∵12(0)133P ξ==-=； 111()(1)344P a ξ==⨯-=; 111(3)3412P a ξ==⨯=∴2110334122aE a a ξ=⨯+⨯+⨯=∵13(0)144P η==-= 111(2)(1)436P a η==⨯-= 111(3)4312P a η==⨯= ∴3117023461212aE a a η=⨯+⨯+⨯=∵0a >∴7212a a<，即E E ξη<∴该观众应先回答B 题所获奖金的期望较大．19、由已知得()()()2312,21n f n f n n n N n *-=-≥∈+ 当2n =时，()()4311121415315f f -=⨯=⨯=+， 同理可得()()113,43563f f ==猜想()()()()12121f n n n =*-+下面用数学归纳法证明()*成立①当1,2,3,4n =时，由上面的计算结果知()*成立 ②假设()4,n k k k N *=≥∈时，()*成立，即()()()12121f k k k =-+ ，那么当1n k =+时，()()()()21211123232121k k f k f k k k k k --+==⋅++-+ 即()()()11211211f k k k +=+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴当1n k =+时，()*也成立综合①②所述，对n N *∀∈ ，()()()12121f n n n =-+成立．20、(1) 当k=1时，⎪⎩⎪⎨⎧≥---<--=-=11111)()(x x x x x xx x f x F ，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---<--='1112111)1(1)(2x x x x x F ，， 100)(100)(><<'<<>'x x x F x x F 或，得令，得令故函数()F x 在(0,1) 上是增函数，在(-∞，0)和［1，+∞)上是减函数．(2) k ≤0 ．。
高二数学理科选修23质量检测试题
高二数学理科选修－质量检测试卷命题：齐宗锁（石油中学） 检测：马晶（区教研室） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分分，考试时间为分钟.注意事项：. 考生答题前，先将条形码贴在条形码区，并将本人班级、姓名、考号填写在相应位置.. 选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.. 所有题目必须在答题卡上作答，在试卷卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.. 最小二乘法的原理是.使得1[()]n i i i y a bx =-+∑最小 .使得21[()]ni i i y a bx =-+∑最小.使得221[()]n i i i y a bx =-+∑最小 .使得21[()]n i i i y a bx =-+∑最小 . (2)(3)(4)(12)(,12)x x x x x N x +----∈>可表示为 ．103x A - ．112x A - ．1012x A - ．1112x A - . 两个变量,x y 与其线性相关系数有下列说法①若0r >，则x 增大时，y 也相应增大 ；②若0r <，则x 增大时，y 也相应增大； ③若1r =，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，其中正确的有 . ①② . ②③ . ①③ . ①②③. 宝鸡市的汽车牌照号码可以由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同；这种牌照的号码最多有（ ）个.1242610()C A .242610A A .12426()10C .242610A ．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为=0.7+0.35ˆy x ，那么表中的值为． ． ． ．．已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()20.8P ξ<=，则 ()=<<20ξP.6.0.0.4 .0.3 .2.0 . 如果31()2n x x-的展开式中只有第项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是． ． ． .. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件，则()为. 12 . 16 . 115 . 13． 一排个座位，坐了家法律知识比赛小组,若每个小组都是个成员，且要求每个小组的个成员坐在一起,则不同的坐法种数为．33!⨯ ．33(3!)⨯ .4(3!) ．9! . 甲乙两人一起暑假去北京旅游，他们约定，各自独立地从到号景点中任选个进行游览，每个景点参观小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是.136 . 16 .536 . 19第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.. 已知2-21010C =C x x ，则x = ；. 李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同.据此，小王给出了正确答案E ξ ；. 在纸箱中有个节能灯,其中个是有缺陷的，现从纸箱中任意挑选个节能灯，其中恰有个节能灯有缺陷的概率是 ；. 51)+-的展开式的常数项是 ； . 个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有 种； . 如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的 数均为)2(1≥n n，每个数是它下一行 左右相邻两数的和，如212111+=， 613121+=，1214131+=…，则第 行第个数（从左往右数）为.三、解答题：本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.．（本小题满分分）通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中名男大学生中有人爱好此项运动，女大学生中有人爱好此项运动，能不能有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”?22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++. .(本小题满分分)四个大小相同的小球分别标有数字、、、，把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两个小球，它们的标号分别为,x y ，记x y ξ=+.()求随机变量ξ的分布列及数学期望；()设“函数2()1f x x x ξ=--在区间（，）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率..（本小题满分分）若5(2)a x -展开式中2x 的系数为, 且 52345012345(2)a x a a x a x a x a x a x -=+++++.()求22024135()()a a a a a a ++-++的值；()求012345a a a a a a +++++的值；()求123452345a a a a a ++++的值..（本小题满分分） 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . ()若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值; ()设系统B 在次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ和方差D ξ.。
【试卷】高二数学选修2-3综合测试题及答案
