基于线性相关思想的属性约简算法
基于属性重要性的粗糙集属性约简方法
基于属性重要性的粗糙集属性约简方法廖启明;龙鹏飞【摘要】Attribute reduction in information system is an important step during knowledge acquisition using Rough set. This paper focuses on the research of feature selection, deleting superfluous attributes in an information system. The new algorithm begins with the attribute significance, adopting iterative feature selection standard, making the selected feature attribute set get smaller, thus it acquires the reduction of information system. The experiment demonstrates that this method is feasible and effective.% 信息系统中的属性约简是粗糙集知识发现的一个重要步骤。
致力于研究一个信息系统中的特征选择、删除冗余属性。
新的算法从属性重要性出发，采用迭代特征选择的标准，使得选择特征属性集不断缩小，获得信息系统的约简。
通过实验证明该方法可行，有效。
【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2013(000)015【总页数】3页(P130-132)【关键词】信息系统;属性重要性;属性约简;核属性【作者】廖启明;龙鹏飞【作者单位】长沙理工大学计算机与通信工程学院，长沙 410114;长沙理工大学计算机与通信工程学院，长沙 410114【正文语种】中文【中图分类】TP311粗糙集理论[1]是由波兰数学家Z.Pawlak在1982年提出的，该理论是一种刻画不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。
基于布尔矩阵的初等行变换的知识约简算法
基于布尔矩阵的初等行变换的知识约简算法
王道林
【期刊名称】《计算机应用》
【年(卷),期】2007(27)9
【摘要】给出了布尔矩阵的初等行变换定义,建立了线性逻辑方程组形式的属性约简模型,用布尔矩阵的初等行变换把系数矩阵化为最简矩阵,给出了用系数矩阵和最简矩阵判定绝对必要属性、相对必要属性和绝对不必要属性的三个充分必要条件,并由此提出了一种知识约简的快速算法.
【总页数】3页(P2267-2269)
【作者】王道林
【作者单位】泰山学院,信息科学技术系,山东,泰安,271021
【正文语种】中文
【中图分类】TP311.131
【相关文献】
1.基于自适应遗传算法的粗糙集知识约简算法 [J], 潘伟;王云峰;伞冶
2.基于事务权重与布尔矩阵的Apriori改进算法 [J], 曹宋阳;刘磊;王亚刚
3.基于布尔矩阵的决策表属性约简算法 [J], 袁红丽; 陈志佳
4.基于布尔矩阵约简的Apriori算法改进研究 [J], 廖纪勇; 吴晟; 刘爱莲
5.基于事务权重与布尔矩阵的Apriori改进算法 [J], 曹宋阳[1];刘磊[1];王亚刚[1]因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
约简 算法
约简算法
约简算法，又称为化简算法，是一种在计算机科学和数学领域中常用的算法。
它用于
对复杂的问题进行简化，以便更容易解决。
约简算法通常会将问题转化为更简单的形式，
这样就可以更快地找到解决方案。
约简算法在各种领域都有广泛的应用，包括计算机科学、人工智能、数学、物理学等。
它们能够帮助研究人员和工程师解决各种复杂的问题，提高工作效率。
在计算机科学领域中，约简算法可以用于简化数据结构和算法，以提高程序的效率和
性能。
在人工智能领域，约简算法可以用于简化复杂的决策问题，从而提高智能系统的表现。
在数学领域，约简算法可以用于简化复杂的方程和问题，从而更容易地找到解决方案。
在物理学领域，约简算法可以用于简化复杂的物理模型，以便更容易地理解和预测物理现象。
约简算法的核心思想是找到问题的关键特征，然后将其突出显示，而忽略细枝末节。
通过这种方式，可以有效地减少问题的复杂性，从而更容易地解决它。
采用这一策略，可
以大大简化问题的求解过程，提高解决问题的效率。
在实际应用中，约简算法需要研究人员和工程师具备较强的抽象思维能力和逻辑推理
能力。
他们需要深入理解问题的本质，找到问题的关键特征，然后将其简化，以便更容易
解决。
约简算法是一种非常重要的算法，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过约简算法，
研究人员和工程师可以更快地找到解决复杂问题的方法，提高工作效率，推动科学技术的
发展。
我们应该重视约简算法的研究和应用，不断探索其更深层次的原理和方法，以更好
地满足不同领域的实际需求。
二元函数的线性相关性
二元函数的线性相关性线性相关性是描述两个二元函数之间的关系的一个重要指标。
当两个二元函数存在线性相关性时，它们的图像可以通过一个线性方程描述。
具体来说，对于两个二元函数f(x)和g(x)，如果存在不全为零的常数a和b，使得对于所有的x，有af(x)+bg(x)=0，我们称f(x)和g(x)是线性相关的。
线性相关性对于多个二元函数也同样适用。
对于n个二元函数f1(x)，f2(x)，...，fn(x)，如果存在不全为零的常数a1，a2，...，an，使得对于所有的x，有a1f1(x)+a2f2(x)+...+anfn(x)=0，我们称f1(x)，f2(x)，...，fn(x)是线性相关的。
线性相关性的研究在数学、物理学、工程学等许多学科中具有重要的意义。
下面我们将从不同的角度探讨二元函数的线性相关性。
1.线性相关性的定义和性质：线性相关性的定义在前文已经给出。
除了这个定义外，线性相关性还有以下性质：1.1 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的线性组合也是线性相关的。
即对于任意的常数a和b，有af(x)+bg(x)=0，则对于任意的常数c和d，有caf(x)+dbg(x)=0。
