t检验和Z检验
一文搞懂Z检验,T检验,x2检验
一文搞懂Z检验，T检验，x2检验作者：Bob大叔，香港精益六西格玛黑带
三种检验方法的介绍
Z检验举例：
某产品，其装量服从N（2.1，0.012），即均值2.1，标准差0.01。
抽取15个样品，其测量值如下：
2.08 2.10 2.10
2.09 2.10 2.10
2.09 2.09 2.11
2.09 2.12 2.10
2.10 2.10 2.10
建立假设H0:μ=2.1，H1 μ≠2.1，由于σ已知，故选择Z检验
操作如下：
P=0.36>0.05，无法拒绝原假设H0, 所以认为取样的平均装量没有变化。
t检验举例：
某设备的OEE目标为70%，连续15天的OEE如下，请判断OEE是否已达到70%目标？
由于σ（标准差）未知，且为小样本，故而选择，t检验
建立假设：HO: μ=70%, H1>70%,
操作如下：
P=0.252>0.05，无法拒绝原假设，说明0EE并未大于70%。
X2检验举例：
已知某产品装量，符合N（μ，σ2）分布，μ未知，但是要求标准差不能超过0.01，随机抽取30个样品，请问标准差是否有变化？
由于μ未知，故而选择X2检验，
建立假设：H0:σ=0.01, H1:σ≠0.01
操作如下：
（weixin gongzhonghao: HK_BobUncle）
P=0.303>0.05, 无法拒绝原假设，说明标准差无变化。
假设检验与样本数量分析①——单样本Z检验和单样本t检验
X
32.03 + 32.14 + … + 31.87 15
…
1.9 2.0
…
0.029 0.023
…
0.028 0.022
…
0.027 0.022
…
0.0226 0.020
…
0.025 0.020
…
0.024 0.019
…
0.024 0.019
…
0.023 0.018
原假设 （零假设）即上述的可能，符号是H0
备择假设（与原假设对立的假设），符号是H1
如本例：假设外径尺寸 H0：（μ = 32） H1： （μ≠32） 确立检验水准： α——显著水平（通常取α=0.05）
显著水平α是当原假设正确却被拒绝的概率 通常人们取0.05或0.01 这表明，当做出接受原假设的决定时，其正确的可 能性（概率）95% 或99% 概率是0～1之间的一个数，因此小概率就是接近0的 一个数 英国统计家Ronald Fisher 把0.05作为标准，从此0.05 或比0.05小的概率都被认为是小概率
8 作出不拒绝零假设的统计结论，即外径尺寸 均值没有偏离目标Ф 32
<6>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识
接上页
假设检验的例子（1）
检验 α = 0.05
临界值 临界值
2
=0.025
拒绝范围
1 – α = 95%
不拒绝H0范围
2
=0.025
根据小概率原理，可以先假设总体参数的 某项取值为真，也就是假设其发生的可能 性很大，然后抽取一个样本进行观察，如 果样本信息显示出现了与事先假设相反的 结果（显示出小概率），则说明原来假定 的小概率事件(一次实验中是几乎不可能发 生）在一次实验中居然真的发生了，这是 一个违背小概率原理的不合理现象，因此 有理由怀疑和拒绝原假设；否则不能拒绝 原假设。 在给定了显著水平α 后，根据容量为n的样 本，按照统计量的理论概率分布规律，可 以确定据以判断拒绝和接受原假设的检验 统计量的临界值。 临界值将统计量的所有可能取值区间分为 两个互不相交的部分，即原假设的拒绝域 和接受域。
假设检验的几种方法
假设检验的几种方法假设检验是统计学中常用的一种技术。
它可以帮助人们查看样本数据是否具有代表性，并据此作出关于总体数据的推断。
假设检验的目的是对一个关于总体的假设进行检验，看样本数据是否支持这个假设，或者是否应该拒绝这个假设。
假设检验方法的选择取决于所要检验的问题，而统计学家通常会使用以下四种方法：1. Z检验Z检验适用于大样本，即样本数量大于30个，总体标准差已知的情况下。
它用于检验给定样本均值是否与总体均值相等，或两个样本均值是否相等。
