高三数学 1.3.4函数与导数综合问题学案 人教A版选修2-2
《导数在研究函数中的应用》学案4(新人教A版选修2-2).doc
1.1.3导数的几何意义【学习目标】1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；【学习重难点】重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；难点：导数的几何意义.【学习过程】一、学前准备1：曲线上P（s）恥 +山，Ji + 3）的连线称为曲线的割线，斜率k =乞= _________________Ar2：设函数y = f（x）在观附近有定义，当自变量在x = 附近改变心时，函数值也相应地改变△）= _______________________ ,如果当山_____________ 时，平均变化率趋近于一个常'数/,则数/称为函数/任）在点兀的瞬吋变化率.记作:当2 _________ 时，_____________ T /二、合作探究：探究1.曲线的切线及切线的斜率：参见课本图1.1-2,当亿（£,/（£））（“ 1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀,/（兀））时，割线卩出的变化趋势是什么？我们发现,当点人沿着曲线无限接近点P即Ax->0时，割线P税趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：（1）割线比的斜率心与切线M的斜率£有什么关系？（2）切线PF的斜率R为多少？容易知道，割线的斜率是_____________________ ,当点鬥沿着曲线无限接近点无限趋近于切线PT的斜率4 B|j k = lim /^o-*-Ax)-/(x o) 山TOP 时，k lt=fwAr点拨：（1）设切线的倾斜角为a,那么当Ax-o时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在”=兀处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个•多个.探究2.导数的几何意义：函数円（兀）在尸兀。
高中数学人教A版选修2-2教案-1.3 导数在研究函数中的应用_教学设计_教案_2
教学准备
1. 教学目标
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。
2. 教学重点/难点
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
【知识点精讲】
综合问题题型：
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。
【例题选讲】
例1 设x>-2，nN*，比较(1+x)n与1+nx的大小. 优化设计P217典例剖析例1，解答略。
例3 （2004年天津，理20）已知函数f(x)= ax3+bx2-3x在x=±1时取得极值.
(1) 讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2) 过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
优化设计P217典例剖析例3，解答略。
例4 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
优化设计P218典例剖析例4，解答略。
【作业布置】
优化设计。
高中数学复习课(一)导数及其应用教学案新人教A版选修2-2
复习课(一) 导数及其应用导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现．(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．[考点精要]；)0x ′(f ＝k ，即求该点处的导数值：k 求斜率))0x (f ，0x (A 已知切点(1) ；k ＝)1x ′(f ，即解方程))1x (f ，1x (A ，求切点k 已知斜率(2) ，0x (A 时，常需设出切点k 的切线斜率为)不是切点))(1x (f ，1x (M 已知过某点(3)求解．f(x1)－f(x0)x1－x0＝k ，利用))0x (f ＝y ，则曲线x －1－x －e＝)x (f 时，≤0x 为偶函数，当)x (f 已知Ⅱ)全国卷( ]典例[f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．.x ＋1－x e＝)x －(f ，0＜x ，则－0＞x 设 ]解析[ ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，.x ＋1－x e＝)x (f ∴ ，1＋1－x e ＝)x ′(f 时，0＞x 当∵ 2.＝1＋1＝1＋1－1e＝′(1)f ∴ ∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[答案] 2x －y ＝0[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． ＝y 与l 处的切线(1,1)在3x ＝y 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，(2)．8)，－2－(的图象还有一个交点3x [题组训练])(处的切线方程为1)，－1－(在点xx ＋2＝y ．曲线1 A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2，2(x ＋2)2＝x′(x ＋2)－x(x ＋2)′(x ＋2)2＝′y ∵ A 解析：选 ，2＝2(－1＋2)2＝1＝－x ′|y ＝k ∴ ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.＝a 相切，则1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 处的切线与曲线(1,1)在点x ln ＋x ＝y ．已知曲线2________.，1x＋1＝′y ∴，x ln ＋x ＝y ∵解析： 2.＝|x ＝1′y ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.相切，1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y ∵法一： ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1，由 0.＝2＋ax ＋2ax ，得y 消去 8.＝a ，解得0＝a 8－2a ＝Δ由 ．1)＋0x 2)＋a (＋20ax ，0x (相切于点1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y 法二：设 ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，．2)＋a (＋0ax 2＝|x ＝x0′y ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－12，a ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧2ax0＋(a ＋2)＝2，ax20＋(a ＋2)x0＋1＝2x0－1，由 答案：8导数与函数的单调性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。
高中数学选修2 2导数导学案