1.2 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的导数也是线性相关的。
即若有af(x)+bg(x)=0，则有a'f'(x)+b'g'(x)=0。
1.3 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的积分也是线性相关的。
即若有af(x)+bg(x)=0，则有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=0。
2. 线性相关性的判断：对于给定的二元函数f(x)和g(x)，我们如何判断它们是否线性相关呢？最常用的方法是求解它们的Wronskian行列式。
具体步骤如下：2.1计算f(x)和g(x)的导数f'(x)和g'(x)。
2.2 构造Wronskian行列式W(f,g)(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x)。
属性约简(MATLAB算法)有实例有讲解
粗糙集属性约简注：这是我学粗糙集时老师给的作业属性约简的顺序如下：求正域、生成未经处理的区分矩阵、对区分矩阵进行化简、求核、对已经处理过的区分矩阵进行属性约简。
约简后的决策表有26行,所有12个属性都是正域中的属性，核为空程序:% main.mtic;a=[ 1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1;1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0;0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0,1;1,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1;1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,0,1;1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1;1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,0,1;1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1;1,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1 ];d=[1;0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1];pos=posCD(a,d);dismat=dismatrix(a,d,pos);dism=disbe(dismat);core=cor(dism); [red,row]=redu(dism); time=toc% dismatrix.m% 生成未经处理的区分矩阵dismatfunction dismat=dismatrix(a,d,pos)[m,n]=size(a);p=1;index1=0;index2=0;index=0;dis=-1*ones(m*(m-1)/2,n);for i=1:mfor j=i+1:mif (isxbelongtopos(i,pos)&~isxbelongtopos(j,pos))...|(~isxbelongtopos(i,pos)&isxbelongtopos(j,pos)). ..|(isxbelongtopos(i,pos)&isxbelongtopos(j,pos)&~i sxybelongtoindD(i,j,d))index2=1;endif index2==0continue;endfor k=1:nif a(i,k)~=a(j,k)dis(p,k)=1;index1=1;else dis(p,k)=0;endendif index1==1p=p+1;index=1;endindex1=0;index2=0;endendif p<=m*(m-1)/2if index==0dismat=[];return;endif dis(p,1)==-1p=p-1;endelse p=m*(m-1)/2;enddismat=dis(1:p,:);% redu.m% 对已经处理过的区分矩阵进行知识约简function [red,row]=redu(dism)[m,n]=size(dism);red=[];row=0;if m<=0return;endfor i=1:nif dism(1,i)~=0row=row+1;endendred(1:row,:)=zeros(row,n);j=1;for i=1:rowwhile dism(1,j)==0j=j+1;endred(i,j)=1;j=j+1;endtemp=[];tempdis=[];rowd=0;rowd1=0;for i=2:mj=1;while j<=rowtemp=uni(dism(i,:),red(j,:));[s,n]=size(temp);rowd1=rowd+s;tempdis(rowd+1:rowd1,:)=temp;rowd=rowd1;j=j+1;temp=[];endred=[];red=disbe(tempdis);tempdis=[];[row,n]=size(red);rowd=0;rowd1=0;end% disbe.m% 对区分矩阵或者约简矩阵进行化简即去掉包含关系function dism=disbe(dis)[m,n]=size(dis);p=m;for i=1:mif dis(i,1)~=-1for j=1:mif i~=j & dis(j,1)~=-1if dis(i,:)<=dis(j,:)dis(j,1)=-1;p=p-1;elseif dis(i,:)>=dis(j,:)dis(i,:)=dis(j,:);dis(j,1)=-1;p=p-1;endendendendenddism=ones(p,n);j=1;for i=1:pwhile j<=m & dis(j,1)==-1j=j+1;enddism(i,:)=dis(j,:);j=j+1;end% posCD.m% a为条件属性矩阵，d为决策属性向量% pos为正域,保存条件属性矩阵的索引值function pos=posCD(a,d)[m,n]=size(a);p=m;index=0;for