该检验将样本均值与总体均值之间的差异量标准化，得到标准差，从而得出样本和总体均值之间的关系。
2. t检验t检验适用于小样本情况，即样本数量少于30个，总体标准差未知，并且样本符合正态分布。
它用于检验给定样本均值是否与总体均值相等，或两个样本均值是否相等。
该检验将样本均值与总体均值之间的差异量标准化，得出t值，然后与t分布表中相应值比较，从而得出样本和总体均值之间的关系。
3.单尾检验单尾检验是针对所检验的问题的方向（即是大于还是小于）进行的检验。
它根据所研究的问题，将给定样本的假设分为单尾和双尾假设。
单尾检验用于检验一个样本是否比另一个样本更高（或更低），并估计差异的显著性。
4.双尾检验双尾检验用于检验给定样本均值是否与一个已知总体值相等，或者检验两个样本之间的差异是否显著。
它提供了一种可靠的方法，用于估算样本均值与总体均值之间的差异，并考虑标准误差的影响。
总之，假设检验方法的选择应该取决于分析者要研究的问题。
在尽可能保持样本数据的准确性的情况下，正确选择假设检验方法可以提高数据分析的效果。
z检验u检验、t检验、F检验、卡方检验使用条件(草稿)
z 检验/u 检验、t 检验、F 检验、卡方检验使用条件1. z 检验/u 检验（1）当样本容量30n >，即大样本时，样本相关系数r 就近似服从正态分布，经过对r 标准化变换后，则得到检验统计量：r r u σ= 或 σ=r rz 式中，r σ表示样本相关系数r 的抽样平均误差，即样本相关系数与总体相关系数之间的平均偏差。
（2）当在0ρ≠的总体中随机抽样时，样本相关系数r 并不呈正态分布，若要测定相关系数与0ρ≠的数值是否显著，或测定两个相关系数之间的差异是否显著，即从两个已知样本相关系数推断其总体相关系数是否相等的假设，费歇（Fisher ）在1921年提出了如下方法: 012:H ρρ= 112:H ρρ≠11ln 21r r z r +=- 经过对r 变化，则r z 就接近正态分布。
r z 的标准差为：()r z σ= 在简单直线方程式中只有两个参数，故2m =，则()r z σ=因此，此时可用正态分布方法进行检验。
The general form of a lower-tail test, whereis the stated value for the population mean, follows.Large-Sample (30≥n ) Hypothesis Test About a Population Mean for a One-Tailed Test of the Form00:μμ≥H 0:μμ<a HTest Statistic ：σ Assumed Knownn x z /0σμ-=Test Statistic ：σ Estimated by s0μn s x z /0μ-=Rejection RuleUsing test statistic ：Reject 0H if α<-z zUsing -p value ：Reject 0H if α<-value p2.t 检验当样本容量30n <，即小样本时，如果总体相关系数0ρ=，则样本相关系数r 的抽样分布随着样本容量n 的增大而逐渐地趋近于自由度为n m -的t 分布。
t检验与z检验.PPT
差异有统计学意义（P<0.01），
故拒绝H0，认为该地男、女间红细胞数
有显著差别，男高于女。
.
24
t 检验的应用条件
1、正态性 2、方差齐性
.
25
方差齐性检验
两独立样本均数比较的t 检验，
要求相应的两总体方差相等，即方 差具有齐性。为此，我们要对两样 本的方差作统计学检验
140
27
2
150
138
-12
3
150
140
-10
4
135
135
0
5
128
135
7
6
100
120
20
7
110
147
37
8
120
114
-6
9
130
138
8
10
123
120
-3
使用配对ｔ检验
解：１.建立检验假设，确定检验水准
Ｈ0：μd=0，假设该药不影响血红蛋白的变
化，即治疗前后总体差数为0。
Ｈ1：μd≠0 ，假设该药影响血红蛋白的变
.
