【精品】2015年江苏省镇江市扬中中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
2023-2024学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．83．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．266．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=18．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√2210．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为412．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 ．15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 ．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 ．四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.） 17．（10分）已知方程x 24+y 2m=1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值； （2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ． （1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程； （2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2． （1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程． 20．（12分）已知双曲线：x 25−m−y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点．（1）求实数k 的取值范围； （2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设直线AB 的倾斜角为α，则0≤α＜π， 故k =tanα=√3−00−(−1)=√3， 故α=π3． 故选：B ．2．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．8解：由题意可得−a2=2，则a ＝﹣4． 故选：B ．3．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16解：由椭圆x 2144+y 225=1，可设x ＝12cos θ，y ＝5sin θ，其中θ∈[0，2π]，则x +y ＝12cos θ+5sin θ＝13sin （θ+φ），其中tanφ=125， 因为﹣1≤sin （θ+φ）≤1，所以﹣13≤x +y ≤13，即x +y 的取值范围为[﹣13，13]，结合选项，可得A 符合题意． 故选：A ．4．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)解：依题意，方程x 2+y 2﹣x +y +a ＝0可以表示圆，则（﹣1）2+12﹣4a ＞0，得a ＜12； 由点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部可知：22+12﹣2+1+a ＞0，得a ＞﹣4． 故−4＜a ＜12．故选：C ． 5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．26解：利用椭圆的定义可知，|F 1M |+|F 2M |＝2a ＝10，|F 1N |+|F 2N |＝2a ＝10， ∴△MNF 2的周长为|F 1M |+|F 2M |+F 1N |+|F 2N |＝10+10＝20． 故选：C ．6．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关解：由抛物线C ：y 2＝16x ，可得焦点F （4，0），因为直线x ＝4与抛物线交于A ，B 两点，不妨设A 在B 的上方， 所以A （4，8），B （4，﹣8）， A ，B 两点关于x 轴对称， 所以OA ＝OB ， 所以∠OAB ＝∠OBA ，设圆C 1与圆C 2的半径分别为R 1，R 2， 在△OMA 和△OMB 中，由正弦定理可得，2R 1=OMsin∠OAB ，2R 2=OMsin∠OBA ， 所以有2R 1＝2R 2， 即R 1＝R 2， 故两圆的面积相等， 所以面积的比值为1， 故选：C ．7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=1解：设双曲线的一个焦点为（0，﹣c ），一条渐近线方程为y =a bx ，即ax ﹣by ＝0， 则焦点到渐近线的距离d =√a 2+b=b =2，∵e =ca =2，c 2＝a 2+b 2，b ＝2， ∴a 2=43，b 2＝4， ∴双曲线方程为：3y 24−x 24=1．故选：B ．8．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2解：由已知圆的方程可得：圆心C （6，0），半径为r ＝3， 设AB 的中点为P （x ，y ），则由圆的性质可得：NP ⊥CP ， 即NP →⋅CP →=0，而NP →=（x ﹣4，y ），CP →=（x ﹣6，y ）， 所以（x ﹣4）（x ﹣6）+y 2＝0，即点P 的轨迹方程为（x ﹣5）2+y 2＝1， 设E 为NC 的中点，则E （5，0），半径为1，所以|MP |的最大值为|ME |+1=√(2−5)2+42+1＝5+1＝6， 又|MA →+MB →|＝2|MP →|， 所以|MA →+MB →|的最大值为12， 故选：A ．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√22解：选项A ，把坐标（0，1）代入直线方程而立，A 正确；选项B ，a ＝﹣1时直线l 方程为x ﹣y +1＝0，斜率是1，直线x +y ＝0斜率是﹣1，两直线垂直，B 正确； 选项C ，a ＝0时直线方程为x ﹣y +1＝0，在x 轴上截距为x ＝﹣1，在y 轴上截距为y ＝1，不相等，C 错；选项D ，a 2+a +1＝1即a ＝0或﹣1时，直线l 方程为x ﹣y +1＝0与直线x ﹣y ＝0平行，距离为d =|1−0|√1+(−1)=√22，D 正确．故选：ABD ． 10．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上 解：根据a 2＝b 2+c 2之间的关系可得选项A 正确； 根据e =c a =12，2b =2，a 2=b 2+c 2即可求解，故选项B 正确； △BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定a =2c ，e =c a =12，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确； 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上，所以2c ＝4，（0﹣c ）2+b 2＝c 2+b 2＝a 2＝9，即可求出椭圆E 标准方程，故选项D 正确．故选：ABD ．11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34 B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为4解：A ．由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过抛物线的焦点F （1，0）， 又MP 是水平的，所以可得P(14，1)，因此k PQ =k PF =1−014−1=−43，即A 错误； B ．易知直线PQ 的方程为y =−43(x −1)，联立直线和抛物线{y =−43(x −1)y 2=4x ，消去y 可得4x 2﹣17x +4＝0，由韦达定理可知x 1+x 2=174，x 1x 2=1，即B 正确； C ．由x 1=14可得x 2＝4，所以点Q 的坐标为Q （4，﹣4），利用抛物线定义可知|PQ|=|PF|+|QF|=x 1+x 2+p =174+2=254，即C 正确； ∵l 1与l 2两直线平行，∴l 1与l 2之间的距离为d ＝|y 1﹣y 2|＝5，即D 错误． 故选：BC ．12．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6 解：依题意得a ＝1，b =√3，c ＝2，F 1（﹣2，0），F 2（2，0），|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ＝2， 设P （x 0，y 0），则x 0≥1，x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3，双曲线C 的两条渐近线方程为y =±√3x ，对于A ，PF 12−PF 22=(x 0+2)2+y 02−[(x 0−2)2+y 02]=8x 0≥8，A 正确；对于B ，|PF 1|⋅|PF 2|−|OP|2=√(x 0+2)2+y 02⋅√(x 0−2)2+y 02−(x 02+y 02)=√(x 0+2)2+3x 02−3⋅√(x 0−2)2+3x 02−3−(x 02+3x 02−3) =(2x 0+1)⋅(2x 0−1)−(4x 02−3)=2是定值，B 正确；对于C ，不妨设M(x 1，√3x 1)，N(x 2，−√3x 2)，直线l 的方程为x ＝my +n ， 由{x =my +n x 2−y 23=1，得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， 若直线l 与双曲线C 相切，则Δ＝36m 2n 2﹣12（3m 2﹣1）（n 2﹣1）＝0， 化简整理得n 2＝1﹣3m 2，则点M ，N 的纵坐标之积y 1y 2=−3x 1x 2=−3n 1−√3m n 1+√3m=−3n 21−3m 2=−3，C 错误；对于D ，若Q 在双曲线C 的右支，则通径最短，通径为2b 2a=6，若Q 在双曲线C 的左支，则实轴最短，实轴长为2a ＝2＜6，D 错误． 故选：AB ．三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 y ＝±√2x ．解：由题意可得e =ca =√3， 即c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ， 可得双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故答案为：y ＝±√2x ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 （−14，1） ．解：由抛物线方程为y 2＝﹣4x ，可得2p ＝4，p2=1，∴焦点坐标为F （﹣1，0），准线方程为x ＝1．设点P 在准线上的射影为Q ，连结PQ ，则根据抛物线的定义得|PF |＝|PQ |，由平面几何知识，可知当A 、P 、Q 三点共线时，|PQ |+|P A |达到最小值，此时|PF |+|P A |也达到最小值．∴|PF |+|P A |取最小值，点P 的纵坐标为1，将P （x ，1）代入抛物线方程，得12＝﹣4x ，解得x =−14，∴使P 到A 、F 距离之和最小的点P 坐标为（−14，1）．故答案为：（−14，1）15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 9√2π ．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），记AB 的中点为M ，即M （2，﹣1），因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2， 因为直线AB 过椭圆焦点F （3，0），所以直线AB 斜率为k =y 1−y 2x 1−x 2=0−13−2=1， 又因为A ，B 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上， 所以{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， 整理得y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 2y 1+y 2⋅b 2a 2，代值化简得2b 2＝a 2， 因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点为F （3，0），所以a 2﹣b 2＝9，得a =3√2，b ＝3，由题意可知，椭圆的面积为abπ=9√2π．故答案为：9√2π．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 43 ．解：∵圆C 1和圆C 2与x 轴和直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2）， ∴C 1和C 2在第一象限，设a ，b 为圆C 1和圆C 2的半径，则C 1（ma ，a ），C 2（mb ，b ）（m ＞0），∵点P 在圆C 1和圆C 2，∴{(ma −3)2+(a −2)2=a 2(mb −3)2+(b −2)2=b 2， 又∵圆C 1和圆C 2与x 轴相切，∴a ，b 是m 2r 2﹣（6m +4）r +13＝0的两个根，又∵ab =134，∴13m 2=134，解得m ＝2或m ＝﹣2（舍去）， ∴k C 1C 2=12，∵直线C 1C 2的倾斜角是直线y ＝kx （k ＞0）的一半，∴k =2k C 1C 21−k C 1C 22=43． 故答案为：43． 四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．（10分）已知方程x 24+y 2m =1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．解：（1）因为方程为焦点在y 轴上，所以a 2＝m ，b 2＝4，则离心率e =c a =√m−4√m =12，解得m =163， 故m =163．（2）由题意得 m ＝﹣4，c =√a 2+b 2=√4+4=2√2，故焦点坐标为(±2√2，0)．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ．（1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程；（2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．解：（1）由{3x +4y −11=02x +3y −8=0得{x =1y =2， 即直线l 1和l 2的交点为M （1，2）．∵直线l 还经过点P （3，1），∴l 的方程为y−21−2=x−13−1，即x +2y ﹣5＝0；（2）由直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，可设它的方程为2x ﹣3y +n ＝0．再把点M （1，2）的坐标代入，可得2﹣6+n ＝0，解得n ＝4，故直线l 的方程为2x ﹣3y +4＝0．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程．解：（1）设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），令y ＝0，可得x 2+Dx +F ＝0，则x 1+x 2＝﹣D ＝2，将A （1，4），B （5，0）代入可得，{1+16+D +4E +F =025+5D +F =0， 解得{D =−2E =0F =−15，所以圆C 方程为x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝16．（2）圆C 的圆心C （1，0），圆M 的圆心与C （1，0）关于x ﹣y +1＝0对称，∴设圆M 的圆心为M （a ，b ）则{a+12−b 2+1=0b a−1×1=−1，解得{a =−1b =2， 圆M 的标准方程为：（x +1）2+（y ﹣2）2＝16，若过点（3，0）的直线斜率不存在，则方程为x ＝3，此时圆心C （﹣1，2）到直线x ＝3的距离为3+1＝4＝r ，满足题意；若过点（3，0）且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，则圆心到直线kx ﹣y ﹣3k ＝0的距离为√k 2=4，解得k =34， 所以切线方程为34x −y −94=0，即3x ﹣4y ﹣9＝0，综上，过点（3，0）且与圆C 相切的直线方程为x ＝3或3x ﹣4y ﹣9＝0．