i=1:mif a(i,1)~=-1for j=i+1:mif a(j,1)~=-1 &(a(i,:)==a(j,:)&d(i)~=d(j))a(j,1)=-1;p=p-1;index=1;endendif index==1a(i,1)=-1;p=p-1;index=0;endendendpos=zeros(p,1);i=1;for r=1:pwhile a(i,1)==-1&i<=mi=i+1;endpos(r)=i;r=r+1;i=i+1;end% cor.m% 对已经处理过的区分矩阵求核function core=cor(dism)[m,n]=size(dism);core1=zeros(1,n);number=0;for i=1:mnum=0;p=0;for j=1:nif dism(i,j)~=0num=num+1;p=j;endendif num==1core1(p)=1;number=number+1;endendif number==0core=0;elsecore=zeros(1,number);j=1;for i=1:numberwhile core1(j)==0j=j+1;endcore(i)=core1(j);j=j+1;endend% uni.m%对区分矩阵的第i行和red(j,:)运算，即将a中%所有的1分别插入到red(j,:)中，待去掉包含关系function tempred=uni(disa,red)[m,n]=size(red);num=0;for i=1:nif disa(i)~=0num=num+1;endendtempred=ones(m*num,n);temp=[];j=1;for i=1:numwhile disa(j)==0j=j+1;endtemp=red;temp(:,j)=ones(m,1);tempred((i-1)*m+1:i*m,:)=temp;j=j+1;end% isxbelongtopos.m% 判断x是否在正域pos中% x为索引值% 返回值p，如果x在pos中p=1否则p=0 function p=isxbelongtopos(x,pos)[m,n]=size(pos);p=0;if x<=0p=-1;return;endfor i=1:mif x==pos(i)p=1;break;endend% isxybelongtoindD.m% 判断x,y是否在indD中% x,y为索引值% 返回值p，如果x,y在indD中p=1否则p=0 function p=isxybelongtoindD(x,y,d)if x<=0 | x>size(d) | y<=0 | y>size(d) p=-1;return;endif d(x)==d(y)p=1;else p=0;end约简后的决策表如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
属性约简
粗糙集的研究对象是一个数据集，数据集一般被保存为数据表格形式，即数据库或信息系统。
信息系统的形式是由研究对象和属性值关系构成的二维数据表，类似于基础数学中的关系数据库。
信息系统实现了粗糙集模型的知识表示。
定义 2.1.1[46] 设(,,,)S U A V f =为一个数据库，即信息系统，也称为知识表示系统。
其中12{,}U U x x x = 为一个非空的有限对象集，12{,,}A A a a a = 是属性的有限非空集合，a V V =⋃，a A ∈，a V 为属性a 的值域；定义信息函数:U V c a f A ⨯→ .例如表2.1.1是一个信息系统，其中12345{,,,,}U x x x x x =，1234{,,,}A a a a a =，123a a a V V V ==={0,1}，4a V ={0,1,2}.表2.1.1 信息系统定义2.1.2[46] 对于a A ∀∈，x U ∀∈，(,)a f x a V ∈，对于P A ∀∅≠⊆，定义：{(,):(,)(,),}I x y U U f x q f y q q P =∈⨯=∀∈，I U 称为上的不可分辨关系。
(1)若(,)x y I ∈，则称：x y 和是不可分辨的。
(2)不可分辨关系是等价关系，具有：自反性：xIx ； 对称性：xIy yIx ⇒；传递性：,xIy yIz xIz ⇒ ．(3) I 是U 上的一个等价关系，[]{,}I x y y U xIy =∈，12{[]}{,}I k U I x x U X X X =∈= ，12,k X X X 称为U 关于I 的一个划分。
(4)P I ∅≠⊆,1,2I I I ∈, 112{,}k U I X X X = ,212{,}l U I Y Y Y = ,12{,1,2,1,2}i j U I I X Y i k j l ⋂=⋂== ,()I Pind P I P ∈== ，则称：()ind P U 是上的一个等价关系，称为P 上的不可区分关系。
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定在空间向量中，我们可以通过线性相关性的判定来确定向量组是否存在不必要的向量。
这对于数学学习和应用来说都是非常有用的，因此本文将介绍空间向量间的线性相关性判定的基本概念和推导过程。
一、向量的线性组合首先我们需要了解向量的线性组合是什么。
向量的线性组合是指通过给定的若干个向量，分别乘以相应的标量，然后将它们相加而得到的新向量，例如：设有向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)和c=(c1,c2,c3)，则它们的线性组合可以表示为：λ1a + λ2b + λ3c = (λ1a1 + λ2b1 + λ3c1, λ1a2 +λ2b2 + λ3c2, λ1a3 + λ2b3 + λ3c3)其中λ1、λ2和λ3是实数，称为向量a、b和c的系数。
二、向量的线性相关与线性无关在了解了向量的线性组合之后，我们来看什么是向量的线性相关和线性无关。
如果存在一组不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得向量组V1，V2，……，Vn的线性组合为0，即：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么我们称向量组V1，V2，……，Vn是线性相关的；否则，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时向量组的线性组合才为0，我们就称向量组V1，V2，……，Vn是线性无关的。