高中数学选修2 2导数导学案高中数学选修2-2导数导学案§1.1.3【知识要点】导数几何意义的指导案例1．导数的几何意义（1）割线斜率和切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，ab是过点a(x0，f(x0))与点b(x0＋δx，f(x0＋δx))δy该割线的斜率为=_________δx当点B沿曲线接近点a时，割线AB围绕点a旋转，其最终位置为直线ad，当x→ 0，割线AB的斜率无限地趋向于点a处切线ad的斜率k，即k==___2）导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________．2．函数的导数当x=x0时，f'（x0）是一个定数，那么当x改变时，f？（x）是x的函数，叫做f 吗？（x）是F（x）的导数。
F（x）也被记录为y'，即f？（x）＝y′＝_______________【问题探究】探索点导数的几何意义例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．跟踪训练1（1）根据示例1的图像，描述T3和T4附近函数H（T）的增加（减少）和增加（减少）速度（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()两点切线方程的探讨问题1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2点（x0，f（x0））处曲线f（x）的切线与通过点（x0，Y0）的曲线的切线之间有什么区别？例2已知曲线y＝x2，求：（1）点P（1,1）处曲线的切线方程；（2）曲线通过点P（3,5）的切线方程跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：（1）曲线上的哪个点的切线平行于直线4x-y-2=0？（2）曲线通过点P（3,9）的切线方程1[法庭检查]1．已知曲线f(x)＝2x2上一点a(2,8)，则点a处的切线斜率为()a．4b．16c．8d．22.如果曲线y=x2+ax+B在点（0，B）处的切线方程为X-y+1=0，则（）a．a＝1，b＝1b．a＝－1，b＝1c．a＝1，b＝－1d．a＝－1，b＝－13．已知曲线y＝2x2＋4x在点p处的切线斜率为16，则p点坐标为_______[课程摘要]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limδx→0f?x0＋δx?－f?x0?＝f′（x0）δx物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3.用导数计算曲线的切线方程，注意已知点是否在曲线上。
第一章导数及其应用归纳整合学案(人教A版选修2-2).docx
WANOLUOGOUJIAN—、导数1. 对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Ax-0的方式，导数是函数的 增量Ay 与自变量的增量Ax 的比鲁的极限,函数y=Rx ）在点X 。
处的导数的几何意义，就是曲线y=j[x ）在点P （x 。
,几切））处的切线的斜 率.2. 曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： （1） 判断P 点是否在曲线上；（2） 如果曲线尹=/«在P （x°,畑）处的切线平行于y 轴（此时导数不存在），可得方程为x =x 0；尸点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为广（xo ）.3. 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用 法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适 当的变形是优化解题过程的关键.4. 判断函数的单调性（1） 在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程屮， 只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；（2） 注意在某一区问内/⑴＞0（或/ （x ）＜0）是函数.心）在该区间上为增（或减）函数的充 分条件.本章归纳整合•定积分的概念-L 变速直线运动的路程L 定积分--微积分基本定理- -/：/(x)dx=F(6)-F(a)r 定积分在几何中的应用-定积分的应用-______________ H 曲边梯形的面积[定积分在物理中的应用J 耍点归纳四步曲：分割、 近似代替、求 和、取极限网络构系统盘点i 提炼主线-变化率问题平均变化率鸽取极限-导数的概念:瞬时变化率免L 导数的几何意义、切线的斜率k=f （xA导数及其应用知识网络导数的概①求极值；②极值与端点 处函数值比校①求导数f （%）；②解方程 If 3）=0；③痴商两侧符号J 若厂何＞0,则y=flx ）递增； 若广何＜0,则5）递减；5.利用导数研究函数的极值要注意(1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的.(2) 连续函数/(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大 值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3) 可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的 极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导 数异号.6. 求函数的最大值与最小值⑴函数的最大值与最小值：在闭区I'可［a, b ］上连续的函数心)，在［a, b ］上必有最大值与 最小值；但在开区间(a, b)内连续的函数./(X )不一定有最大值与最小值，例如：x 丘(一 1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y=J{x)在［a, b ］上最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数y=f(x)在(a, b)内的极值；② 将函数y=f{x)的各极值与端点处的函数值/(a), /(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值.7. 应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间 内只有一个点xo ，使.广(xo) = O,则./(xo)是函数的最值.二、定积分I ■ 定积分白勺概念定积分0J 思想贏无限分割、以直代曲、求和、取极限：IMF)00立简)心，而f b af(x)Jx 只是这种极限的一种记号. /=!2.定积分的性质由定积分的定义，对以得到定积分的如下性质: ⑴f kf(x)dx=kf f(x)〃x(k 为常数);aa⑵ f ［fi(x)士f2(x)］dx=f fi(x)dx 土 f f 、2(x)dx ；J a"a"Q(33. 微积分基本定理用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它的导函数恰好是已知的被积 函数.4. 定积分的几何意义由于定积分的值可正、可负还可能是0,所以如果在区间［a, b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)30,面积的相反数.i 般情况下如下图，定积分ff(x)〃x 的几何意义是：介于X 轴，曲线y=f(x)以及直线X =a,x=b 之间各部分曲边梯形面詁的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的而 积取负号.