高二数学选修2-3综合测试题以下公式或数据供参考： ⒈1221;ni ii nii x y nx ya y bxb xnx==-⋅=-=-∑∑．⒉对于正态总体2(,)N μσ取值的概率:在区间(,)μσμσ-+、(2,2)μσμσ-+、(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68．3%，95．4%，99．7%．3、参考公式4、))()()(()(22d b c a d c b a n K bc ad ++++=- n=a+b+c+d一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于 （ ）A ．80100n A -B ．nn A --20100C ．81100n A -D ．8120n A -2、 某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为（ ）A ： 2，6B ：3，5C ：5，3D ：6，2 3、为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程1l 和2l ，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是( )(A) 1l 与2l 重合 (B) 1l 与2l 一定平行(C) 1l 与2l 相交于点(,)x y (D) 无法判断1l 和2l 是否相交 4、设()52501252x a a x a x a x -=++，那么024135a a a a a a ++++的值为（ ）A ： －122121B ：－6160C ：－244241D ：-1 5、若()......x a a x a x a x -=++++929012915，那么......a a a a ++++0129的值是 ( )A.1B.94C. 95D. 966、随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）A. 32B. 31 C. 1 D. 07、有一台Ｘ型号的自动机床在一个小时内不需要工人照看的概率为０.８，有四台这种型号的机床独立的工作，则在一小时内至多两台机床需要工人照看的概率为（ ）A ：0.1536B ：0.1806C ：0.5632D ：0.97288、工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布2(,)N μσ．在一次正常实验中，取1000个零件时，不属于(3,3)μσμσ-+这个尺寸范围的零件个数可能为（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．10个9、如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（ ）A ．66B ．153C ．295D ．36110、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种B．420种C．630种D．840种11、某厂生产的零件外直径ξ~N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，则可认为（）A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常,下午生产情况正常C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常12、甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是32，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）Ａ．2027Ｂ．49Ｃ．827Ｄ．1627二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为，方差为．14、在求两个变量x和y的线性回归方程过程中,计算得51iix =∑=25, 51iiy =∑=250, 521iix =∑=145, 51i iix y =∑=1380,则该回归方程是 .15、某城市的交通道路如图，从城市的东南角AB，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数有_________________。
高中数学 综合学业质量标准检测练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
综合学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( A )A．16C．2.2 D．2.3[解析]由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A．2．(1－x)6展开式中x的奇次方项系数和为( B )A．32 B．－32C．0 D．－64[解析](1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B．3．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( C )A．(2,4] B．(0,2]C．[－2,0) D．(－4,4][解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为( A ) A．128 B．129C．47D．0[解析]A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A．5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是( D )A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%[解析]由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%．6．正态分布N 1(μ1，σ21)，N 2(μ2，σ22)，N 3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( D )A ．μ1最大，σ1最大B ．μ3最大，σ3最大C ．μ1最大，σ3最大D ．μ3最大，σ1最大[解析] 在正态分布N (μ，σ2)中，x ＝μ为正态曲线的对称轴，结合题图可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，结合题图知σ1最大．7．根据工作需要，现从4名女教师，a 名男教师中选3名教师组成一个团队，其中a ＝⎠⎛0458xdx ，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种数为( D ) A ．140 B ．100 C ．80 D ．70[解析] ∵⎝⎛⎭⎪⎫516x 2′＝58x ，∴a ＝⎠⎛0458xdx ＝516x 2|40＝516×42＝5．故团队中男、女教师都有的组队方案种类为C 14C 25＋C 24C 15＝40＋30＝70．8．将⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8展开式中的所有项重新排列成一列，有理项不相邻的排法种数是( C ) A ．A 37 B ．A 66A 36 C ．A 66A 37D ．A 77A 37[解析]⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝C r82r ·x 16－3r 4，r ＝0,1,2，…，8.当16－3r4为整数时，r ＝0,4,8，所以展开式共有9项，其中有理项有3项，先排其余6项有A 66种排法，再将有理项插入形成的7个空当中，有A 37种方法．故共有A 66A 37种排法．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．(多选题)下列各对事件中，为相互独立事件的是( ABD )A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”[解析] 在A 中，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件M ＝{2,4,6}，事件N ＝{3,6}，事件NM ＝{6}，∴P (M )＝36＝12，P (N )＝26＝13，P (MN )＝12×13＝16，即事件M 与N 相互独立，A 正确．在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，B 正确；在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C 错误；在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D 正确．10．已知随机变量X 服从正态分布N (100,100)，则下列选项正确的是( ABC ) (参考数值：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%，P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈99.7%A ．E (X )＝100B ．D (X )＝10C ．P (X ≥90)＝0.841 5D ．P (X ≤120)＝0.998 7[解析]∵随机变量X 服从正态分布N (100,100)， ∴曲线关于直线x ＝100对称，根据题意可得，P (90≤x ≤110)≈68.3%，P (80≤x ≤120)≈95.4%， ∴P (x ≥90)≈0.5＋12×68.3%＝0.8415，故C 正确；P (x ≤120)≈0.5＋12×95.4%＝0.977，故D 错误．而A ，B 都正确．故选ABC ．11．