换句话说，如果存在不全为0的系数使得线性组合为0，那么向量组就是线性相关的；如果要使得线性组合等于0，必须每一项的系数都为0，那么向量组就是线性无关的。
三、判断向量组的线性相关性现在让我们来看如何判断向量组的线性相关性。
在三维空间中，设有向量组V1，V2，……，Vn，我们想要判断它们是否线性相关。
如果存在不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性相关的。
反之，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性无关的。
线性相关判断方法总结
线性相关判断方法总结线性相关是线性代数中一个非常重要的概念，它指的是向量空间中的向量之间存在一定的线性关系。
线性相关性的判断对于矩阵的求解、方程组的解法、以及向量空间的性质等方面都有着重要的意义。
在实际应用中，我们经常需要对向量的线性相关性进行判断，因此掌握线性相关判断方法是非常重要的。
一、向量的线性相关性定义。
在向量空间V中，如果存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得。
k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。
其中a1、a2、…、an为向量，则称向量a1、a2、…、an线性相关。
二、线性相关判断方法总结。
1. 行列式法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，构造矩阵M=[a1, a2, …, an]，计算M的行列式值，如果行列式值不为0，则向量组A线性无关，否则线性相关。
2. 向量组的线性表示。
判断向量组A={a1, a2, …, an}是否线性相关，可以将向量组中的向量表示为线性组合，然后判断线性组合的系数是否存在非零解。
如果存在非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
3. 矩阵的秩。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的矩阵M的秩与向量的个数进行比较，如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关，否则线性无关。
4. 线性方程组。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的线性方程组Ax=0进行求解，如果方程组有非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
5. 内积法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，计算任意两个向量的内积，如果存在内积为0的向量对，则向量组线性相关，否则线性无关。
三、线性相关判断方法的应用。
线性相关判断方法在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、工程学、物理学等领域中都能够看到相关的应用。
在数据分析中，线性相关性的判断可以帮助我们理解变量之间的关系，进而进行合理的数据处理和分析。
在机器学习领域，线性相关性的判断也是非常重要的，它可以帮助我们筛选出对模型训练有意义的特征变量，提高模型的预测准确性。
向量组线性相关的几种证明方法
郑州航空工业管理学院毕业论文设计2011届数学与应用数学专业0711061 班题目向量组线性相关的几种证明方法姓名王守玉学号071106128 指导教师刘燕职称讲师2011 年 4 月19 日内容提要向量组的线性相关性在线性代数中是一块基石在它的基础上我们可以推导和衍生出其他许多理论.所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法可以帮助我们更好的理解其他理论知识.本文从介绍向量组线性相关性的定义着手论述了若干种判定证明向量组线性相关的方法例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组的线性相关性的判定并比较了不同判定方法的适用条件及范围. 向量组线性相关性的证明理论作为数学知识中的基础理论在现实世界中有着深入的广泛应用.所以熟练地掌握向量组线性相关性的证明方法是很重要的. 关键词向量组线性相关行列式判定方法矩阵线性方程组等. Several Methods for Judging the Related Linearity of Vectors Group AuthorWang shou yu The guidance of teachersLiu yan Abstract The Related Linearity of Vectors Group in Linear Algebra is one cornstonethe basis of its derivation and derived from our many other theories.So skilled master linear vector to determine the relevance of the method helps us to better understand the other theories.This article from the Vector Groupintroduced the definition of a linear correlation to proceedand discussed a number of Vector Group to determine the method of linear correlation.For examplethe definition of the use of linear correlationthe value of the determinantrank of matrixhomogeneous solution of linear equations applied to vector groupssuch as knowledge of the linear correlation found.And