教育科研中的统计方法——Z检验和t检验
一文搞懂Z检验,T检验,x2检验
一文搞懂Z检验，T检验，x2检验作者：Bob大叔，香港精益六西格玛黑带
三种检验方法的介绍
Z检验举例：
某产品，其装量服从N（2.1，0.012），即均值2.1，标准差0.01。
抽取15个样品，其测量值如下：
2.08 2.10 2.10
2.09 2.10 2.10
2.09 2.09 2.11
2.09 2.12 2.10
2.10 2.10 2.10
建立假设H0:μ=2.1，H1 μ≠2.1，由于σ已知，故选择Z检验
操作如下：
P=0.36>0.05，无法拒绝原假设H0, 所以认为取样的平均装量没有变化。
t检验举例：
某设备的OEE目标为70%，连续15天的OEE如下，请判断OEE是否已达到70%目标？
由于σ（标准差）未知，且为小样本，故而选择，t检验
建立假设：HO: μ=70%, H1>70%,
操作如下：
P=0.252>0.05，无法拒绝原假设，说明0EE并未大于70%。
X2检验举例：
已知某产品装量，符合N（μ，σ2）分布，μ未知，但是要求标准差不能超过0.01，随机抽取30个样品，请问标准差是否有变化？
由于μ未知，故而选择X2检验，
建立假设：H0:σ=0.01, H1:σ≠0.01
操作如下：
（weixin gongzhonghao: HK_BobUncle）
P=0.303>0.05, 无法拒绝原假设，说明标准差无变化。
假设检验与样本数量分析①——单样本Z检验和单样本t检验
X
32.03 + 32.14 + … + 31.87 15
…
1.9 2.0
…
0.029 0.023
…
0.028 0.022
…
0.027 0.022
…
0.0226 0.020
…
0.025 0.020
…
0.024 0.019
…
0.024 0.019
…
0.023 0.018
原假设 （零假设）即上述的可能，符号是H0
备择假设（与原假设对立的假设），符号是H1
如本例：假设外径尺寸 H0：（μ = 32） H1： （μ≠32） 确立检验水准： α——显著水平（通常取α=0.05）
显著水平α是当原假设正确却被拒绝的概率 通常人们取0.05或0.01 这表明，当做出接受原假设的决定时，其正确的可 能性（概率）95% 或99% 概率是0～1之间的一个数，因此小概率就是接近0的 一个数 英国统计家Ronald Fisher 把0.05作为标准，从此0.05 或比0.05小的概率都被认为是小概率
8 作出不拒绝零假设的统计结论，即外径尺寸 均值没有偏离目标Ф 32
<6>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识
接上页
假设检验的例子（1）
检验 α = 0.05
临界值 临界值
2
=0.025
拒绝范围
1 – α = 95%
不拒绝H0范围
2
=0.025
根据小概率原理，可以先假设总体参数的 某项取值为真，也就是假设其发生的可能 性很大，然后抽取一个样本进行观察，如 果样本信息显示出现了与事先假设相反的 结果（显示出小概率），则说明原来假定 的小概率事件(一次实验中是几乎不可能发 生）在一次实验中居然真的发生了，这是 一个违背小概率原理的不合理现象，因此 有理由怀疑和拒绝原假设；否则不能拒绝 原假设。 在给定了显著水平α 后，根据容量为n的样 本，按照统计量的理论概率分布规律，可 以确定据以判断拒绝和接受原假设的检验 统计量的临界值。 临界值将统计量的所有可能取值区间分为 两个互不相交的部分，即原假设的拒绝域 和接受域。
t检验和Z检验
药物治疗
1
？ ＝
药物治疗合 并饮食疗法
2
推断
甲组
n1=12
XX1 =15.21
乙组 n2=13 X 2=10.85
t 检验——问题提出
▪ 根据研究设计,t检验有三种形式：
➢单个样本的t检验 ➢配对样本均数t检验(非独立两样本均数t
检验)
➢两个独立样本均数t检验
第一节 单个样本t检验
▪ 又称单样本均数t检验(one sample t test),适 用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,目的是 检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总 体均数μ0有差别。
