2017-2018学年河北省定州中学高二上学期期末考试数学试题
河北省定州中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题-含答案
河北定州中学高二期末数学试题一、单选题1．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.2．已知定义在上的函数，若有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A. B. C. D.4．已知，则的最小值等于A. B. C. D.5．设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6．设是奇函数的导函数, ,当时, 则使得成立的取值范围是（）A. B. C. D.7．若函数,则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.8．已知，且，有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（）A. B.C. D.9．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是( )A. B. 1 C. 2 D.10．已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.11．已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为（）A. B. C. D.12．若，函数有两个极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题13．中，是边上一点，，，且与面积之比为，则__________．14．已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________．15．已知定义域为R的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为_____．16．如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比___________________．三、解答题17．已知函数(Ⅰ)当时,求的单调区间;(Ⅱ)设，若,使得成立,求的取值范围18．椭圆，其右焦点为,点在椭圆上,直线的方程为. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若过椭圆左焦点的直线(不过点)交椭圆于两点,直线和直线相交于点,记，，的斜率分别为，，求证19．已知函数在点处的切线方程是.(1)求的值及函数的最大值；(2)若实数满足.(i)证明：；(ii)若，证明：.参考答案BDDDD CAADB11．C12．A13．.14．15．16．.17．（1）的单调减区间为，的单调增区间为；（2）的取值范围. （Ⅰ）由题意知定义域为，令，得当时，则，单调递减当时，则，单调递增综上可得：的单调减区间为的单调增区间为（Ⅱ）由，得令，则当时，，单调递减当时，，单调递增，即.故令，，令，得，时，，单调递减当时，，单调递增故的取值范围18．(1)椭圆方程为;(2)见解析.(1)由题意知，，①把点代入椭圆方程得，②①代入②得，，故椭圆方程为（2）设的斜率为，易知则直线的方程为，设，由得，，，，，又三点共线即又19．(1)；0.(2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.（Ⅰ），由题意有，解得．故，，，所以在为增函数，在为减函数．故有当时，．（Ⅱ）证明：（ⅰ），由（Ⅰ）知，所以，即.又因为（过程略），所以，故.（ⅱ）法一：由（1）知法二：，构造函数，，因为，所以，即当时，，所以在为增函数，所以，即，故。
河北省定州中学2017-2018学年高二(承智班)上学期期末考试数学试题 Word版含解析
河北定州中学高二期末数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 给出下列三个命题：那么，下列命题为真命题的是（）C. D.【答案】C【解析】或不能推出“”，但“”能推出，所以C。
2. ）B.【答案】D选D.3. 10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,8710个值，则的值为（）【答案】C【解析】根据程序框图可知程序框图中的n记录输入的数据中大于等于80分的学生的人数，在给出的10个数据中，大于等于80的数据的个数为7个，故输出的值为。
选C。
学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...4. ，连接四个焦点的四边形的面积为，则的最小值为（）B. 2 D. 3【答案】B【解析】四个顶点坐标分别为，连接四个焦点的四边形由四个直角三角形组成，所以，当且仅当时，上式取等号。
故选B。
5. 内随机取一个数，则方程（）【答案】D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.6. 处的切线斜率为分图象可以为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的解析式可得该函数为奇函数,选项BC错误；A错误；本题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7. 离心率为，则其渐近线与圆是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】C，圆心到直线的距离以直线与圆相离，故选C.8. 设函数论一定成立的是（）【答案】D为的极小值点,选D9.平分线的垂线，垂足为，则）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】AN,选A点睛：涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.10.（）【答案】D，整理可得：，由恒成立的条件有：，当且仅当时等号成立.时，函数取得最小值综上可得：.本题选择D选项.11.值为（）【答案】A【解析】设，同理可得：.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12.）A. B.【答案】A【解析】由题意有R上的单调递增函数，据此可得选A.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
河北省保定市定州中学2018学年高二上学期期末数学试卷
2018-2018学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷一、选择题1．如果函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A．[﹣2，0]B．[1，9]C．[﹣1，3]D．[﹣2，9]2．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π3．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v4．若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数5．已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．6．函数y=的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）7．若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．18．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°9．若函数f（x）=log2（x2﹣ax﹣3a）在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，4）∪[2，+∞）D．[﹣4，4）10．若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0 B．1 C．2 D．eln211．设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（）A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣2或t≥2C．t≤0或t≥2 D．t≤﹣2或t≥2或t=012．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．14．如图所示，程序框图的输出结果是．15．已知集合P{a，b}，Q={﹣1，0，1}，则从集合P到集合Q的映射共有种．16．设函数f（x）=，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．18．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．2018-2018学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如果函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A．[﹣2，0]B．[1，9]C．[﹣1，3]D．[﹣2，9]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤2x+3≤3，∴﹣2≤x≤0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．2．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．3．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，D．根据面面垂直的性质进行判断．【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误，D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线，平面，之间平行和垂直的位置关系的应用，根据相应的判定定理是解决本题的关键．4．若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为：存在一个对数函数不是单调函数．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．5．已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数的运算性质，我们易根据ab=1，进而化简函数g（x）的解析式，然后根据反函数的定义，判断出函数f（x）与g（x）的关系，然后对题目中的四个答案逐一进行比照，即可得到答案．【解答】解：∵ab=1g（x）=﹣log b x=log a x则函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣log b x（b＞0且b≠1）互为反函数故函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣log b x（b＞0且b≠1）的图象关于直线y=x对称故选B．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，反函数的图象，其中利用对数运算性质，及反函数的定义，分析出函数f（x）与g（x）的关系，是解答本题的关键．6．函数y=的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣1＜x＜1，故选：D．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7．若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0+==a3=1，解得a=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用．8．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．若函数f（x）=log2（x2﹣ax﹣3a）在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，4）∪[2，+∞）D．[﹣4，4）【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣ax﹣3a，则得函数f（x）=log2t，由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得，由此求得a的范围．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣3a=﹣﹣3a，则由题意可得函数f（x）=log2t，函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．∴，求得﹣4≤a＜4，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，属于中档题．10．若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0 B．1 C．2 D．eln2【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的解析式，求出函数值即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=21=2．