21
1. H0 : μ1= μ2 ，即该地男、女红细胞数相
同,
Ｈ1 : μ1 ≠ μ2 ，该地男、女红细胞数不相
同。
α=0.05.
.
22
2. 计算Ｚ 值
Z
X1 X2
S
2 1
S
2 2
n1 n 2
4.654.22
6.97
(0.55)2 (0.44)2
156 104
第4章 t检验和Z检验
13.5
11
21.1
11
14.8
12
15.2
12
15.6
13
18.7
❖ 建立检验假设，确定检验水准
H0：1=2 H1：12
0.05。 ❖ 计算检验统计量
由原始数据算得:n1=12，X1=182.5，X12=2953.43，n2=13，X2=141.0，
X22=1743.16， X1=ΣX1/n1=182.5/12=15.21， X 2 =ΣX2/n2=14.16/13=10.85
正常人与高血压患者的血清胆固醇含量 有差别，高血压患者高于正常人。
第六节 假设检验中两类错误
由样本推断的结果
真实结果 拒绝H0 H0成立 Ⅰ型错误
－ )
不拒绝H0
推断正确(1
H0不成立 推断正确（1－b） Ⅱ型错 ❖误（b 1－ b ）即把握度（power of a test)，也称检
验效能:两总体确有差别，被检出有差别的能力
表 5-2 25 名糖尿病患者两种疗法治疗后二个月血糖值(mmol/L)
编号
甲组血糖值(X2)
编号
乙组血糖值(X2)
1
8.4
1
5.4
2
10.5
2
6.4
3
12.0
3
6.4
4
12.0
4
7.5
5
13.9
5
7.6
6
15.3
6
8.1
7
16.7
7
11.6
8
18.0
8
12.0
9
18.7
9
13.4
10
20.7
10
教育科研中的统计方法——Z检验和t检验
教育科研中的统计方法——Z检验和t检验乌海市海勃湾区教研室王根运通常我们用平均分比较两个班的成绩的优劣是不妥的。
即某次考试中初二、二班数学成绩平均分低于初二、五班的平均分，不一定说明初二、二班数学真实成绩比初二、五班的差。
这是因为一个班的的平均成绩具有统计意义，存在抽样误差，其平均成绩在一定范围内波动，假如再进行一次考试也许初二、二班数学成绩平均分高于初二、五班的平均分。
所以比较成绩时应用平均数差异的显著性检验更科学。
统计学中平均数差异的显著性检验时规定一个显著性水平，经过检验所得差异超过这个显著性水平，表明这个差异不属于抽样误差，确实存在差异，反之属于抽样误差。
这个平均数差异的显著性检验在教育科研统计中总结为Z检验或t 检验。
一般地样本容量大于30时，用Z检验；样本容量小于30时，用t检验。
当问题所给的条件用t检验方便时，样本容量虽然大于30，也可以用t检验。
下面是样本容量大于30时的Z检验和样本容量小于30时的t检验案例。
一、样本容量大于30时的Z检验案例：比较初三第一学期期末实验班和对比班的化学成绩表1、初三、八班（实验班）第一学期期末化学成绩表表2、初三、七7班（对比班）第一学期期末化学成绩表时间：2010年1月实验班和对比班学生人数均为52，样本容量大于30，用Z 检验看实验班和对比班成绩有无显著性差异（用计算机处理）。
实验班：初三、八班,据表1,样本容量：n 1=52,平均分：1X =11n X∑=69.84每个学生分数与平均分离差的平方和：∑21d ==-∑211)(X X 13243.86 标准差：S 1=121n d ∑=15.96对比班：初三、七班，据表2，样本容量：n 2=52, 平均分 ：2X =22n X ∑=66.92每个学生分数与平均分离差的平方和：∑22d ==-∑222)(X X 7967.19标准差：S 2=222n d ∑=12.38, Z=22212121n S n S X X +-=1.043Z 检验的判断方法： 0＜Z ＜1.96时，两个班的成绩无显著性差异；1.96＜Z ＜2.58时，两个班的成绩成绩有显著性差异。
第七章 t检验和z检验课件
t
X1 X2
( n1
1
)
S
2 1
(n2
1
)
S
2 2
(
1
1
)
n1பைடு நூலகம் n2 2
n1 n2
2.656 5.150
7.581
(9 1)0.475 2 (8 1)0.852 2 (1 1 )
982
98
n1 n2 2 1 5
3. 确定P值, 作出推断结论
查t界值表得, t0.05/2,15＝2.131, t0.01/2,15=2.947,
资料所提供的信息: 1. 计量资料 2. 配对设计。
表7.1 贫血患儿治疗一个疗程前后血红蛋白(g/L)变化情况
对上面问题可以作如下考虑：
治疗前后血红蛋白 的变化（差值）
d
问题归纳： 样本疗效
样本
n10 Sd7.96d137.53
d 0?