即ff(x)Jx = Si-S 2+S 3.如图曲边扌话形的面积.设F‘ (x)=f(x),且f(x)在a b ］上连续,则?=F(b) —F(a).x)dx 的值等于曲边梯形的面积；如果f(x)<0,则 a<c<b).dx= F(x) “X 的值等于曲边梯形5. 定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定 积分求变速直线运动的路程及变力做功问题.其屮，应特别注意求定积分的运算与利用定积 分计算曲边梯形面积的区别.专题一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的儿何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线 相关的问题.【例1】设函数f(x)=4x 2 —Zn x+2,求曲线y=f(x)在点(1, f(l))处的切线方程.解 f' (x) = 8x —7.ZY所以在点(1, f(l))处切线的斜率k = f‘ (1)=7, 又 f(l)=4+2 = 6,所以切点的坐标为(1,6),所以切线的方程为y —6 = 7(x —1),即y=7x —1.【例2］点P(2,0)是函数f(x) = x? + ax 与g(x)=bx 2+c 的图彖的一个公共点，且两条曲 线在点P 处有相同的切线，求a, b, c 的值.解 因为点P(2,0)是函数f(x)=x 3 + ax 与g(x)=bx 2 + c 的图象的一个公共点， 所以23 + 2a=0① 4b+c=0 ②由①得a=—4.所以 f(x) = x 3—4x.又因为两条曲线在点P 处有相同的切线， 所以 f‘ (2)=g‘ (2),而由 f‘ (x)=3x 2-4 得到 f‘ (2)=8, 由 g' (x)=2bx 得到『(2)=4b,所以8=4b,即b=2,代入②得到c= 一& 综上所述，a=—4, b=2, c= —& 专题二应用导数求函数的单调区间在区间(a, b)内,如果f' (x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递增;在区间(a, b)内，如果f' (x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递减.2【例3】 已知函数f(x)=x —~+ a(2 — In x), a>0.讨论f(x)的单调性.X解由题知，f(x)的定义域是(0, +8),2 a x 2—ax+2 ~2——= 2 .X X X设 g(x)=x 2-ax + 2,二次方程 g(x)=O 的判别式△ = &?一&① 当△<()即0VaV2迄吋，对一切x>0都有f' (x)>0.此吋f(x)是(0,十呵上的单调递 增函数.② 当△ = ()即a = 2迈时，仅对x=y/2,有f ，(x) = O,对其余的x>0都有f ，(x)>0.此时 f(x)也是(0, +8)上的.車调递增函数.02ZHUANTIGUINA .........................» 专题归纳整合专题i 典例掲秘③当△>()即a>2迈时，方程g(x) = O有两个不同的实根a—pa'—8 a+Qa'—8 小X] = c , X?= c , 0<X[<X2・当X变化时，f‘(x)、f(x)的变化情况如下表:a—呼芳上单调递增,此时f(x)在(o,在件爭+8)上单调递增.专题三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f‘ (x)=0的根；(3)检验f‘(x) = 0的根的两侧f‘(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处収得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间［a, b］上的最大值、最小值的方法与步骤⑴求f(x)在(a, b)内的极值;(2)将(1)求得的极值与f(a). f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，①当f(x)在［a, b］上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a, b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a, b)也可以是(一°°, +°°).【例4】己知函数f(x)=x'+ax2 + b的图象上一点P(l,0),且在点P处的切线与直线3x +y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间［0, t］(0<t<3)±的最大值和最小值;(3)在⑴的结论下，关于x的方程f(x)=c在区间［13上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.解⑴因为f' (x)=3x2+2ax,曲线在P(l,0)处的切线斜率为：F (l)=3+2a,即3+2a =—3, a=—3.又函数过(1,0)点，即一2+b=0, b=2.所以a=—3, b = 2, f(x) = x3—3x2+2.(2)rtl f(x)=x3—3X2+2得，f' (x)=3x2—6x.由F (x) = 0 得，x = 0 或x=2.①当0<tW2 时，在区间(0, t)± f (x)<0, f(x)在［0, t］上是减函数,所以f(x),”“x=f(0)=2,f(X),wn = f(t) = t3— 312 + 2.②当f(xU=f(2)=-2, f(x)哑为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)—f(0)=F — 3t2=t2(t -3)<0.所以f(x)加心=f(0)=2.(3)令g(x) = f(x)—c=x3—3x2+2 —c, g' (x) = 3x2—6x=3x(x—2).在xe[l,2)上，g' (x)<0；在xw(2,3]上，g‘(x)>0.要使g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相异g(l)>0,的实根，d g(2)<0,、g⑶ 20，解得一2<cW0.专题四导数与函数、不等式利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，其实质就是利用导数研究函数的单调性，通过单调性证明不等式，这类问题在考查综合能力的同时，又充分体现了导数的工具性和导数的灵活性.【例5】证明：当xe［—2,1］时，一辛冬霁一4xW#证明令他)=占？一4*, ［―2,1］,则f‘ (X)=X2-4.因为xU［—2,1］,所以f‘(x)W0,即函数f(x)在区间［—2,1］上单调递减.故函数f(x)在区间［—2,1］上的最大值为f(-2)=y,最小值为f(l)=-y.所以，当xe［—2,1］时，一¥wf(x)w¥，即一¥冬$'—4xW学成立.专题五导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具, 考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的収值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.【例6］设函数f(x)=—、'+2ax2 —3a2x+b(0<a<l).