【大学物理】§3-3 氢原子量子理论简介
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氢原子的量子力学理论讲义
An integral multiple of wavelengths must fit in the length 2pr, otherwise destructive interference would occur.
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介
可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量 是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋 自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经 过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋 自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布
玻尔的氢原子理论
玻尔的氢原⼦理论§4. 玻尔的氢原⼦理论⼀玻尔(1885-1962)丹麦物理学家尼尔斯·玻尔，⽣于丹麦哥本哈根的⼀个富裕知识分⼦家庭，⽗亲是哥本哈根⼤学⽣理学教授。
1903年进⼊哥本哈根⼤学数学和⾃然科学系，⼤学⼆年级时他热中于研究⽔的表⾯张⼒问题，并在丹麦皇家科学院的有奖征⽂中容获⾦质奖章，1909年获硕⼠学位，1911年以论⽂《⾦属电⼦论的研究》获博⼠学位。
1911年9⽉，他到英国剑桥卡⽂迪什实验室进修，据说他第⼀次与导师J.J.汤姆孙见⾯时，就把他论⽂中批评汤姆孙的段落当⾯指出，使导师很不⾼兴，因⽽给以冷遇。
1912年3⽉转到了曼彻斯特随卢瑟福⼯作，这成了他⼀⽣的重要转折点。
玻尔在卢瑟福实验室⼯作期间（约4个⽉），正值卢瑟福发表有核原⼦理论，并组织对这⼀理论进⾏检验。
玻尔参加了α粒⼦散射实验⼯作，因此清楚这⼀理论所⾯临的困难。
但玻尔坚信卢瑟福有核原⼦模型的正确性，认为“只有量⼦假说是摆脱困难的唯⼀出路”。
1913年提出著名的玻尔原⼦理论。
1916年任哥本哈根⼤学教授，1921年起⼀直领导着该校为他建⽴的理论物理研究所，直到去世。
玻尔于1916年、1927年分别提出对应原理和互补原理，1936年提出原⼦核的液滴核模型，1939年创⽴核裂变理论，预⾔铀的⾃⾝裂变。
曾参加第⼀颗原⼦弹的制造。
1922年因对原⼦结构和原⼦辐射的研究⽽获得诺贝尔物理学奖。
⼆玻尔的氢原⼦理论1．汉森的拜访1912年7⽉回到哥本哈根，1913年初，玻尔的好友、光谱学家汉森(H.M.Hansen)在拜访玻尔时问到原⼦结构和光谱学中的谱线有什么关系？并向玻尔详细介绍了巴尔末的发现，以及谁也⽆法对巴尔末公式作出解释。
2．斯塔克的启⽰1913年2⽉玻尔注意到德国物理学家斯塔克(J.Stark)在《原⼦动⼒学原理》⼀书中的⼀段话：“⼀个光谱的全部谱线是由单独⼀个电⼦造成的，是在这个电⼦从⼀个（⼏乎）完全分离的状态逐次向势能最⼩的状态跃迁过程中辐射出来的。
氢原子的量子力学理论
主量子数决定了电子的能级，是描述电子能量状态的量子数 之一。
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子的量子理论
磁量子数 l 可取2l 1个值 中的取向 Ls ml
自 旋 ms
磁量子数
1 2
决定电子“自旋”角动量在
外场中的取向 Lsz ms
原子壳层结构 ---- 多电子原子的电子分布 1.决定原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
2. 电子分布遵循的两个基本原理 1) 1925年春，美籍奥地利科学家 泡利在汉堡大学提出泡利不相容 原理。 1945年获诺贝尔物理学 奖。
1 2
2s+1=2
s1 2
ms
1 2
B
2
2
原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
名称 符号 取 值
物理意义
主量子数 n 1,2,
0,1,…,n-1
角量子数 l 可取n个值
决定电子能量
E
E1 n2
13.6
1 n2
eV
决定电子 角动量 | L | l(l 1)
m 0,1, l 决定“轨道”角动量在外场
S
原子炉
N
