假设检验与样本数量分析①——单样本Z检验和单样本t检验
数据分析中常用的假设检验方法
数据分析中常用的假设检验方法数据分析是现代社会中不可或缺的一项技能，它可以帮助我们从大量的数据中提取有用的信息和洞察。
而在数据分析的过程中，假设检验是一种常用的统计方法，用于验证研究者对数据的某种假设是否成立。
本文将介绍几种常用的假设检验方法，并探讨它们的应用领域和局限性。
一、单样本t检验单样本t检验是一种用于检验一个样本均值是否与一个已知的总体均值相等的方法。
例如，我们想要检验某个商品的平均评分是否显著高于总体评分。
在这种情况下，我们可以采集一定数量的样本数据，并使用单样本t检验来判断样本均值是否与总体均值有显著差异。
二、双样本t检验双样本t检验是一种用于比较两个独立样本均值是否有显著差异的方法。
例如，我们想要比较两个不同广告的点击率是否存在显著差异。
在这种情况下，我们可以采集两组数据，分别代表两个广告的点击率，并使用双样本t检验来判断两组数据的均值是否有显著差异。
三、方差分析方差分析是一种用于比较三个或三个以上样本均值是否有显著差异的方法。
例如，我们想要比较不同年龄段的消费者对某个产品的满意度是否存在显著差异。
在这种情况下，我们可以将消费者按照年龄段分组，收集每个组别的满意度数据，并使用方差分析来判断各组别之间的均值是否有显著差异。
四、卡方检验卡方检验是一种用于比较观察频数与期望频数之间是否存在显著差异的方法。
例如，我们想要研究两个变量之间是否存在相关性，例如性别和购买偏好之间的关系。
在这种情况下，我们可以收集一定数量的观察数据，并使用卡方检验来判断观察频数与期望频数之间是否存在显著差异。
五、回归分析回归分析是一种用于探究自变量与因变量之间关系的方法。
例如，我们想要研究广告投入与销售额之间的关系。
在这种情况下，我们可以收集广告投入和销售额的数据，并使用回归分析来判断两者之间的关系是否显著。
需要注意的是，假设检验方法虽然在数据分析中被广泛应用，但也存在一些局限性。
首先，假设检验是基于样本数据对总体进行推断，因此样本的选择和抽样方法可能会对结果产生影响。
假设检验与样本数量分析①——单样本Z检验和单样本t检验
X
32.03 + 32.14 + … + 31.87 15
…
1.9 2.0
…
0.029 0.023
…
0.028 0.022
…
0.027 0.022
…
0.0226 0.020
…
0.025 0.020
…
0.024 0.019
…
0.024 0.019
…
0.023 0.018
原假设 （零假设）即上述的可能，符号是H0
备择假设（与原假设对立的假设），符号是H1
如本例：假设外径尺寸 H0：（μ = 32） H1： （μ≠32） 确立检验水准： α——显著水平（通常取α=0.05）
显著水平α是当原假设正确却被拒绝的概率 通常人们取0.05或0.01 这表明，当做出接受原假设的决定时，其正确的可 能性（概率）95% 或99% 概率是0～1之间的一个数，因此小概率就是接近0的 一个数 英国统计家Ronald Fisher 把0.05作为标准，从此0.05 或比0.05小的概率都被认为是小概率
8 作出不拒绝零假设的统计结论，即外径尺寸 均值没有偏离目标Ф 32
<6>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识
接上页
假设检验的例子（1）
检验 α = 0.05
临界值 临界值
2
=0.025
拒绝范围
1 – α = 95%
不拒绝H0范围
2
=0.025
根据小概率原理，可以先假设总体参数的 某项取值为真，也就是假设其发生的可能 性很大，然后抽取一个样本进行观察，如 果样本信息显示出现了与事先假设相反的 结果（显示出小概率），则说明原来假定 的小概率事件(一次实验中是几乎不可能发 生）在一次实验中居然真的发生了，这是 一个违背小概率原理的不合理现象，因此 有理由怀疑和拒绝原假设；否则不能拒绝 原假设。 在给定了显著水平α 后，根据容量为n的样 本，按照统计量的理论概率分布规律，可 以确定据以判断拒绝和接受原假设的检验 统计量的临界值。 临界值将统计量的所有可能取值区间分为 两个互不相交的部分，即原假设的拒绝域 和接受域。