compare different methods to determine the conditions and scope of the application. Vector Group to determine the linear correlation of theoretical knowledge as the basis of mathematical theoryin the real world with extensive use of depth.So it is very important to hold the methods for judging the related linearity of vectors group masterly. Key wordsVectors group Related dependence Determinant Judging method Matrix Solution of system of linear equations 目录第一章绪论……………………………………………………………1 第二章向量组线性相关性的定义及性质.…………………………2 第三章向量组线性相关性的证明方法…….……….………………6 3.1 利用定义法证明..………….……….…….……………….…6 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系证明………….……………6 3.3 利用齐次线性方程组的解证明……………….………………7 3.4 利用矩阵的秩证明向量组线性相关性…………………………7 3.5 利用行列式的值来证明向量组线性相关性……………………9 3.6 方程组法………………………………………….…………11 3.7反正法…………………………………………….………12 第四章向量组线性相关的具体应用…………………………….……….13 结论与展望…………………………………………………..………16 致谢………………………………………………………………….…17 参考文献………………………………………………………………18 1 向量组线性相关的几种证明方法作者071106128 王守玉指导教师刘燕讲师第1章绪论线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现如解析几何、高等代数和常微分方程中等等.它是线性代数理论的基本概念它与向量空间包括基、微数、子空间等概念有密切关系同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用.因此掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义也是解决问题的重要的理论根据.向量组的线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关. 在线性代数中向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用.它可以将线性代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起.若能熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解线性代数的各部分知识理清线性代数的框架做到融会贯通. 本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法从定义及性质下手熟悉了一些重要理论从而能在各领域中得到更好的运用.本文的第二章就是介绍了向量组线性相关的定义以及相关理论熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质.而本文的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法比较了不同判定方法的优劣及适用范围并给出了一些详细证明附带了一些证明题和例题2 从而能更深刻地熟悉这些理论知识.第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用.而后面的就是结论与展望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献. 第2章向量组线性相关性的定义及性质定义2.1 给定向量组12:mAaaa如果存在不全为零的数12mkkk使1122mmkakaka0 则称向量组是线性相关的否则称它为线性无关. 注1说向量组12maaa线性相关通常是指2m的情形.但上述定义也适用于1m的情形.当1m时向量组只含有一个向量对于只含一个向量a的向量组当a0时是线性相关的当a0时是线性无关的.对于含2个向量12aa的向量组它线性相关的充分必要条件是12aa的分量对应成比例其几何意义是两向量共线.3个向量线性相关的几何意义是三向量共面. 注2向量组12:2mAaaam线性相关也就是在向量组A中至少有一个能由其他1m个向量线性表示.这是因为如果向量组A线性相关则有不全为0的数12mkkk使2-1式成立.因12mkkk不全为0不妨设10k于是便有12211mmakakak 即1a能由2maa线性表示. 如果向量组中有某个向量能由其余1m个向量线性表示不妨3 设ma能由11maa线性表示即有11m使112211mmmaaaa于是11111mmmaaa0 因为111m这m个数不全为0至少10所以向量组是线性相关的. 注3向量组的线性相关与线性无关的概念也可用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时这个方程就是多余的这时称方程组是线性相关的当方程组中没有多余方程就称该方程组线性无关. 向量组12:mAaaa构成矩阵12mAaaa向量组A 线性相关就是齐次线性方程组1122mmxaxaxa0即Ax0有非零解. 只有充分理解了向量组线性相关的定义我们才能找到不同的判定方法来判定某组向量是否是线性相关的并比较不同的判定方法的适用条件. 向量组线性相关的性质特征性质1向量组12:mAaaa线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余1m个向量线性表示. 