准直屏 磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 2. 电子自旋 1926年荷兰物理学家埃伦斯非特的学生乌伦贝克、高
斯米特提出的电子自旋模型得到承认。狄拉克建立相对论 量子力学，自然得出电子具有内禀角动量的结论。
由史特恩–盖拉赫实验 自旋角动量
Ls
s(s 1) 3 2
Lsz
电子轨道角动量
的特殊方向，使
L
L
在空间取向只能沿一些不连续
在z方向分量 Lz 取值量子化
Lz ml (ml 0,1,2,,l)
例： 2p态 n 2 1 ml 0, 1
L l(l 1) 2 Lz 0,
自 旋 ms
磁量子数
1 2
决定电子“自旋”角动量在
外场中的取向 Lsz ms
原子壳层结构 ---- 多电子原子的电子分布 1.决定原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
2. 电子分布遵循的两个基本原理 1) 1925年春，美籍奥地利科学家 泡利在汉堡大学提出泡利不相容 原理。 1945年获诺贝尔物理学 奖。
1 2
2s+1=2
s1 2
ms
1 2
B
2
2
原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
名称 符号 取 值
物理意义
主量子数 n 1,2,
0,1,…,n-1
角量子数 l 可取n个值
决定电子能量
E
E1 n2
13.6
1 n2
eV
决定电子 角动量 | L | l(l 1)
m 0,1, l 决定“轨道”角动量在外场
S
原子炉
N
准直屏 磁铁
与实验结果不符，无法用上述三个量子数解释。 2. 电子自旋 1926年荷兰物理学家埃伦斯非特的学生乌伦贝克、高
斯米特提出的电子自旋模型得到承认。狄拉克建立相对论 量子力学，自然得出电子具有内禀角动量的结论。
由史特恩–盖拉赫实验 自旋角动量
Ls
s(s 1) 3 2
Lsz
电子轨道角动量
的特殊方向，使
L
L
在空间取向只能沿一些不连续
在z方向分量 Lz 取值量子化
Lz ml (ml 0,1,2,,l)
例： 2p态 n 2 1 ml 0, 1
L l(l 1) 2 Lz 0,
氢原子的量子理论简介
粒子在 x方向上的位置完全不确定.
第十五章 量子物理
33
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
自由粒子平面波函数
Ψ
( x,t
)
i
0e
2π h
( Et
px )
2 波函数的统计意义
概率密度 表示在某处单位体积内粒子 出现的概率
Ψ 2 *
正实数
第十五章 量子物理
34
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
例1 一束电子中，电子的动能 200eV， 求此电子的德布罗意波长 .
解
v c,
Ek
1 2
m0v2
v 2Ek m0
第十五章 量子物理
6
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
v
2
2001.6 1019 9.11031
m
s1
8.4 106
m
s-1
v c
第十五章 量子物理
2
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
德布罗意（1892 — 1987）
法国物理学家 1924年他在博士论文《关于 量子理论的研究》中提出把粒子 性和波动性统一起来. 5年后为此 获得诺贝尔物理学奖.爱因斯坦誉 之为“揭开一幅大幕的一角”. 它为量子力学的建立提供
了物理基础.
h m0v
6.631034 9.11031 8.4106
nm
8.67102 nm
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.
第十五章 量子物理
玻尔的氢原子理论
玻尔的氢原子理论
为此,J.汤姆孙在1904年提出了原子结构的枣糕式模型.该模型认 为，原子可以看作一个球体，原子的正电荷和质量均匀分布在球内， 电子则一颗一颗地镶嵌其中.1909年，J.汤姆孙的学生卢瑟福为了验证 原子结构的枣糕式模型，完成了著名的α粒子散射实验.实验发现α粒 子在轰击金箔时，绝大多数α粒子都穿透金箔，方向也几乎不变，但 是大约有1/8 000的α粒子会发生大角度偏转，即被反弹回来.这样的 实验结果是枣糕式模型根本无法解释的，因为如果说金箔中的金原子 都是枣糕式的结构，那么整个金箔上各点的性质应该近乎均匀，α粒 子轰击上去，要么全部透射过去，要么全部反弹回来，而不可能是一 些穿透过去，一些反弹回来.