minitab教程-假设检验
案例分析
• 案例背景：研究某药物对血压的影响，选取了10名患者， 分别在服药前和服药后测量其血压。
案例分析
服药前血压
120/80, 115/75, 118/82, ..., 125/85
服药后血压
110/70, 112/72, 116/76, ..., 120/80
案例分析
案例1
比较两个不同品牌手机的待机时间均值。
案例2
比较两种不同类型轮胎的抗滑性能均值。
05
配对样本t检验
适用场景与条件
适用场景
当需要对两组配对观测值进行比较时，例如同一组实验者在两种不同情境下的表现。
条件要求
数据应满足独立、正态分布、方差齐性等假设。
检验步骤与解读
1. 计算差值
计算每对观测值的差值。
当需要检验一个总体均数与已知值或 理论值之间的差异是否显著时，可以 使用单样本Z检验。
条件
数据需要来自正态分布的总体，且总 体方差已知。
检验步骤与解读
01
2. 计算Z统计量
Z = (样本均数 - 已知值或理论值) / 样本标准差。
02
3. 根据Z值查找对应的P值
P值表示拒绝原假设的概率，通常选择显著性水平（如0.05或0.01）作
03
单样本t检验
适用场景与条件
适用场景
当需要检验一个样本均值与已知的某 个值是否显著不同时，可以使用单样 本t检验。
条件要求
样本数据需要符合正态分布，且总体 方差未知但具有同质性。
检验步骤与解读
01
02
03
04
步骤1
提出原假设和备择假设。原假 设通常是样本均值与已知值相 等，备择假设则是样本均值与 已知值不等。
假设检验公式汇总单样本与双样本假设检验的计算方法
假设检验公式汇总单样本与双样本假设检验的计算方法假设检验公式汇总假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断统计推断的结果是否可以反映总体的特征。
在假设检验中，我们通常需要计算相关的统计量以判断样本数据是否能够支持我们的研究假设。
本文将详细介绍单样本与双样本假设检验的计算方法，以帮助读者更好地理解和应用假设检验。
一、单样本假设检验的计算方法单样本假设检验是用于检验一个总体参数的假设。
以下是单样本假设检验的计算方法：1. 设定假设在进行单样本假设检验前，我们首先需要明确研究问题并设定相应的假设。
通常，我们将待检验的总体参数表示为μ，构建如下假设：- 零假设（H0）：总体参数μ等于某个特定值（通常为给定的数值）；- 备择假设（H1）：总体参数μ不等于某个特定值。
2. 选择显著性水平显著性水平（α）是用来衡量我们拒绝零假设的临界值。
通常，我们选择显著性水平为0.05或0.01，也可以根据具体研究需求来选择其他值。
3. 计算检验统计量在单样本假设检验中，我们需要计算检验统计量以判断样本数据是否对我们的假设提供足够的证据。
常见的检验统计量有t值、z值等。
具体计算方法如下：- t值的计算：当总体标准差未知时，使用t值进行假设检验。
计算公式为：t = (x - μ) / (s / √n)，其中x为样本均值，μ为假设的总体均值，s为样本标准差，n为样本容量。
- z值的计算：当总体标准差已知或样本容量较大时，可以使用z值进行假设检验。
计算公式为：z = (x - μ) / (σ / √n)，其中x为样本均值，μ为假设的总体均值，σ为总体标准差，n为样本容量。
4. 确定拒绝域和做出决策根据设定的显著性水平，我们可以确定拒绝域的临界值。
如果计算得到的检验统计量落入拒绝域，就可以拒绝零假设；否则，不能拒绝零假设。
根据具体情况，可以使用t分布表或标准正态分布表来查找相应的临界值。
5. 结论根据实际计算结果，我们可以根据拒绝与接受的原则，给出相应的结论。
minitab教程-假设检验
检验
一位保健顾问想比较患者对两家医院的满 意度评分。这位顾问收集了 20 名患者对 这两家医院的评分。这位顾问执行了双方 差检验，以确定患者对两家医院的评分的 标准差是否存在差异。
原假设声明标准差之间的比值为 1。由于两个 p 值 都大于显著性水平（用 α 或 alpha 表示）0.05，因 此顾问无法否定原假设。顾问的证据不足，无法 得出两家医院的标准差不同的结论。
P<0.05,两组数据有显著性差异
双样本T检验要在假定两总体方差相等的条件下才能进行。
