2019-2020学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年房山区高二上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．椭圆2243x y +=1的离心率是（）A ．32B ．22C ．13D ．122．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为()A ．2y x=±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．已知向量()2,3,5a =- 与向量()4,,1b x =-垂直，则实数x 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣6D ．65．已知双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点P 到F 2的距离是（）A ．31B ．1C ．﹣1D ．﹣1或316．已知直线l 的方向向量()1,2,1a =- ，平面α的法向量()2,4,2b =-，则直线l 与平面α的位置关系是()A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∈7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB与向量11C A 的夹角是（）A ．150°B ．135°C ．45°D ．30°8．已知抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的距离10m =，则点P 到y 轴的距离d 等于（）A ．12B ．9C ．6D ．39．已知双曲线2214x y k+=的离心率2e <，则实数k 的取值范围是()A ．k 0<或3k >B ．30k -<<C ．120k -<<D ．83k -<<10．如果抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是()A ．12B ．2C ．2D ．111．“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是()A ．0m n >>B ．0n m >>C ．0mn >D ．0mn <12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分二、填空题13．设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.14．双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.15．抛物线28x y =-的准线方程是_____，焦点坐标是_____.16．以下三个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，则二面角1A BC A --的大小为_____.18．已知椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为__________.三、解答题19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．（1）求异面直线AC 与1BC 所成的角；（2）求证：1//AC 平面1CDB ．20．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||BF =，点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF 交椭圆于点A ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求ABC ∆的面积．21．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程；（2）证明：OA OB是定值．22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点.（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°.数学试题参考答案1-10.DBABA BBCCD11-12.AD 13.[0，2π]14.815.y ＝2（0，﹣2）16.②③17.45°18.221189x y +=19.解：（1）因为3AC =，4BC =，5AB =，所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形，所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =- ，设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ，因为10CA BC = ，所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π．（2）由（1）可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，则3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB = 设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x =，则3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =-直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ．20.解：（1）因为顶点B 的坐标为(0,)b ，2||2BF =，所以222||2BF b c a =+==，因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)，所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =，所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=．21.解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -，所以42p =，2p =，所以抛物线C 的方程24y x =；（2）证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为(2py k x =-，则2((1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩，将（1）代入（2）得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=，设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y = ，22(,)OB x y = ，所以2121234OA OB x x y y p =+=- ，是定值．当直线l 无斜率时，(,0)2pF ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则122px x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y = ，22(,)OB x y = ，所以2121234OA OB x x y y p =+=- ，是定值．综上，234p OA OB =- ，是定值．22.解：（1）证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA == ，AD =，F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，)D ，(0,1,1)PB =- ，1)PC =- ，(0F ，12，12，(0AF = ，12，1)2，0AF PB = ，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥，AF ∴⊥平面PBC ．（2）设BE a =，(E a ∴，1，0)，(DE a =- ，1)PD =-，设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，则·(0·0n DE a x y n PD z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取1x =，得(1n =a -，平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF = ，二面角C PE D --为45︒，cos ,n AF ∴<>=，解得536a =，∴当6BE =时，二面角C PE D --为45︒．。
北京市房山区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高一数学
房山区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高一数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知点(1,2)A ，5(3,0)-，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(1,1)-B ．(2,2)-C ．(2,1)--D ．(4,2)--2.在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则（ ）A ．AO AB AD =+u u u r u u u r u u u r B ．1()2AO AB AD =+u u u ru u ur u u u r C ．AO AB AD =-u u u r u u u r u u u rD ．1()2AO AB AD =-u u u r u u u r u u u r3.与向量(3,4)a =r平行的单位向量是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(3,4)--4.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的75%分位数是（ ） A ．7B ．7.5C ．8D ．8.55.甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下表所示.甲、乙两人成绩的平均数分别记作x 甲，x 乙，标准差分别记作s 甲，s 乙.则（ ） A ．x x <甲乙，s s >乙甲 B ．x x <甲乙，s s <乙甲 C ．x x >甲乙，s s >乙甲D ．x x >甲乙，s s <乙甲6.下列函数中是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x =C ．2y x = D ．3y x =7.已知0.22a =，20.2b =，0.22log c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8.已知向量a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示，用基底{,}a b rr 表示c r ，则（ ）A ．32c a b =-r r rB ．32c a b =-+r r rC ．23c a b =-+r r rD ．23c a b =-r r r9.当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lgxf x A =（其中0A 为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）A ．53B ．5310C ．410D ．4e10.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()xg x a b =+的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市房山区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
房山区2019--2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.椭圆1的离心率是（ ）2243x y +=C. D. 1312【答案】D 【解析】【分析】由椭圆方程可知、、 的值，由离心率求出结果．22143x y +=a b c c e a =【详解】解：由椭圆可知，，，，22143x y +=2a =b =1c =离心率，∴12c e a ==故选：．D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出、 的值是解题a c 的关键，属于基础题．2.在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）A. 一个球 B. 一个圆C. 半圆D. 一个点【答案】B 【解析】【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案．【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．故选：．B 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．3.双曲线的渐近线方程为 2214y x -=()A. B. C.D.2y x=±y =12y x=±y x =【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程的渐近线方程为，求出双曲线的渐近线22221x y a b -=b y x a =±方程即可．【详解】解：因为双曲线的标准方程为，则它的渐近线方程为：．2214y x -=2y x =±故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．4.已知向量与向量垂直，则实数x 的值为（ ）()2,3,5a =-()4,,1b x =-A. ﹣1B. 1C. ﹣6D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值．x 【详解】解：向量，与向量垂直，则，()2,3,5a =-()4,,1b x =-0a b =由数量积的坐标公式可得：，24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=解得，1x =故选：．B 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题．5.已知双曲线1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点226436x y -=P 到F 2的距离是（ ）A. 31B. 1C. ﹣1D. ﹣1或31【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可．【详解】解：双曲线的焦点为，，为其上一点．2216436x y -=1F 2F P 所以，12216PF PF a -==若点到的距离为，P 1F 115PF =，21516PF ∴-=解得或（舍去），231PF =21PF =-所以点到的距离是：．P 2F 31故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题．6.已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-l α位置关系是 ()A. B. C. D. //l αl α⊥l α⊂l α∈【答案】B 【解析】【分析】由已知可求，判断与共线，即可得解．2b a = b al a ⊥【详解】解：直线的方向向量，平面的法向量，l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-，∴2b a = 则与共线，可得：．∴b al a ⊥故选：．B 【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量与向量的夹角是（ ）AB11C A A. 150° B. 135°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角．AB11C A 【详解】解：如图，正方体中，，，1111ABCD A B C D -11//AB A B 11//AC A C 的补角即为向量与向量 的夹角．