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算χ2≈4.762，则可以推断出( AC )A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调查结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异[解析] 对于选项A ，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3030＋20＝35，故A 正确；对于选项B ，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4040＋10＝45>35，故B 错误；因为χ2≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C 正确，D 错误．故选AC ．12．下列命题中正确的命题是( BD )A ．标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大B ．在回归直线方程y ^＝－0.4x ＋3中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.4个单位C ．对分类变量与来说，它们的随机变量的观测值越小，“与有关系”的把握程度越大D ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好[解析] 标准差越小，则反映样本数据的离散程度越小，因此A 不正确；在回归直线方程y ^＝－0.4x ＋3中，当解释变量x 每增加1个单位时，则预报变量减少0.4个单位，B 正确；对分类变量X 与Y 来说，它们的随机变量χ2的观测值越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，因此C 不正确；在回归分析模型中，残差平方和越小， 说明模型的拟合效果越好，D 正确．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ～B (36，p )，且E (ξ)＝12，则D (ξ)＝__8__．[解析] 由E (ξ)＝36p ＝12，得p ＝13，故D (ξ)＝36×13×23＝8．14．(2020·某某卷)设(1＋2x )5＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋a 4x 3＋a 5x 4＋a 6x 5，则a 5＝__80__；a 1＋a 2＋a 3＝__51__．[解析] (1＋2x )5通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x 4，令r ＝4，则T 5＝24C 45x 4＝80x 4，故a 5＝80；a 1＋a 2＋a 3＝20C 05＋2C 15＋22C 25＝51．15．小明口袋中有3X10元，3X20元(因纸币有编号认定每X 纸币不同)，现从中掏出纸币超过45元的方法有__32__种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4X ，刚好是50元的概率为__15__．[解析] 超出45元即为掏出纸币50元，60元，70元，80元，90元，如果掏出纸币50元，则2X20元，1X10元，或3X10元，1X20元，共有C 23C 13＋C 33C 13＝12种方法；如果掏出纸币60元，则2X20元，2X10元，或3X20元，共有C 23C 23＋C 33＝10种方法； 如果掏出纸币70元，则3X20元，1X10元，或2X20元，3X10元，共有C 33C 13＋C 23C 33＝6种方法；如果掏出纸币80元，则3X20元，2X10元， 共有C 33C 23＝3种方法；如果掏出纸币90元，则3X20元，3X10元， 共有C 33C 23＝1种方法； 综上，共有32种方法．设“如果不放回地掏出4X ，刚好是50元”为事件A ，则所有的基本事件的总数为C 46＝15，A 中含有的基本事件的总数为3，故P (A )＝15．16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m ，n )，(m ，n ∈N *)，记可能的爬行方法总数为f (m ，n )，则f (m ，n )＝__C mm ＋n __．[解析] 从原点O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m ，n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ，n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数．m 个0和n 个1共占m ＋n 个位置，只要从中选取m 个放0即可．∴f (m ，n )＝C mm ＋n ．(例如f (3,4)＝C 37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫6x ＋16x n的展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值；(2)此展开式中是否有常数项？为什么？[解析] (1)T k ＋1＝C k n·(6x )n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16x k ＝C kn ·x n －2k 6，由题意可知C 1n ＋C 3n ＝2C 2n ，即n 2－9n ＋14＝0，解得n ＝2(舍)或n ＝7． ∴n ＝7．(2)由(1)知T k ＋1＝C k7·x 7－2k 6．当7－2k 6＝0时，k ＝72∉N *． ∴展开式中无常数项．18．(本题满分12分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(只列式即可)(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．(2)解法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．解法二：甲在首位的共有A 99种，乙在末位的共有A 99种，甲在首位且乙在末位的有A 88种，因此共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有A 1010A 33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010种排法．19．(本题满分12分)甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为1－p ，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束)．若仅比赛2局就结束的概率为1325．(1)求p 的值；(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X 的分布列和数学期望．[解析] (1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局， 所以p ·p ＋(1－p )(1－p )＝1325， 即25p 2－25p ＋6＝0，解得p ＝35或p ＝25．(2)当p ＝35时，即甲胜的概率为35，乙胜的概率为1－35＝25．X 的可能取值为3,4,5． P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＋⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝35125， P (X ＝4)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25·35＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35·25＝234625， P (X ＝5)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25＝216625， 所以X 的分布列为所以E (X )＝3×35125＋4×625＋5×625＝625≈4．当p ＝25时，结论与p ＝35相同．20．(本题满分12分)电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A 有四个选项，问题B 有六个选项，但都只有一个选项是正确的．问题A 回答正确可得奖金m 元，问题B 回答正确可得奖金n 元．活动规定：①参与者可任意选择答题顺序；②如果第一个问题回答错误则该参与者猜奖活动中止．一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序，使获奖金额的期望值较大．[解析] 先回答A ，再回答B ，设ξ1为获得的奖金，则ξ1可能取0，m, m ＋n 元，P (ξ1＝0)＝34 , P (ξ1＝m )＝14×56＝524， P (ξ1＝m ＋n )＝14×16＝124，所以ξ1的期望为E (ξ1)＝0×34＋524m ＋124(m ＋n )＝6m ＋n24． 先回答B ，再回答A ，设ξ2为获得的奖金，则ξ2可能取0，n, n ＋m 元P (ξ2＝0)＝56 , P (ξ2＝n )＝16×34＝324＝18， P (ξ2＝n ＋m )＝16×14＝124．所以ξ2的期望为E (ξ2)＝0×56＋18n ＋124(m ＋n )＝m ＋4n24．