单样本t检验
单样本t检验的简单例子
单样本t检验的简单例子假设一个教育研究者想要知道某个班级学生的数学成绩是否高于全国平均水平。
全国平均数学成绩为75分。
这个研究者针对这个班级的30名学生进行了数学成绩收集，并获得以下数据：84, 76, 95, 73, 68, 79, 88, 92, 71, 80,74, 69, 90, 85, 82, 77, 66, 72, 78, 70,81, 91, 83, 89, 96, 76, 87, 94, 93, 67现在我们用单样本t检验来判断这个班级的数学成绩是否显著高于全国平均水平（假定总体标准差未知）。
第一步：设置原假设H0 与备选假设H1H0: μ= 75（班级数学成绩等于全国平均水平）H1: μ> 75（班级数学成绩高于全国平均水平）第二步：计算样本平均值和样本标准差样本平均值（X）= (总分) / (样本数) = 2534 / 30 ≈84.47样本标准差（s）= sqrt[Σ(X - X)^2 / (n - 1)] ≈8.96（大致计算）第三步：计算t统计量t = (X-μ) / (s / sqrt(n)) = (84.47 - 75) / (8.96 / sqrt(30)) ≈6.067第四步：确定显著性水平（如α= 0.05）和查询t分布表得到临界值或者通过t分布计算得到对应的p值假定显著性水平α= 0.05，自由度df = n - 1 = 29通过查询t分布表或使用统计工具，得到单尾t临界值为1.699。
我们也可以通过统计工具计算出对应的p值，例如，双尾的p值为0.00002（即非常接近0）。
第五步：做出统计决策由于t统计量6.067远大于临界值1.699，或者双尾的p值显著小于显著性水平0.05，我们拒绝原假设（H0），接受备选假设（H1），即这个班级的数学成绩显著高于全国平均水平。
依据调查问卷,进行单样本T检验SPSS操作步骤
依据调查问卷，进行单样本T检验SPSS
操作步骤
本文档将介绍如何使用SPSS进行单样本T检验，以便根据调查问卷数据进行统计分析。
步骤一：准备数据
1. 打开SPSS软件并导入数据文件。
2. 确保数据文件中包含了需要分析的目标变量。
步骤二：进行单样本T检验
1. 点击菜单栏中的"分析（Analyse）"选项。
3. 将目标变量拖动到"因变量"栏中，并将参照组变量（在这里通常是一个常数）拖动到"因子"栏中。
4. 点击"确定（OK）"按钮。
步骤三：查看结果
1. 在SPSS输出窗口中，查找单样本T检验的结果。
2. 结果中将显示均值、标准误差、95%置信区间、T值和P值
等统计信息。
请注意，进行单样本T检验前需要确保数据满足一些前提条件，例如正态分布和同方差性。
如果数据不满足这些条件，可能需要使
用非参数测试方法进行分析。
以上是依据调查问卷进行单样本T检验的SPSS操作步骤。
希
望本文档能够帮助您进行统计分析。
单样本t检验
单样本t检验MINITAB 协助⽩⽪书本书包括⼀系列⽂章，解释了 Minitab 统计⼈员为制定在 Minitab 统计软件的“协助”中使⽤的⽅法和数据检查所开展的研究。
单样本 t 检验概述单样本 t 检验⽤于估计检验过程的平均值并将该平均值与⽬标值进⾏⽐较。
该检验操作起来⽐较可靠，因为当样本⼤⼩适中时，它对正态性假设极不敏感。
根据⼤多数统计教材中的内容，单样本 t 检验和平均值的 t 置信区间适合任何⼤⼩为 30 或以上的样本。
在本⽂中，我们介绍了对这个针对⾄少 30 个样本单位的⼀般规则进⾏评估的模拟⽅法。
我们的模拟重点关注⾮正态性对单样本 t 检验产⽣的影响。
我们也希望评估异常数据对检验结果的影响。
根据我们的研究，“协助”会⾃动对您的数据进⾏以下检查并在“报告卡”中显⽰研究结果：?异常数据正态性（样本量是否⾜够⼤，因此正态性不是问题？）样本量有关单样本 t 检验⽅法的⼀般信息，请参见 Arnold (1990), Casella and Berger (1990), Moore and McCabe (1993), and Srivastava (1958)。
