河北省衡水中学高二数学二调考试题理(pdf)
河北省衡水中学高二数学上学期二调考试试题 理
2015-2016学年度上学期高二年级二调考试理科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 若a<0，-1<b<0,则下列不等式关系正确的是（ ） A.a ab >>2abB.a ab ab>>2C.2a ab ab >>D.2ab a ab >>2.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n 的比值nm＝（ ）A ．1B ．31C ．92 D ．833.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--02022022y x y x y x ，则z=-3x+2y 的最小值为（ ）Ａ．－４ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．６ ４．下列函数中，最小值为４的是 （ ） Ａ．xx x f 4)(+=Ｂ．xx x f cos 4cos )(+= Ｃ．xxx f -⨯+=343)(Ｄ．10l lg )(x og x x f +=５.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300在第一营区，从301到495住在第二营区，从496到600在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）。
A: 26，16，8 B: 25，17，8 C: 25，16，9 D: 24，17，9６．图1是某县参加20１５年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。
现要统计身高在160∼180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）A. i<6B. i<7C. i<8D. i<9７．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-1032x x y y x ，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x −4y −9=0对称，对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB|的最小值等于（）。
河北省衡水中学2019学年高二上学期二调考试 数学理试题
2019学年度上学期高二年级二调考试数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．若a ，b 都是实数，则“”是“022>-b a ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.若点P 在椭圆上，1F 、2F 分别是该椭圆的两焦点，且1290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）3．下列命题中，是真命题的个数：（ ）（１）3x >且6y >是9x y +>的充要条件； （２）命题“若x AB ∈，则x A ∈”的逆命题与逆否命题；（３）命题“若3x <-，则13x ->”的否命题与逆否命题； （４）,x R y R ∀∈∃∈，使0x y +=。
A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1,2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 145．椭圆2249144x y +=内一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程 ( )A. 01223=-+y xB. 23120x y +-=C. 491440x y +-=D. 941440x y +-=6.方程表示的曲线是( )A 一个圆和一条直线B 半个圆和一条直线C 一个圆和两条射线D 一个圆和一条线段7n 个不同的点P 1,P 2,P 3,…,P n , F 是右焦点，|P 1F |，|P 2F |，…，|P n F |组成等差n 的最大值是（ ）A.99B.100C.199D.2008. 如果AB 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M为AB 的中点，则O M AB K K ⋅的值为( )Aym ．e －1 B ．1－e C ．e 2－1 D ．1－e 29．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B 10．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =; ②()2xf x =; ③()f x =④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知F 1,F 2P段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1： 2，则该椭圆的离心率等于 ( )ABCD第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学-度高二数学第一学期第二次调研考试试卷
河北省衡水中学2008-2009学年度高二数学第一学期第二次调研考试试卷本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1. 已知直线l 的倾斜角为α，若54cos -=α，则l 的斜率为（ ） A 、43 B 、34 C 、43- D 、34- 2. 过点)4,3(-且在坐标轴上的截距相等的直线方程为( )A 、01=++y xB 、034=-y xC 、01=++y x 或034=-y xD 、034=+y x 或01=++y x3. 直线,01)1(2:,013:21=+++=++y a x l y ax l 若21//l l ,则a 的值为( )A 、3-或2B 、2C 、3-D 、2或34. 方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围为（ ）A 、322>-<a a 或 B 、032<<-a C 、02<<-a D 、322<<-a 5. 圆02422=++-+F y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为C ，若32π=∠ACB ，则F 的值为（ ）A 、1B 、11-C 、1-D 、1或11-6. ),(y x P 是曲线为参数）θθθ(sin cos 2⎩⎨⎧=+=y x 上任意一点，则22)4()5++-y x （的最大值为（ ）A 、6B 、5C 、36D 、257. 已知椭圆1251622=+y x 的两焦点为21F F 、，过点2F 且存在斜率的直线与椭圆交于A 、B 两 点，则1ABF ∆的周长为（ ）A 、16B 、8C 、10D 、208. 直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两 点，该椭圆上的点P 使得PAB ∆的面积为6，这样的点P 共有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、49. 点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，F 是椭圆的左焦点，且)(21OF += 4||=，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ）A 、25B 、43 C 、3 D 、6 10. 