因为E (ξ1)－E (ξ2)＝5m －3n24，所以当m >35n 时，E (ξ1)>E (ξ2)，先答A 再答B ；当m ＝35n 时，E (ξ1)＝E (ξ2)，两个都一样；当m <35n 时，E (ξ1)<E (ξ2)，先答B 再答A ．21．(本题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2) [解析] (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A ，从6组中任选两组共有C 26＝15种情况，每种情况都是等可能的．其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13．(2)由数据可求得x －＝11，y －＝24，b ^＝187，a ^＝－307，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝187x －307(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2，x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2．∴该小组得到的线性回归方程是理想的．22．(本题满分12分)(全国卷Ⅰ理，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.05 9.95经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116x i －x 2＝116∑i ＝116x 2i －16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09．[解析] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8．X 的数学期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6．(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检测，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02．因此μ的估计值为10.02．i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09．。
高中数学 综合学业质量标准自测练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
综合学业质量标准自测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2的观测值χ2＝99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( C )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D ．以上说法都不对[解析] 当χ2＞6.635时有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．故选C ． 2．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是( A ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4．所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1．3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选1人参加某项活动，则不同选法的种数为( B )A ．60B ．12C ．15D ．5[解析] 由计数原理可得，从中任选1人参加某项活动有3＋5＋4＝12种选法． 4．某工厂生产的100件产品中有90件一等品，10件二等品，现从这批产品中抽取4件，则其中恰好有一件二等品的概率为( D )A ．1－C 490C 4100B ．C 010C 490＋C 110C 390C 4100 C ．C 110C 4100D ．C 110C 390C 4100[解析] 从这批产品中抽取4件，则事件总数为C 4100个，其中恰好有一件二等品的事件有C 110C 390个．所以恰好有一件二等品的概率为C 110C 390C 4100．5．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且i ＝14p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(B )A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2[解析] 对于A 选项，该组数据的平均数为x A ＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5， 方差为s 2A ＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65； 对于B 选项，该组数据的平均数为x B ＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，方差为s 2B ＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85； 对于C 选项，该组数据的平均数为x C ＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，方差为s 2C ＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05； 对于D 选项，该组数据平均数为x D ＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，方差为s 2D ＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45．因此，B 选项这一组的标准差最大． 故选B ．6．如下样本数据：x 3 4 5 6 7y4.0a －5.4 －0.50.5b －0.6得到的回归方程为y ^＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( B )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位[解析] 由题意y ＝4.0＋a －5.4－0.5＋0.5＋b －0.65＝0.9，∴a ＋b ＝6.5①∵样本中心为(5,0.9)， ∴0.9＝5b ＋a② 联立①②可得b ＝－1.4，a ＝7.9． 所以y ^＝－1.4x ＋7.9．所以x 每增加1个单位，y 就减少1.4个单位，故选B ．7．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则D X2E X2等于( B )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )]2，(E (X ))2＝(np )2，所以D X2E X2＝[np 1－p ]2np2＝(1－p )2.故选B ．8．(2020·哈尔滨高二检测)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( D )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种[解析] 按第二天到第七天选择持平次数分类得C 66＋C 46A 22＋C 26C 24C 22＋C 06C 36C 33＝141种． 二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，E (X )、D (X )分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是( AB )A ．P (X ＝1)＝E (X )B ．E (3X ＋2)＝4C ．D (3X ＋2)＝4D ．D (X )＝49[解析] 随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝0)＝13，∴P (X ＝1)＝23，E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29，在A 中，P (X ＝1)＝E (X )，故A 正确；在B 中，E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝3×23＋2＝4，故B 正确；在C 中，D (3X ＋2)＝9D (X )＝9×29＝2，故C 错误；在D 中，D (X )＝29，故D 错误；故选AB ．10．下列关系中，能成立的是( BCD )A ．C mn ＝m nC m －1n －1 B ．C mn ＝n ！n －m ！m ！C ．m ！＝A mnC m nD ．