注意：本⽂中的研究结果也适⽤于“协助”中的配对 t 检验，因为配对 t 检验对配对差异样本应⽤单样本 t 检验⽅法。
/doc/9c20bbaa67ce0508763231126edb6f1aff007127.html数据检查异常数据异常数据是⾮常⼤或⾮常⼩的数据值，也称为异常值。
异常数据会对分析结果产⽣巨⼤的影响。
当样本量较⼩时，异常数据会影响发现具有重要统计意义的结果的概率。
异常数据可以表明数据收集问题，或者由您正在研究的过程的异常表现产⽣的问题。
这些数据点往往值得研究，应尽可能予以更正。
⽬标我们想要制定⼀种⽅法来检查相对于总体样本⽽⾔，⾮常⼤或⾮常⼩的数据值，这可能会影响分析的结果。
⽅法我们制定了⼀种⽅法，⽤于根据 Hoaglin, Iglewicz, and Tukey (1986) 所述的⽅法检查异常数据，以确定箱线图中的异常值。
8、参数检验——单样本T检验
我们知道，在进行调查时，最常用的方法是随机抽样，但是样本的数据特征真的能代替总体吗？对于我们的结论又有多大的把握呢？怎么样可以通过样本的情况推断出总体特征呢？下面让我们一起通过t检验来得出严谨的结论吧~【注意】要进行t检验，通常需要三步：（1）建立假设检验，确定检验水准（H0，H1，α）；（2）计算检验统计量；（3）确定P值，做出推断。
我们通过SPSS做出的一般为上述（2）（3）的结果。
单样本t检验适用情况：①单个变量的均值与指定的检验值之间是否存在显著性差异；②样本均值与总体均值之间的差异显著性检验。
方法的局限性：①样本量n<15时，数据必须服从正太分布；②15≤n≤40时，只要数据不是呈现强偏态分布即可；③n>40时，均可适用。
【栗子1】某学校调查中，相关人员测得32初中生的体重（kg）情况如下：44，49，50，49，52，47，51，48，46，52，45，52，50，49，51，44，50，49，55，43，48，49，50，51，50，48，47，49，54，46，49，49。
若初中生的平均体重为50kg，则该人群中体重总体均数是否超过一般水平？Step 1：数据录入首先把数据导入SPSS软件中，如图所示。
Step 2：点击"分析(A)",选择"比较平均值(M)",点击"单样本T检验(S)",如图所示。
Step 3：将"体重"放到"检验变量(T)"中,我们在这里将"检验值"设为"50",如图所示。
Step 4：点击"选项(O)",我们会发现"置信区间百分比(C)"的默认值为"0.95"，点击“继续”，“确定”。
Step5：结果读取通过结果我们可以看出：本例中总体均值为48.9375，标准差为2.75842，自由度为31。
t检验的计算方法
t检验的计算方法
t检验的计算方法可以分为两种：单样本t检验和配对样本t检验。
1. 单样本t检验：
- 计算样本均值：计算样本数据的均值X。
- 计算标准误差：计算样本数据的标准误差SE，SE=SD/√n，其中SD为样本数据的标准差，n为样本大小。
- 计算t值：计算t值，t=(X-μ)/SE，其中μ为总体均值。
- 查找t分布表：根据自由度（n-1）和所选的α水平，在t
分布表中找到临界值tα/2。
- 判断结果：当|t|>tα/2时，拒绝原假设，认为样本均值与总
体均值不同。
当|t|<=tα/2时，接受原假设，认为样本均值与总
体均值无显著差异。
2. 配对样本t检验：
- 计算差值：计算配对样本的差值d，d=X - Y，其中X和Y
分别为两组配对样本数据。
- 计算差值的均值和标准误差：计算差值的均值d和标准误
差SEd，SEd=SDd/√n，其中SDd为差值的标准差，n为配对
样本大小。
- 计算t值：计算t值，t=d/SEd。
- 查找t分布表：根据自由度（n-1）和所选的α水平，在t
分布表中找到临界值tα/2。
- 判断结果：当|t|>tα/2时，拒绝原假设，认为配对样本均值
存在显著差异。
当|t|<=tα/2时，接受原假设，认为配对样本均
值无显著差异。
单样本t检验的功率曲线