性质2对于各分量都给出的向量组12:mAaaa若以123mAaaaa为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0有非零解向量则此向量组12:mAaaa是线性相关的.若以123mAaaaa为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0只有零解向量则此向量组12:mAaaa 4 是线性无关的. 设向量组12:mAaaa是由m个n维列向量所组成的向量组则向量组的线性相关性可由向量组所构成的矩阵123mAaaaa的秩的大小来判定.即 1 当RAm时则向量组12:mAaaa是线性无关的. 2 当RAm时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 这是经常用到的一种判定相关性的方法. 我们将向量12naaa几行排成矩阵12...TTTTnaaABa 为阶梯型矩阵则有定理2.1 向量组12naaa线性相关的充分必要条件是矩阵中出现零行. 证明阶梯型矩阵中出现零行矩阵TA的秩TRAnTRARAn齐次线性方程组1122nnaxaxax0有非零解向量组12naaa线性相关. 推论2.1 向量组12naaa线性无关的充分必要条件是矩阵B中不出现零行. 对矩阵TA进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程其实就是对12naaa进行向量的线性运算.如果中出现零行则向量组12naaa中一定有某个向量能被其余的1n个向量线性表示从而知向量组12naaa 是线性相关的反之如果B中没有零行则向量组5 12naaa中没有任何一个向量能被其他的1n向量线性表示从而知12naaa是线性无关的. 推论2.2 如果向量组12naaa中含有零向量则向量组12naaa是线性相关的. 推论2.3 如果向量组12naaa中有个部分组12mkkkaaa其中1212iknimmn线性相关则向量组12naaa也一定线性相关. 性质3若向量组12:mAaaa是由m个n维列向量所组成的向量组且向量组A所构成的矩阵123mAaaaa即A为m阶方阵则1当0A时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 2当0A时则向量组12:mAaaa是线性无关的. 若向量组12:mAaaa的个数m与维数n不同时则1当mn时则向量组12:mAaaa是线性相关的. 2当mn时转化为上述来进行判定即选取m个向量组成的m维向量组若此m维向量组是线性相关的则添加分量后得到的向量组也是线性相关的. 性质4对于各分量都给出的向量组12s线性相关的充要条件是以12s 的列向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解若齐次线性方程组只有零解则向量组线性无关. 第三章向量组线性相关性的证明方法6 3.1 利用定义法证明这是证明向量组的线性相关性的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组也适用于分量已经给出的具体向量组. 例3.1设112223334baabaabaa441baa证明向量组1234bbbb线性相关. 证明设存在4个数1234kkkk使得11223344kbkbkbkb0 将112223334441baabaabaabaa代入上式有112223334441kaakaakaakaa0 141122233344kkakkakkakka0取132411kkkk则有11223344kbkbkbkb0 由向量组线性相关的定义可知向量组1234bbbb线性相关. 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系证明根据上一章讲到的性质1我们带入上一例题中比如取132411kkkk则1234bbbb即1b可由234bbb三个向量线性表示所以向量组1234bbbb线性相关.这种证明方法就是利用向量组内向量之间的线性关系进行证明的. 3.3 利用齐次线性方程组的解证明在应用定义法解一个齐次线性方程组需由该方程组是否有非零7 解来证明向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定. 例3.2证明向量组1232105754137411aaa线性相关. 证明以123aaa为系数向量的齐次线性方程组是112233xaxaxa0即1231232312327305704405110xxxxxxxxxxx 利用矩阵的谐醯缺浠唤 匠套榈南凳 卣驛化为行阶梯型矩阵即1212122527315715727304404451115111rrrrrrA23324421171412415715715701717011 01104401100002424011000rrrrrrr 由行阶梯型矩阵可知23RA即齐次线性方程组有非零解所以向量组123aaa线性相关. 3.4 利用矩阵的秩证明向量组线性相关性上一章讲到的定理2.1和推论2.1推论2.2推论2.3充分的告诉了我们如何根据矩阵的秩证明向量组的线性相关性. 例3.3证明向量组123134752453246753aaa的线性无关. 证明将123aaa以行排成矩阵8 1231347513475245320231184675300001aAaa 矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行则123aaa中每个向量都不能被剩下的向量线性表示故由推论知向量组123aaa是线性无关的. 我们注意到定理中的矩阵TA 在初等行变换的过程中不论是否化成了阶梯型矩阵一旦出现零行就可以断定12naaa中必有一个向量能被其余剩下的n-1个向量线性表示从而知向量组12naaa线性相关. 例3.4证明向量组123413215224691127413595aaaa的线性相关. 证明将1234aaaa以行排成矩阵12341321513215224690408111274000001359513595aaAaa 所以矩阵A经过初等行变换后出现了零行则1234aaaa中必有一向量可以由其余的向量线性表示氏蛄孔?234aaaa是线性相关的. 例3.5设12311112313TTTaaat问当t为何值时向量组123aaa 线性相关并将3a表示为1a和2a的线性组合. 