A mn ＋m A m －1n ＝A mn ＋1[解析] 对A ，令n ＝3，m ＝1，可得等式C 13＝13C 02不成立，故A 错误；对B ，利用组合数的计算公式知正确，故B 正确； 对C ，利用排列数与组合数的定义知正确，故C 正确； 对D ，∵A m n ＋m A m －1n ＝n ！n －m ！＋m ·n ！n －m ＋1！＝n ＋1！n －m ＋1！＝A mn ＋1，故D 正确；故选BCD ．11．下列说法中正确的是( BC )A ．相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越弱B ．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )C ．随机误差e 满足E (e )＝0，其方差D (e )的大小用来衡量预报的精度 D ．相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好[解析] 对于A ，相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越强，故A 错误；对于B ，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )，故B 正确；对于C ，随机误差e 满足E (e)＝0，其方差D (e)的大小用来衡量预报的精确度，故C 正确； 对于D ，相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越大，说明模型拟合效果越好，故D 错误，故选BC ．12．下列各对事件中，不是相互独立事件的有( ACD ) A ．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D ．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”[解析] 在A 中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B 中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C 中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D 中，设“至少有1人射中目标”为事件A ，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ，则AB ＝B ，因此当P (A )≠1时，P (AB )≠P (A )P (B )，故事件A ，B 不独立．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(x y －y x )4的展开式中x 3y 3的系数为__6__． [解析] T r ＋1＝C r4(x y )4－r(－y x )r ＝C r4·x 4－r 2·y 2＋r2·(－1)r．由已知4－r 2＝3,2＋r2＝3，∴r ＝2．∴x 3y 3的系数为C 24(－1)2＝6． 14．观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时， C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝__4n －1__．[解析] 第n 个等式左边是n 项组合数的和，组合数C km 的构成规律是下标为m ＝2n －1，上标k 的取值依次从0到n －1，即C 02n －1＋C 12n －1＋…＋C n －12n －1，等式右边为4n －1．故由归纳推理的思想得： C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1，所以答案应填4n －1．15．(2020·大武口区校级一模)甲，乙，丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )＝__12__． [解析] 甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的那两个景点中选择，可能性为2×2＝4，所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2＝12， 因为三个人去的景点不同的可能性为3×2×1＝6， 所以P (A |B )＝612＝12．故答案为12．16．(2020·浙江卷)盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝__13__；E (ξ)＝__1__．[解析] 因为ξ＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以P (ξ＝0)＝14＋14×13＝13，随机变量ξ＝0,1,2，P (ξ＝1)＝24×13＋24×13×12＋14×23×12＝13， P (ξ＝2)＝1－13－13＝13，所以E (ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1．故答案为：13，1．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心)，给50位患者服用此药，给另外50位患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表：有恶心 无恶心 总计 服用药物 15 35 50 服用安慰剂 4 46 50 总计1981100试问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该药物有恶心的副作用？ [解析] K 2的观测值k ＝100×15×46－4×35250×50×19×81≈7.86>6.635．故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该药物有恶心的副作用． 18．(本题满分12分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人． (1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？ (2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？[解析] (1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．19．(本题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1．(1)求展开式中各项的系数的和；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．[解析] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式中的通项为T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－2)r C r n x n －5r 2， ∴T 5＝24C 4n x n2－10，T 3＝22C 2n x n2－5，由题意得24C 4n 22C 2n ＝10，∴n 2－5n －24＝0解得n ＝8或n ＝－3(舍去) 令x ＝1得和系数之和为1．(2)设展开式中的第x 项，第x ＋1项，第x ＋2项的系数绝对值分别为C r －182r －1C r 82r，C r ＋182r＋1若第x ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫C r －18·2r －1≤C r8·2rC r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r 解得5≤r ≤6，∴系数最大的项为T 7＝1 792x11由n ＝8知第5项的二项式系数最大，此时T 5＝1 120x6．20．(本题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[解析] (1)图中x 所在组为[80,90]即第五组，∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x ＋0.01＋3×0.006)＝1，∴x ＝0.018． (2)成绩不低于80分的学生所占的频率为f ＝10×(0.018＋0.006)＝0.24， 所以成绩不低于80分的学生有：50f ＝50×0.24＝12人．成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3， 所以为ξ的取值为0、1、2P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19×C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122，所以ξ的分布列为：所以为ξ的数学期望E (ξ)＝0×11＋1×22＋2×22＝2．21．(本题满分12分)某科技公司遇到一个技术性难题，决定成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期限内就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期限内被甲小组攻克的概率为23，被乙小组攻克的概率为34．