药物作用 + 机遇
d33.5
μ 0? d
问题：| d 究0 |竟多大能够下“有效”的结论？
对资料进行分析: 1. 资料提供的信息: 小样本计量资料
已知总体均数0=72次/分, n=25,
x74.2次/分S = 6.0次/分。 2. 应进行样本均数与已知总体均数比
较的t 检验。 3. 目的: 推断样本所代表的未知总体均
数与已知的总体均数有无差别。
(1) 建立检验假设，确定检验水准
H0：=0, 山区成年男子脉搏均数与一般成年
S/ n 6 25
0.01＜p＜0.05
例7.2 以往通过大规模调查已知某地新 生儿出生体重为3.30kg, 从该地难产儿中 随机抽取35名新生儿作为研究样本,平均 出生体重为3.42kg, 标准差为0.40kg。问 该地难产儿出生体重是否与一般新生儿体 重不同？
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药物治疗
1
？ ＝
药物治疗合 并饮食疗法
2
推断
甲组
n1=12
XX1 =15.21
乙组 n2=13 X 2=10.85
t 检验——问题提出
▪ 根据研究设计,t检验有三种形式：
➢单个样本的t检验 ➢配对样本均数t检验(非独立两样本均数t
检验)
➢两个独立样本均数t检验
第一节 单个样本t检验
▪ 又称单样本均数t检验(one sample t test),适 用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,目的是 检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总 体均数μ0有差别。
▪ 配对设计主要有三种情况：
（1）将受试对象按某些混杂因素（如性别、年龄、窝别 等）配成对子，每对中的两个个体随机分配给两种处理 （如处理组与对照组）； （2）同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分别进 行不同处理（或测量）。 （3）同一受试对象自身前后对照。
配对t检验原理
▪ 配对设计的资料具有对子内数据一一对应的特征, 研究者应关心是对子的效应差值而不是各自的效 应值。
表 5-1 12 名儿童分别用两种结核菌素的皮肤浸润反应结果(mm)
编号
标准品 新制品 差值 d
d2
1
12.0
10.0
2.0
4.00
2
14.5
10.0
4.5
20.25
3
15.5
12.5
3.0
9.00
4
12.0
13.0
-1.0
1.00
5
13.0
10.0
3.0
9.00
6
12.0
5.5
6.5
42.25
7
平均出生体重不同。
第二节 配对样本均数t检验
▪ 简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样 本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比
较。 ▪ 配对设计(paired design)是将受试对象按某些特
征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机 地给予两种处理。
配对设计概述
▪ 应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理 因素，提高统计处理的效率。
第四章 t检验和Z检验
第一节 t检验
▪ 以 t分布为基础的检验为t检验。
▪ 在医学统计学中，t检验是非常活跃的 一类假设检验方法。
▪ 医疗卫生实践中最常见的是计量资料两 组比较的问题
25例糖尿病患者 随机分成两组， 总体 甲组单纯用药物 治疗，乙组采用 药物治疗合并饮 食疗法，二个月 后测空腹血糖 (mmol/L) 问两种 样本 疗法治疗后患者 血糖值是否相同？
10.5
8.5
2.0
4.00
8
7.5
6.5
1.0
1.00
9
9.0
5.5
3.5