111C A B ∴∠AB11C A 为等腰直角三角形，111C A B ∆，11145C A B ∴∠=︒量与向量的夹角为，∴AB11C A 18045135︒-︒=︒故选：．B 【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．8.已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离，则点到轴的距离等216y x =P 10m =P y d 于（ ）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出的横坐标，即为到轴的P P y 距离．【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：，设的横坐标为，由抛物线的4x =-P 0x 性质可得，所以，所以到轴的距离为6，0410x +=06x =P y 故选：．C 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题．9.已知双曲线的离心率，则实数的取值范围是 2214x y k +=2e <k ()A. 或B.C.D.k 0<3k >30k -<<120k -<<83k -<<【答案】C 【解析】【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可．【详解】解：双曲线可知，并且，，双曲线的离心率为：2214x y k +=k 0<2a=c =，e =，12e << ，∴12<<解得，综上．120k -<<120k -<<故选：．C【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题．10.如果抛物线的焦点为．点为该抛物线上的动点，又点．那么24y x =F M (1,0)A -的最大值是 ||||MF MA ()A.D. 112【答案】D 【解析】【分析】由题意可得在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到A 准线的距离可得，所以的最大值时，，，三点共线，可得结||||MF MN MA AM =||||MF MA A M F 果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点，准线方程为：，点在(1,0)F 1x =-(1,0)A -准线上，作准线交于，由抛物线的性质可得，所以，MN ⊥N |||MF MN =||||||||MF MN MA MA =在三角形中，，所以的最大值时，最小，AMN cos MNMAFMA =∠||||MF MA FAM ∠当，，上的共线时，最小，所以这时的最大值为1，A M F FAM ∠||||MF MA 故选：．D【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题．11.“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件是 221mx ny +=y ()A. B. C. D.0m n >>0n m >>0mn >0mn <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论．【详解】解：若方程表示椭圆，则，，m 0n ≠则方程等价为，22111x y m n +=若方程表示焦点在轴上椭圆，y 则等价为，11n m >>解得：，0m n >>故选：．A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题．12.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】D 【解析】【分析】由题意画出图形，证明到直线的距离为到点的距离，再由抛物线的定义得动点Q 1AB Q G 的轨迹．Q 【详解】解：如图，在正方体中，有平面，则，1111ABCD A B C D -11A D ⊥11AA B B 111A D AB ⊥又，，平面，平面，11AB A B ⊥1111A B A D A = 1A B ⊂11A BCD 11A D ⊂11A BCD 平面，1AB ∴⊥11A BCD 设，连接，则，垂直为，11A B AB G = QG 1QG AB ⊥G 而与在平面 内，且，G BC 11A BCD G BC ∉又点到直线和直线的距离相等，即点到的距离与到直线的距离相等，Q 1AB BC Q G BC 由抛物线定义可知，动点的轨迹是抛物线的一部分．Q 故选：．D 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.【答案】[0，].2π【解析】【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值θθ，由此能求出角的取值范围．2πθ【详解】解：是直线与平面所成的角，θ当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，θ当直线与平面垂直时，取最大值，θ2π角的取值范围是．∴θ0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.双曲线1的实轴长为_____.22169y x -=【答案】8.【解析】【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可．【详解】解：双曲线的实轴长为：．221169y x -=2248a =⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．15.抛物线的准线方程是_____，焦点坐标是_____.28x y =-【答案】 (1). y ＝2 (2). （0，﹣2）.【解析】【分析】由抛物线的方程直接可得的值及焦点所在轴，求出结果．p 【详解】解：由抛物线可得：，所以，且焦点在轴的负半轴上，28x y =-28p =4p =y 所以焦点即：，准线，0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2-22p y ==故答案分别为：；．2y =()0,2-【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．16.以下三个关于圆锥曲线的命题：①设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；A B k ||||PA PB k -=P ②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；22520x x -+=③双曲线与椭圆有相同的焦点．221259x y -=22135x y +=其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.【答案】②③.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定③正确．【详解】解：①平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点1F 2F 12(||)k k F F <的轨迹叫做双曲线，当时是双曲线的一支，当时，表示射线，①不0||k AB <<||k AB =∴正确；②方程的两根是2和，2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心22520x x -+=1212率，②正确；③双曲线与椭圆的焦点都是，有相同的焦点，③正确；221259x y-=22135x y +=()故答案为：②③．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题．17.在长方体中，，则二面角的大小为_____.1111ABCD A B C D -13AB A A ==1A BC A --【答案】45°.【解析】【分析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，AD a =D DA x DC y 1DD z 利用向量法能求出二面角的大小．1A BC A --【详解】解：设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空AD a =D DA x DC y 1DD z 间直角坐标系，则平面的法向量，ABC ()0,0,1m =，， ，()1,0,3A a (),3,0B a ()0,3,0C ，0，，，，，(BC a =- 0)1(0BA =3-3)设平面的法向量，1A BC (),,n x y z =则，取，得，1，，1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1y =(0n = 1)设二面角的大小为，1A BC A --θ则，||cos ||||m n m n θ==．45θ∴=︒二面角的大小为．∴1A BC A --45︒故答案为：45︒【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知椭圆E ：，的右焦点为，过点F 的直线交椭圆E 于22221x y a b +=0a b >>()3,0F A 、B 两点．若AB 的中点坐标为，则E 的方程为__________.()1,1-【答案】221189x y +=【解析】【分析】设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，()11,A x y ()22,B x y 212212y y b x x a -=-()3,0F 和AB 的中点坐标，得，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得，()1,1-121212y y x x -=-29b =，即可得E 的方程.218a =【详解】已知，设，，则①，②，3c =()11,A x y ()22,B x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=已知AB 的中点坐标为，，()121,1 2x x -+=，则122y y +=-①－②得，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=∴， ()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a -+=-⋅=-⨯-=-+∵，∴，即，1212011312y y x x -+==--2212b a =222a b =又，22229a b c b =+=+∴，，即E 的方程为.29b =218a =221189x y +=【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.三、解答题：本大题共4小题，每题15分，共60分.19.如图，在直三棱柱中，，，，，点111ABC A B C -3AC =4BC =5AB =14AA =是的中点．D AB （1）求异面直线与所成的角；AC 1BC （2）求证：平面．1//AC 1CDB【答案】（1）（2）证明见解析2π【解析】【分析】（1）因为，，，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，3AC =4BC =5AB =ABC ∆．因为三棱柱为直三棱柱，可得平面，建立空间直AC BC ⊥111ABC A B C -1C C ⊥ABC 角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．【详解】解：（1）因为，，，3AC =4BC =5AB =所以，所以是直角三角形，222AC BC AB +=ABC ∆所以，所以2ACB π=AC BC⊥因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，111ABC A B C -1C C ⊥ABC 所以，1C C AC ⊥1C C BC⊥以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，C CA CB 1CC x y z 则，0，，，0，，，4，，，0，(0C 0)(3A 0)(0B 0)1(0C 4)所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，AC (3,0,0)CA =1BC 1(0,4,4)BC =-设异面直线与所成的角为，AC 1BC θ因为，10CA BC = 所以，cos 0θ=所以异面直线与所成的角为．AC 1BC 2π（2）由（1）可知，，4，，则，3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(0B 4)3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1(0,4,4)CB =设平面的法向量为，则，所以1CDB (,,)n x y z = 1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令，则，，所以4x =3y =-3z =(4,3,3)n =-直线的方向向量为，1AC 1(3,0,4)AC =-因为，平面， 所以平面．10AC n =1AC ⊄1CDB 1//AC 1CDB 【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右xOy 1F 2F 2222:1(0)x y E a b a b +=>>焦点，顶点的坐标为，且，点是椭圆上一点，直线交B (0,)b 2||BF =41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E 2CF 椭圆于点．A （1）求椭圆的方程；E（2）求的面积．ABC ∆【答案】（1）（2）2212x y +=43【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；C b （2）由（1）可知，求得直线的方程，代入椭圆方程，求得点坐标，求得，2CF A ||AB 即可求得的面积．ABC ∆【详解】解：（1）因为顶点的坐标为，，B (0,)b 2||BF =所以，2||BF a ===因为点在椭圆上，所以，解得，41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭22161991a b +=21b =故所求椭圆的方程为.2212x y +=（2）因为点的坐标为，点的坐标为，C 41,33⎛⎫⎪⎝⎭2F (1,0)所以直线的斜率，所以直线的方程为，2CF 131413k ==-2CF 1y x =-由得，，所以或，221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩2340x x -=01x y =⎧⎨=-⎩4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点的坐标为，所以，A (0,1)-||2AB =所以．1442233ABC S ∆=⨯⨯=【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，F 2:2(0)C y px p =>F A B为坐标原点．O （1）当抛物线过点时，求抛物线的方程；C (1,2)M -C （2）证明：是定值．OA OB【答案】（1）y 2＝4x （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，求得抛物线方程；M p （2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理l 及向量的坐标运算，即可证明是定值．OA OB【详解】解：（1）因为抛物线过点，2:2(0)C y px p =>(1,2)M -所以，，42p =2p =所以抛物线的方程；C 24y x =（2）证明：当直线斜率存在时，，设直线的方程为，则l (,0)2p F l ()2py k x =-，2((1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩将（1）代入（2）得，，化简得，222kp kx px⎛⎫-= ⎪⎝⎭222(2)04k p kx k p p x -++=设，的坐标分别为，，则，A B ()11,x y ()22,x y 2124p x x =因为点，都在抛物线上，所以，，A B 22y px =2112y px =2222y px =所以，所以，22212122y y p x x =22412y y p =因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=-当直线无斜率时，，设，的坐标分别为，，，，则l (,0)2p F A B 1(x 1)y 2(x 2)y ，代入抛物线方程得，，，122px x ==22y px =221y p =222y p =所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，22412y y p =A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=- 综上，，是定值．