玻尔的氢原子理论
二、 原子结构模型
1897年，J.汤姆孙发现了电子.在此之前，原 子被认为是物质结构的最小单元，是不可分的，可 是电子的发现却表明原子中包含带负电的电子.那 么，原子中必然还有带正电的部分，这就说明原子 是可分的，是有内部结构的.执着的科学家就会继 续追问：原子的内部结构是什么样的？简洁的里德 伯光谱公式是不是氢原子内部结构的外在表现？
玻尔的氢原子理论
三、 玻尔的三点基本假设
为了解决原子结构有核模型的稳定性和氢原子光谱的分 立性问题，玻尔提出以下三个假设：
（1）定态假设.原子中的电子绕着原子核做圆周运动， 但是只能沿着一系列特定的轨道运动，而不能够任意转动， 当电子在这些轨道运动时，不向外辐射电磁波，原子系统处 于稳定状态，具有一定的能量.不同的轨道，具有不同的能 量，按照从小到大的顺序记为E1、E2、E3等.
玻尔的氢原子理论
可是这个模型却遭到很多物理学家的质疑.因为按照当时的物 理理论（包括经典力学、经典电磁理论及热力学统计物理），这 样一个模型是根本不可能的，原因有以下两个：
大学物理氢原子的玻尔理论
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
L mvr nh / 2
n 1,2,3,4
n 为主量子数，上式叫量子化条件。 假设3 当原子从定态 Ei 跃迁到定态 Ef 要发 射或吸收频率为 的光子，
|Ei - E f | h |Ei - Ef |， h 当 Ei>Ef 原子发射光子。 当 Ei<Ef 原子吸收光子。
1.055 10
-34
J s
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
L1 v1 mer1
1.055 10 -31 -10 9.11 10 0.529 10
-34
2.19 10 m/s
6
例2：用 12.6eV 的电子轰击基态原子，这 些原子所能达到最高态。 解：如果氢原子吸收电子全部能量它所具 有能量
-13.6eV
4
②.激发态 n >1 的为激发态。
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
E1 E2 2 -3.4eV 2 E1 E3 2 -1.51eV 3 E1 E4 2 -0.85eV 4
n
n4
n3
n2
E 0
布拉开系 帕邢系 巴尔末系
- 0.85eV - 1.51eV
四、氢原子的玻尔理论
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
玻尔（Niels Henrik David Bohr ，1885--1962丹 麦理论物理学家，现代物理学的创始人之一。1911年， 他来到卡文迪什实验室，在J.J.汤姆逊的指导下学习 和研究，当得知卢瑟福从 粒子散射实验提出了原子 的有核模型后，他深感亲佩，同时也非常理解该模型 所遇到的困难。于是他又转赴卢瑟福实验室求学，并 参加 粒子散射的实验工作，他坚信卢瑟福的有核模 型，认为要解决原子的稳定性问题，必须用量子概念 对经典物理来一番改造。终于在1913年发表了《论原 子构造与分子构造》等三篇论文，正式提出了在卢瑟 福原子有核模型基础上的关于原子稳定性和量子跃迁 理论的三条假设，从而完满地解释了氢原子光谱的规 律。玻尔的成功，使量子理论取得重大进展，推动了 量子物理学的形成，具有划时代的意义。
L mvr nh / 2
n 1,2,3,4
n 为主量子数，上式叫量子化条件。 假设3 当原子从定态 Ei 跃迁到定态 Ef 要发 射或吸收频率为 的光子，