已知21F F 、是双曲线11622=-y x 的两个焦点，点M 在双曲线上，若21MF F ∆的面积为1，则21MF MF ⋅的值为（ ）A 、1B 、2C 、22D 、011. 双曲线的两条渐近线的夹角为3π，则其离心率为（ ）A 、36B 、332C 、322或2D 、332或2 12.一对共轭双曲线的离心率分别为1e 和2e ，则1e +2e 的最小值为（ ）A 、2B 、2C 、22D 、4第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题 （共4个小题，每小题5分，共20分）13. 将一张坐标纸折叠一次,使得点)0,4(与点)4,0(-重合,且点(2008,2009)与点),(n m 重合,则=-m n .14. 若直线m x y +=和曲线21x y -=有两个不同的交点,则m 的取值范围是 .15. 若双曲线18222=-by x 与椭圆1222=+y x 共准线，则双曲线的离心率为 . 16. 椭圆192522=+y x 的焦点为21F F 、，点P 为此椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 .三、解答题（共6个题，第17题10分，其余每题12分,共70分）17. 已知圆C 的圆心在直线1l ：01=+-y x 上，且与直线2l ：0643=++y x 相切，同时圆C 截直线3l ：0234=++y x 所得的弦长为172，求圆C 的标准方程.18. 已知点(,0)(4),A a a >点(0,)(4),B b b >直线AB 与圆034422=+--+y x y x 相交于D C 、两点，且.2||=CD（1） 求)4)(4(--b a 的值；（2） 求线段AB 的中点M 的轨迹方程；（3） 求AOM ∆的面积S 的最小值.19. 已知F 是椭圆459522=+y x 的右焦点，P 为该椭圆上的动点，(2,1)A 是一定点.(1) 求||23||PF PA +的最小值,并求相应点P 的坐标； (2) 求||||PF PA +的最大值与最小值；(3) 过点F 作倾斜角为60的直线交椭圆于N M 、两点，求||MN ；(4) 求过点A 且以A 为中点的弦所在的直线方程.20. 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线x y =相切于原点O ，椭圆)0(19222>=+a y ax 与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1) 求圆C 的方程;(2) 试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q,使点Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长,若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.21.设椭圆方程是1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点B A 、，O 为坐标原点，点P满足)(21+=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程； (2)||的最大值.22. 已知椭圆1C :1422=+y x ，双曲线2C :1322=-y x .若直线2:+=kx y l 与椭圆1C 、双曲线2C 都恒有两个不同的交点,且l 与2C 的两交点B A 、满足6<⋅(其中O 为原点),求k 的取值范围.高二第二次调研考试数学参考答案: 08.10 CDCDB CDBAD DC13. 1 14. 21<≤m 15. 2 16. )475,475(- 17. 解:设圆心坐标()1,+a a ,--------------------------------------------------1分由已知圆心到直线2l 的距离即为半径,所以5|107|5|6)1(43|+=+++=a a a r ,----3分圆心到直线3l 的距离为5|57|5|2)1(34|+=+++a a a ,--------------------------5分 所以=+=22)5|107|(a r 22)17()5|57|(++a ,-------------------------------7分解得5=a ，所求圆C 的标准方程为81)6()5(22=-+-y x ---10分（未写标准方程扣1分）18. 解：（1）直线AB 的方程为1=+by a x -------------------------------------------1分 其与已知圆相交，且|CD|=2，得圆心到直线AB 的距离,2=d 即.2|22|22=+-+b a ab a b ---2分化简得,0448=--+b a ab 故8)4)(4(=--b a .--------------------------------4分(2)设),(y x M ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22b y a x ,由(1)得8)42)(42(=--y x , )2,2(2)2)(2(>>=--y x y x 为所求轨迹方程.--8分(x ,y 范围只写一个也行没写扣1分) (3)6)4()4(2)844(41221+-+-=-+=-+=⋅=∆b a b a b a b a S AOM .6246)4)(4(2+=+--≥b a -----------------------------------11分 当且仅当224+==b a 时面积取最小值246+.-----------------------------12分19. (1)25,)1,556( (2)176± (3)415(用焦半径公式计算焦点弦长更简单) (4)029910=-+y x (每小问3分)20.解: (1)设圆C 的圆心为A ),(n m ,由已知圆C 与直线x y =相切于坐标原点O, 可得m n -=,则圆C 方程为.8)()(22=++-m y m x ------------------2分将)0,0(代入解得2-=m 或2,--------------------------------------3分 又圆心在第二象限,故2,2=-=n m ,所求圆的方程为.8)2()2(22=-++y x ----------------4分(2)由已知得102=a ,椭圆方程为192522=+y x ,故)0,4(F .-------------6分 设),(00y x Q 由已知得16)4(2020=+-y x ,又点),(00y x Q 在圆C 上, 故有16)2()2(2020=-++y x ,------------------------------------8分联立解得⎩⎨⎧==0000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5125400y x , 故圆C 上存在满足条件的点Q()512,54. ------------------------------12分21. 解: (1)当斜率存在时设为k ,则直线l 的方程为1+=kx y ,设),(),,(),(2211y x P y x B y x A 、, 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 整理得:032)4(22=-++kx x k ,--------------------2分 点)1,0(M 在椭圆内部,故直线与椭圆恒有两不同交点,0>∆恒成立,.R k ∈又根据韦达定理:22142k k x x +-=+,22121482)(k x x k y y +=++=+,)(21+=,所以P 点为线段AB 的中点,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+-=+=22122144242k y y y k k x x x ,----5分 消参得0422=-+y y x ,当直线l 斜率不存在时,P 点坐标为(0,0)也满足上述方程,所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x . 