234p OA OB =-【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．22.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，ADF是PB 中点，E 为BC 上一点.=（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.【答案】（1）证明见解析（2）BE=【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向A AD x AB y AP z 量法能证明平面．AF ⊥PBC （2）设，，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量BE a =(),1,0E a PDE PCE 法能求出当为．BE =C PED --45︒【详解】解：（1）证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间A AD x AB y AP z直角坐标系，，，是中点，1AB PA ==AD =F PB ，0，，，0，，，1，，1，，，(0A ∴0)(0P 1)(0B 0)C 0))D，，，，，(0,1,1)PB =- 1)PC =- (0F 1212，，，(0AF = 121)2，，0AF PB = 0AF PC =，，AF PB ∴⊥AF PC ⊥平面．AF ∴⊥PBC （2）设，，1，，，，BE a =(E a ∴0)(DE a =1)PD =-设平面的法向量，PDE (,,)n x y z =则，·(0·0n DE a x y n PD z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩取，得，1x =(1n =a -平面的法向量为，PCE 11(0,,22AF = 二面角为，C PED --45︒，cos ,n AF ∴<解得a =当为．∴BE =C PED --45︒【点睛】45本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（）A． B. C. D.2.若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.3.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）A．8 B. C. D.4.下列说法中正确的是（）A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题B．若命题，则；C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D．方程有唯一解的充要条件是5．一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．7．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是( )A. ①②B.③④C. ②④D.①③9．若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（）A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于45°11. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12.是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法:①不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④2019-2020年高二上学期期末考试数学理含答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.14.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为__________15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.16．给出如下五个结论：①若为钝角三角形，则②存在区间（）使为减函数而＜0③函数的图象关于点成中心对称④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人.（Ⅰ）求样本容量的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（Ⅱ）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率.18．(本小题满分10分)已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.19. (本小题满分12分)已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.20．（本小题满分12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFGH材料切割成三棱锥H-ACF.(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？21．（本小题满分13分） 已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 22．（本小题满分13分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若是椭圆内一点，椭圆的内接梯形的对角线与交于点，设直线在轴上的截距为，记，求的表达式(3) 求的最大值.临川一中xx 学年度上学期期末考试高二数学试卷答题卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的.）题 号一二三总 分17 18 19 20 21 22得 分题号123456789101112考号___________________……………………线……………………………………二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）13._________________________；14._________________________；15._________________________；16._________________________；三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-=． .…………10分 18：（1）设等比数列的公比为 ,由是和的等差中项 …….. 5分 （2）21(11)(32)(52)(212)n n S n -∴=++++++⋅⋅⋅+-+．21[135(21)](1222)n n -=+++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+.... 10分 19解：（1）若为真：解得或 若为真：则 解得或 若“且”是真命题，则解得或 …… 6分 （2）若为真，则，即 由是的必要不充分条件， 则可得或即或 解得或 ……12分20(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC .∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF .(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ， ∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin ∠CAF ＝S △ACF . 又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF＝V 三棱锥HACF . ∵三棱锥HACF 为将长方体ABCDEFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得，∴V 三棱锥HACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.22.（1）椭圆的标准方程为，……………..3分（2）由已知得不垂直于轴（否则由对称性，点在轴上）设直线的方程为，直线的方程为将代入得，设点，由韦达定理得，…………..5分同理设点，由韦达定理得由三点共线A C A C C A C A A C C A y x y x y x y x y x y x 2222)21)(1()21)(1(++-=++-⇒---=---⇒同理由三点共线B D B D D B D B y x y x y x y x 2222++-=++-⇒两式相加结合的方程，得)(24)(2)()(24)(2)()(2)(242)(2)()(2)(242)(2)(D C B A D C B A D C B A B D A C D B B A D C D B C A D B D C B A x x m m x x k x x x x n n x x k x x m kx x m kx x m y x x x k x x n kx x n kx x n y x x x k x x ++++++-=++++++-+++++++++-=+++++++++-利用得，由得，…………..7分由及直线不过点得且 又点到直线的距离是，故32621222323848221)(22--=-⨯-⨯⨯==∆m m m m S m f PAB（且）…..10分 (3)=3225]2)415(4[721)415(472165922222224=-+≤-=+-m m m m m m (也可用导数求解)当且仅当即时，上式等号成立，故的最大值为.…………..13分。
2019北京市房山区高二(上)期末数学试卷
2019北京市房山区高二（上）期末数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是（ ）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（4，0）D．（﹣4，0）2．复数的共轭复数是（ ）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i3．已知双曲线＝1的离心率为，则m＝（ ）A．4 B．2 C．D．14．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（﹣）等于（ ）A．B．C．D．5．若＝（4，2，3）是直线l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．相交但不垂直6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲线为双曲线”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（ ）A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是（0，）C．三棱锥B1﹣D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P8．设F是椭圆＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点P i（i＝1，2，3，…），|P1F|，|P2F|，|P3F|，…组成公差为d（d＞0）的等差数列，则d的最大值为（ ）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，（a+bi）i＝2+3i，则a＝ ，b＝ ．10．在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（﹣1，1，2），则线段MN的长度为 ．11．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则满足条件的一个双曲线的方程为 ．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则等于 ．13．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为 ．14．已知曲线W的方程为|y|+x2﹣5x＝0．①请写出曲线W的一条对称轴方程 ；②曲线W上的点的横坐标的取值范围是 ．三、解答题共6题，共80分。
房山区 2019-2020 学年度第二学期期末检测试卷高二数学
（16）能够说明“设 x, y, z 是任意实数．若 x > y > z ，则 x > y+z ”是假命题的一组整数
x, y, z 的值依次为______.
（17）某小区有居民1000 户，去年12 月份总用水量为 8000 吨.今年开展节约用水活动，
有 800 户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水 x 吨，使得今年1月份该小
（5）已知函
（A） 3 （C） x （6）已知 a
（A） a
（7）已知 m （A）1
（8）已知函
（A）充 （C）充
（9）函数 y
（A）
π 3
（10）已知函
（A）{ （C）{
（11）观察 的函数
（A） （12）若函数
（A）
学校________________
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卷
上，在试卷 个选项中，
用铁皮做一个体积为 50cm3 ，高为 2 cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽 各为多少 cm 时，用料最省？
班级________________ 姓名_________________
房山区 2019-2020 学年度第二学期期末检测试卷 高二数学
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
（B）{x | −2 ≤ x ≤ 2}
（C）{x | −2 ≤ x ≤ 1}
（D）{x | −1 ≤ x ≤ 2}
（11）观察 (x2 )′ = 2x ， (x4 )′ = 4x3 ， cos′ x = − sin x ，由归纳推理可得：若定义在 R 上
北京市房山区2019-2020学年高二上学期期末数学试题