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．11．设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（）A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣2或t≥2C．t≤0或t≥2 D．t≤﹣2或t≥2或t=0【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，只需要比较f （x）的最大值与t2﹣2at+1即可．由于函数在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令g（a）=2at﹣t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选D．【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧．12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a 的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．二、填空题13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案为（﹣1，﹣1）．【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，属于基础题．14．如图所示，程序框图的输出结果是3．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值．【解答】解：x=1，y=1，x≤4，得：x=2，y=2，x+y=4≤4，得：x=4，y=3，x+y=7＞4，输出y=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了程序框图，当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．15．已知集合P{a，b}，Q={﹣1，0，1}，则从集合P到集合Q的映射共有9种．【考点】映射．【分析】运用分步计数原理求解．【解答】解：集合P中的元素a在集合BQ中有3种不同的对应方式（﹣1，0，1三选一），集合P中的元素b在集合Q中也有3种不同的对应方式（﹣1，0，1三选一），根据“分步计数原理（乘法原理）”，集合P到集合Q的映射共有N=3×3=9，故答案为9．【点评】本题主要考查了映射的概念，以及两集合间构成映射个数的确定，可用列举法，也可用乘法计数原理，属于基础题．16．设函数f（x）=，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=﹣x2在（﹣∞，a）递增，y=x3在[a，+∞）递增，要使y=f（x）与y=b的图象有两个交点，可得，可得a＜﹣1．实数a的取值范围为：（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题17．（2018秋•定州市校级期末）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）当x＜0时，有﹣x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（﹣x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式．（2）由题意得m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立，而在1≤x≤2时，求得（x﹣2）=﹣1，由此可得m的取值范围．min【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．18．（2018秋•定州市校级期末）某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是ξ=0，由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，再由P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，列出方程组，能求出p，q．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=．∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，∴，解得p=，q=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，P （ξ=1）=++=，P （ξ=2）=+=，∴Eξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．19．（2018秋•定州市校级期末）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=AA 1=4，AB=3，AB ⊥AC ．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求二面角A ﹣BC 1﹣A 1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：由AA 1⊥AB ，AB ⊥AC ，得AB ⊥平面ACC 1A 1，从而A 1C ⊥AB ，又A 1C ⊥AC 1，由此能证明A 1C ⊥平面ABC 1．法二：以A 为原点，以AC 、AB 、AA 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，利用向量法能证明A 1C ⊥平面ABC 1．（Ⅱ）求出平面A 1BC 1的法向量和平面ABC 1的法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣BC 1﹣A 1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA 1⊥AB ，又AB ⊥AC ， ∴AB ⊥平面ACC 1A 1，…（2分）∴A 1C ⊥AB ，又AC=AA 1=4，∴A 1C ⊥AC 1，…∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；…证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（1分）则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1（4，0，4），∴，，，…∵，且，…∴，且，∴A1C⊥平面ABC1；…（6分）解：（Ⅱ）∵，，设平面A1BC1，则，取y=4，得；…（8分）由（Ⅰ）知，为平面ABC1的法向量，…（9分）设二面角A﹣BC1﹣A1的大小为θ，由题意可知θ为锐角，∴．…（11分）即二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
河北省定州中学2018届高中毕业班上学期期末考试数学试题+Word版含答案
河北定州中学2017-2018学年第一学期高四数学期末考试试题一、单选题1．F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为A.B. C. D. 2．(导学号：05856255)如图，△AOB 为等腰直角三角形，OA ＝1，OC 为斜边AB 上的高，点P 在射线OC 上，则AP ·OP的最小值为( )A.16 B. －16 C. 18 D. －183．设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( )A. ⎛-∞ ⎝⎦ B. ⎛-∞ ⎝⎦ C. ⎣⎦ D. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭5．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝()[)[)2log 1,0,3{252,3,x x x x +∈--∈+∞,则关于x 的函数g(x)＝f(x)＋a(0<a<2)的所有零点之和为( ) A. 10 B. 1－2aC. 0D. 21－2a6．如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是( )A.B.C. D.47．已知函数()3292930f x x x x =-+-，实数,m n 满足()12f m =-， ()18f n =，则m n +=（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()(](]22log 1,1,00{ 173,,122x x f x f x f x x x x --∈--+==---∈-∞-，且，若关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是A. ()2,1--B. ()1,1-C. (1，2)D. (2，3) 9．已知函数()212,1{2,1x x f x x x x -≤=->若函数g(x)＝b －f (1－x)有3个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A. (－1,1)B. (－1,2)C. (11) D. (22)10．已知函数f (x )＝e xsin x (0≤x ≤π)，若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 340π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.341π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [0,1)D. [1，e) 11．(2017·郑州市第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B. 8π27 C. π3 D. 2π912．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数11y x =+与函数f (x )的图象关于原点对称，则()11f x x =-，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题13．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅的取值范围是__________．14．已知实数a b 、满足12a -≤≤，且2021b a ≤-≤，则221643833a b ab a b ++-+的取值范围是__________．15．(2017·湖南省湘中名校高三联考)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)>f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________．16．若对于任意的正实数,x y 都有2?ln y y xx e x me⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 21,1e ⎛⎤⎥⎝⎦C. 21,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17．设()()1xf x e a x =-+．（l ）若a ＞0，f （x ）≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；（2）是否存在正整数a ，使得1n +3n +…+（2n ﹣1）n <an ）n 对一切正整数n 都成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．18．设直线l 的方程为()25x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点.（1）若点()5,2A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B . 19．已知函数()()21xf x x e =-.（1）若函数()f x 在区间(),a +∞上单调递增，求()f a 的取值范围；（2）设函数()xg x e x p =-+，若存在[]01,x e ∈，使不等式()()000g x f x x ≥-成立，求p 的取值范围.20．已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<．参考答案DDDBB BABDA 11．B 12．C 13．[1,9] 14．1,57412⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．()(),24,-∞-⋃+∞ 16．D17．（1）1；（2）见解析.（1）∵()()1x f x e a x =-+，∴()'x f x e a =-，∵0a >， ()'0xf x e a =-=的解为x lna =，∴()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-+=-，∵()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，∴ln 0a a -≥，∴ln 0a a ≤，∴1max a =．