▪ 配对设计主要有三种情况：
（1）将受试对象按某些混杂因素（如性别、年龄、窝别 等）配成对子，每对中的两个个体随机分配给两种处理 （如处理组与对照组）； （2）同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分别进 行不同处理（或测量）。 （3）同一受试对象自身前后对照。
配对t检验原理
▪ 配对设计的资料具有对子内数据一一对应的特征, 研究者应关心是对子的效应差值而不是各自的效 应值。
表 5-1 12 名儿童分别用两种结核菌素的皮肤浸润反应结果(mm)
编号
标准品 新制品 差值 d
d2
1
12.0
10.0
2.0
4.00
2
14.5
10.0
4.5
20.25
3
15.5
12.5
3.0
9.00
4
12.0
13.0
-1.0
1.00
5
13.0
10.0
3.0
9.00
6
12.0
5.5
6.5
42.25
z检验u检验、t检验、F检验、卡方检验使用条件(草稿)
z 检验/u 检验、t 检验、F 检验、卡方检验使用条件1. z 检验/u 检验（1）当样本容量30n >，即大样本时，样本相关系数r 就近似服从正态分布，经过对r 标准化变换后，则得到检验统计量：r r u σ= 或 σ=r rz 式中，r σ表示样本相关系数r 的抽样平均误差，即样本相关系数与总体相关系数之间的平均偏差。
（2）当在0ρ≠的总体中随机抽样时，样本相关系数r 并不呈正态分布，若要测定相关系数与0ρ≠的数值是否显著，或测定两个相关系数之间的差异是否显著，即从两个已知样本相关系数推断其总体相关系数是否相等的假设，费歇（Fisher ）在1921年提出了如下方法: 012:H ρρ= 112:H ρρ≠11ln 21r r z r +=- 经过对r 变化，则r z 就接近正态分布。
r z 的标准差为：()r z σ= 在简单直线方程式中只有两个参数，故2m =，则()r z σ=因此，此时可用正态分布方法进行检验。
The general form of a lower-tail test, whereis the stated value for the population mean, follows.Large-Sample (30≥n ) Hypothesis Test About a Population Mean for a One-Tailed Test of the Form00:μμ≥H 0:μμ<a HTest Statistic ：σ Assumed Knownn x z /0σμ-=Test Statistic ：σ Estimated by s0μn s x z /0μ-=Rejection RuleUsing test statistic ：Reject 0H if α<-z zUsing -p value ：Reject 0H if α<-value p2.t 检验当样本容量30n <，即小样本时，如果总体相关系数0ρ=，则样本相关系数r 的抽样分布随着样本容量n 的增大而逐渐地趋近于自由度为n m -的t 分布。
t检验与z检验.PPT
差异有统计学意义（P<0.01），
故拒绝H0，认为该地男、女间红细胞数
有显著差别，男高于女。
.
24
t 检验的应用条件
1、正态性 2、方差齐性
.
25
方差齐性检验
两独立样本均数比较的t 检验，
要求相应的两总体方差相等，即方 差具有齐性。为此，我们要对两样 本的方差作统计学检验
140
27
2
150
138
-12
3
150
140
-10
4
135
135
0
5
128
135
7
6
100
120
20
7
110
147
37
8
120
114
-6
9
130
138
8
10
123
120
-3
使用配对ｔ检验
解：１.建立检验假设，确定检验水准
Ｈ0：μd=0，假设该药不影响血红蛋白的变
化，即治疗前后总体差数为0。
Ｈ1：μd≠0 ，假设该药影响血红蛋白的变
.
21
1. H0 : μ1= μ2 ，即该地男、女红细胞数相
同,
Ｈ1 : μ1 ≠ μ2 ，该地男、女红细胞数不相
同。
α=0.05.
.