20．（12分）已知双曲线：x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 解：（1）由双曲线方程x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)，可得其焦点在x 轴上且焦点坐标为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），又F 2（2，0）为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，所以p 2=2⇒p =4， 即可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =ty +8y 2=8x⇒y 2−8ty −64=0，Δ＝64t 2+4×64＞0， 由韦达定理得y 1+y 2＝8t ，y 1y 2＝﹣64，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+8)(ty 2+8)+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2+8t （y 1+y 2）+64＝（t 2+1）（﹣64）+8t （8t ）+64＝0，所以OA →⊥OB →，即以AB 为直径的圆经过原点O ．21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点． （1）求实数k 的取值范围；（2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．解：（1）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +√2x 23−y 2=1，消去y 并整理得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0，因为直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，所以1﹣3k 2≠0且Δ＞0，由韦达定理得x 1x 2=−91−3k 2＞0，x 1+x 2=6√2k 1−3k 2＜0，① 所以k ＞0，13＜k 2＜1，解得√33＜k ＜1， 则实数k 的取值范围为(√33，1)；（2）易知点O 到直线l 的距离d =√2√k +1， 若△OAB 的面积为6√25， 此时12|AB|⋅d =12√1+k 2|x 1−x 2|⋅√2√k 2+1=√22|x 1−x 2|=6√25，② 联立①②，解得6√1−k 2|3k 2−1|=125，即36k 4+k 2﹣21＝0，因为√33＜k ＜1， 所以k =√32， 故直线l 的斜率k 的值为√32． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为椭圆的离心率为√22， 可得e =c a =√1−b 2a 2=√22， 即a 2＝2b 2，① 又因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)， 所以42b 2+2b 2=1，②联立①②，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 方程为x 28+y 24=1：（2）易知A （0，2），B （0，﹣2），不妨设直线MN 的方程为y ＝kx +4，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 28+y 24=1y =kx +4，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+16kx +24＝0， 此时Δ＝（16k ）2﹣4×24•（1+2k 2）＝64k 2﹣96＞0， 解得k 2＞32，由韦达定理得x 1+x 2=−16k1+2k 2，x 1⋅x 2=241+2k 2，直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−x x 2x y +2=y 1+2x 1x ，可得y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2， 因为x 1=−16k 1+2k 2−x 2， 所以y−2y+2=24k 1+2k 2+2(−16k 1+2k 2−x 2)24k 1+2k 2+6x 2=−8k−(2+4k 2)x 224k+(6+12k 2)x 2=−13，解得y ＝1，故直线BM ，AN 的交点在定直线y ＝1上．。
(完整word版)【解析】江苏省镇江市扬中二中2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷(一)
2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是．11．已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= ．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先求出条件q满足的条件，然后求出¬p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题¬p的关系．解答：解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即¬p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）=﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max=f（1）=1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题．解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为2ln2﹣2 ．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：先求导数，当x=1时，即可得到f′（1），再令导数大于0或小于0，解出x的范围，即得到函数的单调区间，进而可得函数的极大值．解答：解：由于函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣2点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ±2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数的导数，得切线斜率为﹣1=，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：函数的导数为设直线y=﹣x+b与函数相切于点P（m，n），则解之得m=n=1，b=2或m=n=﹣1，b=﹣2综上所述，得b=±2故答案为：±2点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是（1，] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据对数函数的图象和性质，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a＞1，当对数函数图象经过点A时，满足条件，此时，解得，即A（2，3），此时log a2=3，解得a=，∴当1＜a≤时，满足条件．∴实数a的取值范围是1＜a≤，故答案为：（1，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[8，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：将条件¬p是¬q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解．解答：解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q推不出p，即，即，所以m≥8．故答案为：[8，+∞）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，主要端点等号的取舍．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是（﹣96，﹣15）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：首先讨论a=0时原函数图象的情况，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a＞0和a＜0两种情况讨论原函数的单调性，求出函数的极值点并求解极值，当a＞0时，要使原函数的图象经过四个象限，需要极大值大于0，且极小值小于0，此时a的值不存在；当a＜0时，要使原函数的图象经过四个象限，则需要极小值小于0，且极大值大于0，由此解得a 的取值范围．解答：解：由，若a=0时，原函数化为f（x）=80．为常数函数，不合题意；f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x2+x﹣2）=a（x+2）（x﹣1）．若a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣2，1）上为减函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极大值=．函数f（x）在x=1时取得极小值．因为函数的图象先增后减再增，要使函数的图象经过四个象限，则，解①得：a＞﹣15．解②得：a＜﹣96．此时a∈∅；若a＜0，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为减函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，1）上为增函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极小值=．函数f（x）在x=1时取得极大值．为函数的图象先减后增再减，要使函数的图象经过四个象限，则，解得﹣96＜a＜﹣15．所以使函数的图象经过四个象限的a的取值范围是（﹣96，﹣15）．故答案为（﹣96，﹣15）．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的极值与函数图象之间的关系，思考该问题时考虑数与形的结合，属中档题．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是c＜﹣．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：分离参数，构造函数，求出函数再闭区间上的最值即可．解答：解：∵当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，即x3﹣x2﹣3x＜﹣x﹣，在x∈[﹣2，2]时恒成立，即c＜﹣x3+2x2﹣3x，令g（x）=﹣x3+2x2﹣3x，∴g'（x）=﹣2x2+4x﹣3，∵g'（x）=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1＜0恒成立，∴g（x）在∈[﹣2，2]上单调递减，故当x∈[﹣2，2]时，[g（x）]min=g（2）=﹣∴c＜﹣，故答案为：c＜﹣，点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是m﹣a2．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数PF1•PF2的值．解答：解析：PF1+PF2=2，|PF1﹣PF2|=2a，所以PF+PF+2PF1•PF2=4m，PF﹣2PF1•PF2+PF=4a2，两式相减得：4PF1•PF2=4m﹣4a2，∴PF1•PF2=m﹣a2．故答案：m﹣a2．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，利用定义化简．11．（ 2011•南京校级模拟）已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= 8 ．考点：椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：由题意可知AB=CF+DF=，则AF+BF+AB=4a=8，进而可得AF+BF=8﹣AB=8﹣，由此可知答案．解答：解：直线x+y+1=0代入椭圆，并整理得7x2+6x﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴同理，可得CD=CF+DF=．∵AF+BF+AB=4a=8，∴AF+BF=8﹣AB=8﹣，∴AF+BF+CF+DF=（8﹣）+=8．答案：8．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为 2 ．考点：抛物线的简单性质．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN ⊥x轴，垂足分别为D，E，N．利用梯形的中位线和抛物线的定义可得|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）即可得出．解答：解：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN⊥x轴，垂足分别为D，E，N．则|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）=（6﹣2）=2．当且仅当线段AB过焦点时取等号．故AB的中点到y轴的距离的最小值为2．故答案为：2点评：本题考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，考查了分析问题和解决问题的能力．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．考点：导数的乘法与除法法则．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．点评：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：a＜x＜3a，a=1时，所以p：1＜x＜3．根据p∧q为真得p，q都真，所以，所以解该不等式组即得x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，则：，所以解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1＜a≤2；∴实数a的取值范围是（1，2]．点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明CD⊥SD；（2）取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过ND∥MC，证明CM∥面SAD；（3）利用V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD，求出V S﹣ABD，即可求四棱锥S﹣ABCD的体积．解答：（1）证明：取SA的中点，∵M为SB的中点，∴MN∥AB，MN=，∵AB=2，CD=1，∴MN∥CD，MN=DC，∴四边形MNDC为平行四边形，∴CM∥ND，ND⊂面SAD，CM⊄面SAD；∴CM∥面SAD证明：（2）∵DS⊥面SAB，AB⊂面SAB．∴DS⊥AB，∵AB∥DC，∴DS⊥DC，解：（3）V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD=3：2，过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD=AD==，在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB==2．所以，V S﹣ABD=V D﹣SAB=S△ABS×DS==，四棱锥S﹣ABCD的体积为：×=；点评：考查直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．解答：解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3万元．点评：本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．