绝密★启用前北京市房山区2019-2020学年高二上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆2243x y +=1的离心率是（ ）A B C ．13D ．122．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．已知向量()2,3,5a =-与向量()4,,1b x =-垂直，则实数x 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣6D ．65．已知双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点P 到F 2的距离是（ ） A ．31B ．1C ．﹣1D ．﹣1或316．已知直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∈7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB 与向量11C A 的夹角是（ ） A ．150°B ．135°C ．45°D ．30°8．已知抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的距离10m =，则点P 到y 轴的距离d 等于（ ） A ．12B ．9C ．6D ．39．已知双曲线2214x y k+=的离心率2e <，则实数k 的取值范围是( )A ．k 0<或3k >B ．30k -<<C ．120k -<<D ．83k -<<10．如果抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是( ) A ．12B ．2C ．2D ．111．“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( ) A ．0m n >>B ．0n m >>C ．0mn >D ．0mn <12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.14．双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.15．抛物线28x y 的准线方程是_____，焦点坐标是_____.…………○…………装学校:___________姓…………○…………装①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，则二面角1A BC A --的大小为_____.18．已知椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为__________. 三、解答题19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．（1）求异面直线AC 与1BC 所成的角； （2）求证：1//AC 平面1CDB ．20．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||BF =，点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF………订…………○※线※※内※※答※※题※※………订…………○（1）求椭圆E 的方程； （2）求ABC ∆的面积．21．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程； （2）证明：OA OB 是定值．22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝P A ＝1，AD =F 是PB 中点，E 为BC 上一点.（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.参考答案1．D 【解析】 【分析】由椭圆22143x y +=方程可知a 、b 、c 的值，由离心率c e a =求出结果．【详解】解：由椭圆22143x y +=可知，2a =，b =1c =，∴离心率12c e a ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a 、c 的值是解题的关键，属于基础题． 2．B 【解析】 【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案． 【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆． 故选：B ． 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的标准方程22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，求出双曲线的渐近线方程即可． 【详解】解：因为双曲线的标准方程为2214y x -=，则它的渐近线方程为：2y x =±．故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得x 的值． 【详解】解：向量()2,3,5a =-，与向量()4,,1b x =-垂直，则0a b =， 由数量积的坐标公式可得：24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=， 解得1x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可． 【详解】解：双曲线2216436x y -=的焦点为1F ，2F ，P 为其上一点．所以12216PF PF a -==， 若点P 到1F 的距离为115PF =，2解得231PF =或21PF =-（舍去）， 所以点P 到2F 的距离是：31． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题． 6．B 【解析】 【分析】由已知可求2b a =，判断b 与a 共线，即可得解l a ⊥． 【详解】 解：直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，∴2b a =，∴则b 与a 共线，可得：l a ⊥．故选：B ． 【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量AB 与向量11C A 的夹角． 【详解】解：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，11//AC A C ，111C A B ∴∠的补角即为向量AB 与向量11C A 的夹角．111C A B ∆为等腰直角三角形，111∴量AB 与向量11C A 的夹角为18045135︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题． 8．C 【解析】 【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出P 的横坐标，即为P 到y 轴的距离． 【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：4x =-，设P 的横坐标为0x ，由抛物线的性质可得0410x +=，所以06x =，所以P 到y 轴的距离为6，故选：C ． 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题． 9．C 【解析】 【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可． 【详解】解：双曲线2214x y k+=可知k 0<，并且2a =，c 双曲线的离心率为：e =，12e <<，∴12<，解得120k -<<，综上120k -<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题． 10．D 【解析】 【分析】由题意可得A 在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得||||MF MNMA AM=，所以||||MF MA 的最大值时，A ，M ，F 三点共线，可得结果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-，(1,0)A -点在准线上， 作MN ⊥准线交于N ，由抛物线的性质可得|||MF MN =，所以||||||||MF MN MA MA =， 在三角形AMN 中，cos MNMAF MA=∠，所以||||MF MA 的最大值时，FAM ∠最小，当A ，M ，F 上的共线时，FAM ∠最小，所以这时||||MF MA 的最大值为1，故选：D ．【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题． 11．A【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论． 【详解】解：若方程表示椭圆，则m ，0n ≠，则方程等价为22111x y m n+=， 若方程表示焦点在y 轴上椭圆， 则等价为110n m>>， 解得：0m n >>， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题． 12．D 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明Q 到直线1AB 的距离为Q 到G 点的距离，再由抛物线的定义得动点Q 的轨迹．【详解】 解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有11A D ⊥平面11AA B B ，则111A D AB ⊥， 又11AB A B ⊥，1111A BA D A =，1AB ⊂平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ，1AB ∴⊥平面11A BCD ，设11A BAB G =，连接QG ，则1QG AB ⊥，垂直为G ，而G 与BC 在平面11A BCD 内，且G BC ∉，又点Q 到直线1AB 和直线BC 的距离相等，即点Q 到G 的距离与到直线BC 的距离相等， 由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一部分． 故选：D ． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题． 13．[0，2π]. 【解析】 【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，θ取最小值0，当直线与平面垂直时，θ取最大值2π，由此能求出角θ的取值范围． 【详解】解：θ是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，θ取最小值0，当直线与平面垂直时，θ取最大值2π， ∴角θ的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14．8. 【解析】 【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可． 【详解】解：双曲线221169y x -=的实轴长为：2248a =⨯=．故答案为：8． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 15．y ＝2 （0，﹣2）. 【解析】 【分析】由抛物线的方程直接可得p 的值及焦点所在轴，求出结果． 【详解】 解：由抛物线28xy 可得：28p =，所以4p =，且焦点在y 轴的负半轴上，所以焦点0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭即：()0,2-，准线22p y ==， 故答案分别为：2y =；()0,2-． 【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．16．②③. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定③正确． 【详解】解：①平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数12(||)k k F F <的点的轨迹叫做双曲线，当0||k AB <<时是双曲线的一支，当||k AB =时，表示射线，∴①不正确； ②方程22520x x -+=的两根是2和12，2可作为双曲线的离心率，12可作为椭圆的离心率，②正确；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=的焦点都是()，有相同的焦点，③正确；故答案为：②③． 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题． 17．45°. 【解析】 【分析】设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BC A --的大小． 【详解】解：设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则平面ABC 的法向量()0,0,1m =，()1,0,3A a ， (),3,0B a ， ()0,3,0C，(BC a =-，0，0)，1(0BA =，3-，3)，设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =， 则1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，设二面角1A BC A --的大小为θ， 则||2cos 2||||m n m n θ==， 45θ∴=︒．∴二面角1A BC A --的大小为45︒．故答案为：45︒【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．221189x y +=【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法”，得212212y y b x x a-=-，再根据直线过点()3,0F ，和AB 的中点坐标()1,1-，得121212y y x x -=-，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得29b =，218a =，即可得E 的方程. 【详解】已知3c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，已知AB 的中点坐标为()121,1?2x x -+=，则，122y y +=-， ①－②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a-+=-⋅=-⨯-=-+， ∵1212011312y y x x -+==--，∴2212b a =，即222a b =， 又22229a bc b =+=+，∴29b =，218a =，即E 的方程为221189x y +=.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解. 19．（1）2π（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为3AC =，4BC =，5AB =，利用勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥．因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，可得1C C ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出． 【详解】解：（1）因为3AC =，4BC =，5AB =， 所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形， 所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =-， 设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ， 因为10CA BC =， 所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π． （2）由（1）可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，则3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB =设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x =，则3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =- 直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1//AC 平面1CDB ．【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）2212x y +=（2）43【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，将C 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；（2）由（1）可知，求得直线2CF 的方程，代入椭圆方程，求得A 点坐标，求得||AB ，即可求得ABC ∆的面积． 【详解】解：（1）因为顶点B 的坐标为(0,)b，2||BF =所以2||BF a ===因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)， 所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =， 所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（1）y 2＝4x （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将M 点代入抛物线方程，即可求得p 的值，求得抛物线方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明OA OB 是定值． 