（2）设()1x t x e x =--，则()'1xt x e =-，令()'0t x =得： 0x =，在0x <时()'0t x <， ()f x 递减；在0x >时()'0t x >， ()f x 递增，∴()t x 最小值为()00t =，故1x e x ≥+，取2i x n =-， 1321i n =⋯-，，，， 得122i i e n n -≤-，即222nin i e n --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，累加得1322nnn n ⎛⎫⎛⎫++⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212212nn n en ---⎛⎫+< ⎪⎝⎭()1223122111nn ee e ee -------++⋯+=-<∴()13212nn n nn n ++⋯+-<），故存在正整数2a =，使得()132nn n nn a n ++⋯+<⋅） 18．（1）30x y +-=（2）见解析（1）联立方程组()225{4x my m y x=++=，消去x 得()244250y my m --+= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,820y y m y y m +==-- 因为A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得1m =-， 所以直线l 的方程为30x y +-=.（2）证明：因为()()212122254410x x m y y m m m +=+++=++，()()2222121212254416y y y y x x m =⋅==+所以()()()()12121122BP BQ x x y y ⋅=--+--，即()][()12121212124BP BQ x x x x y y y y ⎡⎤⋅=-+++-++⎣⎦所以()()][()2225441018202440BP BQ m m m m m ⎡⎤⋅=+-++++---+=⎣⎦，因此BP BQ ⊥，即以线段PQ 为直径的圆横过点()1,2B . 19．（1）[)2,-+∞；（2）[),e -+∞. （1）由()20xf x xe '=>，得0x >，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0a ≥，所以()()02f a f ≥=-， 所以()f a 的取值范围是[)2,-+∞.（2）因为存在[]01,x e ∈，使不等式()()000021xg x x e x ≥--成立，所以存在[]01,x e ∈，使()0023xp x e ≥-成立，令()()2xh x x e e =-，从而()min p h x ≥， ()()21xh x x e -'=，因为1x ≥，所以211x -≥， 0xe >，所以()0h x '>，所以()()2xh x x e e =-在[]1,e 上单调递增，所以()()min 1h x h e ==-，所以p e ≥-， 实数p 的取值范围是[),e -+∞.20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）a e >；（2） 见解析.（Ⅰ） ()f x 的定义域为R ， ()xf x e a '=-，（1）当0a ≤时， ()0f x '>在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数； （2）当0a >时，令()0f x '>得ln x a >，令()0f x '<得ln x a <，∴()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在R 上为增函数， ()f x 不合题意； 当0a >时， ()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞，又()00f e =>，当x →+∞时， ()f x →+∞，∴()f x 有两个零点12,x x ，则()()()m i n l n l n 1l n 0f x f a a a a a a ==-=-<，解得a e >； （2）由（Ⅱ）（1），当a e >时， ()f x 有两个零点12,x x ，且()f x 在()ln ,a +∞上递增， 在(),ln a -∞上递减，依题意， ()()120f x f x ==，不妨设12ln x a x <<． 要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-， 又12ln x a x <<，所以122ln ln x a x a <-<，而()f x 在(),ln a -∞上递减，即证()()122ln f x f a x >-，又()()120f x f x ==，即证()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >）．构造函数()()()22ln 22ln (ln )xx a g x f x f a x e ax a a x a e=--=--+>，()2220xx a g x e a a e=+->='，∴()g x 在()ln ,a +∞单调递增，∴()()ln 0g x g a >=，从而()()2ln f x f a x >-， ∴()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >），命题成立．。
河北省定州市2018学年高二上学期期末考试理数试题 含
河北省定州市2018-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“2x >”是“5x >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要必要条件D ．即不充分也不必要条件 2. 曲线22y x x =-在点()1,1处的切线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．320x y --=3.双曲线22143x y -=的一个焦点到渐近线的距离为 （ ）A ．1BC ．24.在空间直角坐标系中,,A B C 三点的坐标分别为()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-，若AB CB ⊥，则λ= （ ）A ．3B ．1 C.3± D ．3- 5. 执行图中程序框图，若输入1232,3,7x x x ===，则输出的T 值为（ ）A ．3B ．4 C.113D ．5 6. 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t 薄片露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．7. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E F 分别为1CC 和1BB 的中点，则异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 （ ）A ．0B D ．198. 在平面直角坐标系中，已知定点((0,,A B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．2212y x += B ．()22102y x x +=≠C. 2212y x -= D ．()22102x y y +=≠9. 任取k ⎡∈⎣，直线()2y k x =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则AB ≥的概率为（ ）A ．12 B 13D10. 执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是 （ ）A ．100i <B ．100i ≤ C.99i < D ．98i <11. 如图动直线:l y b =与抛物线24y x =交于点A ，与椭圆2212x y +=交于抛物线右侧的点,B F 为抛物线的焦点，则AF BF AB ++的最大值为（ ）A．．2 D． 12. 设函数()()()sin cos 02016xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．()2018211e e e πππ-- B ．()100911e e e πππ--C.()1008211e e eπππ-- D ．()2016211e e eπππ--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校老年教师90人、中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 14. 若命题“0x R ∃∈”，使得“()200110x a x +-+≤”为真命题，则实数a 的范围为 ．15. 定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为 ．16. 如图，过椭圆()222211x y a b a b+=>>上顶点和右顶点分别作圆221x y +=的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且经过点12,,F F ⎛ ⎝是椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆上运动，求12PF PF 的最大值.18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽祥，获得了某年100位居民毎人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[)[)[)0,0.5,0.5,1,...,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值(精确到0.01)，并说明理由.19. 如图四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BCE ∆为等边三角形，ABE ∆是以A ∠为直角的等腰直角三角形，且AC BC =.（1）证明: 平面ABE ⊥平面BCE ； （2）求二面角A DE C --的余弦值.20. 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为h ，半径为r ，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且2h r ≥，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计 ），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为4千元，设该容器的建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数关系，并求其定义域； （2）求建造费用最小时的r . 21. 已知()2249:14M x y ++=的圆心为()221,:14M N x y -+=的圆心为N ,一动圆与圆M 内切，与圆N 外切. （1）求动圆圆心P 的轨方迹方程；（2）设,A B 分别为曲线P 与x 轴的左右两个交点，过点()1,0的直线l 与曲线P 交于,C D 两点，若12AC DB AD CB +=，求直线l 的方程.22. 已知函数()()221x x f x x e=-- .（1）求函数的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ,证明122x x +>.河北省定州市2018-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: BDCCB 6-10: ADBCA 11-12：DD二、填空题13.18 14.1a ≤-或3a ≥ 15.{}|1x x >16.⎛⎝ 三、解答题17. 解：(1) 由题意，得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆C 的方程是2214x y +=.(2) 由均值定理1212PF PF PF +≥.又4a =，所以121244PF PF PF ≥⇒≤,当且仅当12PF PF =时等号成立，所以12PF PF 的最大值为4.18. 解：(1) 由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1,频率=(频率/组距)* 组距,()0.50.080.160.30.520.30.120.080.041a ∴⨯++++++++=，解得0.4a =.(2) 由图，不低于3吨的人数所占比例为()0.50.120.080.040.12⨯++=,∴全市月圴用水量不低于3吨的人数为1100.1213.2⨯=(万).(3) 由图可知，月圴用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为()0.50.080.160.30.40.520.73⨯++++=.即0073的居民用水量小于2.5吨，同理，0088的居民用水量小于3吨，故2.53x <<.假设月圴用水量平均分布，则()0.80.730.52.50.5 2.730.3x -÷=+⨯≈(吨).19. 解：(1) 设O 为BE 的中点，连接AO 与CO ，则,AO BE CO BE ⊥⊥.设2AC BC ==,则2221,,90AO CO AO CO AC AOC ==⇒+=∠=,所以AO CO ⊥，故平面ABE ⊥平面BCE .(2) 由（1）可知,,AO BE CO 两两互相垂直，设OE 的方向为x 轴正方向，OE 为单位长，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz.则()()()()()0,0,1,1,0,0,,1,0,0.A E C B OD OC CD OC BA -=+=+=,所以()()()()(),1,3,0,1,0,1,1,3,0,1,0,1D AD AE EC CD ==-=-=.