2019年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题答案

2019年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准9．< 10．8，70 11．12 12．12- 13．4 14．(2,2)3k ππ- 15．92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==．-------------------------------2分cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-------------------------------- 3分 243cos135cos sin135sin 2525BB =+=-+⋅10=-． -------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC === -------------------------------8分 由正弦定理得sin sin BC ABA C =72AB =，解得14AB =． -------------------------------10分 在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD = -------------------------------12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． -------------------------------6分 随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． -------------------------------10分 所以随机变量的分布列为-------------------------------12分∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．-------------------------------14分 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S aa a a =++=+，-------------------------------2分 ==解得11a =，故21n a n =-； ---------------------------------------4分（Ⅱ）211(21)()222nn n n n a n b n -===-， ---------------------------------------5分 法1：12311111()3()5()(21)()2222nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， ②①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)113121222(21)()12222212n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ---------------------------------------10分 ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-． ---------------------------------------12分 法2：121112222n n n n n na nb n --===⋅-， 设112nn k k k F -==∑，记11()()n k k f x kx -==∑，则()1111(1)()1(1)n n nn kk nk k x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑，∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ---------------------------------------10分故111(1)1123224(2)13122212n n n n n n n T F n --+=-=-+⋅-+=--． ---------------------------------------12分 19．（本题满分14分） 解：法1：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ，又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ，∴平面PAC ⊥平面NEF ；---------------------------------------4分 （Ⅱ）连结OM ，∵//PC 平面MEF ，平面PAC 平面MEF OM =，∴//PC OM ， ∴14PM OC PA AC ==，故:1:3PM MA = -------------------------------8分 （Ⅲ）∵EF ⊥平面PAC ，OM ⊂平面PAC ，∴EF ⊥OM ，在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴NO EF ⊥，∴MON ∠为所求二面角M EF N --的平面角， ---------------------------------------10分 ∵点M 是PA 的中点，∴2AM NC ==，所以在矩形MNCA中，可求得MN AC ==NO =MO = --------------------12分在MON ∆中，由余弦定理可求得222cos 233MO ON MN MON MO ON +-∠==-⋅⋅，∴二面角M EF N --的余弦值为33-． ---------------------------------------14分 法2：（Ⅰ）同法1；（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ， ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，所以00n ME n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y mz x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，故6(1,1,)n m=，∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ⋅=，即24440m+-=，解得3m =，故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；故:1:3PM MA = --------------------------8分（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,m n <>== ∴二面角M EF N --的余弦值为．-------14分 20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b = ---------------------------------------1分又c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． ---------------------------------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k =， ---------------------------------------4分即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k 为定值23-． ---------------------------------------6分（Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈． -------------------------------------8分①当3λ=时，化简得26y =， 所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段； --------------------9分②当λ≠2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，-------------------------------------11分当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ---------------------------------------14分21．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵函数()f x 过点(1,2)-，∴(1)2f a b c -=-+-=， ① 又2()32f x ax bx c '=++，函数()f x 点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=， ∴(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，∴2320a b c a b c ++=-⎧⎨++=⎩， ②由①和②解得1a =，0b =，3c =-，故 3()3f x x x =-； ---------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±， ∵(3)18f -=-，(1)2f -=，(1)2f =-，(2)2f =， ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-，∴对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x ，12|()()|20f x f x -≤，∴20t ≥，从而t 的最小值为20； ---------------------------------------8分（Ⅲ）∵2()32f x ax bx c '=++，则 (0)(1)32(1)32f c f a b c f a b c '=⎧⎪'-=-+⎨⎪'=++⎩，可得6(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-．∵当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，∴(1)1f '-≤，(0)1f '≤，(1)1f '≤， ∴6||(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-(1)(1)2(0)4f f f '''≤-++≤，∴23a ≤，故a 的最大值为23， 当23a =时，(0)1(1)221(1)221f c f b c f b c '⎧==⎪'-=-+=⎨⎪'=++=⎩，解得0b =，1c =-，∴a 取得最大值时()323f x x x =-． ---------------------------------------14分。