属性重要性的启发式属性约简算法

ｌ　匐　化　属性重要性的启发式属性约简算法　Ｔｈｅ　ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　何英‘，何丹　ＨＥ　Ｙｉｎｇ’．ＨＥ　Ｄａｎ　（１．南昌航空大学现代教育技术中心，南昌３３００６３；２．南昌航空大学信息中心，南昌３３００６３）　摘要：属性约简是Ｒｏｕｇｈ集理论的核心问题之一，为了更好地获得属性约简，本文构造了一种属性重　要性的度量公式，并在此基础上提出了一种以属性重要性为启发式信息的二进制可辨矩阵的　属性约简算法，解决了当二进制可辨识矩阵的属性频率相同的情况下的属性选取问题。最后　用实例表明，此方法是一种获得属性约简的简单而有效的方法。　关键词：属性约简；属性重要性；二进制可辨矩阵；Ｒｏｕｇｈ集　中图分类号：ＴＰ３０１　文献标识码：Ａ　文章编号：１　００９—０１　３４（２０１　１）２（上）一０１　７３—０２　Ｄｏｉ：１　０．３９６９／ｊ．　．１　．　１．２（）．＿ｉｓｓｎ　００９－０１　３４　２０１　Ｉ－５５　

０引言　Ｒｏｕｇｈ集理论自８０年代初由波兰学者ｚ．Ｐａｗｌａｋ　提出以来，是一种迅速发展的既有理论又有应　用的研究领域…。粗糙集理论　是Ｐａｗｌａｋ等人提　出的一种处理不精确、不完全信息的新型数学工　具。由于二进制的可实现性，很多学者将其引入　属性约简算法中，文献【５，６］用二进制可辨矩阵设　计了基于正域的属性约简算法，但都没有解决当　二进制可辨矩阵列的属性频率出现次数相同的情　况下选取加入到约简中的顺序问题。本文在文献　［５—７］的基础上，提出了以属性频率和属性关于Ｕ／Ｄ　正域之和为启发式信息的二进制可辨识矩阵列的　属性约简算法，解决了当二进制可辨识矩阵列的　属性频率相同的情况下的属性选取问题。　１属性约简基本概念　定义１一个信息系统ｓ，表示为ｓ＝（ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ），　其中Ｕ＝｛Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　）是论域；Ａ是属性集合；　Ｖ＝Ｕ　ｖ　，ａ∈Ａ，Ｖａ表示属性的值域；ｆ－ＵｘＡ—Ｖ　是一个信息函数，对ｘ∈Ｕ，ａ∈Ａ，有ｆ（ｘ，ａ）∈ｖ。。　若Ａ可分为条件属性集Ｃ和决策属性集Ｄ，即Ａ　＝ＣＵＤ，ＣｎＤ＝　，则该信息系统称为决策表。　定义２设Ｒ是一个等价关系族，ｒ∈Ｒ，如果　ＩＮＤ（Ｒ）＝ＩＮＤ（Ｒ一｛ｒ｝），则称ｒ在Ｒ中是可被约去的知　识：如果Ｐ＝Ｒ－Ｉｒ｝是独立的，则Ｐ是Ｒ中的一个约简。　定义３在信息系统Ｓ中，若Ｐ，Ｑ∈Ａ，则Ｑ的Ｐ正　域ＰＯＳＰ（Ｑ）定义为：　

ＰＯＳＰ（Ｑ）　ｘ　一

ｘ　

其中Ｐ＿Ｘ为ｘ的Ｐ下近似。Ｑ的Ｐ正域是Ｕ中所有　根据分类Ｕ／Ｐ的信息可以准确地划分到关系Ｑ的等　价类中去的对象集合。　２二进制可辨矩阵　】　定义４设决策表为Ｔ＝（Ｕ，Ｃ，Ｄ，Ｖ，ｆ），其中　Ｕ＝｛ｕｌ，ｕ２，…，ｕｎｌ，Ｃ＝｛ｃｌ，ｃ２，…，ｃｍ｝，Ｄ＝｛ｄ）则决策　表Ｔ相应的二进制可辨矩阵Ｍ　构造为：矩阵的每一　列对应一个条件属性，共有ｍ列，每一行对应一对　论域中的对象（ｕ　，ｕ　），有ｎ（ｎ一１）／２行。设矩阵中一元　素ｍ（（ｐＩｑ）－ｉＪ所在行对应的应对象对（ｕｐ，ｕ　），所在列对　应条件属Ｃｉ，则　｝Ｊ女口果Ｃｉ（　）≠ｃ　（ｇ／　）　１　则　一　