考点：抛物线的标准方程；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）抛物线的准线为，于是，p=2，由此可知抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意得B，M的坐标，，，直线FA的方程，直线MN的方程，由此可知点N的坐标即可；（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AP的方程为x=4，此时，直线AP与圆M相离；当m≠4时，写出直线AP的方程，圆心M（0，2）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．解答：解：（1）抛物线，∴p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴，∴，则FA的方程为y=（x﹣1），MN的方程为．*k*s*5*u解方程组，∴．（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为，即为4x﹣（4﹣m）y﹣4m=0，圆心M（0，2）到直线AK的距离，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交．点评：本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M 在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sin θ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R •x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（6分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（12分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）只要利用条件f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），即可求出a、b的值，再求F（x）的导数，求单调区间，即可得到极小值；（2）由于f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，只要验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1 都成立即可；（3）由G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，得到x1，x2满足的关系式，由x0=，再经过讨论换元可证得G′（x0）＞0．解答：解：（1）由f（1）=g（1），得 b=1．∵f′（x）=2x，g′（x）=+b，f′（1）=g′（1），∴2=a+b，解得a=b=1，则g（x）=lnx+x．F（x）=x2﹣lnx﹣x（x＞0）的导数为F′（x）=2x﹣1﹣=，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减，则有x=1时，F（x）取得极小值，且为0；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，下面验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1，都成立即可．由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．设h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1），即h（x）=lnx﹣x+1，h′（x）=﹣1=，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）在x=1时取得最大值，∴h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，则lnx+x≤2x﹣1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=﹣1，满足条件．（3）G′（x0）的符号为正，理由为：∵G（x）=x2+2﹣alnx﹣bx有两个不同的零点x1，x2，则有 x12+2﹣alnx1﹣bx1=0，x22+2﹣alnx2﹣bx2=0，两式相减得x22﹣x12﹣a（lnx2﹣lnx1）﹣b（x2﹣x1）=0．即x1+x2﹣b=，又x1+x2=2x0，则G′（x0）=2x0﹣﹣b=（x1+x2﹣b）﹣=﹣=[ln ﹣]=[ln﹣]，①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且G′（x0）=[lnt﹣]，故μ（t）=lnt﹣（t＞1），μ′（t）=﹣=＞0，则μ（t）在[1，+∞）上为增函数，而μ（1）=0，∴μ（t）＞0，即lnt﹣＞0，又a＞0，x2﹣x1＞0，∴G′（x0）＞0，②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0，综上所述：G′（x0）值的符号为正．点评：本题考查了导数的综合应用，熟练利用导数求极值和最值及恰当分类讨论、换元是解决问题的关键．专业文档珍贵文档。
2014-2015年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标是．2．（5分）经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为．4．（5分）已知无论k取任何实数，直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点，则该定点坐标为．5．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=．6．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．7．（5分）如果规定：“x=y，y=z，则x=z”叫做x，y，z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是．8．（5分）双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则m=．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．12．（5分）若点A，B在曲线x2﹣y2=2（x＞0）上，则•的最小值为．13．（5分）已知过点P（m，2）作直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，且A 为线段PB的中点，则m的取值范围为．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则=．二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15．（14分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l1∥l2？（2）l1⊥l2？16．（14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．18．（15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．2014-2015学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．【解答】解：抛物线y2=8x，所以p=4，所以焦点（2，0），故答案为（2，0）．2．（5分）经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+8=0．【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+m=0，把点（﹣2，3）代入可得﹣2﹣6+m=0，∴m=8，故所求的直线的方程为x﹣2y+8=0，故答案为：x﹣2y+8=0．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为x2+y2﹣2x=0．【解答】解：∵抛物线y2=4x∴焦点（1，0）∴所求圆的圆心为（1，0）又∵所求圆过坐标原点∴所求圆的半径R=1∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1即x2﹣2x+y2=0…故答案为：x2﹣2x+y2=0．4．（5分）已知无论k取任何实数，直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点，则该定点坐标为（2，2）．【解答】解：直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0即x﹣2y+2+k（4x+3y ﹣14）=0，由解得，故直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点（2，2），故答案为（2，2）．5．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．6．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：47．（5分）如果规定：“x=y，y=z，则x=z”叫做x，y，z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是平行．【解答】解：空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是平行，即由平行公理知直线的平行具有传递性，故答案为：平行8．（5分）双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则m=．【解答】解：由双曲线=1（m＞0）可得渐近线方程为y=±x，∵双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，∴，∴m=．故答案为：；9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为3．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．10．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．【解答】解：直线+=1可化为：bx+ay﹣ab=0，由椭圆=1（a＞b＞0）得，F1（﹣c，0），F2（c，0），∴F1，F2到直线+=1的距离之和为，化简得：a=b，∴e====．故答案为：．12．（5分）若点A，B在曲线x2﹣y2=2（x＞0）上，则•的最小值为2．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞0，x2＞0，且x1x2≥2．•=x1x2+y1y2≥=≥==x1x2﹣|x1x2﹣2|=x1x2﹣（x1x2﹣2）=2．∴•的最小值为2．故答案为：2．13．（5分）已知过点P（m，2）作直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，且A 为线段PB的中点，则m的取值范围为．【解答】解：因为A是PB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴PA≤2，∴点P到原点距离小于等于3，∴m2+4≤9，∴﹣≤m≤，∴m的取值范围是[﹣，]．故答案为：．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则tanα=，tan，∴tanαtanβ==∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴=∴a2=b2，∴，∴，=﹣，tanαtanβ=﹣，∴==．故答案为：二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15．（14分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l1∥l2？（2）l1⊥l2？【解答】解答：由（m+2）（2m﹣1）=6m+18得m=4或m=﹣；当m=4时，l1：6x+7y﹣5=0，l2：6x+7y=5，即l1与l2重合；当m=﹣；时，l1：﹣x+y﹣5=0，l2：6x﹣6y﹣5=0，即l1∥l2．∴当m=﹣时，l1∥l2．（2）由6（m+2）+（m+3）（2m﹣1）=0得m=﹣1或m=﹣；∴当m=﹣1或m=﹣时，l1⊥l2．16．（14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．【解答】解：（1）连结BD，AC交于O．∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=AC连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1；（2）解：点E为BC中点，即=1，下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有，AE∥DC．因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1．18．（15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解答】解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．∴．∴曲线方程为．（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知得4y2﹣7y﹣36=0，y=4或（不合题意，舍去）．∴y=4．得x=6或x=﹣6（不合题意，舍去）．∴C点的坐标为（6，4），．答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．19．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1．∵点（﹣2，﹣）在椭圆上，∴+=1．解得b2=4或b2=﹣2（舍）．由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），y=kx+m，则有+=1．解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．∵△＞0，∴m2＜b2+a2k2，即﹣＜m＜．则x1+x2=﹣，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，∴AB中点M的坐标为（﹣，）．∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．（3）解：如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD 的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（1）设C（x，y），∵，∴G为△ABC的重心，∴，又∵M为△ABC的外心且M在x轴上，∴，由MA=MC得，整理得：．（2）恰为的右焦点，设PQ的斜率为k（k≠0），则PQ：，由，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，∴=，∵RN⊥PQ，把k换成，得，∴==，∴，∴，当且仅当k=±1时，取等号，又当k不存在或者k=0时，S=2，综上：，∴．。
江苏省扬州中学2015-2016学年高二数学上册期中试题