设(),,n x y z =是平面ADE 的法向量，则00n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即00xx z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,所以可取(3,1,n =-,设m 是平面DEC 的法向量，则0m EC m CD⎧=⎪⎨=⎪⎩,同理可取(3,1,m =,则1cos ,7n m n m n m<>==,所以二面角A DE C --的余弦值为17.20. 解：(1) 由容积为72π立方米，得322272272233r rr h h r r πππ=+⇒=-≥,解得03r <≤,又圆柱的侧面积为2722223r rh r rππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，半球的表面积为22r π，所以建造费用2288163r y r ππ=+，定义域为(]0,3. (2) ()3222718'16'3233r r y rr ππ-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又03r <≤，所以'0y ≤，所以建造费用2288163r y r ππ=+，在定义域(]0,3上单调递减，所以当3r =时建造费用最小. 21. 解：(1) 设动圆P 的半径为r ，则71,22PM r PN r =-=+两式相，得4PM PN MN +=>，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点，焦距为2实轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=.(2) 当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，则()()331,,1,,2,0,2,022C D A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则9622AC DB AD CB +=+≠，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-,设()()()()1122,,,,2,0,2,0C x y D x y A B -,朕立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=,则有()22121222438,3434k k x x x x k k -+==++，()()()()112222112,2,2,2,AC DB AD CB x y x y x y x y +=+--++--()()21212121282282211x x y y x x k x x =--=----()()222212122102482222834k k x x k x x k k +=-+++-=++.由已知，得22102481234k k++=+,解得k =故直线l 的方程为)1y x =-.22. 解：(1)()()()()11'2112,'01x x x f x x x f x x e e -⎛⎫=--=-+=⇒= ⎪⎝⎭, 当(),1x ∈-∞时,()'0f x <;当()1,x ∈+∞时,()'0f x >,所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2) ()()110,01f f e=-<=,不妨设12x x <，又由（1）可知12201,1,21x x x <<>-<，又函数()f x 在(),1-∞上单调递减，所以121222x x x x +>⇔>-等价于()()122f x f x <-，即()()1202f x f x =<-.又()()222222221x x f x x e---=--，而()()2222210x x f x x e=--=，所以()()22222222222222222x xx x x x x e x e x x f x e e e e -------=-=,设()()22x x g x xe x e -=--，则()()()2'1x x g x x e e -=--，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，而()10g =，故当1x >时，()0g x >.所以而2220xx e e->恒成立，所以当1x >时,()()222222222222222220x xx x x x x e x e x x f x e e e e-------=-=>,故122x x +>.。
河北省定州中学2017-2018学年高二上学期第二次月考数学试题
高二第一学期第2次月考考试数学试题一、单选题1．已知集合A={x|x>1}，B={x|log 2x>1}，则A∩B=A. {x|x>1}B. {x|1<x<2}C. {x|x>2}D. {x|x>0}2．已知()1,0,2A ， ()1,3,1B -，点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为（ ）．A. ()3,0,0-B. ()0,3,0-C. ()0,0,3-D. ()0,0,33．若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a =A. 3B. 0C. 3-D. 03-或4．已知双曲线22194x y -=，则其焦距为（）A. B. C. D. 5．若集合{}{}0,1,2,3,1,2,5A B ==，则集合A B ⋃（ ）A. {}0,1,2,3,5B. {}1,2,3,5C. {}1,2D. {}06．用二分法求方程()2ln 1x x+=的近似解时,可以取的一个区间是 A. (1,2) B. (2,e) C. (3,4) D. (0,1)7．函数()11(0,1)x a f x a x a a -=++>≠的图象恒经过定点A. (1,1)B. (1,2)C. (1,3)D. (0,2)8．已知函数y =221x +当自变量[]0,1x ∈时因变量的y 取值范围为 A. []1,2 B. []0,1 C. []2,3 D. []0,29．下列函数中.既是偶函数,又在(),0∞-上为减函数的是A. 2x y =B. y =C. 2y x =-D. lg y x =10．设集合U ={|4}x x ∈≤N ,A ={}1,2,B ={}2,3,则()()C C U U A B ⋂=A. {}0,4B. {}4C. {}1,2,3D. ∅11．已知集合{}20,1,4,{|,}A B y y x x A ===∈，则A B ⋃= A. {}0,1,16 B. {}0,1 C. {}1,16 D. {}0,1,4,1612．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是A. ()f x x =B.C. ()31h x x =-+D. ()1s x x=二、填空题 13．计算： 32log 234831lne log 64-⨯=+__________． 14．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距为c ，且满足220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．15．已知()()1,1,3,a b x ==，若a b +与a 垂直，则x 的值为_________．16．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中的与“数”字面相对的是“__________”字面.三、解答题17．（１）求焦点在 x 轴上,虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程； （2）求经过点()2,4P --的抛物线的标准方程；18．求椭圆22981x y +=的长轴的长轴和短轴长、离心率、交点坐标、顶点坐标.参考答案CCDDA ACADA11．D12．A13．-114．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭15．-516．学 17．（1）2216436x y -=；（2）2x y =-. （１）解：焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得 解得，．∴．所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为．（2）解：由于点P 在第三象限，所以抛物线方程可设为： 22y px =-或22x py =-在第一种情形下，求得抛物线方程为： 28y x =-；在第二种情形下，求得抛物线方程为： 2x y =-18．渐近线椭圆22981x y +=化为标准方程： 221981x y +=.其中： 229,3,62a b c a b ===-= 且焦点在y 轴上.长轴长:218a =；短轴长:26;b =离心率: 223c a =;焦点坐标: (0,±;顶点坐标: ()0,93,0.±±、（）。
2017-2018年河北省保定市定州中学高二上学期期末数学试卷与解析
2017-2018学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．i C．﹣1D．12．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0B．1C．2D．33．（5分）某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如表数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8x+，则为（）X24568y2535605575A．5B．15C．10D．204．（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假5．（5分）用a1、a2、…，a10表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85，68，95，75，88，92，90，80，78，87．执行如图所示的程序框图，若分别输入a1的10个值，则输出的的值为（）A．B．C．D．6．（5分）设p是双曲线﹣=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1或5B．1或9C．1D．97．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）9．（5分）若函数f（x）=e x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上递减，则a取值范围是（）A．（e+1，+∞）B．[e+1，+∞）C．（e﹣1，+∞）D．[e﹣1，+∞）10．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）＜3x2﹣1，不等式x3﹣x+1≤f（x）≤x3﹣x+2的解集为{x|﹣1≤x≤1}，则f（﹣1）+f（1）=（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知f（x）=alnx+（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程=1（m是常数）表示曲线C，给出下列命题：①曲线C不可能为圆；②曲线C不可能为抛物线；③若曲线C为双曲线，则m＜1或m＞4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜m＜．其中真命题的编号为．14．（5分）曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为．15．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=．16．（5分）函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：∃x∈（0，+∞），x2﹣2elnx≤m；q：函数y=x2﹣2mx+1有两个零点．（1）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知倾斜角为135°且过点P（1，2）的直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．19．（12分）为办好省运会，计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图、表：组号按年龄分组回答完全正确人数回答完全正确人数占本组频率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（I）分别求出表2中的a、x的值；（II）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？（III）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．20．（12分）已知函数（a，b∈R）．（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间（﹣1，1）上不是单调函数，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆C ：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且，直线l2：y=k（x﹣m）与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点，若是一个与k无关的常数，求实数m的值．22．