22
2. 计算Ｚ 值
Z
X1 X2
S
2 1
S
2 2
n1 n 2
4.654.22
6.97
(0.55)2 (0.44)2
156 104
第七章 t检验和z检验课件
t
X1 X2
( n1
1
)
S
2 1
(n2
1
)
S
2 2
(
1
1
)
n1பைடு நூலகம் n2 2
n1 n2
2.656 5.150
7.581
(9 1)0.475 2 (8 1)0.852 2 (1 1 )
982
98
n1 n2 2 1 5
3. 确定P值, 作出推断结论
查t界值表得, t0.05/2,15＝2.131, t0.01/2,15=2.947,
资料所提供的信息: 1. 计量资料 2. 配对设计。
表7.1 贫血患儿治疗一个疗程前后血红蛋白(g/L)变化情况
对上面问题可以作如下考虑：
治疗前后血红蛋白 的变化（差值）
d
问题归纳： 样本疗效
样本
n10 Sd7.96d137.53
d 0?
药物作用 + 机遇
d33.5
μ 0? d
问题：| d 究0 |竟多大能够下“有效”的结论？
对资料进行分析: 1. 资料提供的信息: 小样本计量资料
已知总体均数0=72次/分, n=25,
x74.2次/分S = 6.0次/分。 2. 应进行样本均数与已知总体均数比
较的t 检验。 3. 目的: 推断样本所代表的未知总体均
数与已知的总体均数有无差别。
(1) 建立检验假设，确定检验水准
H0：=0, 山区成年男子脉搏均数与一般成年
S/ n 6 25
0.01＜p＜0.05
例7.2 以往通过大规模调查已知某地新 生儿出生体重为3.30kg, 从该地难产儿中 随机抽取35名新生儿作为研究样本,平均 出生体重为3.42kg, 标准差为0.40kg。问 该地难产儿出生体重是否与一般新生儿体 重不同？
z检验和t检验的区别
z检验和t检验的区别
卡方检验是对两个或两个以上样本率（构成比）进行差别比较的统计方法。
t检验，主要是用于小样本（样本容量小于30）的两个平均值差异程度的检验方法。
它是用t分布理论来推断差异发生的概率，从而判定两个平均数的差异是否显著。
t检验的适用条件：正态分布资料。
1、卡方检验是用途非常广的一种假设检验方法，它在分类资料统计推断中的应用，
包括：两个率或两个构成比比较的卡方检验；多个率或多个构成比比较的卡仿检验以及分
类资料的相关分析等。
2、t检验，亦称student t检验( student's ttest) ，主要用作样本含量较小(比
如n大于30) ，总体标准差o未明的正态分布。
t检验就是用t原产理论去推断差异出现
的概率，从而比较两个平均数的差异与否明显。
t检验
3、t检验共分成三种方法，分别就是单一制样本t检验，接合样本t检验和单样本t
检验。
单一制样本t检验和单因素方差分析功能上基本一致，但是单一制样本t检验就可
以比较两组选项的差异，比如说男性和女性。
相对来讲，独立样本t检验在实验比较时使用频率更高，尤其是生物、医学相关领域。
针对问卷研究，如果比较的类别为两组，独立样本t检验和单因素方差分析均可实现，研
究者自行选择使用即可。
4、卡方分析：卡方检验用作分析定类数据与定类数据之间的关系情况。
比如研究人
员想要晓得两组学生对于手机品牌的偏好差异情况，则必须采用卡方分析。
卡方就是通过
分析相同类别数据的相对挑选频数和比重情况，进而展开差异推论，单选题或多选题均可
以采用卡方分析展开对照差异分析。
统计学检验方法比较
统计学检验方法比较统计学检验方法是在统计学中用来判断研究假设是否成立的一种方法。
它通过分析样本数据来推断总体参数，并根据结果得出判断。
在进行统计学检验之前，我们首先需要明确研究问题和研究假设。
接下来，我将介绍一些常见的统计学检验方法的比较。
1.T检验和Z检验T检验和Z检验都是用来推断一个样本的均值是否与总体均值有显著差异。
T检验主要用于小样本，而Z检验适用于大样本。
相较于Z检验，T检验考虑到了样本的自由度，因此对于小样本的推断更加准确。
2.单样本检验和双样本检验单样本检验用于比较一个样本的均值是否与一个已知的总体均值有显著差异。