江苏省扬州中学2015—2016学年第一学期期中考试高二数学试卷 2015.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题"0,:"<∈∀x e R x p ，则p ⌝是 ． 2．命题 “若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为 命题．（填“真”、“假”）3．若椭圆1522=+my x 的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值等于______________． 4．“12<x ”是“10<<x ”成立的 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．在正方体1111D C B A ABCD -中，过B C A 11的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11C A 的位置关系为 .(填“平行”或“相交”或“异面”)6．与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为______________． 7．设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是______________． ①．若l ⊥m ，m ⊥α，则l ⊥α或 l ∥α ②．若l ⊥γ，α⊥γ，则l ∥α或 l ⊂α ③．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或 l 与m 相交 ④．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或 l ⊂β 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的高为______________．9．已知点A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，F 为椭圆的一个焦点，且x AF ⊥ 轴，=AF c (c 为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率是__________．10．若1F ，2F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且6421=⋅PF PF ，则21PF F ∠=______________． 11．点),(y x P 为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则y x 3+的最大值为______________．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下 滴．13．在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝3，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是______________．A B C D E14．如图所示，,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||||BF CF =，则该双曲线的离心率是______________．二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分14分)设命题:{|}p a y y x R ∈=∈，命题:q 关于x 的方程20x x a +-=有实根． （1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)如图：已知正方形ABCD 的边长为2，且AE ⊥平面CDE ，A D 与平面CDE 所成角为︒30。
【首发】江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期10月月考试卷数学Word版含答案
江苏省扬州中学2014—2015学年第一学期质量检测高二数学试卷 2014.10一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分。
1、若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝_______.2、若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________． 3、设1AA 是正方体的一条棱，则这个正方体中与1AA 垂直的棱共有 条 4、直线012=-+y x 右上方（不含边界）的平面区域用不等式 表示． 5、若一个球的体积为43π，则它的表面积为__ ______．6、直线a,b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a,b 位置关系是7、将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 的半圆，则该圆锥的高为8、过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，则r 1r 2＝______.9、已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM ＝OA ＋OB (O 为坐标原点)，则实数k ＝_______.10. 设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若,,m m n αβαβ⊥=⊥，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）11、正三棱锥ABC P -高为2，侧棱与底面成045角，则点A 到侧面PBC 的距离是 12、过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为_______．13、设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是14、平面直角坐标系中，已知点A (1，－2)，B (4,0)，P (a,1)，N (a ＋1,1)，当四边形PABN 的周长最小时，过三点A ，P ，N 的圆的圆心坐标是________．A BCP （第17题）D二、解答题：本大题共6小题，14+14+14+16+16+16= 90分． 15．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF ACλ=．（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．16．已知：无论a 取何值，直线0)1()2(=++++a y a x a 始终平分半径为2的圆C（1）求圆C 的标准方程（2）自点)4,1(-A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ， BC //平面PAD ，PBC ∠90=,90PBA ∠≠．求证：（1）//AD 平面PBC ；（2）平面PBC ⊥平面PAB ．18、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．19. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1.(1)若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．CDBFED 1C 1B 1A A 1（第15题图）EABCDF高二数学质量检测参考答案 2014.101. 12 2. 1 3. 8 4. 012>-+y x 5. 12π 6.相交或异面 7._25_ 9. 0 10. ④ 11.6 13. ),222[]222,(+∞+⋃--∞ 14. ⎝⎛⎭⎫3，－98 15. 解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ，平面ABC平面ABD AB =，所以//EF AB ，（5分）又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=；（7分）（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，（9分） 又AEDE E =，AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，（12分） 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分）16. （1）直线过定点)2,1(-据题意知圆心)2,1(-C ，故圆C 的标准方程为4)2()1(22=++-y x（2）直线l 垂直于x 轴时，合题，方程为1-=x直线l 不垂直于轴时，设方程为)1(4+=-x k y 即04=++-k y kx 由214)2(2=+++--k k k 得34-=k 此时方程为0834=-+y x综上，所求直线方程为1-=x 或0834=-+y x（第15题图）EABC DFA BCPDH17. 【证】（1）因为BC //平面PAD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD I 平面PAD = AD ， 所以BC //AD ． …………………………………3分 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．…………………………………………6分（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面ABCD =AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．…………………………………9分 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB ，而90PBA ∠≠，于是点H 与B 不重合，即PB I PH = H ． 因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．…………12分 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ．…………… 14分18. 证明：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面（2）1111111,B C ABB C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥（3）11CF BDD B ⊥平面CDBFED 1C 1B 1AA 11CF EFB ∴⊥平面 且 C F B F ==112EF BD ==，1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E +=即190EFB ∠=11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11132EF B F CF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯=19. 解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)， 与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.20. [解] (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＝0.因为直线l 被圆C 2截得的弦长为65，而圆C 2的半径为1，所以圆心C 2(3,4)到l ：kx －y＋k ＝0的距离为|4k －4|k 2＋1＝45. 化简，得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0或3x －4y ＋3＝0. (2)①证明：设圆心C (x ，y )，由题意，得CC 1＝CC 2， 即(x ＋1)2＋y 2＝(x －3)2＋(y －4)2. 化简得x ＋y －3＝0，即动圆圆心C 在定直线x ＋y －3＝0上运动． ②圆C 过定点，设C (m,3－m )， 则动圆C 的半径为1＋CC 21 ＝1＋(m ＋1)2＋(3－m )2.于是动圆C 的方程为(x －m )2＋(y －3＋m )2 ＝1＋(m ＋1)2＋(3－m )2.整理，得x 2＋y 2－6y －2－2m (x －y ＋1)＝0.由 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－6y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1＋322，y ＝2＋322或 ⎩⎨⎧x ＝1－322，y ＝2－322.所以定点的坐标为⎝⎛⎭⎫1－322，2－322，⎝⎛⎭⎫1＋322，2＋322.。
江苏省镇江中学2018_2019学年高二数学上学期期中试卷(精品解析)
2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1．若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B= ．2．函数y=的定义域是 ．3．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ．4．已知函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）= ．5．已知函数y=log a（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标是 ．6．若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为 ．7．已知函f（x）=，则f（f（））= ．8．计算： = ．9．已知a=0.4﹣0.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列 ．（用“＜”连接）10．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）= ．11．若函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则a的范围为 ．12．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）．13．设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，则n+m= ．14．函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：（其中M是非空实数集）．若非空实数集A，B满足A∩B=∅，则函数g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）的值域为 ．二.解答题（共6小题，共90分）15．画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x2﹣2|x|﹣3．16．已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={y|y=，x∈A}．（1）求集合C；（2）若C⊈（A∩B），求a的值．17．函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0．18．某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售，该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；（A）f（x）=ax2+bx（B）f（x）=log a x+b（C）f（x）=a x+b（2）若人均GDP为2千美元时，年人均M饮料的销量为6升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.5﹣8千美元的地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？19．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．20．一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．（1）若[1，b]为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a＞﹣2）使函数h（x）=的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间[a，b]．2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1．若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B= {x|﹣2≤x＜﹣1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤3}∩{x|x＜﹣1或x＞4}={x|﹣2≤x＜﹣1}．故答案为：{x|﹣2≤x＜﹣1}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2．