这样得到的一个矩阵，称之为相应于决策表　Ｔ＝（Ｕ，Ｃ，Ｄ，Ｖ，ｆ）的二进制可辨矩阵。　命题ｌ若二进制可辨矩阵中某一行只有一个元　素为１其余元素均为０，则元素１所在列对应某个属　性，所有这样的属性构成信息系统的核或决策表的　相对核。若没有这样的行，则核或相对核为空。　３属性重要性的度量方法　对于决策表Ｔ＝（Ｕ，Ｃ，Ｄ，Ｖ，ｆ）：用Ｐ（ｃ　ｉ）　（ｃｉ∈Ｃ，１≤ｉ≤ＩＣＩ）表示ｃｊ在二进制可辨识矩阵中的　属性频率；用ＭＡＸ（Ｐ（ｃ））表示二进制可辨识矩阵中　属性ｃ出现的最大频率；用ＮＭＡｘ表示二进制可辨　

收稿日期：２０１０－－０８－２０　基金项目：江西省省级教改课题项目（ＪＸＪＧ一１０—７—２７）　作者简介：何英（１９７７一），女，江西东乡人，讲师，硕士，研究方向为粗糙集，数据库。　

第３３卷第２期２０１　１－２（上）　［１７３］　务ｌ　訇　似　识矩阵中属性出现的频率等于最大频率的属性总　数，ＮＭＡＸ＝ｌ（ｃｉＩＰ（ｃｉ）＝ＭＡｘ（Ｐ（ｃ）），１≤ｉ≤ＩＣ…；条件　属性Ｃ　∈Ｃ（１≤ｉ　ＩＣ１）的重要性可以用Ｃ　的属性频　率Ｐ（ｃｉ）和Ｕ／｛ｃｉ｝关于Ｕ／ＤｉＥＪ￥￣ＰＯＳＵ／｛ｃｉ｝（Ｕ／Ｄ）来度量，　用Ｇｃ　表示，则Ｇｃ　可通过公式１给出，如下所示。　

￣Ｐ（ｃｉ）￣ＭＡＸ（Ｐ（ｃ））　…　Ｇｏ，＝

｛１　如果Ｐ（ｃｆ）＝＾　（Ｐ（ｃ））ｆＩＮＭＡｘ＝ｌ　

【Ｉ＋ＰＯＳｕ／ｔｃ，Ｉ（Ｕ／Ｄ）如果尸（ｃ　）＝ＭＡＸ（Ｐ（ｃ））且ⅣＭ　≥２　

４属性重要性的启发式属性约简算法　在二进制可辨矩阵中，对于那些只有一个元　素为１其余元素均为０的行，元素１所在列的属性一　定属于核，而对于那些有多个元素为１的行，在这　些元素为１所在的列中，那些所含１的个数最多的　列对应的属性虽未必是核属性，但具有很强的分　辨能力，因此这样的属性在形成约简，尤其是最　小约简的过程中具有重要地位。　算法二进制可辨矩阵属性重要性的启发式属　性约简。　输入：决策表Ｔ＝（ｕ，ｃ，Ｄ，Ｖ，ｆ）　输出：决策表Ｔ属性约简　１）根据给定的决策表Ｔ＝（ｕ，Ｃ，Ｄ，Ｖ，ｆ）产生二进　制可辨矩阵Ｍ，将Ｍ中全为１和０的行删除，得到新　的Ｍ　。　。置矩阵ＭＡ—Ｍ　。　，用Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ表示属性　约简，初始值为Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ＝　。　２）对每一行，若该行只有一个元素为１，则　将该元素所对应的属性为核属性，并将该属性加　入到Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ，即Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ—Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　Ｕ｛Ｃｉ｝，　其中Ｃｊ∈Ｃ，１　ｉ≤ｌＣＩ。　３）从ＭＡ中删除各行只有一个元素为１的行及　该行元素１所对应的列值为１的行，将得到的新矩　阵ＭＡ　再赋给ＭＡ。如果ＭＡ＝　，则转到７），否　则到４）。　４）将ＭＡ的各列纵向相加，并将结果存入相　应ｃｏｌ［ｃｉ】中，其中Ｃｉ∈Ｃ，１≤ｉ≤ｌＣｌ。　５）用一维数组Ｇ【ＩｃＩ】表示属性的重要性，　初始值为Ｇ［ｃｉ］＝０，其中Ｃｉ∈Ｃ，１≤ｉ　ＩＣＩ。根据　公式１计算属性重要性；在ＭＡ中将属性重要　性最大的属性Ｃ；列及ｃ　列上值为１的元素所对应　的行去掉：将得到的新矩阵再赋给ＭＡ，并将　Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ－－－Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　Ｕ｛Ｃｉ）。　６）将ＭＡ中行全为１和０的行删除，将得到的　新矩阵再赋给ＭＡ。如果ＭＡ≠　，则转到４）。　