4、配对t检验
一位生理学家想要确定某个特定的赛跑项目是否对 静息心率有影响。对随机选择的20个人测量了心率。 然后让这些人参与该赛跑项目，并在一年后再次测 量心率。对每个人前后进行的两次测量构成一个观 测值对，得出如下汇总数据，20人训练后与训练前 静息心率的平均差为-2.200±3.254，问赛跑项目是否 对静息心率有影响。
P<0.05,有显著性差异
5、单比率检验（1P检验）
在全国调查中有75%的人经常使用安全带，现随机拦 截100辆汽车，共发现70人使用安全带，试比分析本 次调查是否与全国水平相同。
P>0.05,无显著性差异
6、双样本比率（2P检验）
为考察在常规治疗的同时辅以心理治疗的效果，某 医院将同种疾病的患者随机分成“常规治疗组”和 “常规与同时辅以心理治疗组”。经一个疗程治疗 后，以相同的标准衡量，常规组80名中，有效者48 名；联合组75名中，有效者55名。试判断就总体而 言，两种疗法的有效率是否确有差异？
2、单样本t检验
某种电子元件的平均寿命x（单位：小时）服从正态 分布，现测得16只元件的平均寿命为240.9±102.2小 时，问有否理由认为元件的平均寿命大于225小时 （α=0.05）。
高中数学备课教案数理统计中的假设检验单样本与双样本检验
高中数学备课教案数理统计中的假设检验单样本与双样本检验高中数学备课教案：数理统计中的假设检验——单样本与双样本检验一、引言数理统计是数学中的重要分支，其主要内容之一是假设检验。
在实际问题中，我们经常需要通过采集样本数据来对总体进行推断。
假设检验是一种基于样本数据，对总体参数进行推断的方法。
本教案将重点介绍数理统计中的假设检验中的单样本和双样本检验方法。
二、单样本检验1. 具体问题描述在单样本检验中，我们关注一个总体的某个参数是否符合我们的假设。
具体问题描述如下：某市场调研公司声称，他们进行的样本调查结果显示，该市场手机的平均售价为6000元。
现用这家公司收集的30台手机数据进行检验。
2. 假设设定根据问题描述，我们设定以下假设：- 零假设（H0）：手机的平均售价为6000元。
- 备择假设（H1）：手机的平均售价不等于6000元。
3. 检验统计量和拒绝域我们选择t检验作为单样本检验的方法。
根据问题的具体条件，我们计算得到检验统计量t的值，并确定拒绝域。
4. 假设检验过程根据计算结果，我们进行假设检验过程，判断是否拒绝零假设。
如果拒绝，说明手机的平均售价与声称的不一致，反之则一致。
三、双样本检验1. 具体问题描述在双样本检验中，我们关注两个总体的某个参数是否存在差异。
具体问题描述如下：某育儿网站声称，他们网站的家长满意度指数高于其他同类网站。
现调查了两个随机抽取的样本：分别为该育儿网站的用户和其他同类网站的用户，并记录了满意度指数。
2. 假设设定根据问题描述，我们设定以下假设：- 零假设（H0）：两个总体的满意度指数相等。
- 备择假设（H1）：两个总体的满意度指数存在差异。
3. 检验统计量和拒绝域我们选择独立样本t检验作为双样本检验的方法。
根据问题的具体条件，我们计算得到检验统计量t的值，并确定拒绝域。
4. 假设检验过程根据计算结果，我们进行假设检验过程，判断是否拒绝零假设。
如果拒绝，说明两个总体的满意度指数存在差异，反之则相等。
4第四章 假设检验、t检验和Z检验
0.05
2．选定检验方法，计算检验统计量t值
d d / n 44 / 10 4.4 sd t
d ( d ) / n
2 2
d sd / n
n 1 4.4 2.12 / 10
234 (44) 2 / 10 2.12 10 1 v 10 1 9
0.05
2．选定检验方法，计算检验统计量t值
t x 0 s/ n 75.0 72 5.0 / 25 3.00, v 25 1 24
3．确定P值，作出推断结论 H1，差异有高度统计学意义。
P<0.05，按α=0.05水准，拒绝H0，接受
第二节 单样本t检验和Z检验