函数y=的定义域是 [1，+∞） ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由log2（4x﹣3）≥0，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由log2（4x﹣3）≥0，∴4x﹣3≥1，解得x≥1．∴函数y=的定义域是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的单调性、根式函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是 （1，2） ．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减，由此可解．【解答】解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，所以有0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查指数函数的单调性，对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），其单调性受a的范围的影响． 4．已知函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）= 2 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）=f（1﹣2×（﹣1））=4﹣2=2故答案为：2．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．已知函数y=log a（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标是 ．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】由log a1=0，知x+3=1，求出x，y，由此能求出点P的坐标．【解答】解：∵log a1=0，∴x+3=1，即x=﹣2时，y=﹣，∴点P的坐标是P．故答案为：【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．6．若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为 a≤2 ．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则≤1，解得答案．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则≤1，即a≤2，故答案为：a≤2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 7．已知函f（x）=，则f（f（））= ．【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础．8．计算： = 11 ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：原式=3++=3+4+22=11．故答案为：11．【点评】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则，属于基础题．9．已知a=0.4﹣0.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列 c＜b＜a ．（用“＜”连接）【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=x0.5在（0，+∞）单调递增判断，和中间变量0，判断．【解答】解：∵y=x0.5在（0，+∞）单调递增，∴0＜0.4﹣0.5＜0.50.5，∴0＜a＜b，∵c=log0.22＜0c＜b＜a故答案为：c＜b＜a【点评】本题考查了幂函数的单调性，对数的性质，属于容易题．10．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）= 3 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a，即可求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=（x+1）（x﹣a）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（﹣x+1）（﹣x﹣a）=（x+1）（x﹣a）∴x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a∴（a﹣1）x=0∴a=1，∴f（2）=（2+1）（2﹣1）=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题11．若函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则a的范围为 （1，2） ．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的底数大于0可得内函数t=4﹣ax为减函数，结合复合函数的单调性可得a＞1，求出内函数在[1，2]上的最小值，再由最小值大于0求得a的范围，取交集得答案．【解答】解：∵a＞0，∴函数t=4﹣ax为减函数，要使函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则外函数y=log a t为定义域内的增函数，∴a＞1，又内函数t=4﹣ax为减函数，∴内函数t=4﹣ax在[1，2]上的最小值为4﹣2a．由4﹣2a＞0，得a＜2．∴a的范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．12．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有 （4） （填相应的序号）．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；新定义．【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x）=为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；（2）f（x）=x2为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为（4）【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法13．设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，则n+m= ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可知﹣log2m=log2n，从而可得mn=1；从而解得．【解答】解：∵y=log2x在其定义域上单调递增，又∵f（x）=|log2x|，且m＜n，f（m）=f（n），∴﹣log2m=log2n，∴mn=1；∵f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，∴2log2n=4，故n=4，m=，n+m=；故答案为：．【点评】本题考查了对数函数的性质应用及绝对值函数的应用．14．函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：（其中M是非空实数集）．若非空实数集A，B满足A∩B=∅，则函数g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）的值域为 {0} ．【考点】函数的值域．【专题】新定义．【分析】对g（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到g（x）的值域．【解答】解：当x∈A时，x∉B，但x∈（A∪B），∴f（A∪B）（x）=1，f A（x）=1，f B（x）=﹣1，∴g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）f B（x）=1+1×（﹣1）=0；当x∈B时，x∉A，但x∈（A∪B），∴f（A∪B）（x）=1，f A（x）=﹣1，f B（x）=1，∴g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）=1+（﹣1）×1=0；综上，g（x）的值域是{0}．故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了函数的值域、分段函数，解题的关键是对于新定义的函数f M（x）的正确理解，是新定义题目．二.解答题（共6小题，共90分）15．画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x2﹣2|x|﹣3．【考点】函数的图象；函数单调性的性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，从而写出单调区间；（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象，从而写出单调区间．【解答】解：（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，如下图；，f（x）=log2（x+1）的单调递增区间（﹣1，+∞）；（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象如下，故函数的单调递增区间（﹣1，0）和（1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了图象的变换．16．已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={y|y=，x∈A}．（1）求集合C；（2）若C⊈（A∩B），求a的值．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）由f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，求出A的集合，由集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，求出B的集合，然后再由指数函数的性质求出集合C．（2）由集合A，集合B求出A∩B，再由C⊈（A∩B），即可得到a的值．【解答】解：由函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，得A=（﹣1，+∞），集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}={x|}，（1）集合C={y|y=，x∈A}，在（﹣1，+∞）上单调递减，则，则 C=；（2）由于a∈N*，B=，则，由C⊈（A∩B），得⇒a≤2．即a=1或2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．17．函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（1﹣x），…当x=0时，由于f（x）为奇函数，f（x）=0．综上，．…（少了x=0的情况得5分）（2）f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0⇒f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣5），由于f（x）为奇函数，则f（t2﹣2t）＜f（5﹣t2），…由于f（x）在R上单调递增，则t2﹣2t＜5﹣2t2⇒3t2﹣2t﹣5＜0…⇒．…【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．18．某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售，该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；（A）f（x）=ax2+bx（B）f（x）=log a x+b（C）f（x）=a x+b（2）若人均GDP为2千美元时，年人均M饮料的销量为6升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.5﹣8千美元的地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）考虑到A，B，C，D四个函数中只有A符合题意，因为B，C，D三个函数是单调函数．（2）用待定系数法求出A的解析式可得．（3）根据题中人均GDP的要求范围把x的取值分成三段，分别求出每一段的最大值，并比较去最大即可．【解答】解：（1）由于（B）、（C）、（D）三个函数，在[0.5，8]上均为单调函数，…而（A）为二次函数，不单调，故（A）更适合…（2）由题意a=﹣，b=4…则，x∈[0.5，8]…（3）设受事件影响后，各地区M饮料销售量为g（x），则当x∈[0.5，3]时，y=[﹣（x﹣4）2+8]，在x∈[0.5，3]上递增，所以y max=当x∈[5，8]时，y=[﹣（x﹣4）2+8]，在x∈[5，8]上递减，所以y max=当x∈（3，5）时，y=[﹣（x﹣4）2+8]，4∈（3，5），所以y max=比较大小得：当x=4时，y max=答：当人均GDP在4千美元的地区，人均A饮料的销量最多为．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值及比较出最值． 19．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）利用参数分离法将不等式 f（2x）＞0恒成立，进行转化，求m的取值范围；（3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论．【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，是单调递减的．证明：设x1＜x2＜0，则===又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故当m=2时，在（﹣∞，0）上单调递减的．（2）由f（2x）＞0得，变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2而，当即x=﹣1时，所以．（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0）令作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：当或时，f（x）有1个零点．当或m=0或时，f（x）有2个零点；当或时，f（x）有3个零点．【点评】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．20．一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．（1）若[1，b]为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a＞﹣2）使函数h（x）=的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间[a，b]．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）求得g（x）的对称轴为x=1，可得g（x）在[1，b]上单调递增，即有b的方程，解方程可得b；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，可得a，b的关系式，解方程即可判断是否存在；（3）讨论①当a＜b＜0时，②当0＜a＜b时，③当a＜0＜b时，运用单调性，结合二次方程解方程可得a，b，进而得到所求区间．【解答】解：（1）g（x）=的对称轴为x=1，则g（x）在[1，b]上单调递增，可得⇒b=3或b=1，由于b＞1，则b=3；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，则即有⇒（a+2）b=（b+2）a⇒a=b与a＜b矛盾．故不存在这样的a，b；（3）①当a＜b＜0时，p（x）在[a，b]上单调递增，则即为则a，b0为方程的两个根．由于ab=﹣13＜0（舍）；②当0＜a＜b时，p（x）在[a，b]上单调递减，则即为，两式相减（舍）；③当a＜0＜b时，，若（舍），若p（x）min=p（a）=﹣a2+=2a，解得a=﹣﹣2或﹣2（舍去），又，则，综上所述，或．即有2倍保值区间[a，b]为[1，3]或[﹣﹣2，]．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。