【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -， 所以42p =，2p =， 所以抛物线C 的方程24y x =； （2）证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为()2py k x =-，则2()(1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩， 将（1）代入（2）得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=， 设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．当直线l 无斜率时，(,0)2p F ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则122p x x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．综上，234p OA OB =-，是定值．【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题． 22．（1）证明见解析（2）BE = 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ⊥平面PBC ．（2）设BE a =，(),1,0E a ，求出平面PDE 的法向量和平面PCE 的法向量，利用向量法能求出当BE =C PE D --为45︒． 【详解】解：（1）证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA ==，AD =，F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，)D ，(0,1,1)PB =-，(3,1,1)PC =-，(0F ，12，1)2， (0AF =，12，1)2， 0AF PB =，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥， AF ∴⊥平面PBC ．（2）设BE a =，(E a ∴，1，0)，(DE a =，(3,0,1)PD =-， 设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，则·(0·30n DE a x y n PD x z ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n =a ， 平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF =，二面角C PE D --为45︒，2cos ,223n AF a ∴<>==-， 解得a =∴当BE 时，二面角C PE D --为45︒．【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为45︒的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．。
北京房山区2019—2020学年度第一学期期末数学试卷含答案
北京房山区2019～2020学年度第一学期期末试卷九年级数学 2020.1第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，BD =3，则AE ：AC 的值为（ ）A ．2:3B ．1:2C ．3:5D ． 2:52.如图，在Rt △ABC 中，90C?，若AC=3，BC=4，则cosB的值是（ ）A ．43B ．53C ．54D ．343.若反比例函数xky =（0≠k ）的图象经过点 2) (-1，，则这个函数的图象一定还经过点（ ）．A ．1)- (2，B ． 2) 21(-，C ．1)- (-2，D ． 2) 21(，4．圆心角为60°，半径为1的弧长为（ ）A ．2πB ．πC ．6πD ．3π5.如图，A 、B 、C 、D 四点在⊙O 上，OA BC ^，24ADB ??. 则AOC Ð的度数为（ ）A ．36°B ．48°C ．56°D ．60°6.如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∠APB =60°，⊙O 半径 为2，则P A 的长为（ ）A ．3B ．4C ．32D ．227.向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为y ＝ax 2+bx+c （a ≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ，⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B 的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部．分．图象是（ ）A BC D二、填空题（本题共16分，每小题2分)9.二次函数1-2+-3=2）（x y 的最大值是 . 10.若33=tan α，则锐角α＝ 度. 11.如图，点A 在双曲线xky =上，且B x AB 轴于⊥，若△ABO 的面积为3，则k 的值为 . 12. 如图，一个小球由地面沿着坡度3:1=i 的坡面向 上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为 m .13.如图，A 、B 是⊙O 上的两点，若∠AOB ＝80°，C 是⊙O 上 不与点A 、B 重合的任一点，则∠ACB 的度数为 .14. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分 线交⊙O 于D ，且AB ＝10，则AD 的长为 .15. 在平面直角坐标系中，二次函数2=x y 与反比例函数=y -x1（0<x ）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点()m x A ，1，()m x B ，2，()m x C ，3，其中m 为常数，令321++=x x x δ，则δ的值为 （用含m 的代数式表示）16. 已知二次函数1-2+)+(-=2a a x y （a 为常数）， 当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”． 如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象． 发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表 达式是 . ．三、解答题（本题共68分，第17-21，每小题5分；第22-27每小题6分；第28题7分）17.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图17-1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径.元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程. 解：如图17-2，连接BC ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径． （依据是____________________________________） ∵OB OB =且∠ODB ＝30°∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°（依据是____________________________________） ∴BC OB 21=． ∵OB=2∴BC ＝4．即⊙A 的半径为_________．图17-1 图17-218.已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是AD上一点，且AB ：AC ＝AE ：AD ． 判断BE 与BD 的数量关系并证明．19. 如图，Rt △ABC 中，90C ?，AC=32，BC= 6，解这个直角三角形.20．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）结合图像，直接写出当3<<2-x时，y的取值范围．21.如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架23米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合. 因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +2与函数xky =（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，a ）． （1）求k 的值；（2）已知点P （m ，0），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y ＝x +2于点C ，交函数xky =（k ≠0）的图象于点D ． ①当m ＝2时，求线段CD 的长；②若PC ＞PD ，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．23. 已知△ABC 如图所示，点O 到A 、B 、C 三点的距离均等于m （m 为常数），到点O 的距离等于m 的所有点组成图形W. 射线AO 与射线AM 关于AC 对称，过C 作CF ⊥AM 于F .（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；（2）判断直线FC 与图形W 的公共点个数并加以证明.C B A24. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝60°，高AD 的延长线交⊙O 于点E ，BC ＝6，AD ＝5．（1）求⊙O 的半径； （2）求DE 的长．25.如图，在正方形ABCD 中，AB =5cm ，点E 在正方形边上沿B →C →D 运动（含端点），连接AE ，以AE 为边，在线段右侧作正方形AEFG ，连接DF 、DG .小颖根据学习函数的经验，在点E 运动过程中，对线段AE 、DF 、DG 的长度之间的关系进行了探究. 下面是小颖的探究过程，请补充完整：（1）对于点E 在BC 、CD 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE 、DF 、DG 的长度的几组值，如下表：在AE 、DF 和DG 的长度这三个量中，确定__________的长度是自变量，__________的长度和__________的长度都是这个自变量的函数.(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象：G FEDCBA（3） 结合函数图像，解决问题：当△GDF 为等腰三角形时，AE 的长约为______________26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴交于点A ，B .（1）若2=AB ，求m 的值；（2）过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2≥MN 时，求m 的取值范围.27.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点B 为圆心、1为半径作圆，设点M 为⊙B 上一点，线段CM 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CN ，连接BM 、AN ．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM ＝AN .（2）连接MN ，若MN 与⊙B 相切，则∠BMC 的度数为________________. （3）连接BN ，则BN 的最小值为___________；BN 的最大值为___________图27-1 备用图 备用图28. 如图28-1，已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．点Q ，满足PQ AB £，则称点P 为线段AB 的“限距点”.图28-1（1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy 中，若点)01-(，A ，)01(，B .① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，E 中，是线段AB 的“限距点”的是________；② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围.图28-2（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，t A ，)1-(，t B ，直线32+33=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.房山区2019～2020九年级数学期末试卷答案 2020.1二、填空题（本题共16分，每小题2分)9. -1 ； 10. 30 ； 11. -6 ； ；13. 40°或140°； 15. -m1； 16.. 1--2x =y三、解答题（本题共68分，第17-21，每小题5分；第22-27每小题6分；第28题7分）17. 90°的圆周角所对的弦是直径；………………………………2分 同弧所对的圆周角相等； ………………………………4分2 ………………………………5分18.BE=BD …………………1分⸪AD 平分∠BAC⸪∠CAD=∠DAB …………………2分 ⸪AB ：AC ＝AE ：AD⸪△EAB ∽△DAC …………………3分 ⸪∠AEB=∠ADC⸪∠BED=∠BDE …………………4分 ⸪BE=BD …………………5分 20. ⸪90C?，AC=32，BC= 6⸪AB=34=6+3222）（ …………………2分⸪33=632=BC AC =tanB…………………3分 ⸪∠B=30° …………………4分 ⸪∠A=60° …………………5分 ⸪∠A=60°；∠B=30°；AB=3421. （1）设表达式为()()0≠4+1-=2a x a y ………1分（其它设法也可）把()01-，代入得-1=a …………2分 ⸪表达式为()4+1--=2x y 或3+2+-=2x x y…………3分（2）如图所示 …………4分（3）4≤<5-y …………5分22. ⸪∠AEB=90°，∠BAE=45°，AB=23 ⸪AE=BE=3=22•23=45sin •23 …………2分⸪∠BCE=60° ⸪3=33=tan60BE =CE …………4分 ⸪3-3=CE -AE =AC …………5分即胡同左侧的通道拓宽了）（3-3米.22.（1）把A （1，a ）代入y ＝x +2得a ＝3 …………1分把A （1，3）代入x ky =得3=k…………2分 （2）① 当m ＝2时，C （2，4），D （2，23）…………3分⸪CD =25=23-4. …………4分② m< -3或m > 1 …………6分23.（1）依题意补全图形，如图23-1 …………3分图23-1 图23-2（2）如图23-2，直线FC 与图形W 有一个公共点 …………4分证明：连接OC …………5分⸪射线AO 与射线AM 关于AC 对称 ⸪∠1=∠2 ⸪OC = OA ⸪∠1=∠3 ⸪∠3=∠2 ⸪OC ∥AE⸪CF ⊥AM 于F⸪CF ⊥OC …………6分 ⸪图形W 即⊙O ，OC 为半径⸪FC 与⊙O 相切，即FC 与图形W 有一个公共点.24. （1）如图24-1 ⊙O 中，作直径BF ，连接CF…………1分 ⸪∠BCF=90° …………2分⸪∠F=∠BAC ＝60° …………3分⸪34=236=∠F sin =BC BF⸪⊙O 的半径为32 …………4分 图24-1（其它证法参考给分）（2）如图24-2 过O 作OG ⊥AD 于G ,OH ⊥BC 于H …………5分 ⸫GE=GA ，四边形OHDG 是矩形⸫OH=DG⸫OB=32, ∠FBC ＝30°⸫OH=3 ⸪DG=3 图24-2⸫AG=AD-GD=5-3 ⸫EG=5-3⸫DE=EG-GD=3-3-5=32-5…………6分25. （1） DG ， AE ， DF…………3分（2） 如图 …………5分（3）7.07或5.00或5.65 …………6分26. （1）抛物线对称轴为直线1=22--=mmx . …………1分 ⸫点A 、B 关于直线1=x 对称，AB =2∴ 抛物线与x 轴交于点（0，0）、（2，0）.…………2分 将（0，0）代入1+2-2-=2m mx mx y 中，得0=1+2-m 即21=m . …………3分（2）抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴有两个交点∴0>Δ 即()0>1+-2(4-2-2）m m m …………4分 解得：0<31>m m 或 ※①若0>m ，开口向上，如图26-1当2≥MN 时，有2≤1+2-m 解得21-≥m 图26-1结合※可得31>m …………5分②若0<m ，开口向下，如图26-2当2≥MN 时，有2≥1+2-m解得21-≤m结合※可得21-≤m …………6分综上所述m 的取值范围为31>m 或21-≤m 图26-227.（1）如图27-1，补全图形 …………1分 证明：⸫∠ACB ＝∠MCN ＝90°∴∠MCB ＝∠NCA …………2分 ⸫CM ＝CN ，CB ＝CA ∴△MCB ≌△NCA∴BM ＝AN …………3分图27-1（2） 45°或135° …………4分（3） 1 ； 3 …………6分28.（1）① C ， E ； …………2分②由题意直线1+=x y 上满足线段AB 的“限距点”的范围如图28-1所示.点P 在线段MN 上（包括端点）…………3分易求 2-1-=M x …………4分1=N x …………5分∴点P 横坐标P x 的取值范围为： 图28-11≤≤2-1-P x （2）如图28-2，-8=t…………6分图28-2如图28-3，2-3=t…………7分图28-3综上所述：2-3≤t≤8-。