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【解答】解：=====i，故选：B．2．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①：当x=1成立时有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立，当x2﹣3x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故①正确．对于②：命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”故②正确．对于③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，p∨q为真，故③正确．故选：D．3．（5分）某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如表数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8x+，则为（）X24568y2535605575A．5B．15C．10D．20【解答】解：由给定的表格可知=5，=50，代入=8x+，可得=10．故选：C．4．（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选：B．5．（5分）用a1、a2、…，a10表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85，68，95，75，88，92，90，80，78，87．执行如图所示的程序框图，若分别输入a1的10个值，则输出的的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是：用n记录输出的数据不小于80分的学生人数，由已知中的数据可得：n=7故=，故选：C．6．（5分）设p是双曲线﹣=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1或5B．1或9C．1D．9【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，则其渐近线方程为y=±x，又由双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0，即y=x，则有=，解可得a=2，则双曲线的方程为：﹣=1，其中a=2，b=3，则c==，若|PF1|=5，则P在双曲线的左支上，则|PF2|=5+2a=9；故选：D．7．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：若方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2＞4，解得：m＞2，故满足条件的概率是p==，故选：D．8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得y2﹣y﹣k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=±∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故选：C．9．（5分）若函数f（x）=e x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上递减，则a取值范围是（）A．（e+1，+∞）B．[e+1，+∞）C．（e﹣1，+∞）D．[e﹣1，+∞）【解答】解：∵f（x）=e x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上递减，∴f′（x）=e x﹣（a﹣1）≤0，在（0，1）上恒成立，∴a≥e x+1在（0，1）上恒成立，∵y=e x+1在（0，1）上为增函数，∴y＜e+1，∴a≥e+1，故选：B．10．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：延长F1M和PF2交于N，椭圆C：+=1的a=5，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，由|PF1|=6，可得|PF2|=4，由等腰三角形的三线合一，可得|PF1|=|PN|=6，可得|NF2|=6﹣4=2，由OM为△F1F2N的中位线，可得|OM|=|F2N|=×2=1．故选：A．11．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）＜3x2﹣1，不等式x3﹣x+1≤f（x）≤x3﹣x+2的解集为{x|﹣1≤x≤1}，则f（﹣1）+f（1）=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣（x3﹣x），则其导数g′（x）=f′（x）﹣（3x2﹣1），又由f（x）满足f'（x）＜3x2﹣1，则有g′（x）=f′（x）﹣（3x2﹣1）＜0，即g（x）在R上为减函数，x3﹣x+1≤f（x）≤x3﹣x+2⇒1≤f（x）﹣（x3﹣x）≤2⇒1≤g（x）≤2，若不等式x3﹣x+1≤f（x）≤x3﹣x+2的解集为{x|﹣1≤x≤1}，则有g（﹣1）=2，g（1）=1，即有g（﹣1）=f（﹣1）﹣[（﹣1）3﹣（﹣1）]=2，f（﹣1）=2，g（1）=f（1）﹣[（1）3﹣（1）]=1，f（1）=1，则f（﹣1）+f（1）=2+1=3；故选：C．12．（5分）已知f（x）=alnx+（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）【解答】解：∵f（x）=alnx+x2（a＞0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，∴f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立，∴a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则a≥g（x）max，∵g（x）=2x﹣x2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，g（x）=2x﹣x2取得最大值g（1）=1，∴a≥1．即a的取值范围是[1，+∞）．故选：B．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程=1（m是常数）表示曲线C，给出下列命题：①曲线C不可能为圆；②曲线C不可能为抛物线；③若曲线C为双曲线，则m＜1或m＞4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜m＜．其中真命题的编号为②③④．【解答】解：①由4﹣m=m﹣1，可得m=2.5，曲线能为圆，故不正确；②因为方程中没有一次项，故曲线C不可能为抛物线，正确；③若曲线C为双曲线，（4﹣m）（m﹣1）＜0，则m＜1或m＞4，正确；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4﹣m＞m﹣1＞0，所以1＜m＜，正确．故答案为：②③④．14．（5分）曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为x﹣y+1=0．【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，切线的斜率为：k=2﹣1=1．切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．15．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=6．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．16．（5分）函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为2．【解答】解：∵f（x）=e x+x2+x+1，∴f′（x）=e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=e x+2x+1=2，即e x+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d==，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故答案为：2．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：∃x∈（0，+∞），x2﹣2elnx≤m；q：函数y=x2﹣2mx+1有两个零点．（1）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真，令f（x）=x2﹣2elnx，问题转化为求函数f（x）的最小值，，令f'（x）=0，解得，函数f（x）=x2﹣2elnx在上单调递减，在上单调递增，故，故m≥0．若q为真，则△=4m2﹣4＞0，m＞1或m＜﹣1．（1）若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，实数m的取值范围为[﹣1，0）…（5分）．（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．若p真q假，则实数m满足，即0≤m≤1；若p假q真，则实数m满足，即m＜﹣1．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪[0，1]．18．（12分）已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知倾斜角为135°且过点P（1，2）的直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（φ为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣3）2=9，即x2+y2﹣6y=0，∴x2+y2=6y，∴ρ2=6ρsinθ，故所求极坐标方程为ρ=6ρsinθ．（2）设直线l：（t为参数），将此参数方程代入x2+y2﹣6y=0 中，化简可得t2﹣2t﹣7=0，△=8+28=36＞0，设M，N 所对应的参数分别为t1，t2，则∴====．19．（12分）为办好省运会，计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图、表：组号按年龄分组回答完全正确人数回答完全正确人数占本组频率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（I）分别求出表2中的a、x的值；（II）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？（III）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，第2、3组总人数分别为20人、30人，∴a=0.9×20=18（人），x==0.9；（II）在第2、3、4组回答完全正确的人共有54人，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取的人数为：第2组为×6=2人，第3组为×6=3人，第4组为×6=1人；（III）分别记第2组的2人为A、B，第3组的人为c、d、e，第3组的人为F，从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果为：AB、Ac、Ad、Ae、AF、Bc、Bd、Be、BF、cd、ce、cF、de、dF、eF共15种情况，则获奖2人均来自第3组的有cd、ce、de共3种情况，故所求的概率值为P==．20．（12分）已知函数（a，b∈R）．（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间（﹣1，1）上不是单调函数，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，∴f（1）=2，∵点（1，2）在y=f（x）的图象上，∴，又f'（1）=﹣1，∴1﹣2a+a2﹣1=﹣1，∴a2﹣2a+1=0，解得a=1，．∴，f'（x）=x2﹣2x，由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点．∵，，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，∴f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为8，最小值为﹣4．（2）因为函数f（x）在区间（﹣1，1）上不是单调函数，所以函数f'（x）在（﹣1，1）上存在零点．f′（x）=x2﹣2ax+（a2﹣1）=[x﹣（a+1）][x﹣（a_1）]而f'（x）=0的两根为a﹣1，a+1，若a﹣1，a+1都在（﹣1，1）上，则解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间（﹣1，1）上，则﹣1＜a+1＜1或﹣1＜a﹣1＜1，∴a∈（﹣2，0）∪（0，2）．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且，直线l2：y=k（x﹣m）与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点，若是一个与k无关的常数，求实数m的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）联立解得，故又，a2=b2+c2，联立三式，解得，b=1，c=1，故椭圆C的标准方程为……………………………………………………（4分）（2）设M（x1，y1）N（x2，y2），联立方程，消元得（1+2k2）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2=0，△=16m2k4﹣4（1+2k2）（2k2m2﹣2）=8（2k2﹣m2k2+1），∴，，……………………………………（6分）=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）++k2（x1﹣m）（x2﹣m）=……．