江苏省扬中市第二高级中学2014-2015学年高二上学期9月阶段练习数学试题-Word版附答案
江苏省扬中市第二高级中学2014－2015第一学期高二数学阶段练习 姓名1．直线022=+-y ax 与直线01)3(=+-+y a x 平行，则实数a 的值为 . 2、已知点P （0，-1），点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是3．已知点)(b a P ，在圆222:r y x C =+外，则直线2:r by ax l =+与圆C ． 4、如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线01=-+y x 对称，则k -m 的值为5．已知O 是坐标原点，点A )1,1(-，若点M ),(y x 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM z ⋅=的取值范围是 .6．已知动圆0264222=-+--+m my mx y x 恒过一个定点,这个定点的坐标是__ __ ． 7．一直线过点M （－3，23），且被圆x 2+y 2=25所截得的弦长为8，则此直线方程为 . 8、若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有一个公共点，则实数b 的取值范围为 9、若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 范围是 ；10．光线沿0522=+++y x ()0≥y 被x 轴反射后，与以()2,2A 为圆心的圆相切，则该圆的方程为 ．11．直线l ：03=-+y x 上恰有两个点A 、B 到点（2，３）的距离为2，则线段ＡＢ的长为 .12．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．13．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为 . 14．已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，则m 的值为 ．15、已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为012=-+y x ，两个顶点为)1,1(),2,1(--B A ，求第三个顶点C 的坐标。
江苏省镇江中学高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1．若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B=．2．函数y=的定义域是．3．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是．4．已知函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）= ．5．已知函数y=log a（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标是．6．若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为．7．已知函f（x）=，则f（f（））= ．8．计算： = ．9．已知a=0.4﹣0.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列．（用“＜”连接）10．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）= ．11．若函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则a的范围为．12．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．13．设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，则n+m= ．14．函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：（其中M是非空实数集）．若非空实数集A，B满足A∩B=∅，则函数g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）的值域为．二.解答题（共6小题，共90分）15．画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x2﹣2|x|﹣3．16．已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={y|y=，x∈A}．（1）求集合C；（2）若C⊈（A∩B），求a的值．17．函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0．18．某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售，该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；（A）f（x）=ax2+bx（B）f（x）=log a x+b（C）f（x）=a x+b（2）若人均GDP为2千美元时，年人均M饮料的销量为6升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.5﹣8千美元的地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？19．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．20．一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．（1）若[1，b]为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a＞﹣2）使函数h（x）=的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间[a，b]．2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1．若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤3}∩{x|x＜﹣1或x＞4}={x|﹣2≤x＜﹣1}．故答案为：{x|﹣2≤x＜﹣1}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2．函数y=的定义域是[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由log2（4x﹣3）≥0，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由log2（4x﹣3）≥0，∴4x﹣3≥1，解得x≥1．∴函数y=的定义域是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的单调性、根式函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减，由此可解．【解答】解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，所以有0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查指数函数的单调性，对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），其单调性受a 的范围的影响．4．已知函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）= 2 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）=f（1﹣2×（﹣1））=4﹣2=2故答案为：2．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．已知函数y=log a（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标是．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】由log a1=0，知x+3=1，求出x，y，由此能求出点P的坐标．【解答】解：∵log a1=0，∴x+3=1，即x=﹣2时，y=﹣，∴点P的坐标是P．故答案为：【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．6．若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为a≤2．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则≤1，解得答案．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则≤1，即a≤2，故答案为：a≤2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7．已知函f（x）=，则f（f（））= ．【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础．8．计算： = 11 ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：原式=3++=3+4+22=11．故答案为：11．【点评】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则，属于基础题．9．已知a=0.4﹣0.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列c＜b ＜a ．（用“＜”连接）【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=x0.5在（0，+∞）单调递增判断，和中间变量0，判断．【解答】解：∵y=x0.5在（0，+∞）单调递增，∴0＜0.4﹣0.5＜0.50.5，∴0＜a＜b，∵c=log0.22＜0c＜b＜a故答案为：c＜b＜a【点评】本题考查了幂函数的单调性，对数的性质，属于容易题．10．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）= 3 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a，即可求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=（x+1）（x﹣a）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（﹣x+1）（﹣x﹣a）=（x+1）（x﹣a）∴x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a∴（a﹣1）x=0∴a=1，∴f（2）=（2+1）（2﹣1）=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题11．若函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则a的范围为（1，2）．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的底数大于0可得内函数t=4﹣ax为减函数，结合复合函数的单调性可得a＞1，求出内函数在[1，2]上的最小值，再由最小值大于0求得a的范围，取交集得答案．【解答】解：∵a＞0，∴函数t=4﹣ax为减函数，要使函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则外函数y=log a t为定义域内的增函数，∴a＞1，又内函数t=4﹣ax为减函数，∴内函数t=4﹣ax在[1，2]上的最小值为4﹣2a．由4﹣2a＞0，得a＜2．∴a的范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．12．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（4）（填相应的序号）．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；新定义．【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x）=为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；（2）f（x）=x2为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为（4）【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法13．设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，则n+m= ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可知﹣log2m=log2n，从而可得mn=1；从而解得．【解答】解：∵y=log2x在其定义域上单调递增，又∵f（x）=|log2x|，且m＜n，f（m）=f（n），∴﹣log2m=log2n，∴mn=1；∵f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，∴2log2n=4，故n=4，m=，n+m=；故答案为：．【点评】本题考查了对数函数的性质应用及绝对值函数的应用．14．函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：（其中M是非空实数集）．若非空实数集A，B满足A∩B=∅，则函数g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）的值域为{0} ．【考点】函数的值域．【专题】新定义．【分析】对g（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到g（x）的值域．【解答】解：当x∈A时，x∉B，但x∈（A∪B），∴f（A∪B）（x）=1，f A（x）=1，f B（x）=﹣1，∴g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）f B（x）=1+1×（﹣1）=0；当x∈B时，x∉A，但x∈（A∪B），∴f（A∪B）（x）=1，f A（x）=﹣1，f B（x）=1，∴g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）=1+（﹣1）×1=0；综上，g（x）的值域是{0}．故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了函数的值域、分段函数，解题的关键是对于新定义的函数f M（x）的正确理解，是新定义题目．二.解答题（共6小题，共90分）15．画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x2﹣2|x|﹣3．【考点】函数的图象；函数单调性的性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，从而写出单调区间；（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象，从而写出单调区间．【解答】解：（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，如下图；，f（x）=log2（x+1）的单调递增区间（﹣1，+∞）；（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象如下，故函数的单调递增区间（﹣1，0）和（1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了图象的变换．16．已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={y|y=，x∈A}．（1）求集合C；（2）若C⊈（A∩B），求a的值．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）由f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，求出A的集合，由集合B={x|ax ﹣1＜0，a∈N*}，求出B的集合，然后再由指数函数的性质求出集合C．