双样本检验则用于比较两个样本的均值是否存在显著差异。
双样本检验可以进一步分为独立样本检验和配对样本检验。
独立样本检验适用于两个独立的样本，而配对样本检验适用于同一组个体在不同时间或不同处理下的两次测量。
3.卡方检验和F检验卡方检验主要用于判断两个分类变量之间是否存在相关性。
它将观察频数与期望频数进行比较，以确定差异的显著性。
F检验则用于比较两个或更多个总体方差是否相等。
它将组间离散度与组内离散度进行比较，从而推断总体方差是否存在显著差异。
4.非参数检验和参数检验非参数检验不依赖于总体的特定分布，而是对总体的分布进行较少的假设。
它通过对数据的排序和秩次转换来进行推断。
非参数检验一般适用于数据不服从正态分布或样本量较小的情况。
参数检验则建立在对总体参数分布的假设上，通常假设数据服从正态分布。
参数检验的推断结果相对较为准确，但对数据的假设要求较高。
综上所述，不同的统计学检验方法适用于不同的研究问题和数据类型。
选择合适的统计学检验方法可以提高推断结果的准确性。
因此，在进行统计学检验之前，我们需要充分理解研究问题的背景，研究假设的特点以及数据的类型和分布，从而选择适当的检验方法。
同时，还需要注意检验过程中的假设和限制，以及结果的解释和推断的合理性。
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教育科研中的统计方法——Z检验和t检验
乌海市海勃湾区教研室王根运
通常我们用平均分比较两个班的成绩的优劣是不妥的。
即某次考试中初二、二班数学成绩平均分低于初二、五班的平均分，不一定说明初二、二班数学真实成绩比初二、五班的差。
这是因为一个班的的平均成绩具有统计意义，存在抽样误差，其平均成绩在一定范围内波动，假如再进行一次考试也许初二、二班数学成绩平均分高于初二、五班的平均分。
所以比较成绩时应用平均数差异的显著性检验更科学。
统计学中平均数差异的显著性检验时规定一个显著性水平，经过检验所得差异超过这个显著性水平，表明这个差异不属于抽样误差，确实存在差异，反之属于抽样误差。
这个平均数差异的显著性检验在教育科研统计中总结为Z检验或t 检验。
一般地样本容量大于30时，用Z检验；样本容量小于30时，用t检验。
当问题所给的条件用t检验方便时，样本容量虽然大于30，也可以用t检验。
下面是样本容量大于30时的Z检验和样本容量小于30时的t检验案例。
一、样本容量大于30时的Z检验
案例：比较初三第一学期期末实验班和对比班的化学成绩
表1、初三、八班（实验班）第一学期期末化学成绩表
表2、初三、七7班（对比班）第一学期期末化学成绩表
时间：2010年1月
实验班和对比班学生人数均为52，样本容量大于30，用Z 检验看实验班和对比班成绩有无显著性差异（用计算机处理）。
实验班：初三、八班,据表1,样本容量：n 1=52,平均分：1X =
1
1
n X
∑=69.84
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑21d ==-∑211)(X X 13243.86 标准差：S 1=
1
2
1n d ∑
=15.96
对比班：初三、七班，据表2，样本容量：n 2=52, 平均分 ：2
X =
2
2
n X ∑=66.92
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑2
2d ==-∑222)(X X 7967.19
标准差：S 2=
2
2
2
n d ∑
=12.38, Z=
2
22
121
21n S n S X X +-=1.043
Z 检验的判断方法： 0＜Z ＜1.96时，两个班的成绩无显著性差异；1.96＜Z ＜2.58时，两个班的成绩成绩有显著性差异。
本题0＜Z=1.043＜1.96，所以：实验班和对比班化学成绩无显著性差异。
点评：初三、八班（实验班）第一学期期末化学成绩表平均分
1
X =
1
1
n X ∑=69.84，初三、七班（对比班）第一学期期末化学成绩表平均分
2
X =
2
2
n X ∑=66.92。