（9分）又是一个与k无关的常数，∴3m2﹣5m﹣2=﹣4，即3m2﹣5m+2=0，∴m1=1，．∵，∴m=1………………………………………………（11分）当m=1时，△＞0，直线l2与椭圆C交于两点，满足题意……………………………（12分）22．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）e x．可得f'（x）=（x+2）（x﹣a）e x ①若a＜﹣2时，x∈（﹣∞，a），（﹣2，+∞）时，（x+2）（x﹣a）e x＞0，则f（x）在（﹣∞，a），（﹣2，+∞）上单调递增，在（a，﹣2）上，（x+2）（x﹣a）e x＜0，函数是单调递减；②a=﹣2时，（x+2）（x﹣a）e x≥0，恒成立，则（﹣∞，+∞）在上单调递增；③若a＞﹣2时，则f（x）在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上，（x+2）（x﹣a）e x＞0，函数是单调递增，在（﹣2，a）上，（x+2）（x﹣a）e x＜0，函数是单调递减；（2）由（1）知，当a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，所以，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=（a+4）e﹣2+a=a（e﹣2+1）+4e﹣2，恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+me a恒成立即恒成立，令，可得，当x∈（0，1）时，函数是增函数，x∈（1，2）时，函数是减函数，易知g（x）在其定义域上有最大值，所以．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxo第21页（共21页）M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
河北省定州中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题-含答案
河北定州中学高二期末数学试题一、单选题1．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.2．已知定义在上的函数，若有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A. B. C. D.4．已知，则的最小值等于A. B. C. D.5．设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6．设是奇函数的导函数, ,当时, 则使得成立的取值范围是（）A. B. C. D.7．若函数,则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.8．已知，且，有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（）A. B.C. D.9．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是( )A. B. 1 C. 2 D.10．已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.11．已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为（）A. B. C. D.12．若，函数有两个极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题13．中，是边上一点，，，且与面积之比为，则__________．14．已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________．15．已知定义域为R的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为_____．16．如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比___________________．三、解答题17．已知函数(Ⅰ)当时,求的单调区间;(Ⅱ)设，若,使得成立,求的取值范围18．椭圆，其右焦点为,点在椭圆上,直线的方程为. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若过椭圆左焦点的直线(不过点)交椭圆于两点,直线和直线相交于点,记，，的斜率分别为，，求证19．已知函数在点处的切线方程是.(1)求的值及函数的最大值；(2)若实数满足.(i)证明：；(ii)若，证明：.参考答案BDDDD CAADB11．C12．A13．.14．15．16．.17．（1）的单调减区间为，的单调增区间为；（2）的取值范围. （Ⅰ）由题意知定义域为，令，得当时，则，单调递减当时，则，单调递增综上可得：的单调减区间为的单调增区间为（Ⅱ）由，得令，则当时，，单调递减当时，，单调递增，即.故令，，令，得，时，，单调递减当时，，单调递增故的取值范围18．(1)椭圆方程为;(2)见解析.(1)由题意知，，①把点代入椭圆方程得，②①代入②得，，故椭圆方程为（2）设的斜率为，易知则直线的方程为，设，由得，，，，，又三点共线即又19．(1)；0.(2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.（Ⅰ），由题意有，解得．故，，，所以在为增函数，在为减函数．故有当时，．（Ⅱ）证明：（ⅰ），由（Ⅰ）知，所以，即.又因为（过程略），所以，故.（ⅱ）法一：由（1）知法二：，构造函数，，因为，所以，即当时，，所以在为增函数，所以，即，故。
河北省定州中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学
河北定州中学高二期末数学试题考试时间120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．若复数1z i =-，i 为虚数单位，则2zz-=（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．12．下列四个命题中真命题的个数是（ ）①“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”③命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∨为真命题 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆyx b =+，则ˆb 为（ ）A. 5B. 15C. 10D. 204.若原命题为：“若12,z z 为共轭复数，则12z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A. 真真真B. 真真假C. 假假真D. 假假假5. 用1a ， 2a ，…， 10a 表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图，若分别输入i a 的10个值，则输出的1ni -的值为（ ）A.35 B. 13 C. 710 D. 796．设p 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 97. 在区间[]1,5内随机取一个数m ，则方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ） A.35 B. 15 C. 14 D. 348. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ）A. 11y x y x =-=-+或B. ))11y x y x =-=-或C. ))11y x y x =-=-或D. ()()1122y x y x =-=--或 9. 若函数()()11xf x e a x =--+在()0,1上递减，则a 的取值范围（ ） A. ()1,e ++∞ B. [)1,e ++∞ C. ()1,e -+∞ D. [)1,e -+∞10.21,F F 是椭圆1925:22=+y x C 的左，右焦点，点P 在椭圆C 上，且到左焦点1F 的距离为6，过1F 做21PF F ∠的角平分线的垂线，垂足为,M 则OM 的长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()2'31f x x <-，不等式()3312x x f x x x -+≤≤-+的解集为{|11}x x -≤≤，则()()11f f -+=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知)0(21ln )(2>+=a x x a x f ，若对任意两个不等的正实数21x x 、都有2)()(2121≥--x x x f x f 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.[)+∞,1B.()+∞,1C.()1,0D.(]1,0Ⅱ卷二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13．已知方程22141x y m m +=--（m 是常数）表示曲线C ,给出下列命题： ①曲线C 不可能为圆；②曲线C 不可能为抛物线； ③若曲线C 为双曲线，则1m <或4m >； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则512m <<． 其中真命题的编号为 ．14．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为_________________．15.已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．16..函数f （x ）=e x+x 2+x+1与g （x ）的图象关于直线2x ﹣y ﹣3=0对称，P ，Q 分别是函数f （x ），g （x ）图象上的动点，则|PQ|的最小值为解答题：本大题共6小题，共70分。
2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三（上）期末数学试卷一、单选题1．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC 上，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）4．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2a sin x在区间上是单调递增函数，则a的取值范围为（）A．B．C．D．5．（5分）定义在R上奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝，则关于x的函数g（x）＝f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为（）A．10B．1﹣2a C．0D．21﹣2a6．（5分）如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是（）A．B．8C．D．47．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣9x2+29x﹣30，实数m，n满足f（m）＝﹣12，f（n）＝18，则m+n＝（）A．6B．8C．10D．128．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝t（t∈R）恰有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，2）D．（2，3）9．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝b﹣f（1﹣x）有3个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1﹣，1）D．（2﹣，2）10．（5分）已知函数f（x）＝e x sin x（0≤x≤π），若函数y＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．[0，1）D．[1，e）11．（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．（5分）关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3+x），则f（x）的一个周期为T＝2；②若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f（x+1）与函数y＝f（3﹣x）的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝与函数f（x）的图象关于原点对称，则f（x）＝，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动（包括端点，且满足＝，则的取值范围是．14．（5分）已知实数a、b满足﹣1≤a≤2，且0≤b﹣2a2≤1，则的取值范围是．