(1)设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及E (ξ)；(2)设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪η－12x 在定义域内单调递增”为事件C ，求事件C 的概率．[解析] 记“甲攻关小组获奖”为事件A ，则P (A )＝23，记“乙攻关小组获奖”为事件B ，则P (B )＝34．(1)由题意，ξ的所有可能取值为0,1,2．P (ξ＝0)＝P (A ·B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝112，P (ξ＝1)＝P (A ·B )＋(A ·B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×34＋23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝512，P (ξ＝2)＝P (A ·B )＝23×34＝12， ∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×112＋1×512＋2×2＝12．(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为0,1,2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2,1,0．∴η的可能取值为0,4．当η＝0时， f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪η－12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域内是减函数． 当η＝4时， f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪η－12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72x 在定义域内是增函数． ∴P (C )＝P (η＝4)＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝12＋112＝712．22．(本题满分12分)(2020·菏泽高二检测)某投资公司准备在2019年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调查，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且两种情况发生的概率分别为79和29．项目二：通信设备．据市场调查，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赚不赔，且三种情况发生的概率分别为35，13，115．(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． (2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.4771)[解析] (1)若按项目一投资，设获利为ξ1，则ξ1的分布列为故E (ξ1)＝300×79＋(－150)×9＝200．若按项目二投资，设获利为ξ2，则ξ2的分布列为故E (ξ2)＝500×35＋(－300)×3＋0×15＝200．又D (ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，故E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)，这说明虽然两个项目获利均等，但项目一更稳妥，所以建议该公司投资项目一．(2)假设n 年后总投资可以翻一番，依题意可得 1 000(1＋2001 000)n＝2 000，即1.2n＝2，两边同时取对数得n ＝lg 2lg 1.2＝lg 22lg 2＋lg 3－1＝0.301 02×0.301 0＋0.477 1－1≈3.805 3，又n ∈N *，所以n ＝4.故大约在2022年底总资产可以翻一番．。
人教A版数学高二选修2-3检测综合质量评估
综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线的对数共有( )A.12B.24C.36D.48 【解析】选B.每条侧棱对应4对,由分步乘法计数原理得:4×6=24对.2.若=42,则的值为( )A.6B.7C.35D.20【解析】选C.因为=42=×2×1,解得n=7,所以===35.3.已知随机变量ξ+η=8,若ξ～B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【解析】选B.因为ξ～B(10,0.6),所以E(ξ)=10×0.6=6,D(ξ)=10×0.6×0.4=2.4,因为ξ+η=8,所以E(η)=E(8-ξ)=2,D(ξ)=D(8-ξ)=2.4.4.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( )A.3B.5C.6D.10【解析】选B.因为T k+1=(3x2)n-k=(-2)k3n-k x2n-5k,当2n-5k=0时,2n=5k,又因为n∈N,k∈N,所以n是5的倍数,故选B.5.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于( )A. B. C. D.【解析】选C.投掷两枚骰子共有6×6种情况,甲骰子点数大于4的情况有2×6=12种,甲骰子的点数大于4,且甲、乙两骰子的点数之和等于7的情况有2种,所以P(B|A)===.6.(2017·济南高二检测)6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( )A. B. C.6 D.【解析】选A.甲得2本有,乙从余下的4本中取2本有,丙得余下的2本,共计.7.(2017·武汉高二检测)甲、乙两工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如表所列:工人甲乙废品数0 1 2 3 0 1 2 3概率0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0则有结论( )A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的质量好一些【解析】选B.甲生产废品期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生产废品期望是1×0.5+2×0.2=0.9,所以甲生产废品期望大于乙生产废品期望,故应选B.8.为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了300名学生,得到下面的列联表:数学85～100分数学85分以下总计物理85～100分37 85 122 物理85分以下35 143 178 总计72 228 300现判断数学成绩与物理成绩有关系,则犯错误的概率不超过( ) A.0.005 B.0.01 C.0.02 D.0.05【解析】选 D.因为K2的观测值k=≈4.514>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩与物理成绩有关系.9.(2017·临沂高二检测)设随机变量X的分布列如下X 1 2 3P 0.5 x y若E(X)=,则D(X)等于( )A. B.C. D.【解析】选D.由得所以D(X)=×+×+×=,故选D. 10.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( )A.180种B.120种C.96种D.60种【解析】选A.按区域分四步:第1步,A区域有5种颜色可选;第2步,B区域有4种颜色可选;第3步,C区域有3种颜色可选;第4步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案. 11.(2017·泰安高二检测)二项式(2-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数绝对值之和是a,所有项的二项式系数之和是b,则+的最小值是( )A.2B.C.D.【解析】选B.由题意知,(2-x)n的展开式中所有项的系数绝对值之和即(2+x)n的所有项的系数和,令x=1,可得a=3n.又因为b=2n,所以=,=,所以+=+.观察可知,当n=1时,+取得最小值.12.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列{a n}定义如下:a n=若S n=a1+a2+…+a n(n∈N*),则事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分别是( )A.,B.,C.,D.,【解析】选B.