解利用矩阵的秩有123Aaaa11111111112301201213021005ttt 可见当5t时向量组123aaa线性相关并且有9 111101012012000000A所以3122aaa 利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同但实质上是一样的都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵从而求出向量组的秩即系数矩阵的秩然后再作出判定. 3.5 利用行列式的值来证明向量组线性相关性例3.6已知123111025247TTTaaa试讨论123aaa的线性相关性. 证明令123Aaaa则1021240157A所以123aaa线性相关. 行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解然后再对向量组的线性相关性作出判定所以能应用行列式值进行判定的向量组也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 例3.7已知向量组123:Aaaa是线性无关的且有112223331baabaabaa证明向量组123bbb线性无关. 证明一设有123xxx使得112233bxbxbx0即112223331xaaxaaxaa0整理为131122233xxaxxaxxa0 10 因为123aaa是线性无关的所以131223000xxxxxx由于此方程组的系数行列式10111020011故方程组只有零解1230xxx所以向量组123bbb线性无关. 证明二将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式123123*********bbbaaa 记作BAK.设Bx0以BAK代入AKx0.因为矩阵A的列向量组线性无关所以可推知Kx0.又因为20K知方程Kx0只有零解0x所以矩阵B的列向量组123bbb线性无关. 证明三将已知条件可以写为123123*********bbbaaa 记做BAK因为0k所以k可逆由矩阵的秩的性质可知RARB且3RA由此3RB所以B的三个列向量线性无关. 例3.8已知3阶矩阵与三维列向量x满足323xxx且向量组2xxx线性无关. 1记2xxx求三阶矩阵使. 2求的值. 解1因为23223xxxxxxx 2000103011xxx然后可以得到000103011使得11 . 2因为得到了且2xxx而向量组2xxx是线性无关的.故P是可逆的.1所以10 3.6方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题. 例3.11 证明向量组123211103202431的线性相关. 证明以123为系数的齐次线性方程组13123123132203402300kkkkkkkkkk 解得之1323kkkk即12311kkk是方程组的一组非零解故123线性相关. 例3.12 讨论12311112313t. 1 当t为何值时向量组123线性无关2 当t为何值时向量组123 线性相关3 当向量组123线性相关性将3表示为1和2的线性组合. 解设有实数123xxx使112233xxx0则得方程组123123123023030xxxxxxxxtx 其系数行列式111123513Dtt 1当5t时0D方程组只有零解1230xxx这时向量组123线性无关. 12 2当5t时0D方程组有非零解即存在不全为0的数123xxx使112233xxx0此时123线性相关. 3当5t时由111101123012135000有1323020xxxx 令31x得11x22x因此有12320从而3122. 3.7 反证法在有些题目中直接证明结论常常比较困难而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义定理公理相悖的结果从而结论的反面不成立即结论成立.此方法是数学中常用的证明方法欲证命题真先假设命题假导出矛盾从而原命题得证. 例3.9设向量组12:mAaaa中任一向量ia不是它前面1i个向量的线性组合且0ia证明向量组12:mAaaa是线性无关的. 证明反证法假设向量组12:mAaaa线性相关则存在不全为零的m个数123mkkkk使得1122mmkakaka0 由此可知0mk否则由上式可得112121mmmmmmkkkaaaakkk 即ma可由它前面1m个向量线性表示这与题设矛盾因此0mk 112211mmkakaka0. 类似于上面的证明同理可得12320mmkkkk最后得到11ka0 因为ia0所以10k但这又与123mkkkk不全为0相矛盾. 因此向量组12:mAaaa是线性无关的. 13 第四章向量组线性相关的具体应用曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域的一项重要内容主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析.经过30多年的发展它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系. 在80年代后期参数曲面是CAD/CAM 曲面的主要表示方法尤其形成了NURBS 理论使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法.但随着计算机设计的几何对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展参数曲面的局限性也越来越明显. 通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时需要对曲面片进行剪裁或直接在非规则的四边形网格上构造曲面片无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接这是很困难的.对于影视动画领域的活动模型需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑结构曲面. 细分方法正是在这种情况下迅速发展起来其基本思想是采用一定的细分规则在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点从而不断细化出新的网格.重复运用细分规则在极限时该网格收敛于一个光滑曲面.细分曲面就是由初始控制网格按照一定的细分规则反复迭代而得到的极限曲面它具有以下优点适应任意拓扑结构、仿射不变、算法简洁通用高效、应用规模可大可小. 正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点现已广泛14 应用于计算机辅助几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域.Loop细分网格具有局部性质.。