（2）由集合A，集合B求出A∩B，再由C⊈（A∩B），即可得到a的值．【解答】解：由函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，得A=（﹣1，+∞），集合B={x|ax ﹣1＜0，a∈N*}={x|}，（1）集合C={y|y=，x∈A}，在（﹣1，+∞）上单调递减，则，则 C=；（2）由于a∈N*，B=，则，由C⊈（A∩B），得⇒a≤2．即a=1或2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．17．函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（1﹣x），…当x=0时，由于f（x）为奇函数，f（x）=0．综上，．…（少了x=0的情况得5分）（2）f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0⇒f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣5），由于f（x）为奇函数，则f（t2﹣2t）＜f（5﹣t2），…由于f（x）在R上单调递增，则t2﹣2t＜5﹣2t2⇒3t2﹣2t﹣5＜0…⇒．…【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．18．某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售，该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；（A）f（x）=ax2+bx（B）f（x）=log a x+b（C）f（x）=a x+b（2）若人均GDP为2千美元时，年人均M饮料的销量为6升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.5﹣8千美元的地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）考虑到A，B，C，D四个函数中只有A符合题意，因为B，C，D三个函数是单调函数．（2）用待定系数法求出A的解析式可得．（3）根据题中人均GDP的要求范围把x的取值分成三段，分别求出每一段的最大值，并比较去最大即可．【解答】解：（1）由于（B）、（C）、（D）三个函数，在[0.5，8]上均为单调函数，…而（A）为二次函数，不单调，故（A）更适合…（2）由题意a=﹣，b=4…则，x∈[0.5，8]…（3）设受事件影响后，各地区M饮料销售量为g（x），则当x∈[0.5，3]时，y= [﹣（x﹣4）2+8]，在x∈[0.5，3]上递增，所以y max=当x∈[5，8]时，y= [﹣（x﹣4）2+8]，在x∈[5，8]上递减，所以y max=当x∈（3，5）时，y= [﹣（x﹣4）2+8]，4∈（3，5），所以y max=比较大小得：当x=4时，y max=答：当人均GDP在4千美元的地区，人均A饮料的销量最多为．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值及比较出最值．19．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）利用参数分离法将不等式 f（2x）＞0恒成立，进行转化，求m的取值范围；（3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论．【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，是单调递减的．证明：设x1＜x2＜0，则===又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故当m=2时，在（﹣∞，0）上单调递减的．（2）由f（2x）＞0得，变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2而，当即x=﹣1时，所以．（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0）令作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：当或时，f（x）有1个零点．当或m=0或时，f（x）有2个零点；当或时，f（x）有3个零点．【点评】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．20．一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．（1）若[1，b]为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a＞﹣2）使函数h（x）=的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间[a，b]．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）求得g（x）的对称轴为x=1，可得g（x）在[1，b]上单调递增，即有b的方程，解方程可得b；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，可得a，b的关系式，解方程即可判断是否存在；（3）讨论①当a＜b＜0时，②当0＜a＜b时，③当a＜0＜b时，运用单调性，结合二次方程解方程可得a，b，进而得到所求区间．【解答】解：（1）g（x）=的对称轴为x=1，则g（x）在[1，b]上单调递增，可得⇒b=3或b=1，由于b＞1，则b=3；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，则即有⇒（a+2）b=（b+2）a⇒a=b与a＜b矛盾．故不存在这样的a，b；（3）①当a＜b＜0时，p（x）在[a，b]上单调递增，则即为则a，b0为方程的两个根．由于ab=﹣13＜0（舍）；②当0＜a＜b时，p（x）在[a，b]上单调递减，则即为，两式相减（舍）；③当a＜0＜b时，，若（舍），若p（x）min=p（a）=﹣a2+=2a，解得a=﹣﹣2或﹣2（舍去），又，则，综上所述，或．即有2倍保值区间[a，b]为[1，3]或[﹣﹣2，]．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
【全国百强校】江苏省扬州中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分．）1.已知命题"0,:"<∈∀x e R x p ，则p ⌝是 ．【答案】,0x x R e ∃∈≥【解析】试题分析：全称命题的否定，改成存在性命题，所以答案应填：,0xx R e ∃∈≥．考点：命题的否定．2.命题 “若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为 命题．（填“真”、“假”）【答案】假考点：逆命题．3．若椭圆1522=+my x 的一个焦点坐标为(1，0)，则实数m 的值等于______________． 【答案】4【解析】试题分析：焦点在x 轴上，1c =，所以51m -=，即4m =，所以答案应填：4．考点：椭圆的标准方程．4．“12<x ”是“10<<x ”成立的 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分【解析】试题分析：12<x 成立，推不出10<<x ；10<<x 成立，能推出12<x ，所以答案应填：必要不充分． 考点：充分条件、必要条件．5．在正方体1111D C B A ABCD -中，过B C A 11的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11C A 的位置关系为 .(填“平行”或“相交”或“异面”)【答案】平行考点：两个平面平行的性质定理．6．与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为______________． 【答案】221312x y -= 【解析】 试题分析：与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，设所求双曲线方程为224y x λ-=，代入点（2，2），得：3λ=，所以答案应填：221312x y -=． 考点：双曲线的几何性质．7．设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是______________． ①．若l ⊥m ，m ⊥α，则l ⊥α或 l ∥α ②．若l ⊥γ，α⊥γ，则l ∥α或 l ⊂α ③．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或 l 与m 相交 ④．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或l ⊂β【答案】②【解析】试题分析：若,l γαγ⊥⊥，考虑l 与α两种情形，l α⊂时，条件都满足，l α⊄时，推出//l γ正确，所以答案应填：②．考点：1、直线与面垂直性质；2、面与面垂直性质；3、直线与面平行判定．【方法点晴】本题主要考查的是空间线、面的位置关系，属于中档题．解题时一定要依据平行垂直的判定定理和性质定理，考虑全面，特别是特殊情形， 否则很容易出现错误．解决空间线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的高为______________．【答案】3考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．9．已知点A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，F 为椭圆的一个焦点，且x AF ⊥轴， =AF c (c 为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率是__________． 【答案】21-5 【解析】 试题分析：由题意不妨设(,)A c c ，代入椭圆方程得：22221c c a b +=，解得2e =e =，所以答案应填：21-5． 考点：1、椭圆的离心率；2、椭圆中222a b c =+．10．若1F ，2F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且6421=⋅PF PF ，则 21PF F ∠=______________． 【答案】3π 【解析】 试题分析：由双曲线定义知12-6PF PF =±，在12PF F ∆中，由余弦定理得：222121212121212+100(-)2100361281001cos 221282PF PF PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⋅-+-∠====⋅⋅，123F PF π∠=，所以答案应填：3π．考点：1、椭圆的定义；2椭圆的几何性质；3、余弦定理．【方法点晴】本题考查双曲线的定义与余弦定理的结合，属于中档题．首先应用双曲线定义12-6PF PF =±，再根据三角形中余弦定理，2212+PF PF 需要处理成定义中12-PF PF 的形式，在椭圆中也有类似应用，需要换成12PF PF +的形式，这是圆锥曲线中焦点三角形的常用处理方法．11．点),(y x P 为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则y x 3+的最大值为______________． 【答案】23考点：1、均值不等式；2、不等式等号成立的条件．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米，滴管内液体忽略不计. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下 滴．【答案】75【解析】试题分析：设每分钟滴下x 滴，则共有156x 滴，每滴体积344033ππ=，利用体积相等，223404923=1563x ππ⨯+⨯⨯⨯（）10，解得75x =，所以答案应填：75． 考点：1、空间组合体的体积2、球的体积．13．在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝3，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是______________．【答案】π9考点：1、正三棱锥性质；2、线面垂直；3、线线垂直；4、球的内接几何体、5、球表面积．【方法点晴】本题考查正三棱锥中线面，线线垂直的性质及球的有关知识，属于难题．首先应推出正三棱锥对棱垂直，再根据MN ⊥AM ，得到三条侧棱互相垂直，所以构造以三条侧棱为长宽高的正方体，由球的知识知，其体对角线就是球直径，从而求解．构造球内接长方体、正方体是常见处理球内接问题的方法．14．如图所示，,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||||BF CF =，则该双曲线的离心率是______________．【答案】210 【解析】 试题分析：由题意可得在直角三角形F AB 中，F O 为斜边AB 上的中线，即有22F 2c AB =OA =O =，设(),m n A ，则222m n c +=，又22221m n a b -=，解得：m =，2b n c =，即2)b A c ，由双曲线对称性知：2B()b c-,又F(c,0)，设C(x,y)，根据BF AC ⊥且||||BF CF =有2222221(()()y x c b c x c y c ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=-+⎪⎩，解得：22c b x c y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入代入双曲线方程，可得：222222222()()1c b c c a c b+-=223)b a a -=，再由222,c b a c e a =-=可得：222(21)(2)1e e --=，解得e =考点：1、直角三角形的性质；2双曲线的对称性；3；双曲线的离心率；4、双曲线的方程.【方法点晴】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率的求法，属于难题．注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意双曲线的对称性， 运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A 的坐标，由对称性得B 的坐标，由于F C B ⊥A 且F CF B =，求得C 的坐标，代入双曲线方程，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，求双曲线的离心率．二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分14分)设命题:{|}p a y y x R ∈=∈，命题:q 关于x 的方程20x x a +-=有实根．（1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．【答案】（1）[0,3] ；（2）1[,0)(3,)4-⋃+∞．当p真q假时有0314aa≤≤⎧⎪⎨<-⎪⎩a无解；当p假q真时有0314a aa<>⎧⎪⎨≥-⎪⎩或1304a a∴>-≤<或．∴实数a的取值范围是1[,0)(3,)4-⋃+∞．考点：1、复合命题的真假性；2、二次函数求值域； 3、二次方程根的判定．16.(本小题满分14分) 如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，A D与平面CDE所成角为︒30．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D-ACE的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3．331322131=⋅⋅⋅==∴--CDE A ACE D V V 考点：1、线面平行；2、线面垂直；3、线线垂直；4、三棱锥体积．17.(本小题满分14分) 已知命题p ：点(1,3)M 不在圆22()()16x m y m ++-=的内部，命题q ： “曲线2212:128x y C m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线222:11x y C m t m t +=---表示双 曲线”．