|Ei - E f | h |Ei - Ef |， h 当 Ei>Ef 原子发射光子。 当 Ei<Ef 原子吸收光子。
1.055 10
-34
J s
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
L1 v1 mer1
1.055 10 -31 -10 9.11 10 0.529 10
-34
2.19 10 m/s
6
例2：用 12.6eV 的电子轰击基态原子，这 些原子所能达到最高态。 解：如果氢原子吸收电子全部能量它所具 有能量
-13.6eV
4
②.激发态 n >1 的为激发态。
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
E1 E2 2 -3.4eV 2 E1 E3 2 -1.51eV 3 E1 E4 2 -0.85eV 4
n
n4
n3
n2
E 0
布拉开系 帕邢系 巴尔末系
- 0.85eV - 1.51eV
四、氢原子的玻尔理论
§4.氢原子的玻尔理论 / 四、氢原子的玻尔理论
玻尔（Niels Henrik David Bohr ，1885--1962丹 麦理论物理学家，现代物理学的创始人之一。1911年， 他来到卡文迪什实验室，在J.J.汤姆逊的指导下学习 和研究，当得知卢瑟福从 粒子散射实验提出了原子 的有核模型后，他深感亲佩，同时也非常理解该模型 所遇到的困难。于是他又转赴卢瑟福实验室求学，并 参加 粒子散射的实验工作，他坚信卢瑟福的有核模 型，认为要解决原子的稳定性问题，必须用量子概念 对经典物理来一番改造。终于在1913年发表了《论原 子构造与分子构造》等三篇论文，正式提出了在卢瑟 福原子有核模型基础上的关于原子稳定性和量子跃迁 理论的三条假设，从而完满地解释了氢原子光谱的规 律。玻尔的成功，使量子理论取得重大进展，推动了 量子物理学的形成，具有划时代的意义。
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1
r 2 sin2
1 r2
r
(r 2
) r
1 r2
2
1
其中
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
将上式代入前式，得
1 r2
r
(r 2
)
r
1 r2
Ω 2
2me 2
[E
U
(r)]
0
波函数表示为
(r,,) R(r)Y(,)
将上式代入前式，得
1 d (r 2 dR ) 2me r 2 [E U (r)] 1 2Y
2
() ()d
1
0
1
A
2
() 1 eim
2
为确保极角波函数()的有限性，必须满足
= l(l+1) , l = 0, 1, 2, ···
并且 m l ，即
m = 0, 1, 2, ···, l
将()和()合并，并正交归一化，得
Ylm(,) ()() 球谐函数
(1)m
(2l 4
1)
(l (l
En 的本征函数
nlm (r,,) Rnl (r)Ylm (,)
本征函数nlm (r, , )也就是在一定的主量子数n、角量子数l和磁量子数m时氢原 子(或者说氢原子中的电子)所处的量子态。这个量子态的本征能量En 只决定于主 量子数n，而与角量子数l和磁量子数m无关。
对于任何一个主量子数n，共有
径向波函数Rnl (r)中的a应以a = a/Z代替，则有
a
4 02
me q 2
4 02
me Ze2
a Z
能级公式
En
me Z 2e4
22 (4 0 )2 n2
,
n 1, 2,
关于氢原子的其他结论都可依此类推，而用于类氢离子。
m)! m)!