即141)21(16122=-+y x .--------------8分(没考虑斜率不存在扣1分) (2)由(1)得4141≤≤-x ,-----------------------------------9分 所以22222441)21()21()21(||x x y x NP -+-=-+-= 127)61(32++-=x ,当61-=x 时, ||取最大值621.--------12分22.解:将2+=kx y 代入1422=+y x 得0428)41(22=+++kx x k , ,0)14(16)28(221>+-=∆k k 解得412>k .①------------------------3分 将2+=kx y 代入1322=-y x 得0926)31(22=---kx x k 直线与双曲线恒有两个不同的点知⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=∆≠-0)31(36)26(0312222k k k解得312≠k 且12<k .②--------------------------------------6分(少312≠k 扣1分) 设),(),(2211y x B y x A 、,根据韦达定理知)2)(2(21212121+++=+=⋅kx kx x x y y x x OB OA613732)(2)1(2221212<-+=++++=k k x x k x x k , 解得15132>k 或312<k .③----------------------------------10分由①②③得31412<<k 或115132<<k ,故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( --------------------12分。
河北省衡水市衡水中学2025届高三上学期综合素质评价二数学试题
河北省衡水市衡水中学2025届高三上学期综合素质评价二数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣，则A B =I （ ） A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}42．下列函数中在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，周期为π且为奇函数的是（ ）A ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin2y x =C ．tan y x =D ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．已知3log 2a =，4log 3b =， 1.20.5c =，比较a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．b a c >>4．已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>）在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．2529,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2331,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2529,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2331,66⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231117a a a ++=，212a =，则3S =（ ）A ．78B ．74C ．72D ．76．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f x y f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（ ）. A ．(0,4)B ．(0,)+∞C ．(3,4)D ．(2,3)7．已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（ ） A ．13B ．17C ．16D ． 28．已知0x >，0y >，且2e ln x x y =+，则（ ） A ．2e y >B ．22e x y +>C ．2e ln x y<D ．22e 1x <-二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ≠+=.则以下结论正确的是（ ） A ．168a =B ．若910S S =，则43d =C ．若2d =-，则n S 的最大值为21SD ．若151618,,a a a 成等比数列，则4d =10．已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（ ）A ．当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是()0,1B ．当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x <C ．若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D ．若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=11．设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()g x 的图象关于直线2x =对称C ．()f x 的一个周期是4D ．()202510k g k ==∑三、填空题12．已知数列 a n 满足35a =，221n n a a =+，()*122n n n a a a n ++=+∈N ，设 a n 的前n 项和为n S ，则n S =.13．函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()24y f x x =-的递增区间是．14．若正实数a ，b 满足()1ln ln a a b a a be--+≥，则1ab的最小值为.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=. (1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠===sin B . 16．已知函数()3ln2(1)2xf x x x x=++--. (1)证明：曲线()y f x =是中心对称图形； (2)若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.17．已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值；(2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18．已知函数()2e 31,x af x ax ax a -=+-+∈R ．(1)当1a >时，试判断()f x 在[)1,+∞上零点的个数，并说明理由； (2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．19．若存在常数 (0)k k > ，使得对定义域 D 内的任意 ()1212x x x x ≠， ，都有()()1212f x f x k x x -≤- 成立，则称函数 ()f x 在其定义域 D 上是 " k -利普希兹条件函数".(1)判断函数 f x =1x 是否是区间 [)1+∞，上的" 1 -利普希兹条件函数"？并说明理由； (2)已知函数 ()3f x x = 是区间 []0(0)a a >， 上的"3-利普希兹条件函数"， 求实数 a 的取值范围;(3)若函数 ()f x 为连续函数，其导函数为 ()f x ' ，若 ()(),f x K K '∈- ，其中 01K <<， 且 ()01f =. 定义数列 {}()11:0n n n x x x f x -==，， 证明: ()11n f x K<-.。