（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围；（2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．【答案】（1）24-<<-m 或4>m ；（2）34-≤≤-t 或4≥t ．考点：1、复合命题的真假；2、充分条件、必要条件；3、不等式组．18.(本小题满分16分) 已知椭圆C :2222 1 (0)x y a b a b+=>>两个焦点之间的距离为2，且其离心率为. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅， 求ABF ∆外接圆的方程.【答案】(１)1222=+y x ；(２)122=+y x 或95)32()32(22=-+-y x .考点：1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、圆的标准方程；4、三角形的外接圆．19.(本小题满分16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，侧面PBC ⊥底面ABCD ，点M 在AB 上，且2:1:=MB AM ，E 为PB 的中点．（1）求证：CE ∥平面ADP ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PAB ；（3）棱AP 上是否存在一点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，若存在，求出NPAN 的值；若不存在，请说明理 由．【答案】(1)证明见解析； (2) 证明见解析；(3) 存在，74 NP AN ．考点：1、线面平行；2、面面垂直；3、线面垂直；4、平行线分线段成比例．【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、线面平行、面面垂直和线线平行及平行线分线段成比例，属于难题．解题时一定要注意平面几何知识在立体几何中的应用，本题第三步特别考查了平行线分线段成比例及其逆定理，要注意使用；线面平行一般都要转化成找线线平行，面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线及两条平行直线中一条和面垂直．20.(本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1()0>>b a 的离心率为22，直线l ：y =21x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB =54，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．（1）求a ，b 的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】（1）a =b =（2）证明见解析．（2）由（1）知，椭圆E 的方程为1122422=+y x ，从而A （4，2），B （﹣4，﹣2）； ①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C （x 0，y 0），显然k 1≠k 2；21162816442422020202000001-=--=--=++⋅--=⋅x x x y x y x y k k CB 所以k CB =﹣； 同理k DB =﹣， 于是直线AD 的方程为y ﹣2=k 2（x ﹣4），直线BC 的方程为y+2=﹣（x+4）； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+∴1228412488)4(2)4(212212212112121k k k k k y k k k k k x x k y x k y 从而点N 的坐标为)12284,12488(2122121121++--+--k k k k k k k k k k ；考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、分类讨论；4、直线的斜率．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题．解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识．：。
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2014-2015学年江苏省镇江市扬中中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．（5分）过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为．2．（5分）过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为．3．（5分）已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为．4．（5分）已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m=．5．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．6．（5分）若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=．7．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．8．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为．9．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．11．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n=．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx ﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是．13．（5分）已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．14．（5分）已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．17．（14分）（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．18．（16分）已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．19．（16分）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省镇江市扬中中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．（5分）过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为2x+y+1=0．【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直线方程为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．2．（5分）过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5．【解答】解：由于所求的圆经过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0），故圆心在直线x=﹣2上，又在y=1上，故圆心的坐标为M（﹣2，1），半径为MO=，故要求的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，故答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5．3．（5分）已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为5．【解答】解：∵△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），∴BC边的斜率k BC==﹣，∴BC边上的高AD的斜率k AD=，∴直线AD：y﹣4=，整理，得3x﹣4y+10=0，直线BC：，整理，得4x+3y+5=0，联立，得D（﹣2，1），∴|AD|==5．故答案为：5．4．（5分）已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m=﹣7．【解答】解：当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故答案为：﹣7．5．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是②④（写出所有真命题的序号）．【解答】解：①若l∥α，m⊂α，则l与m平行或异面，故①错误；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则由直线与平面平行的性质得l∥m，故②正确；③若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故③错误；④若l⊥α，m∥α，则由直线与平面垂直的性质得l⊥m，故④正确．故答案为：②④．6．（5分）若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=±3．【解答】解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案为：±3．7．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为（﹣4，﹣2）．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．9．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：11．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n=5．【解答】解：抛物线标准方程x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．设p到准线的距离为PN，（即PN垂直于准线，N为垂足），则M=|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=4，此时P（2，1），∴n=1，则M+n═5故答案为：5．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx ﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【解答】解：圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=9与直线y=kx﹣3有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣3的距离为d，则d=≤3，即7k2﹣24k≤0，∴0≤k≤，∴k的最大值是．故答案为：．13．（5分）已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．【解答】解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系，设C（m，0），则B（﹣m，0），A（0，n），由中点坐标公式可得D（，），由题意可得BD2=（）2+（）2=4，∴三角形的面积S=mn=••≤•=当且仅当=即n=3m时取等号，∴三角形的面积的最大值为故答案为：14．（5分）已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得：++2≥0，为任意实数；由②得：+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．【解答】证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．…（2分）因为AA1⊥AD，AA1∥CC1，所以AD⊥CC1，…（4分）因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1，…（6分）因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1…（7分）（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B …（9分）因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，…（12分）所以A1B∥平面ADC1…（14分）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．【解答】证明：（1）取PC中点F，连接EF，BF，∵E为PD中点，∴EF∥DC且EF=．∵AB∥DC且，∴EF∥AB且EF=AB．∴四边形ABFE为平行四边形．∴AE∥BF．∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC．（2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD．∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD．∵AP=AD，E为PD的中点，∴PD⊥AE．∵AE∩AC=A，∴PD⊥平面ACE．17．（14分）（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．18．（16分）已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴=（﹣2，﹣2），=（﹣2，2），∴，则△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，解得k=0或，…（8分）故直线l的方程为y=4或4x﹣3y+12=0．…（10分）（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为；…（12分）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，∵圆心到直线y=kx+4的距离，由勾股定理得，解得，…（14分）故直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．…（16分）19．（16分）已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）圆…（1分）据题意：…（2分）因为CM⊥AB，⇒k CM•k AB=﹣1，k CM=﹣1，⇒k AB=1所以直线l的方程为x﹣y+1=0…（4分）（2）与直线l平行且距离为的直线为：l1：x﹣y+3=0过圆心，有两个交点，…（6分）l2：x﹣y﹣1=0与圆相交，；…（8分）（3）设…（12分）据题意：两个圆相交：…（14分）且，所以：…（16分）20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴，于是a2=3b2．设椭圆C上任一点P（x，y），则（﹣b≤y≤b）．当0＜b＜1时，|PQ|2在y=﹣b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4，由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去．当b≥1时，|PQ|2在y=﹣1时取到最大值，且最大值为3b2+6，由3b2+6=9解得b2=1．于是a2=3，椭圆C的方程是．（2）圆心到直线l的距离为，弦长，∴△OAB 的面积为，于是．而M（m，n）是椭圆上的点，∴，即m2=3﹣3n2，于是，而﹣1≤n≤1，∴0≤n2≤1，1≤3﹣2n2≤3，∴，于是当时，S2取到最大值，此时S 取到最大值，此时，．综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB 的面积最大，且最大值为．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：PABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。