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是一 个信息 函数 ， ： — ， ∈Ｕ， ， ９ ５ 反映 了对象 ，在 中的完 全信 息 ， 中 （ 一， ， 。有 时属 性 ９ ５ 其 ） ９ ） （
集 还分 为条 件属性 Ｃ和决 策 （ 论 ） 结 属性 Ｄ， 时 的信息 系统 称为决 策表 ， 这 常记为 （ ， ＣＵＤ， 』 。 Ｖ， ） 无决 Ｄ
若 Ｑ（ Ｐ） Ｑ 足独 立的 ， Ｉ 且 ＮＤ（ 一Ｉ Ｑ） ＮＤ（ ， Ｐ） 则称 Ｑ是 Ｐ 的一 个 约简 （ｅｕ ｔ ， ｒｄ ｃ） 记作 Ｑ
定义 ４７ ［ 叫 在等价 关 系集 Ｐ 中所 有不可 省的关 系集合 称为 Ｐ 的核 （ｏｅ ， 作 ｃｒ （ 。 ｃ ｒ ）记 ｏ ｅＰ） 不难看 出 ， Ｐ 有多个 约简 ， ｃ ｒ （ 一 ｎｒｄ Ｐ）其 中 ｒｄ Ｐ） 所有 Ｐ约简 的族 集 。 且 ｏｅＰ） （ ， ｅ ｅ（ 是
策 的数据分 析和有 决策 的数据分 析是粗 糙集理 论在 数据分 析 中的两个 主要应 用 。粗糙 集理论 给 出了对知 识（ 或数据 ）的约简和求 核 的方 法 ， 而提 供了从 信息 系统 中分 析多余属 性 的能力 。 从
一
个知识 库可 定 义为一 个关 系系统 Ｋ一（ Ａ） 其 中 ≠ 称为 全域 （ ｎｖ ｒｅ ， ， ， ｕ ｉｅｓ ） 是所 有要讨 论 的个
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第２卷 ５
第 ４期
广西 师范大 学学报 ： 自然 科学 版
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｕ ｎ ｘ ｒ ｌ ｉｅｓ ｙ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ａｇ ｉ ｍａ Ｕｎｖ ｒｉ ： ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ Ｇ Ｎｏ ｔ ｅ ｉ
粗糙 集 理论［ 中的知 识表达 方 式一般 采 用信 息表 或 称为 信息 系统 的形 式 ， 可 以表示 为 四元 有序 ３ 它 组 Ｋ一 （ ， Ｖ，）其 中 ： 是对 象 的全体 ， Ａ， 』 ， Ｄ 即论 域 ； 是属 性全 体 ； Ａ Ｖ＝ ＵＶ ， 属 性 的值域 ； ： Ｖ 是 』Ｕ×Ａ Ｄ
定义 ５ 当关 系系统 Ｋ一 （ＴＲ） （， 的约简 不唯 一时 ， ， 把保 留等 价关 系个数最 少的 约简 叫做最 小约简 。
收 稿 日期 ：０７０ —０ ２ ０ ５３
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目 （０ ７ ０ ２ ； 西理 工学 院 科 研 基 金 资 助 项 目（Ｌ ６１ ７ ４２ ７ ） 陕 Ｓ Ｇ０ ３ ） 通 讯联 系 人 ： 涛 （ ７ ） 男 （ 周 １ ７ 一 ， 回族 ）宁夏 同 心人 ， 西理 工学 院 讲 师 ， 士 研 究 生 。Ｅ— ｉ ｚ ｏ ｔ２ ＠ｇ ｍｉ ｔｍ ９ ， 陕 博 ｍａ ： ｈ ｕｌ ３ ａ ｔ ｏ ｌ ．
一
１ … ， 。 ］（ ） ， ） ∈ 表示 含有个 体 的 ｒ 价类 ， ： ］一 ｛ 等 即 Ｙ∈Ｕ： ｒ ）。 Ｐ Ｒ， Ｐ≠ ， Ｐ 设 且 Ｙ 则
中所 有等 价关 系对 应的等 价类交 集就是 Ｐ上 的一种 不可 区分 关 系 ， 记作 Ｉ Ｄ（ 。实际上 ， Ｎ Ｐ） Ｉ ＮＤ（ Ｐ）就 是
分 等概念 ， 出了等价类矩阵构造算法并讨论 了其性 质 ， 给 最后给出了基 于线性相关思想的属性 约简算法 。
关键 词 ： 粗糙 集 ；属性 约 简 ；等 价类 矩 阵 ；划分 的线 性 相 关
中图分类号 ： Ｐ １ Ｔ ３８
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ １６ ０ （０ ７０ —０ ４０ １０ —６０ ２ ０ ）４０ ４ —４
简都是 Ｎ 一 Ｐ难题。这里定义等价类矩阵、 等价类的线性表示、 划分的线性相关 、 空划分等概念， 讨论了属性 等价类矩阵的性质 ， 给出了等价类矩阵构造算法的基础上 ， 最后给出一种新的基于线性相关思想的属性约
简新算法 ， 这对 约简算法 无疑 有十分重 要 的意义 。
１ 粗 糙 集属 性 约 简理 论
体 集合 ， 是 上的等 价关 系集 （ 叫做 的知识 ）ｒ ，∈Ａ。 ｒ表示 全体域 根据 ｒ 得的等 价类划分 ， Ｕ／ 所 令 Ｕ／ 一 ｛ ， ， ， ， ）其 中 是 等价 类 （ ｒ 。 … ， 。 叫做 概念 或范 畴 ） ≠ ， ｎ 一 并 且 Ｕ 一Ｕ（≠ ，， ， ， ｉＪ
根据 Ｐ所作的等价类划分。 定义 １７ 设 Ｐ是 等价关 系 集 ， 系 ｒ ［ 关 ∈Ｐ， Ｉ Ｐ） ＮＤ（ ｛） ， 若 ＮＤ（ 一Ｉ Ｐ一 ｒ ）则称 ｒ在 Ｐ 中是 可省 的 ， 否
则就是 不可 省的 。
定 义 ２７ ［
定义 ３７ ［
— ｒ ｄ（ 。 ｅ Ｐ）
若 Ｐ 中每 个关系都是 不可 省的 ， 称 Ｐ 是独立 的 ， 就是 依赖 的或 非独立 的 。 则 否则
ＶＯ１ ２５ Ｎ ｏ． ． ４ Ｄｅ ．２ ０７ ｃ ０
ห้องสมุดไป่ตู้
２０ ０ ７年 １ ２月
基于线性相关 思想的属性 约简算法
周 涛
（ 陕西 理 工 学 院 数 学 系 ， 西 汉 中 ７ ３ ０ ） 陕 ２ ０ ０
摘
要 ： 过 对 粗 糙 集 中属性 约 简理 论 的研 究 ， 通 定义 了等 价 类 矩 阵 、 价 类 的 线性 表示 、 等 划分 的线 性 相 关 、 空划
属性集的约简ｎ ａｔｂ ｔ ｒｄ ｃ） 剀（ｔ ｉ ｅ ｅｕｔ是粗集理论口 中关键的问题之一。其主要思想是在保持分类能 ｒｕ ］
力不变 的前提 下 ， 通过属 性 约简 ， 出 问题 的决策 或分类 规则 。 谓约 简是属性 集 的子 集 ， 导 所 它与原属性 集具 有 同样 的分辨 能力 。 约简反 映了一个 信 息系统 的本 质 信息 ， 解一个 信息 系统的全部 约简 或计算 出最佳 约 求