高二数学第二学期期末考试试题(含答案)

第二学期期末检测高二数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，故选C.2. 点极坐标为，则它的直角坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】M点的直角坐标是故选D.3. 曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，则在点处的斜率为2，即对应的切线方程为故选A.4. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：,则共轭复数为,在复平面内对应的点为,在第四象限,故本题选D.考点：1.复数的代数运算；2.共轭复数；3.复数的几何意义.【学法建议】本题主要考查复数的代数运算,共轭复数的概论及复数的几何意义.难度较易.高考中对复数的考察难度较小.常见的运算,概念,性质,掌握即可.对于复数的加法,减法,乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数,即把分母实数化,注意要把的幂写成最简形式,另外还要注意的幂的性质,区分与.5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意,双曲线的方程为：，其焦点在x轴上,其渐近线方程为，又由其离心率，则c=2a，则,则其渐近线方程；故选：B.6. 已知函数，命题为偶函数，则为（）A. 为奇函数B. 为奇函数C. 不为奇函数D. 不为偶函数【答案】D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以,命题p:∃a∈R,f(x)为偶函数,则￢p为：∀a∈R,f(x)不为偶函数故选：D7. 某种产品的广告费支出与校舍（单位元）之间有下表关系（）2 4 5 6 830 40 60 50 70与的线性回归方程为，当广告支出万元时，随机误差的效应（残差）为A. B. C. D.【答案】A【解析】∵y与x的线性回归方程为当x=5时，当广告支出5万元时，由表格得：y=60故随机误差的效应（残差）为60-50=10故选A．8. 已知下列三个命题：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则；：在中，若，则.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于命题P1，直线和平面内无数条直线垂直，则⊥不一定成立，如图所示：⊥,垂直于中平行与的所有直线,但与不垂直,P1是假命题；对于命题P2,，则∀x∈R，f(−x)=−f(x),∴P2是真命题；对于P3，△ABC中，若A>B，则有a>b，由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA>sinB,∴P3是真命题；综上，以上真命题的个数是2.故选：C.9. 设是椭圆的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设交x轴于点M，∵是底角为30°的等腰三角形∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．∵P为直线上一点，∴，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为故选：C10. 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男女生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图，根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A. 样本中的女生数列多于男生数量B. 样本中有理科意愿的学生数列多于有文科意愿的学生数量C. 样本中男生偏爱理科D. 样本中女生偏爱文科【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.11. 设抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，若，则的方程为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),则=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),由题意知=3,因此即又由A、B均在抛物线上知解得直线l的斜率为=±,因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.12. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则则abc=c∈（10，12）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 观察下列式子：，根据上述规律，第个不等式可能为__________．【答案】【解析】由已知中不等式：，，，…，依题意观察不等式的左边的变化是一个数列的求和形式．最后一项是．不等式的右边是的形式．所以第个式子应该是1+14. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，），若以为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为__________．【答案】【解析】根据题意,曲线C的参数方程为，则曲线C的普通方程为x2+(y−1)2=1,即x2+y2−2y=0，若以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则有x=ρcosθ，y=ρsinθ，则有(ρcosθ)2+(ρsinθ)2−2ρsinθ=0，变形可得：ρ=2sinθ；故答案为：ρ=2sinθ.15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与与的卡片不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________．【答案】【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和；（1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；所以甲的说法知，甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是和.16. 若内切圆半径为，三边长为，则的面积，类比空间中，若四面体的内切球的半径为，四个面的面积为，则四面体的体积__________．【答案】【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，即，故答案为.点睛：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）；根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）在曲线上求一点，使它到直线为参数）的距离最短，并求出点的直角坐标.【答案】（Ⅰ）（或）; （Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先两边同乘得，再利用，可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）先消去可得直线的普通方程，再设点的坐标，利用垂直可得，进而检验可得点的坐标．.................................试题解析：（Ⅰ）解：由，，可得．因为，，所以曲线的普通方程为（或）．（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行．即直线与的斜率的乘积等于，即．因为，解得或．所以点的坐标为或．由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为．解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点．所以点到直线的距离为．因为，所以当时，．此时，所以点的坐标为．考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化．18. 为丰富人民群众业余生活，某市拟建设一座江滨公园，通过专家评审筛选处建设方案A和B向社会公开征集意见，有关部分用简单随机抽样方法调查了500名市民对这两种方案的看法，结果用条形图表示如下：（1）根据已知条件完成下面列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关？