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xe［a + l, a + 2］吋，恒有|f‘(x)|Wa,试确定a的取值范围；(3)当&=彳时，关于x的方程f(x)=0在区间［1,3］上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.解(l)f' (x)=-x2+4ax-3a2=—(x—a)(x —3a). 令f，(x) = 0,得x = a 或x = 3a.当xf(x)当x=a吋，f(x)取得极小值，f(x)极小=f(a)=b—扌J；当x=3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大=f(3a)=b. (2)f z (x)=-x2+4ax-3a2,其对称轴为x=2a. 因为0<a<l,所以2a<a+l.所以f‘ (x)在区间［a + 1, a + 2］上是减函数.当x=a+1 时，f7 (x)取得最大值，f z (a+l) = 2a—1；当x=a+2 时,f r (x)取得最小值，f f (a+2)=4a—4.2a —lWa,4于是有仁宀 即4a —4±—a,34又因为0<a<l,所以§Wa<l.(3)当 a=f 时,f(x)= —|x 3+jx 1 2 3—yx+b. f' (x)=—x 2+|x —由 f' (x) = 0,即一x?+|x —扌=0,2解得 X]=T ，X2 = 2,即f(x)在(一 8,寻上是减函数， 在伶2)上是增函数，在(2, +8)上是减函数. 要使f(x) = 0在[13上恒有两个相异实根， 即f(x)在(1,2), (2,3)上各有一个实根，解得0<b 吕.专题六定积分及其应用1. 定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做 功等问题的方便而且强有力的工具.2. 不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、 下限一般是两曲线交点的横坐标.【例7】设两抛物线y= — x?+2x, y=x 2所围成的图形为M,求M 的面积.解函数y= —x?+2x, y = x 2在同一平面直角坐标系屮的图象如图所示. 由图可知，图形M 的面积S= f '0(-x 2 + 2x-x 2)t/x=f b(—2x?+2x)dx=(—討+ x?)=g.“ JIEDUGAOKAO .....................................03》解读高考命题趋势2 导数是研究函数的重要工具，自从导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力, 开辟了许多解题新途径，拓展了高考对•函数问题的命题空间，其中导数的概念和运算是导数 的基础内容，在高考题中一般以容易题出现，并且在高考中所占的份量不大.3 由近三年的高考试题统计分析可以看出，导数的应用已经成为高考炙手可热的热点问 题.每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，因此搞好导数应用的复习f(l)W0,于是有\f(2)>0,、f(3)W0,—*+bW0, b>0,、一1 +bW0,感知考悄i 体验真题非常有必要.常见的考查角度如下：(1)对导数与函数的单调性的考查，求导确定函数的单调区间，已知函数的某一单调区间探求参数的范围等.(2)对导数与函数的极(最)值的考查，女口：求函数的极值及闭区间上的最值，以极值或最值为载体考查参数的范围；解题关键在于准确理解极值(最值)的定义，善于利用分类讨论思想，等价转化思想去解题.(3)对导数的综合应用的考查，与函数、方程、不等式、数列等联系进行综合考查，主耍考查函数的最值或求参数的值或范围.解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.高考真题(2012-湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，贝9它与x轴所围图形的面积为()•解析根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+l)(x-l)(a<0). 因为f(x)的图象过(0,1)点，所以一a=l,即a= —1. 所以f(x)= —(x4- l)(x—1)= 1 —x2.所以S= I L](l —x?)dx = 2 f '0(1 — x2)i/x = 2( x—jx答案B2.(2011-山东高考)曲线y=x3+ll在点P(l,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ).A.-9B. -3C. 9D. 15解析Vy=x3+ll, :.y1 =3x2, ・・・『k=i = 3,・•・曲线y=x3+11在点戸亿⑵处的切线方程为y —12 = 3(x—l)・令x=0,得y=9.答案C3.(2012-陕西高考)设函数f(x)=xe x,贝％).A.x=l为f(x)的极大值点B.x=l为f(x)的极小值点C.x= —1为f(x)的极大值点D.x= —1为f(x)的极小值点解析*.*f(x)=xe x, /. f f (x) = e x 4- xe x=e x( 1 + x)・・••当F (x)2 0时,即e x(l+x)>0,即xM — l, ・・・xM — 1时函数y=f(x)为增函数.同理可求，X< —1时函数f(x)为减函数..*.X= — 1时，函数f(x)取得极小值.答案D4.(2010-大纲全国高考)曲线丫=0卞+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为().解析 Vy , =( — 2x)‘ e ・・・切线方程为y —2=—2仪一0),即丫= -2x + 2. 如图，Ty=—2x+2与y=x 的交点坐标为 S =^ X 1 乂3=亍.答案A5. (2012-辽宁)己知P, Q 为抛物线x 2=2y ±两点，点P, Q 的横坐标分别为4, 一2, 过P, Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 _____________________ ・解析 因为y=|x',所以y‘ =x,易知P(4,8), Q(—2,2),所以在P 、Q 两点的切线的斜率的值为4或一2.所以这两条切线方程为h ： 4x —y —8=0, 12： 2x+y+2 = 0,将这两个方程联立方程组求 得 y=—4.答案一46. (2012-安徽高考)设函数 f(x)=ae x +^+b(a>0). ⑴求f(x)在［0, +8)内的最小值；3(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y 求a, b 的值.解(l)f' (x)=ae x —当 f‘ (x)>0,即 x>~ln a 时，f(x)在(—In a, +°°)上递增； 当 f‘ (x)<0,即 xV —加 a 时，f(x)在(一 8, fa)上递减.① 当0 <a< 1时，一/舁a>0, f(x)在(0, -In a)上递减，在(fa, +8)上递增，从而f(x) 在［0, +8)上的最小值为f (一加a)=2+b ；② 当aMl 吋，一f(x)在［0, +呵上递增，从而f(x)在［0, +呵上的最小值为f(0) =a+丄+b. a12i7⑵依题意f ，(2)=ae 2—解得a ，=2或a/=—/(舍去)，所以a=尹 代入原函数 可得 2+*+b =3,即 b=£,故 a_孑,b 一2«7. (2011•北京高考)已知函数f(x)=(x-k)e x .⑴求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值. 