15．（5分）（2017•湖南省湘中名校高三联考）定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且f（x﹣2）是偶函数，若对一切实数x，不等式f（2sin x﹣2）＞f（sin x﹣1﹣m）恒成立，则实数m的取值范围为．16．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．三、解答题17．设f（x）＝e x﹣a（x+1）．（l）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）是否存在正整数a，使得1n+3n+…+（2n﹣1）n（an）n对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．18．设直线l的方程为x＝m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2＝4x于P，Q两个不同的点．（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．19．已知函数f（x）＝2（x﹣1）e x．（1）若函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增，求f（a）的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x﹣x+p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥f（x0）﹣x0成立，求p的取值范围．20．已知f（x）＝e x﹣ax（a∈R）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：x1+x2＜2lna．2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．2．【解答】解：由＝﹣，设||＝t，t≥0，则•＝﹣•＝t2﹣1×t×cos＝t2﹣t＝﹣；所以，当t＝时，•取得最小值为﹣．故选：B．3．【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．4．【解答】解：由题意得，，，即2a在[]上恒成立，设，则，再令p（x）＝﹣cos x+x sin x，则p′（x）＝2sin x+x cos x，∵p′（x）＞0在[]上恒成立，∴上为增函数，∴＝，∴h′（x）＜0在[]上恒成立，∴上为减函数，∴2，即实数a的取值范围为，故选：A．5．【解答】解：由题意，函数g（x）共有5个零点x1＜x2＜x3＜x4＜x5，x1+x2＝﹣10，x4+x5＝10，x∈[﹣3，0）时，f（x）＝﹣log2（1﹣x），令﹣log2（1﹣x）+a＝0，则x3＝1﹣2a，∴关于x的函数g（x）＝f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为1﹣2a，故选：B．6．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱，底面是平行四边形（两相邻边分别为2，4），侧棱垂直于底面，且侧棱柱等于4，由俯视图易知，底面平行四边形边2上的高为，故该几何体的体积是V＝2××4＝8，故选：B．7．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣9x2+29x﹣30，∴f（x）＝（x﹣3）3+2（x﹣3）+3，∴函数f（x）关于（3，3）对称∵实数m，n满足f（m）＝﹣12，f（n）＝18，∴[f（n）+f（m）]＝3，根据对称性，得（m+n）＝3，解得m+n＝6．故选：A．8．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数，f（x）的函数图象关于原点对称．作出函数f（x）的图象如图所示：由图象可知t∈（﹣1，1），设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，根据二次函数的对称性可知：x1+x2＝﹣6，﹣1＜x3＜1，x4+x5＝6，∴x1+x2+x3+x4+x5＝x3∈（﹣1，1）．故选：B．9．【解答】解：函数f（x）＝，当1﹣x≤1，即x≥0时，f（1﹣x）＝1﹣2|x﹣1|，当1﹣x＞1，即x＜0时，f（1﹣x）＝（1﹣x）2﹣2（1﹣x）＝x2﹣1；∴f（1﹣x）＝；令g（x）＝0，得f（1﹣x）＝b，函数g（x）的零点就是函数y＝f（1﹣x）与y＝b的图象的交点横坐标；作出函数y＝f（1﹣x）与y＝b的图象，如图所示；不妨设x1＜x2＜x3，令x2﹣1＝1，解得x＝﹣或x＝（不合题意，舍去）；由图可知，﹣＜x1＜0，且x2+x3＝2，∵x1+x2+x3＝2+x1，﹣＜x1＜0，∴2﹣＜x1+x2+x3＜2，∴x1+x2+x3的取值范围是（2﹣，2）．故选：D．10．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点等价于y＝f（x）的图象与y＝m的图象有两个交点，∵函数f（x）＝e x sin x（0≤x≤π），∴可得时，f′（x）≥0，x时，f′（x）≤0，∴f（x）在[，π）递减，在（0，]递增．故函数f（x）图象如下：由图象可知：0≤m．故选：A．11．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x＝2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）＝πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π＝∴圆柱的最大体积为，此时r＝，故选：B．12．【解答】解：对于①，若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3+x），则f（x）＝f（x+2），∴f（x）的一个周期为T＝2，①正确；对于②，若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3﹣x），则f（x）＝f（4﹣x），即f（2+x）＝f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，②正确；对于③，函数y＝f（a+x）与函数y＝f（b﹣x）的图象关于直线x＝对称，∴函数y＝f（x+2）的图象与函数y＝f（3﹣x）的图象关于直线x＝＝1对称，∴③错误；对于④，设点P（x，y）是函数y＝f（x）的图象，与P关于原点对应的点为（﹣x，﹣y），且在函数y＝的图象上，∴﹣y＝，得y＝，即f（x）＝，④正确；综上，正确命题的序号是①②④，是3个．故选：C．二、填空题13．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB＝3，AD＝1，所以A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1）；设M（3，b），N（x，1），（0≤x≤3），根据题意得，b＝，所以＝（x，1），＝（3，b），所以•＝3x+＝1+x（0≤x≤3），所以1≤1+x≤9，即的取值范围是[1，9]．故答案为：[1，9]．14．【解答】解：由﹣1≤a≤2，且0≤b﹣2a2≤1作出可行域如图，令t＝a+，联立，解得，联立，得8a2+3a﹣3t＝0，由△＝9+96t＝0，解得t＝．由图可知，当直线t＝a+过点（2，9）时，t有最大值为14．∴t的取值范围为[，14]．∵＝，且t＝a+，∴＝3t2﹣|t|＝．当0≤t≤14时，3t2﹣t∈[]；当时，3t2+t∈[，0]．取并集得：的取值范围为：．故答案为：．15．【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且f （x﹣2）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称．则函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递减，若对一切实数x，不等式f（2sin x﹣2）＞f（sin x﹣1﹣m）恒成立，则|2sin x﹣2﹣（﹣2）|＜|sin x﹣1﹣m﹣（﹣2）|恒成立，即|2sin x|＜|sin x+1﹣m|恒成立．令t＝sin x∈[﹣1，1]，可得2|t|＜|t+1﹣m|，平方可得3t2+（2m﹣2）t﹣1﹣m2+2m＜0，即f（t）＝3t2+（2m﹣2）t﹣1﹣m2+2m＜0在区间[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得m＜﹣2，或m＞4，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．16．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t＝，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）＝（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）＝﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）＝﹣lne+﹣1＝0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）＝e，若f（t）＝（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．三、解答题17．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣a（x+1），∴f′（x）＝e x﹣a，∵a＞0，f′（x）＝e x﹣a＝0的解为x＝lna．∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣a（lna+1）＝﹣alna，∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，∴﹣alna≥0，∴alna≤0，∴a max＝1．（2）设t（x）＝e x﹣x﹣1，则t′（x）＝e x﹣1，令t′（x）＝0得：x＝0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）＝0，故e x≥x+1，取x＝﹣，i＝1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤e﹣，即（）n≤，累加得（）n+（）n+…+（）n＜++…+＝＜．∴1n+3n+…+（2n﹣1）n＜•（2n）n，故存在正整数a＝2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜•（an）n．18．【解答】解：（1）联立方程组，消去x得y2﹣4my﹣4（2m+5）＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8m﹣20因为A为线段PQ的中点，所以，解得m＝﹣1，所以直线l的方程为x+y﹣3＝0．（2）证明：因为，，所以，即所以，因此BP⊥BQ，即以线段PQ为直径的圆恒过点B（1，2）．19．【解答】解：（1）由f'（x）＝2xe x＞0，得x＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以a≥0，所以f（a）≥f（0）＝﹣2，所以f（a）的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）因为存在x0∈[1，e]，使不等式成立，所以存在x0∈[1，e]，使成立，令h（x）＝（2x﹣e）e x，从而p≥h（x）min，h'（x）＝（2x﹣1）e x，因为x≥1，所以2x﹣1≥1，e x＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＝（2x﹣e）e x在[1，e]上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，所以p≥﹣e，实数p的取值范围是[﹣e，+∞）．20．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，…（1分）（1）当a≤0时，f'（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上为增函数；…（2分）（2）当a＞0时，令f'（x）＞0得x＞lna，令f'（x）＜0得x＜lna，∴f（x）的递增区间为（lna，+∞），递减区间为（﹣∞，lna）；…（4分）（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在R上为增函数，f（x）不合题意；当a＞0时，f（x）的递增区间为（lna，+∞），递减区间为（﹣∞，lna），又f（0）＝e＞0，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）有两个零点x1，x2，则f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna＝a（1﹣lna）＜0，解得a＞e；…（7分）（2）由（Ⅱ）（1），当a＞e时，f（x）有两个零点x1，x2，且f（x）在（lna，+∞）上递增，在（﹣∞，lna）上递减，依题意，f（x1）＝f（x2）＝0，不妨设x1＜lna＜x2．要证x1+x2＜2lna，即证x1＜2lna﹣x2，又x1＜lna＜x2，所以x1＜2lna﹣x2＜lna，而f（x）在（﹣∞，lna）上递减，即证f（x1）＞f（2lna﹣x2），…（9分）又f（x1）＝f（x2）＝0，即证f（x2）＞f（2lna﹣x2），（x2＞lna）．