12.25
10
15.0
8.0
7.0
49.20
11
13.0
6.5
6.542.2512 Nhomakorabea10.5
合计
9.5
1.0
1.00
39(d)
195(d2)
1.建立检验假设，确定检验水准
H0：d=0 H1：d0 0.05
2. 计算检验统计量本例 d = 39， d 2 195。
表5.5 两组乳猪脑组织钙泵含量（μg/g）
乳猪号 1 2 3 4 5 6 7
对照组 0.355 0.200 0.313 0.363 0.354 0.345 0.305
实验组 0.276 0.255 0.180 0.323 0.311 0.296 0.287
例5-6 ▪ 为研究某新的降压药对高血
压患者舒张压的影响，随机 抽取了10名高血压患者，分 别在其用药前和用药后一个 月测量其舒张压，试问该降 压药对高血压患者的舒张压 是否有影响？
➢ 查附表2，得t0.05/2,11 = 2.201， 本例t > t0.05/2,11， P < 0.05，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可
认为两种方法皮肤浸润反应结果有差别。
例5-5 ▪ 某医生研究脑缺氧对脑组
织中生化指标的影响，将 乳猪按出生体重配成7对， 一组为对照组，一组为脑 缺氧模型组，试比较两组 猪脑组织钙泵的含量有无 差别？
▪ 进行配对t检验时，首选应计算各对数据间的差值 d，将d作为变量计算均数。
▪ 配对样本t检验的基本原理是假设两种处理的效应 相同，理论上差值d的总体均数μd 为0，现有的 不等于0差值样本均数可以来自μd = 0的总体,也 可以来μd ≠ 0的总体。
配对t检验原理
▪ 可将该检验理解为差值样本均数与已知总体均数
表5.6 10名高血压患者用药前后舒张压 的测定值（mmHg）
患者号
➢ 先计算差数的标准差
Sd
d
2
d
n
2
n 1
392
195 12 2.4909
12 1
➢ 计算差值的标准误 S Sd 2.4909 0.7191 d n 3.464
按公式计算，得：
d 3.25
t
4.5195
Sd 0.7191
▪ 3.确定 P 值，作出推断结论
➢ 自由度计算为 ν=n-1=n-1=12-1=11，
μd（μd = 0）比较的单样本t检验,其检验统计
量为：
t d d d 0 d
S d
S d
Sd
n
实例分析
例5.2
▪ 有12名接种卡介苗的儿童，8周后用两批不 同的结核菌素，一批是标准结核菌素，一 批是新制结核菌素，分别注射在儿童的前 臂，两种结核菌素的皮肤浸润反应平均直 径(mm)如表5-1所示，问两种结核菌素的反 应性有无差别。
t X 0 X 0 3.42 3.30 1.77
S X
S
0.40 / 35
n
3. 确定P值，做出推断结论
本例自由度n-135-134，查附表2，得t0.05/2,34=2.032。 因为t t0.05/2,34，故P0.05，按 0.05水准，不拒绝H0，
差别无统计学意义，尚不能认为该地难产儿与一般新生儿
0
样本
X
自由度＝n-1
例5.1 ：
▪ 以往通过大规模调查已知某地新生儿出生 体重为3.30kg。从该地难产儿中随机抽取 35名新生儿,平均出生体重为3.42kg,标准 差为0.40kg,问该地难产儿出生体重是否与 一般新生儿体重不同?
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0：0 H1：0 0.05
2. 计算检验统计量
▪ 已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量
观察得到的较稳定的指标值。
▪ 应用条件——总体标准未知的小样本资料( 如 n<50),且服从正态分布。
单个样本 t 检验原理
在 H0 : = 0的假定下， 可以认为样本是从已知总
体中抽取的，根据t分布 的原理，单个样本t检验 的公式为：
未知总体
已知总体