41044222???????????????????vnsdtnnddsndddd第四节两独立样本比较的t检验和z检验一方差齐性检验二两独立样本t检验三两独立样本t检验四两独立样本z检验2111222211sfnns?????较大较小1121111212122221121212212121nnnnsnsnxxnnsxxsxxtcxx??????????????22212121nsnsxxt???2222212211xxxxsststst????????221121212221212111nsnsxxssxxsxxzxxxx?????????两独立样本t检验例45某医生为探讨强迫症与超氧化物歧化酶sod的关系随机抽得30例强迫症患者测得sod的均数为30125numl标准差为2801numl
2 2
0.05
5.4086
3．确定P值，作出推断结论
有高度统计学意义。
P<0.01。按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差异
统计学假设检验方法
统计学假设检验方法一、背景介绍统计学假设检验是统计学中最基本的方法之一，其主要目的是通过对样本数据进行分析，判断某个假设是否成立。
假设检验可以用于各种领域的研究，如医学、社会科学、商业等。
在现代社会中，假设检验已经成为了科学研究和决策制定的重要工具。
二、基本概念1. 假设：假设是对某个问题或现象的一种猜测或推断。
2. 零假设：零假设是对某个问题或现象的一种默认假设，通常表示没有显著差异或效应。
3. 对立假设：对立假设是与零假设相反的一种猜测或推断，通常表示有显著差异或效应。
4. 显著性水平：显著性水平是指在进行假设检验时所采用的判断标准。
通常情况下，显著性水平取值为0.05或0.01。
5. P值：P值是指在进行假设检验时得到的结果与零假设相符合的概率。
P值越小，表示得到该结果的可能性越小，从而越容易拒绝零假设。
三、假设检验步骤1. 确定研究问题和假设：首先需要明确研究问题和所要检验的假设。
2. 确定显著性水平：在进行假设检验时，需要事先确定显著性水平。
3. 收集样本数据：根据研究问题和所要检验的假设，收集相应的样本数据。
4. 计算统计量：根据所采用的统计方法，计算出相应的统计量。
5. 计算P值：根据计算出的统计量和所选择的显著性水平，计算出P 值。
6. 判断是否拒绝零假设：如果P值小于所选显著性水平，则拒绝零假设；否则不拒绝零假设。
四、常见假设检验方法1. 单样本t检验：用于判断一个样本均值是否与已知均值有显著差异。
2. 双样本t检验：用于判断两个样本均值是否有显著差异。
3. 方差分析（ANOVA）：用于判断多个样本均值是否有显著差异。
4. 卡方检验：用于判断两个变量之间是否存在相关性。
5. 相关分析：用于判断两个变量之间的相关性。
6. 回归分析：用于建立一个变量与另一个或多个变量之间的关系模型。
五、常见错误1. 忽略样本大小：在进行假设检验时，样本大小对结果有很大影响，因此需要注意样本大小的选择。
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“估计外径尺寸为32mm，”
——这就是对产品的外径尺寸（总体特征）的假设
对假设是接受还是拒绝，如何作出判断？
——对这样一个过程统计上叫做假设检验
Fisher没有解释他为什么选择0.05
<4>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识
接上页
5
假设检验的例子（1）
1 建立检验假设 H0：外径尺寸均值为32mm （μ = 32）
1 – α = 0.95
拒绝零假设 不拒绝零假设 拒绝零假设
！ 也可以查正态分布表（样本数据的概率 P ） P = P（Z< -0.31 及 Z＞ 0.31） = 0.378 ×2 = 0.756 P= 0.756 ＞ α = 0.05
无法拒绝零假设H0 P（Z﹤-0.31 或Z＞ 0.31）= 0.378 ×2 = 0.756
= 31. 9913
4 假设检验类别 选择 Z 检验法
Z α/2（α=0.05）= Z 0.025=1.96
7 用算得的统计量与相应的临界值作比较 Z = 0.31＜ Z 0.025=1.96
<5>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识
接上页
假设检验的例子（1）
双侧检验示意图（显著水平α与拒绝域 ）
拒绝范围