构造函数，…（10分），∴g（x）在（lna，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（lna）＝0，从而f（x）＞f（2lna﹣x），∴f（x2）＞f（2lna﹣x2），（x2＞lna），命题成立．…（12分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河北定州中学高二期末数学试题考试时间120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．若复数1z i =-，i 为虚数单位，则2zz-=（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．12．下列四个命题中真命题的个数是（ ）①“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”③命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∨为真命题 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆyx b =+，则ˆb 为（ ）A. 5B. 15C. 10D. 204.若原命题为：“若12,z z 为共轭复数，则12z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A. 真真真B. 真真假C. 假假真D. 假假假5. 用1a ， 2a ，…， 10a 表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图，若分别输入i a 的10个值，则输出的1ni -的值为（ ）A.35 B. 13 C. 710 D. 796．设p 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 97. 在区间[]1,5内随机取一个数m ，则方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ） A.35 B. 15 C. 14 D. 348. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ）A. 11y x y x =-=-+或B. ))11y x y x =-=-或C. ))11y x y x =-=-或D. ()()1122y x y x =-=--或 9. 若函数()()11xf x e a x =--+在()0,1上递减，则a 的取值范围（ ） A. ()1,e ++∞ B. [)1,e ++∞ C. ()1,e -+∞ D. [)1,e -+∞10.21,F F 是椭圆1925:22=+y x C 的左，右焦点，点P 在椭圆C 上，且到左焦点1F 的距离为6，过1F 做21PF F ∠的角平分线的垂线，垂足为,M 则OM 的长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()2'31f x x <-，不等式()3312x x f x x x -+≤≤-+的解集为{|11}x x -≤≤，则()()11f f -+=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知)0(21ln )(2>+=a x x a x f ，若对任意两个不等的正实数21x x 、都有2)()(2121≥--x x x f x f 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.[)+∞,1B.()+∞,1C.()1,0D.(]1,0Ⅱ卷二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13．已知方程22141x y m m +=--（m 是常数）表示曲线C ,给出下列命题： ①曲线C 不可能为圆；②曲线C 不可能为抛物线； ③若曲线C 为双曲线，则1m <或4m >； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则512m <<． 其中真命题的编号为 ．14．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为_________________．15.已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．16..函数f （x ）=e x+x 2+x+1与g （x ）的图象关于直线2x ﹣y ﹣3=0对称，P ，Q 分别是函数f （x ），g （x ）图象上的动点，则|PQ|的最小值为解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）已知()2:0,,2ln p x x e x m ∃∈+∞-≤； :q 函数221y x mx =-+有两个零点．(1)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 18.已知曲线C 的参数方程为3{ 33x cos y sin ϕϕ==+（ϕ为参数），以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知倾斜角为0135且过点()1,2P 的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求11PM PN+的值.19.为办好省运会，计划招募各类志愿者1.2万人.为做好宣传工作，招募小组对15-40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图表1、表2：（I ）分别求出表2中的a 、x 的值；（II ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？（III ）在（II ）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率.20. 已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+（a ， b R ∈）. （1）若()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间()1,1-上不是单调函数，求a 的取值范围.21. 已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>x 轴的直线1l 与椭圆C 交于A ， B 两点，且AB =直线2l ： ()y k x m =- 34m R m ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，与椭圆C 交于M ， N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点504R ⎛⎫⎪⎝⎭，，若·RM RN 是一个与k 无关的常数，求实数m 的值. 22．已知函数()()2xf x x ax a e =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0,2a ∈，对于任意[]12,4,0x x ∈-，都有()()2124af x f x e me --<+恒成立，求m 的取值范围．高二数学答案1-5 BDCCC 6-10 DDCBA 11-12 CA 13.②③④；14. 10x y -+=. 15. 6 16. 217. （本小题满分10分）解：若p 为真，令()22ln f x x e x =-，问题转化为求函数()f x 的最小值，()22222e x ef x x x x='-=-，令()0f x '=，解得x =函数()22ln f x x e x =-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，故()min 0f x f==，故0m ≥．若q 为真，则0442>-=∆m ， 1m >或 1m <-．(1)若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题，实数m 的取值范围为[)1,0-............................5分．(2)若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，则,p q 一真一假． 若p 真q 假，则实数m 满足0{11m m ≥-≤≤，即01m ≤≤；若p 假q 真，则实数m 满足0{11m m m <><-或，即1m <-．综上所述，实数m 的取值范围为()[],10,1-∞-⋃．………………………………………10分18. （1）依题意，曲线C 的普通方程为()2239x y +-=，即2260x y y +-=，故226x y y +=，故26sin ρρθ=，故所求极坐标方程为6sin ρθ=;……………………6分（2）设直线1,:{ 2,2x l y ==+（t 为参数），将此参数方程代入2260x y y +-=中，化简可得270t --=，显然0∆>；设,M N 所对应的参数分别为12,t t ，故1212{ 7,t t t t +==-12121167PM PNt t PM PN PM PN t t +-+====⋅ (1)2分19．（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）【答案】(1)最大值为8，最小值为4-；(2) ()()2,00,2-⋃. （1）∵()()1,1f 在30x y +-=上，∴()12f =， ∵点()1,2在()y f x =的图象上，∴21213a ab =-+-+， 又()'11f =-，∴21211a a -+-=-， ∴2210a a -+=，解得1a =， 83b =………………………………………3分 ∴()321833f x x x =-+， ()2'2f x x x =-， 由()'0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点. ∵()803f =， ()423f =， ()24f -=-， ()48f =， ∴()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8，最小值为4-………………………………6分 （2）因为函数()f x 在区间()1,1-上不是单调函数，所以函数()'f x 在()1,1-上存在零点.而()'0f x =的两根为1a -， 1a +，……………………………………………8分 若1a -， 1a +都在()1,1-上，则111,{111,a a -<+<-<-<解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间()1,1-上，则111a -<+<或111a -<-<，∴()()2,00,2a ∈-⋃…………………………………………………………………12分 21、（本小题满分12分）解：（1）联立2222{ 1x c x y a b =+=，，解得2b y a =±，故22ba =又2c e a ==， 222a b c =+，联立三式，解得a = 1b =， 1c =， 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=……………………………………………………4分 （2）设()11M x y ，()22N x y ，，联立方程()221{ 2x y y k x m +==-，，消元得()22222124220k xmk x k m +-+-=，()()()242222221641222821m k k k mk m k ∆=-+-=-+，∴2122412mk x x k +=+， 221222212m k x x k -=+，……………………………………6分()()()212121212125552544416RM RN x x y y x x x x k x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212235225252514161216m m k k x x mk x x k m k ---⎛⎫=+-++++=+ ⎪+⎝⎭…….9分 又RM RN ⋅ 是一个与k 无关的常数，∴23524m m --=-，即23520m m -+=，∴11m =， 223m =.∵34m >，∴1m =………………………………………………11分 当1m =时， 0∆>，直线2l 与椭圆C 交于两点，满足题意……………………………12分22（1）()()()2xf x x x a e '=+-①若2a <-，则()f x 在(),a -∞， ()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减； ②2a =-，则(),-∞+∞在上单调递增；③若2a >-，则()f x 在(),2-∞-， (),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减； （2）由1知，当()0,2a ∈时， ()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-单调递减， 所以()()()2max 24f x f a e -=-=+， ()()()443+160f a ea f --=>-=，故()()()()12max20f x f x f f -=--= ()()222414a e a a e e ---++=++，()()2124a f x f x e me --<+恒成立，即()222144aa e e e me ---++<+恒成立即()21aa m e e ->+恒成立， 令()(),0,2x xg x x e=∈，易知()g x 在其定义域上有最大值()11g e=， 所以231e m e+>。