参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标

参数方程知识回顾：

一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，

即 ⎩

⎨

⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：

中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

θθ

sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角）

，

特殊地，当圆心是原点时，θ

θ

sin cos r y r x ==

注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1：已知点P （x ，y ）是圆x 2

+y 2

-6x-4y+12=0上的动点，求：

（1）x 2

+y 2

的最值；（2）x+y 的最值；（3）点P 到直线x+y-1=0的距离d 的最值。 Eg2：将下列参数方程化为普通方程

（1） x=2+3cos θ （2） x=sin θ （3） x=t+t

1

y=3sin θ y=cos θ y=t 2

+

21t

总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：

中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：

θ

θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）

注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程：

θ

θsin cos 00b y y a x x +=+=

Eg ：求椭圆20

362

2y x +=1上的点到M （2,0）的最小值。 3、双曲线的参数方程：

中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： θ

θ

tan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角），中心在

（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θ

θtan sec 00b y y a x x +=+=

4、抛物线的参数方程：

顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：

pt y pt x 222

== （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）

直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程

过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点

P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程 αα

sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，

t 的几何意义为有向距离）

说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧

②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式：

bt

y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当t 前面系

数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得

)

()

(222

20222

20t b a b a b

y y t b a b a a x x +++

=+++

=，让t b a 22+作为t ，则此时t 的几何意义是有向距

离。

Eg ：求直线 x=-1+3t

y=2-4t ，求其倾斜角. 极坐标知识回顾：

一、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点 A （1，

4π）B （2，23π）C （3，-4

π

）

思考：上述点关于极轴以及极点的对称点

说明：（1）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．

（2）在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应唯一点P(ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不唯一，因为θ具有周期.

（3）如无特殊要求，则极径取正值.

直角坐标与极坐标的互化： 直角坐标（x ，y ）→极坐标（ρ，θ）

图1

ρ=2

2y

x+

tanθ=

x

y

极坐标（ρ，θ）→直角坐标（x，y）

x=ρθ

cos

y=ρθ

sin

练习1：将下列直角坐标化为极坐标

A（1，-1） B（1，π）

练习2：将下列极坐标化为直角坐标

A（2，

3

2π

） B（1，2）

练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标

（1）（4，

3

π

）（6，-

3

2π

）；（2）（4，

3

π

）（6，

3

2π

）

二、直线的极坐标方程

⑴

ϕ

θ=或

ϕ

θ=+π⑵ρ

a

=⑶ρ=

⑷

θ

ρ

sin

a

=⑸

θ

ρ

sin

a

-

=

三、圆的极坐标方程

ϕ

θ=

θ

ρ

cos

a

=

O

θ

ρ

cos

a

-

=

θ

ρ

sin

a

=

图4

θ

ρ

sin

a

-

=

图5