根据定义事件“S8=2”是指8次投掷中5次正面3次反面,其概率为P==;事件{S2≠0,S8=2}是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率为P==.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2017·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.【解析】(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.答案:414.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为________.【解析】两个数之积的数学期望为E(X)=×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.答案:8.515.一个电路如图所示,a,b,c,d,e,f为六个开关,其闭合的概率是,且是相互独立的,则灯亮的概率是________.【解析】P=1-=.答案:16.( 2017·长沙高二检测)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这5天的平均投篮命中率为________;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________.【解析】因为==0.5,==3,利用线性回归方程中系数计算公式得:=0.01,=0.47,所以线性回归方程为=0.01x+0.47,令x=6,得y=0.53.答案:0.5 0.53三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知展开式中的所有二项式系数和为512.(1)求展开式中的常数项.(2)求展开式中所有项的系数之和.【解析】(1)由2n=512得n=9,则第r+1项为T r+1=()9-r=2r(r=0,1,2,…,9).令-r=0得r=3,故常数项为T4=23=672.(2)由(1)知,n=9,令x=1,得展开式中所有项的系数和为39.18.(12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表所示:商店名称 A B C D E销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5(1)画出销售额和利润额的散点图.(2)若销售额和利润额具有相关关系,用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程=x+,其中=,=-.(3)若获得利润是4.5百万元时估计销售额是多少(千万元)?【解析】(1)散点图如图所示:(2)由已知数据计算得:==6,==3.4,=200,x i y i=112,所以==0.5,则=-=3.4-0.5×6=0.4,所以利润额y对销售额x的回归直线方程为=0.5x+0.4.(3)当y=4.5时,4.5=0.5x+0.4,计算得出x=8.2,所以若获得利润是4.5百万元时估计销售额是8.2千万元.19.(12分)已知集合A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?【解析】由1<log2x<3,得2<x<8,又x∈N*,所以x为3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以A∪B={3,4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素,可以组成=120个三位数.(2)若从集合A中取元素3,则3不能是千位上的数字,有··=180个满足题意的自然数;若不从集合A中取元素3,则有=384个满足题意的自然数. 所以满足题意的自然数共有180+384=564个.20.(12分)甲、乙两射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下:环数8环9环10环射手甲0.3 0.1 0.6乙0.2 0.5 0.3(1)试比较甲、乙两射手射击水平的高低.(2)谁的射击水平比较稳定.【解析】(1)设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别是X1,X2,则E(X1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3;E(X2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1.由E(X1)>E(X2),知甲射手射击所得环数的数学期望比乙射手射击所得环数的数学期望高,故甲射手射击水平比乙射手高.(2)D(X1)=(8-9.3)2×0.3+(9-9.3)2×0.1+(10-9.3)2×0.6=0.81;D(X2)=(8-9.1)2×0.2+(9-9.1)2×0.5+(10-9.1)2×0.3=0.49.由D(X1)>D(X2),知乙射手射击水平比甲射手稳定.21.(12分)(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率. (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2=【解析】(1)记事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事件B,记事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C,则P(A)=P(B)·P(C),P(B)=5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)=0.62,P(C)=5×(0.068+0.046+0.010+0.008)=0.66,所以P(A)=0.4092.(2)箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2=≈15.705>6.635,所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)方法一:因为新养殖法的箱产量分布图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5.故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+≈52.35.方法二:由图可知,中位数位于50～55kg,首先计算小于50kg之前的频率为:(0.004+0.020+0.044)×5=0.340,设中位数为xkg,则(x-50)×0.068=0.5-0.340=0.16,解之得:x=52.35.方法三:1÷5=0.2,0.1-(0.004+0.020+0.044)=0.032,0.032÷0.068=,×5≈2.35,50+2.35=52.35,所以中位数为52.35.22.(12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高[10, [15, [20, [25, [30, [35,气温15) 20) 25) 30) 35) 40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 【解析】(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知P==,P==,P==,所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:X 200 300 500P(2)①当200≤n≤300时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P=.若X=300时,则Y=n=2n,P=,若X=500时,则Y=n=2n,P=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 2n 2nP所以E(Y)=×+×2n+×2n=n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=.若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1200-2n,P(Y=1200-2n)=.若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 1 200-2n 2nP所以E(Y)=×(800-2n)+×(1200-2n)+×2n=-n+640<-×300+640=520(元).综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.。
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高二数学理科选修2－3质量检测试题
命题：齐宗锁（石油中学） 检测：马晶（区教研室） 2013.06
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分150分，考试时间为100分钟.