解析】北京市房山区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷
房山区2019-2020学年度第二学期期末检测试卷高二数学一､选择题1. 已知全集{}2,1,1,2,3,4U =--，集合{}2,1,2,3A =-，集合{}1,2,2,4B =--，则()UA B （ ）A. {}1,2,2,4--B. {}1,2,3,4--C. {}1,2,3,4-D. {}1,1,2,,4-【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】由集合补集、并集的概念运算即可得解. 【详解】因全集{}2,1,1,2,3,4U =--，集合{}2,1,2,3A =-， 所以{}U1,4A =-,又集合{}1,2,2,4B =--，所以(){}U 1,2,2,4A B =--.故选：A.2. 设集合{}1P x x =>-，集合{}24Q x x =<，则P Q =（ ）A. {}1x x >- B. {}21x x -<<-C. {}22x x -<< D. {}12x x -<<【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】利用集合的基本运算，直接求解即可【详解】{}1P x x =>-，{}24Q x x =<}{22x x =-<<，则PQ ={}12x x -<<故选：D.【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题3. 若不等式302x ax -<-的解集是123x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则a 的值是（ ） A. 1B. 1x <C. 1x >D. 13x =【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】分式不等式等价于()()320x a x --<，利用不等式的解集，直接求a .【详解】不等式()()303202x ax a x x -<⇔--<-，解集为123x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 可知133a =，1a .故选：A4. 已知集合{A =，集合{}1,B a =，若{}A B a =，则a =（ ）A. 0B. 0或3C. 1D. 1或3【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】由{}AB a =，可知3a =或a =，再回代验证，集合是否满足互异性.【详解】{}A B a =，3a ∴=或a =当3a =时，{A =，{}1,3B =，成立当a =时，0a =或1a =，当0a =时，{}3,0A =，{}1,0B =，成立当1a =时，{}3,1A =，{}1,1B =，不满足互异性，所以不成立， 综上可知0a =或3. 故选：B【点睛】易错点睛：根据列举法表示集合的交，并，补集，求参数时，需回代验证是否满足互异性，否则会出现增根的现象.5. 已知函数()31xf x x e =-，则它的导函数()f x '等于（ ）A. 23x x eB. ()23x x e x +C. ()231xx e x +-D.231x x e -【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】利用导数的四则运算计算结果.【详解】()()()()3323233x x x x x f x x e x e x e x e x e x '''=⋅+⋅=+=+.故选：B6. 已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A. 22a b <B. 2a ab <C.11a b< D.1b a< 【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】直接利用作差比较法比较即得正确选项.【详解】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.7. 已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ）A. 1C. 2D. 3【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】由基本不等式运算即可得解.【详解】因为0m >，0n >，且0m n +-=，所以m n =+≥所以3mn ≤，当且仅当m n ==时，等号成立，所以mn 的最大值是3. 故选：D.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8. 已知函数()ln af x x x=+，则“0a <”是“函数()f x 在定义域内为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义，判断即可得解. 【详解】当0a <时，函数ln y x =与ay x=均在()0,∞+上单调递增， 所以()ln af x x x=+在定义域内为增函数， 故“0a <”能推出“函数()f x 在定义域内为增函数”；当0a =时，()ln f x x =，满足函数()f x 在定义域内为增函数，所以“函数()f x 在定义域内为增函数”推不出“0a <”；所以“0a <”是“函数()f x 在定义域内为增函数”的充分不必要条件. 故选：A.9. 函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A.13π+ B.4πC.6πD.2π 【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求得函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【详解】对于函数2cos y x x =+，12sin y x '=-. 当06x π<<时，12sin 0y x '=->；当62x ππ<<时，12sin 0y x '=-<.所以，函数2cos y x x =+在区间0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以，max 2cos666y πππ=+=+故选：C.【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 10. 已知()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则不等式()2f x x ≥的解集为（ ）A. {}11x x -≤≤B. {}22x x -≤≤C. {}21x x -≤≤ D. {}12x x -≤≤【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，分情况解不等式.【详解】当0x ≤时，()2f x x =+，此时()222f x x x x ≥⇔+≥，()()220120x x x x --≤⇔+-≤，解得12x -≤≤，所以不等式的解集为[]1,0-，当0x >时，()2f x x =-+，此时()222f x x x x ≥⇔-+≥，()()220120x x x x +-≤⇔-+≤，解得：21x -≤≤，所以不等式的解集为(]0,1，综上可知不等式的解集为[]1,1-. 故选：A11. 观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A. ()f xB. ()f x -C. ()g xD. ()g x -【★★★答案★★★】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选★★★答案★★★D ．12. 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是 ( ) A. (0,1) B. 1(0,)2C. (－∞，1)D. (0，＋∞)【★★★答案★★★】B 【解析】由题意得,函数()363f x x bx b=-+导数()2'36f x x b =-在(0,1)内有零点，且()()'00,'10f f ,即60b -<,且360b ->， ∴102b <<， 故选B.二､填空题13. 命题“x ∃∈N ，220x x +-=”的否定形式是______. 【★★★答案★★★】x N ∀∈，220x x +-≠ 【解析】 【分析】根据特称命题否定为全称命题，即可得结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，要将存在量词改写为全称量词，所以，命题x ∃∈N ，220x x +-=的否定为 x N ∀∈，220x x +-≠. 故★★★答案★★★为：x N ∀∈，220x x +-≠【点睛】易错点睛：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别：（1）否定全称和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词，二是要否定结论；（2）一般命题的否定只需直接否定结论即可.14. 已知函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()f x '的图象如图所示，则函数()y f x =的极值点有______个.【★★★答案★★★】2 【解析】 【分析】根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解. 【详解】由导函数的图像可知，函数的单调递增区间为(),0-∞，()2,+∞，单调递减区间为[]0,2，所以0x =为极大值点，2x =为极小值点， 所以函数()y f x =的极值点有2个. 故★★★答案★★★为：215. 曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为______. 【★★★答案★★★】14【解析】 【分析】由导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得切线的方程，即可得解. 【详解】由题意，()()222222+-'==++x xy x x ，当1x =-时，2y '=，所以曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线斜率为2， 所以该切线方程为()121y x +=+即21y x =+，易得该切线与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,1， 所以该切线与坐标轴围成的三角形面积1111224S =⨯⨯=. 故★★★答案★★★为：14. 16. 能够说明“设x ，y ，z 是任意实数.若x y z >>，则x y z >+”是假命题的一组整数x ，y ，z 的值依次为______.【★★★答案★★★】3，2，1(★★★答案★★★不唯一) 【解析】 【分析】由题意举出反例即可得解.【详解】由题意，整数x ，y ，z 满足x y z >>，但不满足x y z >+， 所以x ，y ，z 的值依次可以为3，2，1.故★★★答案★★★为：3，2，1(★★★答案★★★不唯一).17. 某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x 吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x 满足的关系式为________． 【★★★答案★★★】x 52＞ 【解析】 【分析】由已知求出1户居民去年12月份的用水量，然后求出今年1月份该小区居民用水总量，再由题意可得（8﹣x ）×800+8×200＜6000，化简得★★★答案★★★． 【详解】1000户居民去年12月份总用水量为8000吨， 则1户居民去年12月份的用水量为80001000=8吨． 1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为（8﹣x ）吨， 则今年1月份该小区居民用水总量为（8﹣x ）×800+8×200． ∴（8﹣x ）×800+8×200＜6000，解得x 52＞． ∴x 满足的关系式为x 52＞． 故★★★答案★★★为：x 52＞．【点睛】本题考查一次函数模型的应用，属简单题，只需认真理解题意即可. 18. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，给出以下四个命题： ①[][]x x -=-； ②[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；③[][]22x x =； ④[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦. 则假命题是______(填上所有假命题序号). 【★★★答案★★★】①②③ 【解析】 【分析】举出反例可判断①②③，按照[]102x x ≤-<、[]112x x ≤-<分类，即可判断④，即可得解.【详解】对于①，由[]2.33-=-，[]2.32-=-可得[][]2.3 2.3-≠-，故①为假命题； 对于②，由31222⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得313222⎡⎤⎡⎤+≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故②为假命题； 对于③，由3232⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦，3222⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦可得332222⎡⎤⎡⎤⨯≠⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③为假命题；对于④，当[]102x x ≤-<时，[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[][]22x x =，此时满足[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦； 当[]112x x ≤-<时，[]112x x ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，[][]221x x =+，此时满足[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；故④为真命题； 故★★★答案★★★为：①②③.【点睛】解决本题的关键是准确理解题目中的概念，举出合理反例、合理分类.三､解答题19. 用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？【★★★答案★★★】铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 【解析】 【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则..