河北省衡水中学高二上学期二调考试数学(文)试题.pdf
一.选择题：（本题共12个小题，每小题均只有一个正确答案，每小题5分，共60分） 1. 不等式 的解集是为（ ） A．B．C．D．∪，则“”是“2x2+x-1>0”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 在等差数列则（ ）A.13B.18C.20D.22 4. 在等差数列｛an｝中，若, 是数列｛｝的前项和，则的值为（ ）A.48B.54C.60D.66 5.命题“如果，那么”的逆否命题是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，那么 6.下列命题中为真命题的是 ( )A.命题“若，则”的逆命题B.命题“，则”的否命题C.命题“若，则”的否命题D.命题“若，则”的逆否命题 设,且,则（ ） A．B．C．D． ．满足则的最小值是（ ） A．0 B． C．1 D．2 9. 若点到直线的距离为4，且点在不等式＜3表示的平面区域内，则=（ ） A. B. C.或 D. 10. 若正数满足,则的最小值是 B．C．5D．6．在平面直角坐标系中，若不等式组示的平面区域为面积为16，那么的最大值与最小值的差为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A .0 B. C .2 D. 二.填空题：（本题共4个小题，每小题5分。
共20分） 13.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是__________. 三.解答题：（本题共6个小题，共70分，每题均要求写出解答过程） 17. 等差数列的前项和记为.已知 （Ⅰ）求通项； （Ⅱ）若，求. 18.已知求： （Ⅰ）的最小值； （Ⅱ）的范围. 19.已知函数,且的解集为 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解关于x的不等式. 21.已知函数=,=. （Ⅰ）当时，求不等式＜ （Ⅱ）设＞∈[，) 时，≤,求的取值范围. 22. 已知数列{}的前n项和为，． 求证：数列{}是等比数列； 设数列{}的前n项和为，=.试比较与的大小 河北衡水中学2013—2014学年度第二次调研考试 高二文科数学试题答案 三.解答题： 17. 解：（Ⅰ）由得方程组 解得 所以 0 （Ⅱ）由得方程 ……10分 解得 19解：（1）m=1； (2) 即 整理的： 因式分解得： 20解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为F，则F，由题意知： 画出可行域： 变换目标函数： 2.解：由 得： ①或②或 ③ 由①得：；由②得：；由③得： 综上，原不等式的解集为 （Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为， ∴对∈[，)都成立，故，即≤， ∴的取值范围为（-1，]. 22 解：（1）由a1=S1=2-3a1得a1=， 由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1， 于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an， 整理得=×（n≥2）, 所以数列{}是首项及公比均为的等比数列. 设f(n)=，g(n)=.f(n+1)-f(n)=，当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0, 当n≥3时f(n)单调递增， ∴当n≥4时，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)g(n)， 经检验n=1,2,3时，仍有f(n) ≥g(n)， 因此，对任意正整数n，都有f(n) >g(n), 即An <.。
河北省衡水市衡水中学2024-2025学年高二上学期综合素质评价二数学试题
河北省衡水市衡水中学2024-2025学年高二上学期综合素质评价二数学试题一、单选题130y --=的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π6C ．π4D ．2π3 2．已知直线a 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r ，下列结论成立的是（ ）A ．若//a n r r ，则//a αB ．若a n ⊥r r ，则a α⊥C ．若//a n r r ，则a α⊥D ．若a n ⊥r r ，则//a α 3．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（ ）A ．2±B ．±C ．±D ．8±4．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．(][),11,-∞-+∞UB ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知(0,1,1)A ，(2,1,0)B -，(3,5,7)C ，(1,2,4)D ，则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为（ ）A B ． C D ．6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）A B C D 7．若动点()11,M x y ，()22,N x y 分别在直线70x y ++=与直线50x y ++=上移动，则MN 的中点P 到原点的距离的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 中点，M 是DB 靠近B的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，则DP u u u r 的最大值是（ ）A ．1 BC D二、多选题9．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1CD 的中点，Q 为1CA 上靠近点1A 的五等分点，则（ ）A ．11132AM AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r B ．122AM AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r C ．1133545AQ AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r D ．154AQ AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r10．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（ ）A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交11．