注意事项：
1. 考生答题前，先将条形码贴在条形码区，并将本人班级、姓名、考号填写在相应位置.
2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.
3. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 最小二乘法的原理是
A .使得1[()]n i i i y a bx =-+∑最小
B .使得21[()]n
i i i y a bx =-+∑最小
C .使得22
1[()]n i i i y a bx =-+∑最小 D .使得21[()]n
i i i y a bx =-+∑最小 2. (2)(3)(4)(12)(,12)x x x x x N x +----∈> 可表示为
A ．103x A -
B ．112x A -
C ．1012x A -
D ．11
12x A -
3. 两个变量,x y 与其线性相关系数r 有下列说法
①若0r >，则x 增大时，y 也相应增大 ；
②若0r <，则x 增大时，y 也相应增大； ③若1r =，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，其中正确的有
A . ①②
B . ②③
C . ①③
D . ①②③
4. 宝鸡市的汽车牌照号码可以由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同；这
种牌照的号码最多有（ ）个
A .1242610()C A
B .242610A A
C .12426()10C
D .242610A 5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产
能耗y (吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为=0.7+0.35ˆ
y x ，那么表中t 的值为 A ．3 B ．3.15 C ．3.5 D ．4.5
6．已知随机变量ξ服从正态分布()
20,N σ，且()20.8P ξ<=，则 ()=<<20ξP
A .6.0
B .0.4
C .0.3
D .2.0
7. 如果31()2n x x
-
的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是 A ．164
B ．0
C ．64
D . 256 8. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则P (B |A )为 A. 12 B. 16 C. 115 D. 13
9． 一排9个座位，坐了3家法律知识比赛小组,若每个小组都是3个成员，且要求每个小组的
3个成员坐在一起,则不同的坐法种数为
A ．33!⨯
B ．33(3!)⨯
C .4(3!)
D ．9! 10. 甲乙两人一起暑假去北京旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，
每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
A .136
B . 16
C .536
D . 19
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
11. 已知2-21010
C =C x x ，则x = ； 12. 李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同.据此，小王给出了正确答案E ξ= ；
13. 在纸箱中有6个节能灯,其中2个是有缺陷的，现从纸箱中任意挑选4个节能灯，其中恰有
1个节能灯有缺陷的概率是 ；
14
. 51)+-的展开式的常数项是 ； 15. 7个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中
间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有 种；
16. 如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼
兹调和三角形”，它们是由整数的倒
数组成的，第n 行有n 个数且两端的 数均为)2(1≥n n
，每个数是它下一行
左右相邻两数的和，如2
12111+=， 613121+=，12
14131+=…，则第7 行第3个数（从左往右数）为_______.
三、解答题：本大题共4小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17．（本小题满分11分）
通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中60名男大学生中有40人爱好此项运动，女大学生中有20人爱好此项运动，
能不能有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”?
2
2
()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.
18.(本小题满分13分)
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两个小球，它们的标号分别为,x y ，记x y ξ=+.
(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；
(2)设“函数2
()1f x x x ξ=--在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率.
19.（本小题满分15分）若5(2)a x -展开式中2x 的系数为40, 且 52345012345(2)a x a a x a x a x a x a x -=+++++.
(1)求22
024135()()a a a a a a ++-++的值；
(2)求012345a a a a a a +++++的值；
(3)求123452345a a a a a ++++的值.
20.（本小题满分15分）
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110
和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950
,求p 的值; (2)设系统B 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及
数学期望Eξ和方差Dξ.。