右侧检验
H0 ：μ HІ ： μ
1 1
≤μ 2 ＞μ 2
临界值
例： 某种瓶装啤酒的标称容积是640毫升。如果瓶装啤酒液体容积少 于640毫升，会使产品信誉受到损害；但是多于640毫升不仅会 使成本上升，还有可能造成安全隐患。因此质检部定期从生产 线上抽取一定数量的啤酒组成样本来检验其质量是否达到要求。
例如：有一批5000件的聚乙烯产品，当然不可能让你把 5000件都拉断， 去测量这5000件聚乙烯产品每一 件的“断裂伸长率”。你可能被允许从中抽机取一
不能都做破坏性强度试 验，从中抽出几个， 这就叫抽样吧。
部分来测量，这一部分产品就是总体的一个样本。 总体的“断裂伸长率”由样本的“断裂伸长率”数 据推断。
假设检验及功效和样本数量分析①
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
(Power and Sample Size Analysis)
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识 总体与样本
总体——研究的一类对象的全体组成的集合。 个体——总体中的每一个考察的对象。 事实上，全面检验有时是很困难的甚至是不允许的 产品数量大，检验成本高。
ZValue 0.3 0.4 0.00 0.382 0.345 0.01 0.378 0.341 0.02 0.374 0.337 0.03 0.371 0.334 0.04 0.367 0.330 0.05 0.363 0.326 0.06 0.359 0.323 0.07 0.356 0.319 0.08 0.352 0.316 0.09 0.348 0.312
提出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法
其基本作法 根据问题的需要先对总体的特征作出某种 确定假设成立的可能性大小，如可能性小，则 认为假设不成立，若可能性大，则还不能认为 假设不成立。
假设，然后通过抽样研究的统计推理，对此假
设应该被拒绝还是接受作出推断。 对所研究的总体作某种假设，记作H0;选 取合适的统计量，由样本计算出统计量的值， 并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出 拒绝或接受假设H0的判断。
一般（单侧检验）是将预期效果（希望要证明的假设）作 为备择假设H1，将认为研究结果无效作为原假设H0。先确立备
择假设H1。因为只有当检验结果与原假设有明显差别时才能拒 绝原假设而接受备择假设，原假设不会轻易被拒绝，一旦拒绝， 就是有说服力的,从而减少结论错误。
< 10 >
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
小概率原理： 小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生
<3>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识
进行假设检验时会提出一对假设：
假设检验的例子（1）
我们有一个公司的一台注塑机加工某种电 缆附件产品，产品的外径尺寸目标值为Ф32mm， 根据以前的情况外径尺寸标准差σ = 0.11，估计 外径尺寸仍为32mm。 现随机抽取产品15个样本。测量得到外径 尺寸数据如下： 32.03 32.06 32.16 32.14 31.89 32.11 31.90 31.81 31.95 31.99 32.08 32.10 31.96 31.82 31.87
原假设 （零假设）即上述的可能，符号是H0
备择假设（与原假设对立的假设），符号是H1
如本例：假设外径尺寸 H0：（μ = 32） H1： （μ≠32） 确立检验水准： α——显著水平（通常取α=0.05）
显著水平α是当原假设正确却被拒绝的概率 通常人们取0.05或0.01 这表明，当做出接受原假设的决定时，其正确的可 能性（概率）95% 或99% 概率是0～1之间的一个数，因此小概率就是接近0的 一个数 英国统计家Ronald Fisher 把0.05作为标准，从此0.05 或比0.05小的概率都被认为是小概率