虽然X —1〉X —
2，但不能说明初三、八班（实验班）比初三、七
班（对比班）的化学成绩好，这是抽样误差导致的结果。
事实上根据上面平均数
差异的显著性检验得出结论：两个班第一学期期末化学成绩无显著性差异。
二、相关样本，容量小于30的t 检验
同一批学生在实验前后进行两次测试得到两次成绩，若把这两次成绩看成两个样本的话，则这两个样本之间相互不是独立的，称为相关样本。
案例：王老师在初二、三班进行《语文口头作文对语文成绩影响的实验研究》，他每节课用10分钟的时间让学生进行口头小作文比赛，实验前进行一次语文成绩测试，随机抽取10名学生语文成绩（实验前成绩）记录如表，一个学期后用同样难度的试题又进行测试记录这10名学生的语文成绩（实验后成绩）记录如表。
该案例是相关样本，样本容量为10，小于30，用相关样本的t 检验看实验前和实验后初二、三班随机抽取10名学生语文成绩有无显著性差异（用计算机处理）。
样本1（实验前）成绩总和∑X 1=710 样本2（实验后）成绩总和∑X 2=795
d =∣2X -1
X ∣=∣n X X 2
1
∑∑-∣=∣10
795710-∣=8.5
样本1（实验前）和样本2（实验后）第i 个学生成绩差：d=X 2-X 1
∑d 2=∑-）（X X 122
=1267
（∑d ）2=85
t=
)
1()
(0
2
2
--
-∑∑n n n d d
d =
()
110101085126705.82
---=3.456
若显著性水平α定为0.05，根据df=n-1=10-1=9查t 表：t α/2=2.262。
因为t=3.456> t α/2说明实验后学生的成绩有显著的提高。
点评：初二、三班实验前语文成绩表平均分1X =
1
1
n X
∑=71，初二、三班实
验后语文成绩表平均分2
X =
2
2
n X ∑=79.5。
虽然X —1<X —
2，但不能说明初二、三班实
验后比实验前的语文成绩好，上面平均数差异的显著性检验具有科学依据，得出的结论（两次成绩存在显著性差异）才符合事实。
即初二、三班实验后比实验前的语文成绩好。
三、不同样本，容量小于30的t 检验
案例：比较初二、一班和初二、二班第二学期期末物理成绩
表1、初二、一班第二学期期末物理物理成绩表
表2、初二、二班第二学期期末物理成绩表
初二、一班和初二、二班学生人数分别为27和29，样本容量小于30，用t
检验看两个班成绩有无显著性差异（用计算机处理）。
初二、一班：均分： 1
X =
1
1
n X ∑=70.22
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑21d ==-∑211)(X X 6620.67 初二、二班：均分：2X =
2
2
n X
∑=67.3
每个学生分数与平均分离差的平方和：∑2
2d ==-∑222)(X X 6004.21
t=
)1
1(
2
d 2
12122
2
1
2
1n n n n d
X X +-++-∑∑=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-++-2912712292721.600467.66203
.6722.70=0.1746
自由度df=n 1+n 2-2=27+29-2=54，若取α=0.05，查t 值表，0＜t ≤2.014无显著差异，2.014＜t ≤2.670有显著差异。
上面计算的0＜t=0.1746≤2.014，说明初二、一班和初二、二班第二学期期末物理成绩无显著差异。
点评：初二、一班第二学期期末物理成绩平均分1X =
1
1
n X
∑=70.22，初二、
二班第二学期期末物理成绩平均分2
X =
2
2
n X ∑=67.3。
虽然X —
1〉X —
2，但不能说明
初二、一班比初二、二班的物理成绩好，这是抽样误差导致的结果。
事实上根据
上面平均数差异的显著性检验得出结论：两个班第二学期期末物理成绩无显著性差异。
参考书目
1、佟庆伟，教育科学中量化，中国科学技术出版社，1997。
2、王孝玲，教育测量，华东师范大学出版社，1989。