解(l)f' (x)=(x — k+l)/ 令 f‘ (x)=0,得 x = k-l.f(x)与的变化情况如下：X ( — 8, k — 1)k-1 (k —1, +°°)F (X )—+ f(x)k-1 "e/所以，f(x)的单调递减区I 、可是(一I k-1)；单调递增区间是(k-1, +<-).(2)当 k —lW0,即 kWl 吋， 函数f(x)在［0」］上单调递增，,y=—2x+2与x 轴的交点坐标为(1,0),-2x所以f(x)在区间［0丄］上的最小值为f (o )=-k ； 当 0<k-l<l, EP l<k<2 时，由⑴知f(x)在［0, k-1)上单调递减， 在(k-l,l ］±单调递增，所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(k —l)=—F 】； 当 k —121,即 k$2 时，函数f(x)在［0,1］上单调递减，所以f(x)在区间［0」］上的最小值为f(l)=(l-k)e.8. (2011-江西高考)设 f(x) = —|x 3 +^x 2 + 2ax.(1)若f(x)在(彳，+s)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为一乎，求f(x)在该区间上的最大值. 解(1)由 f'(x)=-x 2+x+2a当 x e J, 时，f z (x)的最大值为F 6)=#+2a ； 2 1令^+2a>0,得 a>—所以，当a>—g 时,f(X )在住，+->)上存在单调递增区间. (2)令 f' (x)=0,得两根 X!-1\1+8a所以f(x)在(一8, Xi),(X2，+8)上单调递减，在(X1，X2)上单调递增. 当 0<a<2 时，有 X )<1<X 2<4, 所以f(x)在［1,4］上的最大值为f(X2)・27又 f(4)-f(l)=-y+6a<0,得a=l, X2=2,从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2)=y.9. (2011-福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商场每日的销售量y (单位：千 克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=^+10(x-6)2,其屮3<x<6, a 为常数.已 知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商品每H 销售该商品所获得 的利润最大.解(1)因为x=5吋，y=ll,所以号+10=11, a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y=—^+10(x-6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x_3)|j±+ 10(X _6)2=2+ 10(X -3)(X -6)23<X <6.从而,l+pl+8a即 f(4)<f(l),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f' (X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)]=30(X-4)(X-6).于是，当X变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，*=4是函数俭)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x=4时，函数f(x)収得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每FI销售该商品所获得的利润最大.。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3.4导数及其应用习题课学案 新人教A版选修2-2
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3.4导数及其应用习题课学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1.理解导数与函数的单调性的联系；2. 理解、明辩导数与函数的单调性的题型题。
【重点难点】 导数与含参函数单调性的题型 【学习过程】 一、复习知识：1、理论：导数判断(证明) 函数的单调性：(函数在某个区间上) （1）若0)('>x f ，则)(x f 为增函数；(2)若0)('<x f ，则)(x f 为减函数2、求函数单调区间的步骤:⑴求函数的定义域 ⑵求)('x f 并变形⑶令0)('>x f ，求出函数单调增区间；令0)('<x f ，求出函数单调减区间.3、练习：1、求函数()()x x x f 21ln --=的单调区间：4、提升练习：含参单调性问题 2、已知函数()(),0,ln 12>-+-=a x a xx x f 讨论函数()x f 的单调性.二、已知区间求参数问题：例：已知函数()R a x ax x x f ∈+++=,123.①当a =1时，求函数()x f 的单调区间；②设函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内是减函数，求a 的取值范围.反思题型与方法（1）求已知函数的单调区间：（2）已知函数单调性（或单调区间），求参数的取值范围：原理：（1）若()()0'≥⇒x f x f 为增函数；（2）若()()0'≤⇒x f x f 为减函数变式练习1：若()()2ln 212++-=x b x x f 在()+∞-,1上是减函数，则b 的取值范围是 .变式练习2：设函数()0,)2ln(ln )(>+-+=a ax x x x f①当1=a 时，求)(x f 单调区间; ②若)(x f 在(]1,0上的最大值为21，求a 的值课后作业1、如果函数()x f y =的图象如图所示，那么导函数()x f y '=的图象可能是（ ）2、对于R 上的可导函数)(x f ，若满足()0)(1'≥-x f x ，则必有（ ）A.)1(2)2()0(f f f <+；B. )1(2)2()0(f f f ≤+C. )1(2)2()0(f f f ≥+；D.)1(2)2()0(f f f >+3、求函数()()221ln +-+=x xx x f 的单调区间：4、已知函数)0(2)1ln()(2≥+-+=k x k x x x f ①当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；②求)(x f 的单调区间.5、若()()2ln 212++-=x b x x f 在()1,+∞上是减函数，则b 的取值范围是 .6、已知函数133)(3++-=x ax x x f ，（1）设a =2，求)(x f 的单调区间，(2)设)(x f 在区间)3,2(中至少有一个极值点，求a 的取值范围.。
高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数含解析