表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x -'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 20. 已知函数()39f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间与极值.【★★★答案★★★】（1）620x y ++=；（2）函数()f x 的单调增区间为(),3-∞-，()3,+∞；减区间为()3,3-；极大值-.【解析】 【分析】（1）求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数()y f x =的极值点，列表分析函数()y f x =的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间和极值.【详解】解：（1）因为()39f x x x =-，所以()239f x x '=-当1x =时，()18=-f ，()16f '=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线过点()1,8-，斜率为6k =-所以切线方程为()861y x +=--，即620x y ++=. （2）函数()f x 的定义域为R令()2390f x x '=-=得，x =所以函数()f x 的单调增区间为(),3-∞-，()3,+∞；减区间为()3,3-当=x ()f x 有极大值，(f =当3x =时，函数()f x 有极小值，f=-【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.21. 已知函数()x f =M ，不等式30x x m +≤-的解集为N . （1）求M ；（2）若M N ⊆，试求m 的取值范围.【★★★答案★★★】（1）{}12M x x =-≤<；（2）2m ≥. 【解析】 【分析】（1）根据定义域的定义，列方程求解即可；（2）把m 与3-的大小关系进行分类讨论，进而利用M N ⊆求解即可【详解】解：（1）因为函数()x f =M 102x x +≥-得，()()12020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，所以12x -≤< 所以{}12M x x =-≤<.（2）当3m >-时，不等式30x x m +≤-等价于()()300x x m x m ⎧+-≤⎨-≠⎩， 所以{}3N x x m =-≤< 因为M N ⊆，所以2m ≥. 当3m =-时，不等式30x x m+≤-等价于不等式10≤，解集N ϕ=，不满足条件M N ⊆. 当3m <-时，不等式30x x m +≤-等价于()()300x x m x m ⎧+-≤⎨-≠⎩， 所以{}3N x m x =<≤-，不满足条件M N ⊆. 综上，m 的取值范围为2m ≥.【点睛】本题考查集合的包含关系，考查定义域的求法，以及一元二次不等式的求解，主要考查学生分类讨论的思想，属于中档题22. 已知函数()e x f x x=(e为自然对数的底数)，函数()g x mx =.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若不等式()()0f x g x +>在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围.【★★★答案★★★】（1）最小值e ；（2）24em >-.【解析】 【分析】（1）求得导函数，利用导数判断单调性即可求出极值进而求得最值；（2）若不等式()()0f x g x +>在()0,∞+上恒成立，等价于2e xm x>-在()0,+∞上恒成立，只需2maxe x m x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭构造函数()2e xh x x =-，利用导数求得最值即可得解.【详解】解：（1）当1m =，函数()f x 定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()22e 1e e =xx x x x f x x x--'= 令()()210x e x f x x-'==，则=1x所以()f x 的减区间为(),0-∞，()0,1；增区间为()1,+∞所以当1x =时，函数()f x 有最小值()1e 1e 1f ==.（2）不等式()()0f x g x +>在()0,+∞上恒成立等价于不等式e >0+xmx x在()0,+∞上恒成立，故不等式2e xm x>-在()0,+∞上恒成立，令()2e xh x x =-，()0,+x ∈∞，则()()3e 2x x h x x-'= 当()0,2x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上为增函数； 当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在()2,+∞上为减函数； 所以()()2maxe 24h x h ==-，所以24e m >-.【点睛】结论点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
北京市房山区19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
北京市房山区19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.椭圆x225+y216=1的离心率为()A. 35B. 45C. 34D. 16252.到点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为()A. x2=−4y+4B. x2=−8y+8C. y2=−4x+4D. y2=−8x+83.双曲线x2−y24=1的渐近线方程为()A. y=12x B. y=±2x C. y=2x D. y=−2x4.已知向量a⃗=(1,1，3)，b⃗ =(−1,1，2)，则a⃗⋅b⃗ 的值是()A. 5B. 6C. 7D. 85.双曲线x216−y29=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是172，则P到F2的距离是()A. 332B. 12C. 12或332D. 12或3726.设a⃗=(3,−2,−1)是直线l的方向向量，n⃗=(−1,−2,1)是平面α的法向量，则直线l与平面α()A. 垂直B. 平行或在平面α内C. 平行D. 在平面α内7.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(6,3)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8.设抛物线y2=4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为()A. 3B. 4C. 5D. 69.方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A. −3<m<2B. −1<m<3C. −3<m<4D. −3<m<010.已知点A(3,4)，F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，则|MA|+|MF|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 611.“”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件12.正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内一动点，且P到BC的距离与P到C1D1的距离之比为2，则点P的轨迹为()A. 圆B. 双曲线C. 抛物线D. 椭圆二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.直线PQ与平面a所成的角为θ，则θ的取值范围为______ ．14.双曲线x22−y22=1的实轴长为______ ．15.已知抛物线x2=8y的准线方程为______；焦点坐标为______．16.设点A，B的坐标分别为(−a,0)，(a,0).直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积为k.则下列说法正确的是______(1)当k=b2a2时，点M的轨迹是双曲线．(其中a，b∈R+)(2)当k=−b2a2时，点M的轨迹是部分椭圆．(其中a，b∈R+)(3)在(1)条件下，点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点F1(−√a2+b2,0)，F2(√a2+b2,0)，且|PF1|=1 4|PF2|，则(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,53](4)在(2)的条件下，过点F1(−√a2−b2,0)，F2(√a2−b2,0).满足MF1⋅MF2=0的点M总在曲线的内部，则(2)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是(√22,1)．17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−A1B−D的余弦值为________．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0)，且点(−3,3√22)在椭圆C上，则椭圆C的标准方程为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，∠ACB=90∘，M是A1B1的中点．(1)求证C1M⊥平面ABB1A1；(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．20.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A(−2,0)，且点(−1,32)在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1C⊥AB，求k的值．21.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，交y轴于点C，O为坐标原点．当∠OFA=120°时，|AF|=4．(1)求抛物线E的方程；(2)若|AC|=4|BC|，求直线l的方程．22.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．(1)求证：SC⊥平面AMN；(2)求二面角D−AC−M的余弦值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由椭圆x225+y216=1的方程可知，a=5，b=4，c=3，∴离心率e=ca=35，故选：A．由椭圆x225+y216=1的方程可知，a，b，c的值，由离心率e=ca求出结果．本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键．2.答案：D解析：解：由题意设动点P(x,y)，因为动点到定点点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等，所以√(x+1)2+y2=|3−x|⇒两边平方化简为：y2=−8x+8故选D由题意动点到定点点(−1,0)的距离与到直线x=3的距离相等，利用直接法，设出动点为P的坐标(x,y)，利用条件建立方程并化简即可．此题重点考查了利用直接法求动点的轨迹方程，还考查了根式的化简方法，及学生对于轨迹方程的定义的准确理解和计算能力．3.答案：B解析：解：因为双曲线x2−y24=1，所以双曲线x2−y24=1的渐近线方程为x2−y24=0，即y=±2x．故选B．直接利用双曲线的渐近线方程的求法，求出双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力．4.答案：B解析：解：∵a⃗=(1,1，3)，b⃗ =(−1,1，2)，∴a⃗⋅b⃗ =1×(−1)+1×1+3×2=6．故选B．利用向量的坐标表示出两个向量的数量积．本题考查了空间向量的数量积的坐标表示，属于基础题．5.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=√16+9=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，若P为左支上一点，即有|PF1|≥c−a，即m≥1，若P为右支上一点，即有|PF1|≥c+a，即m≥9，双曲线上一点P到F1的距离是172，可得P为左支上一点，由双曲线的定义可得n−m=2a=8，则n=8+m=332，故选：A．求得双曲线的a，b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n，讨论可得P在双曲线的左支上，再由双曲线的定义，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及定义法的运用、运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查了空间向量在立体几何中的应用．属于基础题．根据a⃗·n⃗=0可知a⃗⊥n⃗，从而得出结论．解：∵a⃗·n⃗=3×(−1)+(−2)×(−2)+(−1)×1=0．∴a⃗⊥n⃗．∴l//α或l⊂α．故选B．7.答案：D解析：本题主要考查了向量的夹角，考查学生的计算能力，属于基础题．利用夹角公式直接求解．解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(6,3)，，∴﹤a⃗,b⃗ ﹥=90∘，故选D．8.答案：C解析：解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．再由抛物线y2=4x的准线为x=−1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4−(−1)=5，故选：C．由题意可得点P的横坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=−1的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．9.答案：A解析：解：方程x2m−2+y2m+3=1表示双曲线，可得(m−2)(m+3)<0，解得m∈(−3,2)．故选：A．直接利用双曲线的简单性质，考查不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，属于简单题．求出焦点坐标和准线方程，设点P是点M在准线上的投影，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，则当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．解：由题意得抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x=−2，设点M到准线的距离为d=|PM|，其中点P是点M在准线上的投影，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值，最小值为|AP|=3−(−2)=5．故选C．11.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及椭圆的方程，属于中档题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆方程判断即可．解：若方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆，则{5−m>0 m+3>05−m≠m+3，所以{m<5m>−3m≠1,即−3<m<5且m≠1，所以“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．12.答案：D解析：解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离的2倍，即离心率为12，所以点P的轨迹是椭圆．故选：D．由直线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决．本题考查椭圆定义及线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：[0,π2]解析：解：直线PQ与平面a所成的角为θ，当直线PQ⊥平面α时，θ取最大值π2，当直线PQ⊂平面α或直线PQ//平面α时，θ取最小值0．