单样本t检验的功率曲线【实用版】目录1.单样本 t 检验的概述2.功率曲线的定义和意义3.单样本 t 检验的功率曲线特点4.影响功率曲线形状的因素5.实际应用中的考虑因素正文1.单样本 t 检验的概述单样本 t 检验是一种常用的假设检验方法，用于检验一个样本的均值是否与某个已知的总体均值存在显著差异。
在进行单样本 t 检验时，我们通常需要考虑两个关键指标：显著性水平（α）和检验力（power）。
2.功率曲线的定义和意义功率曲线（power curve）是描述单样本 t 检验在不同显著性水平下检验力的变化情况的曲线。
横坐标表示显著性水平α，纵坐标表示检验力1-β。
α和β分别表示第一类错误和第二类错误的发生概率。
第一类错误是拒绝真实假设的错误，即误判；第二类错误是接受错误假设的错误，即漏判。
功率曲线可以帮助我们了解在给定的显著性水平下，单样本 t 检验能够检测到实际存在的差异的概率。
3.单样本 t 检验的功率曲线特点单样本 t 检验的功率曲线具有以下特点：（1）随着显著性水平α的增加，检验力 1-β会减小。
这是因为我们设定的拒绝域增大，使得能够拒绝原假设的证据变得更加严格，从而导致检验力降低。
（2）当显著性水平α固定时，检验力 1-β随着样本量的增加而增加。
这是因为样本量增加可以提高统计量的标准差，使得差异更容易被检测出来。
4.影响功率曲线形状的因素影响单样本 t 检验功率曲线形状的因素主要有：（1）显著性水平α：显著性水平对检验力的影响已在上文中讨论。
（2）样本量：样本量越大，检验力越高，因为样本量增加可以提高统计量的标准差。
（3）总体标准差：总体标准差越小，检验力越高，因为差异更容易被检测出来。
（4）样本均值与总体均值的差异：样本均值与总体均值的差异越大，检验力越高，因为差异越大，拒绝原假设的证据越强。
5.实际应用中的考虑因素在实际应用中，我们需要根据研究的目的和条件来选择合适的显著性水平和样本量，以达到较好的检验效果。
单样本t检验的原理和步骤
单样本t检验的原理和步骤
单样本t检验，也被称为student t检验，主要用于样本含量较小（n < 30），且总体标准差σ未知的正态分布。
这种检验方法是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。
单样本t检验的步骤：
1. 提出原假设和备择假设：原假设H0认为总体均值与检验值之间不存在显著差异，即原假设H0：μ=μ0，备择假设H1：μ≠μ0。
2. 确定检验统计量：检验统计量为t统计量。
3. 计算检验统计量的观测值和p值：这一步通常需要使用统计软件如SPSS或R语言等进行计算。
4. 确定显著性水平α，并作出决策：一般情况下，最常用的α值是
0.05，但也可以结合具体情况使用0.001、0.005、0.0001等。
如果计算出的p 值小于或等于显著性水平α，那么就拒绝原假设，认为总体均值与检验值之间存在显著差异；如果p值大于显著性水平α，那么就接受原假设，认为总体均值与检验值之间无显著差异。
单样本t检验的目的是通过比较样本均值与某个特定值（如理论值、历史值或其他样本的均值）的大小，以确定样本所代表的总体均值与该特定值是否存在显著性差异。
同时在进行单样本t检验时，需要满足样本来自正态或近似正态总体，样本量足够大等一些前提条件。
如果不能满足这些条件，会导致检验结果的准确性受到影响。
因此在进行单样本t检验前，需要对数据进行适当的检验和处理。
t检验三种类型
t检验三种类型区别：假设检验通常是检验样本对应的总体之间是否有显著性差异⽽关联性检验是检验是否显著相关。
⼀、单样本t检验 1、设计思想： 两个总体，总体A已知；总体B未知，但其样本已知，问题是未知总体B与已知总体A之间有⽆差异？实际上是验证该样本是否就是来⾃这个已知总体A？ 2、适⽤： （1）已知⼀个总体和未知总体中的⼀个样本。
（2）样本数据符合正态分布，不符合时应采⽤⾮参检验。
3、SPSS处理解读三步法： ⼆、配对样本t检验 1、设计思想： 配对样本t检验是配对的两组数据相减变成⼀组数据，然后去和已知总体0⽐较，其实就是转化为单样本t检验。