1．3.2函数的极值与导数预习课本P26～29，思考并完成下列问题(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数取得极值的必要条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？[新知初探]1．函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．(2)函数的极小值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．[点睛]如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．2．求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f ′(x )＝0. 当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．[点睛] 一般来说，“f ′(x 0)＝0”是“函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y ＝f (x )在点x 0处可导，且在点x 0处取得极值，那么f ′(x 0)＝0；反之，若f ′(x 0)＝0，则点x 0不一定是函数y ＝f (x )的极值点．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1x 有极值．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．下列四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x ，其中在x ＝0处取得极小值的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③答案：B3．已知函数y ＝|x 2－1|，则( ) A ．y 无极小值，且无极大值 B ．y 有极小值－1，但无极大值 C ．y 有极小值0，极大值1 D ．y 有极小值0，极大值－1 答案：C4. 函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2答案：B运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.题点二：已知函数求极值2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解：函数的定义域为R，f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′＝2x e－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0(0, 2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值0极大值4e－2因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.题点三已知函数的极值求参数3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(－1,0)解析：选D若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D. 4．已知f (x )＝ax 5－bx 3＋c 在x ＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a ，b ，c 的值．解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2＝x 2(5ax 2－3b )． 由题意，f ′(x )＝0应有根x ＝±1，故5a ＝3b ， 于是f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)(1)当a ＞0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 － 0 ＋ f (x )极大值无极值极小值由表可知：⎩⎪⎨⎪⎧4＝f (－1)＝－a ＋b ＋c ，0＝f (1)＝a －b ＋c .又5a ＝3b ，解之得：a ＝3，b ＝5，c ＝2. (2)当a ＜0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.1．求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0得方程的根．(4)利用方程f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f ′(x )的符号在x 0处由正(负)变负(正)，则f (x )在x 0处取得极大(小)值．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．函数极值的综合应用[典例] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0. 所以由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．[一题多变]1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0， 可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，0)0 ⎝⎛⎭⎫0，43 43 ⎝⎛⎭⎫43，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x )－4－7627因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627.2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．层级一 学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：选C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；排除B 、D ，当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0 D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.6．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝______________.解析：∵f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.答案：－237．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y ＞0；x ∈(1,2)时，y ＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确．答案：①9．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． 解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减↘2(1－ln 2＋a )单调递增↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f (x )在x ＝ln 2处取得极小值．极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )，无极大值．10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1； 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R)有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＜－1eD ．