如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，M N ，分别是线段BC SB ，的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点D C ，），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ SB ⊥B ．存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60oC ．三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D ．当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大三、填空题12．已知点()4,2P -，点A 为圆224x y +=上任意一点，则PA 连线的中点轨迹方程是． 13．已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是.14．如图，已知点A 是圆台1O O 的上底面圆1O 上的动点，,B C 在下底面圆O 上，11AO =，12OO =，3BO =，BC =AO 与平面1O BC 所成角的正弦值的最大值为.四、解答题15．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC 边上的高AD 所在直线的方程为220x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，点B 的坐标为()1,3.(1)求直线BC 的方程；(2)求直线AC 的方程及点C 的坐标.16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，且12,,AA AB AD E F ==分别为111,C D DD 的中点.(1)证明：//AF 平面1A EB .(2)求平面11A B B 与平面1A BE 夹角的余弦值.17．已知直线()1:340l kx y k k ---=∈R 过定点P ．(1)求过点P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线2l 方程；(2)若直线1l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，ABC V 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值并求此时直线1l 的方程．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD =(1)求证：PD ⊥平面PAB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AM AP的值；若不存在，请说明理由. 19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =r ，点()0000,,P x y z 若直线l 以u r 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000x x y y z z a b c---==（0abc ≠）；若平面α以u r 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.(1)已知直线l 的标准式方程为112x z -==，平面1α的点法式方程可表示为50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的余弦值；(2)已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，点P 到平面2α的距离；(3)（ⅰ）若集合(){},,|2,1M x y z x y z =+≤≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积：（ⅱ）若集合(){},,|2,2,2N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合N 中所有点构成的几何体为T ，求几何体T 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.。
河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。
衡水中学二调理科数学
衡水中学2011—2012学年度下学期二调考试高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．已知U =R ，{}|0A x x =>, {}|1B x x =≤-,则()()u u A C B B C A = （ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x >≤-或x 2．已知x 为实数，条件p ：x 2<x ，条件q ：x1≥1，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为 （ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-4．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数， βα、是锐角三角形的两个内角，则（ ） A.)(cos )(sin βαf f > B.)(sin )(sin βαf f > C.)(cos )(sin βαf f < D.)(cos )(cos βαf f >5.如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于（ ） A ．11 B ．10 C ．8 D ．76. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( ) A.13,39,123 B. 42,41,123 C.24,23,123 D.28,27,1237.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ） A.87 B.85 C.65 D.438. 已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A. []Z k k k ∈+,36,6ππB. []Z k k k ∈-,6,36C. []Z k k k ∈+,36,6D. 无法确定9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为α，又n (A)表示集合的元素个数，A={x |x 2 +αx +3=1，x ∈R}，则n (A)=4的概率为（ ） A.61 B ．21 c ．32 D ．3110. 设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若OA ·OB =6， △OAB 的重心是G ，则|OG | 的最小值是( )A.1 B ．2 C ．3 D ．411.设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是 （ ）(A)21 (B)22 (C)23 (D)4112. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( )A ．1210-B ．129-C ．45D ．55第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。