∴θ的取值范围为[0,π2].故答案为：[0,π2].当直线PQ⊥平面α时，θ取最大值π2，当直线PQ⊂平面α或直线PQ//平面α时，θ取最小值0．本题考查直线与平面所成角的大小的取值范围的求法，解题时要认真审题，是基础题．14.答案：2√2解析：解：双曲线x22−y22=1，所以a=√2，双曲线x22−y22=1的实轴长为：2√2．故答案为：2√2．直接利用双曲线的性质即可．本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力．15.答案：y=−2；(0,2)解析：解：抛物线x2=8y中p=4，则抛物线的准线方程为y=−2，焦点坐标为(0,2)，故答案为：y=−2，(0,2)根据抛物线的简单性质即可求出．本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题16.答案：(2)(3)解析：解：设M(x,y)，由A，B的坐标分别为(−a,0)，(a,0)，则k AM=yx+a (x≠−a)，k BM=yx−a(x≠a)，由k AM⋅k BM=k，得：yx+a ⋅yx−a=k，即kx2−y2=ka2①.(1)若k=b2a2(a,b∈R+)，则方程①化为x2a2−y2b2=1，点M的轨迹是双曲线除去两个顶点，∴命题(1)不正确；(2)若k=−b2a2(a,b∈R+)，则方程①化为x2a2+y2b2=1，点M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点，∴命题(2)正确；(3)在(1)条件下，点p(x0,y0)(x0<0)是曲线上的点，说明点P在双曲线x2a2−y2b2=1的左支上，F1，F2是双曲线的左右焦点，则由|PF1|=14|PF2|及|PF2|−|PF1|=2a求得|PF1|=23a,|PF2|=83a，又|PF1|+|PF2|=23a+83a≥2c，∴ca≤53，又e>1，∴(1)的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围(1,53].∴命题(3)正确；(4)在(2)的条件下，由满足MF1⋅MF2=0的点M总在曲线的内部，说明满足MF1⊥MF2的点M在曲线内部，若点M在曲线上，则|MF1|2+|MF2|2>4c2，取M为椭圆短轴的一个端点，则|MF1|=|MF2|= a，∴2a2>4c2，则ca <√22.∴命题(4)错误．∴正确的命题是(2)(3)．故答案为：(2)(3)．设出动点M的坐标，写出直线AM，BM的斜率，由斜率之积等于k求出轨迹方程，若k=b2a2时，得到M的轨迹是除去两个顶点的双曲线；若k=−b2a2时，得到M的轨迹是椭圆除去长轴上两个顶点；是双曲线时，由题目给出的|PF1|=14|PF2|，集合双曲线定义求出|PF1|和|PF2|的长度，由两边之和大于第三边列式求离心率范围；是椭圆时，根据与两焦点连线互相垂直的点总在椭圆内部，取椭圆短轴上的一个端点，由该点到两个焦点距离的平方和大于焦距的平方求得椭圆的离心率小于√22，按以上分析可以判断出正确命题的个数．本题考查了命题的真假判断及简单应用，考查了椭圆和双曲线的简单几何性质，涉及求圆锥曲线的离心率范围问题，关键是根据题目给出的条件得到关于a 和c 的不等式，此题是中档题．17.答案：√33解析：此题考查利用空间向量求二面角的余弦值，关键是求出两平面的法向量所成角的余弦． 解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 1为原点，以A 1B 1、A 1D 1、A 1A 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则平面ABA 1的法向量为A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面A 1BD 的法向量为n⃗ =(x,y,z )， 又A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 所以{n ⃗ ⋅A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则{x +z =0y +z =0，令z =−1， 所以n⃗ =(1,1,−1)，则，由图可知二面角A−A1B−D的夹角为锐角，所以二面角A−A1B−D的余弦值为√33．18.答案：x218+y29=1解析：解：根据椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，∵椭圆的右焦点坐标为(3,0)，∴椭圆的两个焦点坐标分别为(−3,0)，(3,0)，并且经过点点(−3,3√22)，∴2a=(3√22(3√22=6√2∴a=3√2∵椭圆两个焦点的坐标分别是(−3,0)，(3,0)，∴c2=9，∴b2=a2−c2=9，∴椭圆的方程为x218+y29=1．故答案为：x218+y29=1．设出椭圆方程，利用椭圆的定义，求出a的值；根据椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆方程即可．求圆锥曲线的方程的问题，一般利用待定系数法；注意椭圆中三个参数的关系为b2=a2−c2 19.答案：解：(1)∵直三棱柱ABC−A1B1C1，∴AA1⊥面A1B1C1，C1M⊂面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵AC=BC=1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又AA1∩A1B1=A1，AA1,A1B1⊂平面ABB1A1,∴ C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ， 连接MN ，∴MN//A 1B ， 连接RN ，∴RN//B 1C ，∴∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角； 设点P 是AB 的中点，连接MP 、MR ，PR ，在Rt △MPR 中，MR =√22+(12)2=√172，在△MNR 中，MN =12A 1B =√62，RN =12B 1C =√52，∴cos∠MNR =MN 2+RN 2−MR 22·MN ·RN=(√62)2+(√52)2−(√172)22×√62×√52=−√3010， ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为√3010.解析：本题主要考查线面垂直、异面直线所成角的知识，属于中档题．(1)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AA 1⊥面A 1B 1C 1，C 1M ⊂面A 1B 1C 1，C 1M ⊥AA 1，又M 是A 1B 1的中点，故C 1M ⊥A 1B 1 ，即可求证C 1M ⊥平面ABB 1A 1；(2)设BC 、BB 1的中点分别为R 、N ，连接MN ，MN//A 1B ，连接RN ，RN//B 1C ，∠MNR 是异面直线A 1B 与B 1C 所成角或其补角，利用余弦定理即可求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．20.答案：解：(1)由题意得a =2，将(−1,32)代入椭圆方程14+94b 2=1，解得：b =√3，∴椭圆E 的标准方程：x 24+y 23=1；(2)由△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0，则点C 在x 轴下方， 若丨F 1C 丨=丨F 2C 丨，则C(0,−√3)；若丨F 1F 2丨=丨CF 2丨，则丨CF 2丨=2，C(0,−√3)；若丨F 1C 丨=丨F 1F 2丨，则丨CF 1丨=2，C(0,−√3)； ∴C(0,−√3)；∴直线BC 的方程y =√3(x −1)，由{y =√3(x −1)x 24+y 23=1，得{x =0y =−√3或{x =85y =3√35， ∴B(85,3√35)； (3)设直线AB 的方程l AB ：y =k(x +2)，由{y =k(x +2)x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0，∴x A ⋅x B =−2x B =16k 2−123+4k 2，x B =−8k 2+63+4k 2，y B =k(x B +2)=12k3+4k ，B(−8k 2+63+4k 2,12k 3+4k 2)若k =12，则B(1,32)，C(1,−32)，由F 1(−1,0)，则k CF 1=−34，F 1C 与AB 不垂直； ∴k ≠12，由F 2(1,0)，k BF 1=4k1−4k 2，k CF 1=−1k ，∴直线BF 2的方程l BF 2：y =4k1−4k (x −1)，直线CF 1的方程：l CF 1：y =−1k (x +1) 由{y =4k1−4k 2(x −1)y =−1k (x +1)，解得{x =8k 2−1y =−8k ， ∴C(8k 2−1,−8k)又点C 在椭圆上得(8k 2−1)24+(−8k)23=1，即(24k 2−1)(8k 2+9)=0，即k 2=124，∵k >0，∴k =√612．解析：(1)将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程； (2)分类讨论，求得C 点坐标，设直线BC 的方程，即可求得点B 的坐标；(3)设直线AB 的方程，代入椭圆方程，即可求得B 点坐标，分别求得BF 2及CF 1方程，联立，求得C 点坐标，代入椭圆方程，即可求得k 的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查分类讨论，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)由已知可得F(p2,0)，因为∠OFA=120°，所以x A=p2+|AF|cos60°=p2+2，又由抛物线定义可知，|AF|=x A+p2=p+2=4，解得：p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x．(2)由(1)可知，F(1,0)，由题意可知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由{y2=4xy=k(x−1),整理得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，(k∈R且k≠0)，可知：Δ=(2k2+4)2−4k4=16k2+16>0，x1+x2=2k2+4k2，①x1x2=1，②由|AC|=4|BC|得，x1=4x2③由①②③联立解得，k=±2√2，满足Δ>0，所以直线l的方程为2√2x+y−2√2=0或2√2x−y−2√2=0．解析：本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据题意，可得|AF|=x A+p2=p+2=4，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；(2)设出直线l的方程，将直线l与抛物线E联立，求得k的值，即可求得直线l的方程．22.答案：证明：(1)∵在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由SA =AB ，设AB =AD =AS =1，则A(0,0，0)，B(0,1，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，S(0,0，1)，M(12,0，12)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =−12+12=0，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CS ⃗⃗⃗⃗ ，∴SC ⊥⊥AM ，又SC ⊥AN ，且AN ∩AM =A ， ∴SC ⊥平面AMN ．解：(2)∵SA ⊥底面ABCD ，∴AS ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量，且AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面ACM 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +y =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12x +12z =0，取x =−1，得n ⃗ =(−1,1，1)， cos <AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， 由图形知二面角D −AC −M 为锐二面角， ∴二面角D −AC −M 的余弦值为√33．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(1)以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．(2)求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D−AC−M的余弦值．。
北京市房山区2019-2020学年数学高二第二学期期末调研试题含解析
北京市房山区2019-2020学年数学高二第二学期期末调研试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合(){}{}1234,,,|1,0,1,1,2,3,4iA x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“222212344x x x x +++≤ ”的元素个数为（ ）A ．60B ．65C ．80D ．81【答案】D 【解析】由题意可得，222212344x x x x +++≤成立，需要分五种情况讨论： 当222212340x x x x +++= 时，只有一种情况，即12340x x x x ====； 当222212341x x x x +++= 时，即12341,0x x x x =±===，有1428C =种； 当222212342x x x x +++= 时，即12341,1,0x x x x =±=±==，有24424C =种； 当222212343x x x x +++= 时，即12341,1,1,0x x x x =±=±=±=，有34832C =种 当222212344x x x x +++= 时，即12341,1,1,1x x x x =±=±=±=±，有16种，综合以上五种情况，则总共为：81种，故选D.【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住123,4,,x x x x 只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题． 3．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ） A ．()0,2 B ．()2,0- C ．()2,0 D ．()0,2-【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标. 【详解】由题意可知，抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，故选：C.【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.4．已知命题1:0,2p x x x∀>+≥,那么命题p ⌝为 A ．10,2x x x ∀>+< B ．10,2x x x ∀+<≤ C ．10,2x x x∃>+<D ．10,2x x x∃+<≤【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】全称命题的否定是特称命题,要前改量词，后面否定结论,故选C.5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量 (单位:千瓦·时)与气温 (单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：（单位：）17 14 10 -1（单位：千瓦时）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（ ）A ．56千瓦时B ．36千瓦时C ．34千瓦时D ．38千瓦时【答案】B【解析】 【分析】计算出和的值，将点的坐标代入回归直线方程，得出的值，再将代入可得出的值，即为所求结果。