a ＞－1e解析：选A ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.4．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A.e 2π(1－e 2 018π)e 2π－1B.e π(1－e 2 016π)1－e 2πC.e π(1－e 1 008π)1－e 2πD.e π(1－e 1 008π)1－e π解析：选B f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π，∴0≤k <1 008，k ∈Z. ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2 015π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2 015π＝e π[1－(e 2π)1 008]1－e 2π＝e π(1－e 2 016π)1－e 2π，故选B.5．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由y ′＝0，得x ＝0或4.且x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y ′＜0；x ∈(0,4)时，y ′＞0，∴x ＝4时取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－196．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5)7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．已知f (x )＝2ln(x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值．(2)若关于x 的方程f (x )＋b ＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取11 值范围．解：(1)f ′(x )＝2x ＋a －2x －1，当x ＝0时，f (x )取得极值，所以f ′(0)＝0，解得a ＝2，检验知a ＝2符合题意．(2)令g (x )＝f (x )＋b ＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋52x ＋2(x ＞－2)．g (x )，g ′(x )在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：x (－2,0) 0 (0，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － g (x ) 2ln 2＋b由上表可知函数在x ＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b . 要使f (x )＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (0)＞0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ≤0，2ln 2＋b ＞0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2＜b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．。
高中数学 1.3.2函数的极值与导数学案 新人教A版选修2-2
1.3.2函数的极值与导数学案【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤； 【学习重难点】重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.【学习过程】 一、学前准备：1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数.2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 . 二、合作探究： 探究一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件.典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.【学习检测】1. (A)函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2.(B) 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+ C ．3269y x x x =-- D ．3269y x x x =+- 3. (B)函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. (B)函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a的值为5. (B)函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为6(C)如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？7(C) 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.8(C). 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-. （3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.【小结与反思】。
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1．3.4 函数与导数综合问题
1．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．
2．会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．
基础梳理
1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导数与函数的单调性：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)为常函数．
3．导数与函数的极值点及极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．
4．导数与函数的最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
自测自评
1．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0．
2．函数y＝1＋3x－x3有(D)
A．极小值－1，极大值1
B．极小值1，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
3．设a ＜b ，函数y ＝(x －a )2
(x －b )的图象可能是(C )
解析：y ′＝(x －a )(3x －a －2b )，由y ′＝0，得x ＝a 或x ＝a ＋2b
3
，∴当x ＝a 时，y
取极大值0；当x ＝a ＋2b
3
时，y 取极小值且极小值为负．当x ＜b 时，y ＜0；当x ＞b 时，y
＞0，选C.