2、适⽤： （1）检测的两组配对数据之间存在相关性⽽不独⽴，这与两独⽴样本设计有着本质的区别。
包括四种配对类型，3种为同体配对，1种异体配对（条件配对）。
（2）两组样本数据配对差值符合正态分布。
3、SPSS处理解读三步法： ⼀般，第⼆步可以忽略。
但从统计学⾓度，这⼀步是为了验证配对数据的⼀致性，⽤于说明实验措施的稳定性。
三、两独⽴样本t检验(A/Btest 背后原理) 1、设计思想：在两个未知的总体中分别抽取⼀个样本，然后⽐较两个总体之间是否有差异？实际是检验两样本所来⾃总体的均值是否相等。
注意：分为「两总体均值检验」和「两总体率值检验」 2、适⽤： （1）独⽴性。
完全随机设计的两样本均值的⽐较。
实践中，两个样本获取只有两种可能：随机分组或按属性分组。
不管哪种，均是保证两组相互独⽴，不受影响。
（2）正态性。
两独⽴样本t检验要求两样本所代表的总体分别服从正态分布N(µ1，σ^2)和N(µ2，σ^2)。
（3）⽅差齐性。
要求两个t分布形态相差不⼤。
即两总体⽅差σ1^2、σ2^2显著性相等。
（ps：若两总体⽅差不满⾜齐性，需要先进⾏变换校正）。
注意：实践中，两个样本的获取只有两种可能：⼀是随机分组，如60只SD⼤⿏，随机分2组，每组30只，分别接受不同的处理，然后⽐较某个计量效应指标；⼆是按照某种属性特征分组，如某班级按照性别分为男⽣组和⼥⽣组，然后⽐较男⼥⽣某门课程的考试成绩差异。
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• 右侧检验（right-tailed test） ：零假设 为小于等于的情况。
例题
某车间生产的铜丝的折断力服从正态 分布，其平均折断力为570公斤，标准差 为8公斤。
现由于原料更换，虽然认为标准差不 会有什么变化，但不知道平均折断力是 否与原先一样。
总体均值的假设检验
已知条件
X~N(μ,σ2)， 或非正态 总体、大 样本，σ２ 已知
X~N(μ,σ2)， 或非正态 总体、大 样本，σ２ 未知
假设
H0:μ＝μ0 H1:μ≠μ0 H0:μ≥μ0 H1:μ＜μ0 H0:μ≤μ0 H1:μ＞μ0 H0:μ＝μ0 H1:μ≠μ0
H0:μ≥μ0 H1:μ＜μ0
关于总体平均数的推断统计
样本平均数的抽样分布
• 需考虑的问题：
– 总体方差σ2是否已知； – 总体是否正态分布； – 样本为大样本还是小样本。
样本平均数的抽样分布（σ2已知）
• 总体方差σ2已知时
若（X1，X2，…，Xn）是抽自总体X
的一个容量为n的简单随机样本，则依据 样本的所有可能观察值计算出的样本均 值的分布，称为样本均值的抽样分布。
从新生产的铜丝中抽取16个样品，测 得其平均折断力为574公斤。
问：能否认为平均折断力无显著变化？
例题
• 某区初三英语测验平均分数为65，该区 某校25份试卷的平均分数和标准差分别 为70和10。问该校初三英语平均分数与 全区是否一样？
例题
• 某市调查大学生在家期间平均每天用于 家务劳动的时间。某教授认为不超过2小 时。随机抽取100名学生进行调查的结果 为：平均时间1.8小时，方差1.69。问： 调查结果是否支持该教授的看法？
当总体为非正态分布时，若总体方差 未知，样本为大样本，可以利用 t 分布 或正态分布近似求解；样本为小样本时 无解。
例题
• 某总体总体均值为80，总体分布形式及 方差未知。从该总体中抽取一容量为64 的样本，得出 S = 2。问当 n = 64 时，样 本均值大于80.5的概率是多少？
样本均值的抽样分布（小结）
例题
• 从一零售商店全年的帐目中随机抽取25 天的帐目，计算出这25天的平均零售额 为780元，S为100元。若已知该店的日零 售额服从正态分布，全年的平均日零售 额为825元，问：随机抽取25天帐目，其 平均零售额不到780元的概率是多少？
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 非正态总体、总体方差σ2未知时
X ~ N(, 2 )
n
Z X ~ N (0,12 ) / n
样本均值的抽样分布（σ2已知）