Ｋ１７４１　第３３卷第２期２０１１－２（上）　

４）输出一个约简Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ。　５实例分析　表１中Ｃ＝｛ａ，ｂ，Ｃ，ｄ｝为条件属性，Ｄ＝｛ｅ）为决策　属性，Ａ＝Ｃ　Ｕ　Ｄ，对表１建立二进制可辨矩阵如表２　所示。　表１决策表Ｔ＝（Ｕ，Ｃ，Ｄ，ｖ，０　Ｃ　Ｄ　Ｃ　Ｄ　（，　Ｕ　ｂ　ｄ　６　

１　ａｏ　ｂｌ　Ｃｏ　ｄ１　ｅｏ　５　ａＩ　ｂｌ　Ｃｏ　ｄｌ　ｅｌ　２　ａｌ　ｂ０　Ｃｏ　ｄｌ　ｅｌ　６　ａｌ　ｂｌ　ｅｌ　ｄ０　ｅｏ　３　ａｏ　ｂ０　ＣＩ　ｄｏ　ｅ０　７　ａｏ　ｂｌ　Ｃｌ　ｄｌ　ｅＯ　４　ａｉ　ｂ０　Ｃｌ　ｄｌ　ｅ２　表２决策表Ｔ的二进制可辨矩阵　（Ｕｐ，Ｕｑ）ｌＡ　ｂ　（Ｕｐ，“口　ｌＡ　６　（ｕｐ，Ｕｑ）ｌＡ　６　（Ｉ，２）　１　ｌ　Ｏ　０　（２．４）　０　０　１　０　（３，７）　０　１　０　（１，３）　０　ｌ　ｌ　１　（２．５）　０　ｌ　０　１　（４，５）　０　１　ｌ　（１．４）　１　ｌ　ｌ　０　（２，６）　Ｏ　ｌ　】　ｌ　（４，６）　０　ｌ　０　（Ｉ，５）　ｌ　０　Ｏ　ｌ　（２．７）　１　Ｉ　ｌ　０　（４，７）　１　ｌ　Ｏ　（１，６）　ｌ　０　ｌ　１　（３，４）　１　０　０　１　（５，６）　０　０　ｌ　（１，７）　Ｏ　０　ｌ　Ｏ　（３，５）　ｌ　ｌ　ｌ　０　（５，７）　ｌ　０　ｌ　（２，３）　ｌ　０　１　ｌ　ｐ，６）　ｌ　ｌ　０　０　（６，７）　１　Ｏ　０　

将表２中去掉（１，７）、（２，４）及（５，６）三行，并将属　性Ｃ中为１的行去掉，得表３。　表３化简后的二进制可辨矩阵　（ｕｐ，ｕｑ）￣Ａ　ａ　６　ｄ　（Ｕｐ．ｕｑ）ＩＡ　ａ　６　（１，２）　１　１　Ｏ　（３．７）　０　１　（１，５）　１　０　１　（４，６）　Ｏ　１　（２，５）　０　１　１　（４，７）　１　１　（３．４）　１　０　１　（６，７）　１　Ｏ　（３，６）　１　１　０　

表３中ａ，ｂ，ｄ各列的属性频率都为６，根据公式　（１）计算属性的重要性，计算过程如下：　Ｕ／｛ｅ｝＝｛Ｙｌ，Ｙ２，Ｙ３），ＹＩ＝（１，３，６，７），ＹＺ－－（２，５），Ｙ３＝＝《＿４）；Ｕ／　｛ａ｝＝｛Ｘｌａ，Ｘ２ａ｝，Ｘｌａ＝（１，３，７），Ｘ２ａ＝（２，４，５，６）　Ｕ／｛ｂ｝＝｛Ｘｌｂ，Ｘ２ｂ｝，Ｘｌｂ＝（１，５，６，７），Ｘ２ｂ＝（２，３，４）；　Ｕ／｛ｄ｝＝｛Ｘｌｄ，Ｘ２ｄ｝，Ｘ１ｄ＝（１，２，４，５，７），Ｘ２ｄ＝（３，６）　由以上公式可得：Ｇ［ａ］＝１＋３／４＝１．７５，Ｇ［ｂ］＝１＋０＝　１，Ｇ［ｄ］＝ｌ＋２／４＝１．５。可知ａ的属性的重要性最大，　￣Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ＝｛ａ，Ｃ｝。将表３中ａ列及ａ列值为１的行去　掉，再将行都为１的行删除，得到的表为空，因此　Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ＝｛ａ，ｃ）为最后这个决策表的约简集。　

６复杂度分析　设决策表中有ｍ个条件属性，ｎ个对象，在最　坏情况下，构造二进制可辨矩阵需要比较ｍｎ（ｎ．　１）／２次，复杂度为Ｏ（ｍｎ　）；根据文献【９】的计算正域