基础巩固
1．曲线y ＝x 3
＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是(C ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15
解析：∵y ′＝3x 2
，∴y ′|x ＝1＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，令x ＝0，得y ＝9.故选C.
2．方程2x 3
－6x 2＋7＝0 在区间(0，2)内根的个数为(B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：设f (x )＝2x 3
－6x 2
＋7，则
f ′(x )＝6x 2－12x ，当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，
∴函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又f (0)＝7，f (2)＝－1， ∴方程在(0，2)内只有1个根．
3．若f ′(x )＝4x 3
＋2，则f (x )可能是(C ) A ．f (x )＝4x 4
＋2 B ．f (x )＝x 4
＋2 C ．f (x )＝x 4
＋2x ＋1 D ．f (x )＝4x 4
＋2x
4．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2时，函数的最大值、
最小值分别是________．
解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，令f ′(x )＝0，得x ＝π4，又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2
＝1，即最大值为2，最小值为－1.
答案：2，－1 能力提升
5．若f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d (a ＜0)在R 上为减函数，则(D ) A ．b 2
－4ac ≥0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＝0，c ＞0 D ．b 2
－3ac ≤0
6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0对任意正数
a 、
b ，若a ＜b ，则必有(C )
A ．af (a )≤f (b )
B ．bf (b )≤f (a )
C ．af (b )≤bf (a )
D ．bf (a )≤af (b )
解析：设g (x )＝xf (x )，则由g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，知g (x )在(0，＋∞)上递减． 又0＜a ＜b ，f (x )≥0，∴bf (b )＜af (a )，∴af (b )＜bf (b )＜af (a )＜bf (a )． 当f (x )＝0时，f (b )＝f (a )＝0，∴af (b )≤bf (a )．故选C.
7．若函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0，2]上有最大值f (2)，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝2ax ＋4，f (x )在[0，2]上有最大值f (2)，则要求f (x )在[0，2]上单调递增，则2ax ＋4≥0在[0，2]上恒成立．当a ≥0时，2ax ＋4≥0恒成立．当a ＜0时，要求4a ＋4≥0恒成立，即a ≥－1，所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞) 8．曲线y ＝e －2x
＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是
________．
解析：∵y ′＝－2e
－2x
，
∴y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.
∴所围成的三角形的三个顶点为(0，0)，(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.∴S ＝12×1×23＝13. 答案：1
3
9．函数f (x )＝x 2
＋a ln(1＋x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求a 的取值范围为． 解析：f (x )的定义域为(－1，＋∞)，
f ′(x )＝2x ＋a 1＋x (1＋x )′＝2x ＋a
1＋x ＝2x 2
＋2x ＋a
1＋x
(x ＞－1)，
由题意知2x 2
＋2x ＋a ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根x 1，x 2且x 1＜x 2， 令g (x )＝2x 2＋2x ＋a (x ＞－1)， 故需⎩⎪⎨⎪⎧g －12<0g －1>0，解之得0＜a ＜1
2
.
10．设函数f (x )＝e x
－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；
(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0，求k 的最大值． 解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x
－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a ＞0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．
(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.
故当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0等价于k ＜x ＋1
e x －1＋x (x ＞0)．①
令g (x )＝x ＋1
e x －1
＋x ，
则g ′(x )＝－x e x
－1（e x －1）2＋1＝e x
（e x
－x －2）
（e x －1）
2
. 由(1)知，函数h (x )＝e x
－x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)＜0，h (2)＞0，所以
h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点
为a ，则a ∈(1，2)．
当x ∈(0，a )时，g ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (a )．又由g ′(a )＝0，可得e a
＝a ＋2，所以g (a )＝a ＋1∈(2，3)．由于①式等价于k ＜g (a )，故整数k 的最大值为2.。