• 非正态总体、σ２已知时
设总体X的均值μ和σ2，当样本容量趋 向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于 正态分布，且样本均值的数学期望和方 差分别为
E(X ) X
D(
X
)
2 X
限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。
• 区别之处在于：
– t 分布的形态随自由度（df=n-1）的变化呈一簇分布 形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同。
– 自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。
自由度
• 自由度(degree of freedom)是指总体参数 估计量中变量值独立自由变化的个数。
示意图
总体均值的区间估计
待估 参数
已知条件
置信区间
X~N(μ,σ2)，或非
μ
正态总体、大样本， X Z
σ２已知
2
n
X~N(μ,σ2)，或非
S
正态总体、大样本， X t
σ２未知
2
n
备注
自由度 df=n-1
例题
• 某种零件的长度服从正态分布。已知总 体标准差σ=1.5厘米。从总体中抽取200 个零件组成样本，测得它们的平均长度 为8.8厘米。试估计在95%置信水平下， 全部零件平均长度的置信区间。
函数为：
f (t)
n1 2
n
n 2
1 t2
n1 2
n
－∞＜ｔ＜＋∞
t分布的数学期望和方差分别为： E(t)=0 和 D(t)=n/(n-2)
t 分布的特征
• t 分布与正态分布的相似之处：
– t 分布基线上的t值从－∞～＋∞； – 从平均数等于0处，左侧 t 值为负，右侧 t 值为正； – 曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无
样本均值的抽样分布（σ2已知）
n）是抽自正态分
布总体X~N(μ, σ2)的一个容量为n的简单 随机样本，则其样本均值也是一个正态 分布随机变量，且有
样本均值的抽样分布
－－正态总体、 σ2已知时
E(X ) X
D(
X
)
2 X
2
n
例题
• 上例中，若已知该批零件共有2000件， 抽样方式采用不放回抽样，求该批零件 平均长度的置信水平为95%的置信区间。
例题
• 为了制订高中生体锻标准，某区教育局 在该区高中生中随机抽取36名男生测验 100米短跑成绩。结果这些男生的平均成 绩为13.0秒，S为1.2秒。试估计在95%置 信水平下，全区高中生100米跑的平均成 绩。
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ ，拒绝区域 在左侧时β错误的概率 0
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ ，拒绝区域 (region for rejection)在双侧时0 β错误的
概率
β错误的概率
• 若 在真 右实侧的时β总体错平误均的数概率μ＜μ0，拒绝区域
H0:μ≤μ0 H1:μ＞μ0
检验统计量
Z X 0 / n
H0的拒绝域 |Z|≥Zα/2
Z≤－Zα
Z≥Zα
t X 0
S/ n
自由度df= n-1
|t|≥tα/2
t≤－tα
t≥tα
双侧检验与单侧检验
• 双侧检验（two-tailed test，two-sided test）：零假设为无显著差异的情况；
2
n
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 正态总体、总体方差σ２未知时
设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分
布总体X~N(μ,σ2)的一个容量为n的简单 随机样本，则有
• 其中
t
X
S/ n
~
tn1
n
(Xi X )2
S i1 n 1
t 分布
• t分布(t-distribution)是一连续型分布，其密度