（2）根据（1）的结论，能否提出一个更高的调查方法，使得调查结果更具代表性，说明理由.附：【答案】（Ⅰ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关; （Ⅱ）先确定该县中各年龄段市民的比例，再采用分层抽样的方法进行抽样调查，使得调查结果更具代表性．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条形图填写2×2列联表，计算观测值K2，比较临界值得出结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论知人们是否选择方案A和B与是否为老年人有关，抽样方法应考虑老年人与非老年人的比例，利用分层抽样要好些．试题解析：（Ⅰ）由题意得列联表如下：选择方案A 选择方案B 总计老年人20 180 200非老年人60 240 300总计80 420 500假设是否选择方案A和年龄段无关，则的观测值所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知，市民选择哪种方案与年龄段有关，并且从样本数据能看出老年人与非老年人选择方案A的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该县中各年龄段市民的比例，再采用分层抽样的方法进行抽样调查，使得调查结果更具代表性．19. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求和的参数方程；（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点，与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.【答案】（Ⅰ）为参数）; （Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据坐标方程之间的转化，分别求出C1和C2的参数方程即可；（Ⅱ）设出P，Q 的极坐标，表示出|OP|•|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出P的极坐标即可．试题解析：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为所以参数方程为为参数）.曲线的直角坐标方程为.所以参数方程为为参数）（Ⅱ）设点极坐标为, 即,点极坐标为, 即.则当时取最大值，此时点的极坐标为.20. 天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义，某快餐企业的营销部门对数据分析发现，企业经营情况与降雨填上和降雨量的大小有关.（1）天气预报所，在今后的三天中，每一天降雨的概率为40%，该营销部分通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0大9之间取整数值的随机数，并用表示下雨，其余个数字表示不下雨，产生了20组随机数：求由随机模拟的方法得到的概率值；（2）经过数据分析，一天内降雨量的大小（单位：毫米）与其出售的快餐份数成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：试建立关于的回归方程，为尽量满足顾客要求又不在造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数.（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份【解析】试题分析：（1）由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．（2）求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于的方程，解方程，再令即可得出答案．试题解析解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为.（Ⅱ）由题意可知，，所以，关于的回归方程为：．将降雨量代入回归方程得：.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．点睛：本题（Ⅰ）考查模拟方法估计概率，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．（Ⅱ）考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．21. 已知抛物线的焦点为，准线为，与交于两点，与轴的负半轴交于点.（1）若被所截得的弦长为，求；（2）判断直线与的交点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）直线与有且只有一个交点【解析】试题分析：（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为，求出圆的半径，得到圆的方程，即可求|AB|；（Ⅱ）求出P的坐标，即可判断直线PA与C的交点个数，试题解析：（Ⅰ）不妨设在轴上方，．依题意，点坐标为，准线的方程为，所以到的距离．因为被所截得的弦长为，所以的半径，则由抛物线定义得，所以，从而，所以．（Ⅱ）设（），则，所以，故，从而．所以直线的方程为，即由得，所以，所以直线与有且只有一个交点．22. 设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为；单调递增区间为，;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）当时，利用导数的运算法则得到=0，列表即可求的单调区间；（2）由于，令得到，通过对分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出的取值范围试题解析：（1）若时，令，解得或递增极大值递减极小值递增故的单调递减区间为；单调递增区间为，.（2）令，则，（i）若，则当时，恒成立，在为增函数，从而当时，，即（ii）若，当时，，则在为减函数，从而当时，，即综合得的取值范围为．2016--2017学年第二学期期末检测高二级文科数学参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A D B D A C C D C C二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．14．15．16．三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．17．（Ⅰ）由，，可得．因为，，所以曲线的普通方程为（或）．（Ⅱ）因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为点在曲线上，所以可设点．所以点到直线的距离为．因为，所以当时，．此时，所以点的坐标为．18.（Ⅰ）由题意得列联表如下：选择方案A 选择方案B 总计老年人20 180 200非老年人60 240 300总计80 420 500假设是否选择方案A和年龄段无关，则的观测值所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知，市民选择哪种方案与年龄段有关，并且从样本数据能看出老年人与非老年人选择方案A的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该县中各年龄段市民的比例，再采用分层抽样的方法进行抽样调查，使得调查结果更具代表性．19. （Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为所以参数方程为为参数）.曲线的直角坐标方程为.所以参数方程为为参数）（Ⅱ）设点极坐标为, 即,点极坐标为, 即.则当时取最大值，此时点的极坐标为.20. （Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191、271、932、812、393共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为.（Ⅱ）由题意可知，，所以关于的回归方程为：．将降雨量代入回归方程得：.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．21．（Ⅰ）不妨设在轴上方，．依题意，点坐标为，准线的方程为，所以到的距离．因为被所截得的弦长为，所以的半径，则由抛物线定义得，所以，从而，所以．（Ⅱ）设（），则，所以，故，从而．所以直线的方程为，即由得，所以，所以直线与有且只有一个交点．22.（Ⅰ）若时，令，解得或递增极大值递减极小值递增故的单调递减区间为；单调递增区间为，.（Ⅱ）令，则，（i）若，则当时，恒成立，在为增函数，从而当时，，即（ii）若，当时，，则在为减函数，从而当时，，即综合得的取值范围为．。