Pl m
(cos
)eim
5
将 = l(l+1)和球谐函数代入
1
sin
(sin
Y )
1
sin2
Y
Y
0
得
[1
sin
(sin
)
1
sin2
]Ylm (,) l(l
1)Ylm (,)
将角动量平方算符代入上式，得
其本征值为
L2Ylm (,) l(l 1)2Ylm (,)
L2 = l(l+1)
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2me 2
(E
U)
l(l 1)]R r2
0
令 于是
R(r) u(r)
r
d2u(r ) dr 2
[
2me 2
(E
U
)
l(l 1)]u(r) r2
0
势能为
e2 U (r)
es2
4π0r r
其中
es2
e2
4 0
因E < 0，将上式代入上上式，得
d 2 u(r ) dr2
n1
(2l 1) n2
l0
个量子态都对应于相同的能量本征值En，这种情形就称为能级En是简并的，或者 更具体地说，定态能级En的简并度是n2。
11
五、类氢离子 势能为
U (r) Ze2 q2 其中 q Z e 4π0r 4π0r
定态波函数仍为
nlm (r,,) Rnl (r)Ylm (,)
径向波函数Rnl (r)中 何多项式。
F(l 也1 是 一n,个2l特殊2函, 数2r，)称为(l+1n)阶合流超几 na
a的具体形式为
a 2 4 02
me es2
me e2
9
满足束缚态条件时，有 由上式可得氢原子的能量本征值为
me 2E
es2
n,n 1,2,3,
En
me es4 2 2 n 2
me e4
22 (4 0 ) 2 n2
,
n 1, 2,3,
这就是氢原子的能级公式，与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致。
从能级公式可以看到，E=0，这就是电离的情形。
当n = 1，即氢原子处于基态时，能量为
E1
mee 4
22 (4π0 )2
13.597eV
10
四、能量的本征函数和能级的简并度
算符的本征值为
Lz m m = 0, 1, 2, ···, l
m称为磁量子数，表示电子轨道角动量的z分量的大小。
轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角动 量的空间量子化。
7
三、径向波函数和氢原子的能级
将 = l(l+1)代入径向波函数R (r)所满足的方程,得
1 r2
d
d
d 2
设常数m2，则上式分成两个方程
1 d (sin d ) ( m2 ) 0
sin d
d
sin2
d 2 d 2
m2
0
3
氢原子中电子波函数(r,,)的三个组成部分R(r)、()和()分别满
足的方程为
1 r2
d dr
(r 2
dR ) dr
[
2me 2
(E
U)
r2
]R
0
1
sin
d
d
(sin
d ) d
(
m2 sin 2
)
0
d2 m2 0 d 2
二、角动量的本征函数和相应的量子数
方位角波函数()是上式的解，即
() Aeim
()是单值的，满足() = ( +2)，即
Ae Ae im
im( 2 ) m只能取整数0, 1, 2, ···
4
根据归一化条件，得 归一化系数为 归一化方位角波函数为
R dr dr
2
Y
设这个常量为，于是由上式，得
1 r2
d dr
(r 2
dR dr
)
[
2me 2
(E
U)
r 2 ]R
0
2Y Y 0 2
上式的具体形式是
1
sin
(sin
Y )
1
sin2
Y
Y
0
将Y(,)表示为两个函数的乘积
Y ( ,) Θ( )Φ()
将上式代入前式，得
sin d (sin d ) sin2 1 d 2
§3-3 氢原子量子理论简介
一、有心力场中的薛定谔方程
系统的势能为 哈密顿算符为 定态薛定谔方程为
U (r) e2
4 0r
Hˆ p2 U(r) 2 2 U(r)
2me
2me
2
2me 2
[E
U(r)]
0
将拉普拉斯算符写为球坐标的形式
2
1 r2
r
(r 2
) r
1
r2 sin
(sin
)
[
2me E 2
2me es2 2r
l(l r2
1) ]u(r)
0
8
由上式解得的径向波函数为
Rnl(r)来自unl (r r)
N nl er
/
na
(
2r na
)l
F(l
1
n,2l
2,
2r na
)
归一化系数为
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
式中 n = 1, 2, 3, , l = 0, 1, 2, , (n-1)
2
由此求得动量的本征值为
L l(l 1)
L称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外 电子相对于核的角动量，称为轨道角动量。
6
L 球谐函数Ylm (,)既是算符 的本征函数，2 也是算符
L的2z 本征函数，故有
Lˆ2zYlm ( , ) (i)2 Ylm ( , ) (i)2 (im)2 Ylm ( , ) m 22Ylm ( , )