例如：中国大学生的身高值为一个总体，若想了解身高数 据，你不可能把所有中国大学生的身高都进行测量。 你可能会随机取2百个人来测量身高，这2百个大学
样本——从总体中抽出的一部分个体的集合。
样本数量——样本中包含的个体的数量。
噢！这么多健身球， 都应该不会被压爆吧
生就是总体的一个样本。
有些检验是有破坏性的。
0.024 0.019
…
0.024 0.019
…
0.023 0.018
此处Z的绝对值=0.31小于临界值1.96 样本观测值落在“不拒绝零假设”范围内
检验计算在假定原假设为真时，获取观测样本数据的概 率。 如果此概率低于给定的显著水平（ ）则说明原来假定 的小概率事件在一次实验中发生了，这是一个违背小概率原 理的不合理现象，因此有理由怀疑和拒绝原假设；否则不能 拒绝原假设。
对于正态总体，总体均值的假设检验临界值如左上图所示。
拒绝范围 Z =1.96
Z = -1.96 无法拒绝H0
α = 0.05
概率 P ＞0.05
P = 0.378 2
Z = 0.31
P = 0.378 2
Z = - 0.31
P = 0.756
假设检验的例子（1）中, P = 0.756 ＞ α = 0.05 不能拒绝原假设，假设检验的P值如左下图所示。
预备知识
补充阅读
P-值与 α
α是当选择备选假时，可以接受的出错的最大可能性。 P-值是当接受选择备选假时，你出错的可能性的大小。 通常可以接受的Ⅰ 类错误 的概率——α =0.05。
因此，如果P-值＜α（ P-值＜0.05）时意味着我们需要作出拒
α 在假设检验中给定的显著水平
α —— 弃真概率
X
32.03 + 32.14 + … + 31.87 15
…
1.9 2.0
…
0.029 0.023
…
0.028 0.022
…
0.027 0.022
…
0.027 0.021
…
0.026 0.021
…
0.026 0.020
…
0.025 0.020
…
0.024 0.019
…
0.024 0.019
…
0.023 0.018
<7>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识 假设检验的方向性
（显著水平α = 0.05 与拒绝域 ） 双侧检验 H0 ： μ ＝ T HІ ：μ ≠ T
单侧检验 左侧检验 H0 ：μ HІ ： μ
临界值 α=0.05 1-α=95% 拒绝范围 无法拒绝H0
1 1
≥μ <μ
2 2
临界值
临界值
α（弃真错误）
H0为伪
β （取伪错误）
1－ β（正确决策）
因为假设检验的方法是带有概率性质的反证法， 作为反证法就必然要“有力证据”，才能得出“拒绝” 的结论，这是有说服力的。如果推不出矛盾，这时只 能说“目前还找不到理由拒绝…”。 当原假设为真时，而作出拒绝的判断，这类决策 错误叫弃真错误，显然犯这类错误的概率为：前述的 小概率 “小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生的”
我们通常是通过样本来了解总体 由样本信息作为总体信息估计值 <2>
单样本 Z 检验 单样本 t 检验
预备知识 假设检验
假设检验(Hypothesis Testing)是根据一 定假设条件由样本推断总体的一种方法。 基本思想 假设检验的基本思想是小概率反证法思想。 小概率思想是指小概率事件(P<0.01或P<0.05)在 一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先
我们希望两类错误的概率尽可能都小，
绝原假（即接受选择备选假设）。 在p值小于α 的情况下犯第一类错误的实际概率是多少? 比如: p＝0.02< α =0.05， 那么作出“拒绝原假设”这一决策可能犯错的概率是0.02。 换句话，当H0为真时，而我们放弃它的概率有0.02。 1、如果检验统计量落入拒绝域中，则拒绝原假设 2、如果检验统计量落入接受域中，则我们说“不能 拒绝原假设“
2
=0.025
Z= - 0.31 Z= 0.31
2
Z =1.96
临界值
=0.025
Z = -1.96
临界值
H0
…
1.9 2.0
…
0.029 0.023