高等数学同济版第一章PPT课件
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同济六版高数第一册第一单元.ppt
定理 映射 f : X Y 可逆 f 是 X 到Y 的一一映射.
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
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三. 函数
1.函数概念 定义 设 A , B 是两个实数集, 则称映射 f :AB 为 一 元自变函量数, 记 为因变量 函数值 f : x y f (x), x A .
A 称为函数 f 的定义域, 记作 D( f ).
则 A C.
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2 集合的基本运算
并集
由集合A与集合B的中所有元素构成的集合 称为A与B的并集，记为 A B
AB {x x A或 xB}
An { x n0 N , x An0 }
n1
A A BB
运算律
A A A, A A
B A AB A
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我们也称 f 为“一一映射”. 单位映射: x X , f ( x) x, 即 f : x x
称为X上的单位映射, 记为 I或X I.
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X
Y
f 满射
X f
Y f(X)
单射
X f
Y f(X)
内射
X
Y
f 单满射
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例1 设A表示信管学院所有大一学生的集合, 用一种确定方法 f 给每一个学生分配一 个学号, 将全体学生学号的集合记为B. 这是一个集合 A到集合 B 的映射.
o
U(a, ) { x 0 x a }. 开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
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例1、把-2的1/2邻域表示为开区间
解：U (2, 1) 2
(2 1 ,2 1) 22
( 5 , 3) 22
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
高等数学同济第七版第一章ppt课件
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
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对映射 f:XY
若 f(X)Y, 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若 x ,x X ,x x, 有
f
1
2
1
2
X
Y
f(x)f(x)
1
2
则称 f 为单射;
f (X)
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
-
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9
例如 xR yxsix nyR
y
yx
yxsix n
ysinx
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
-
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6
第一节
第一章
映射与函数
一、映射 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数 五、复合函数 六、初等函数
-
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7
一、 映射
映射 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f ,
使得 xX, 有唯一确定的 yY 与之对应 ,则称 f 为
f
12
2
1 2
2
O
1
x
1 1 , 0t1
f
1 t
t 2,
t
t 1
-
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14
例2 函数 y 2
y
y2
o
x
y y x
例3
绝对值函数
x, y xx,
x0 x0
1, x0 例4 符号函数 y sgn x0, x 0
1, x 0
o
x
y
1
•o
x
1
定义域为 x , , 值域为 y1,0,1
显然： xsgnxx
若恒有 fxfx， 则称f (x) 在 D 内为偶函数 .
-
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3
三、如何学习高等数学 ?
学数学最好的方式是做数学
预习 复习 作业 考勤
自我学习的能力
微信公众号: 山东建大高等数学
-
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4
学而优则用, 学而优则创 治学之道： 宽, 专, 漫 基础要宽 专业要专 要使自己的专业知识漫到其他领域
做好当下 厚积薄发
-
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5
第一章 函数与极限
下界: f(x)K2, 称 f(x) 在 X 上有下界. K 2 为一个下界.
有界: | f (x)| M. M为正数
无界: M 0,x0X, 使得 fx0 M.
例如 f (x) =sin x, sinx 1, 有界. f ( x) 1 在 (0, 1) 内有下界, 但没有上界, 所以无界. x
2
二、什么是高等数学 ?
初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 初等数学 —— 代数、几何、三角、解析几何
高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
主要内容： 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续
2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册)
3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
高等数学
主讲人：张晓平教授
-
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1
一、什么是数学 ?
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学
数学 数学
不仅是一种工具, 而且是一种思维模式;
不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学, 而且是一种文化;
能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的 一个重要标志.
-
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从 X 到 Y 的映射,记作 f :XY.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f(x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f(X) f(x)x X 称为 f 的 值域 .
-
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8
注意: 1)映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
X
f
f 称为X 上的变换 R
f 称为定义在 X 上的函数
-
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11
二、函数的概念
1. 函数的概念
设数集 DR,则称映射 f:DR为定义在 D 上的函数 ,
记为
yf(x),x D 定义域
因变量
自变量
y
W y y fx ,x D 称为函数的值域. y
y0fx0叫作函数在 x0 处的函数值.
y x 和 yx是不同的函数 （对应关系不同）
y2lgx和 y lg x2是不同的函数 （定义域不同）
-
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13
例1
已知函数
yf(x) 2 x, 1x,
0x1 x1
写出 f(x) 的定义域及值域, 并求
f
1 2
及
f
1 t
.
解 f(x)的定义域 D[0, ) y
y1x
值域 f(D )[0, ) y2 x
结论 f (x) 在X上有界 f (x) 在X上既有上界又有下界.
-
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17
2. 函数的单调性
设 f (x) 的定义域为 D，区间I D , 对于 I 上任意两点 x1 x2 ,
若恒有 f (x1) < f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调增加 ;
若恒有 f (x1) > f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调减少 .
函数图形:
C (x ,y )yf(x), xDDf(D)
ax b x (D[a,b])
-
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12
说明：（1）单值函数 多值函数
例如 x2 y2 r2在 xr为单值函数,
在 (-r, r) 内为多值函数. 没有特别说明， 均指单值函数.
（2）函数相等
例如： y x 和 y x2是相同的函数.
单调增加或单调减少的函数统称为单调函数 .
图象：y
y f(x)
y
f (x2 ) f ( x1 )
y f(x)
f ( x1 ) f (x2 )
o x1 x2
I
x o x1
x2
x
I
-
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18
3. 函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称 （即x D， x D），
若恒有 fxfx， 则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ;
o x1
x2 x
f 既是满射又是单射, 故 f 为双射 或一一映射.
又如 三角形(三角形集) 合
海伦公式
b
a
面积 S(0,) (满射)
c
-
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10
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用名称.
例如,
f
X (≠ )
f
X (≠ )
X (数集 或点集 )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
Sign [sain]
-
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15
例5 取整函数：不超过x 的最大整数， 记做： yx
如 []3 , [ 3 .5 ] 4
2 2 , 0 .4 1
y
3
•
2
•
1
3
x
• -2
• -3
除例2外都是分段函数
-
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16
三、函数的几种特性
1. 函数的有界性 上界: f(x)K1, 称 f(x) 在 X 上有上界. K 1 为一个上界.
若 f(X)Y, 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若 x ,x X ,x x, 有
f
1
2
1
2
X
Y
f(x)f(x)
1
2
则称 f 为单射;
f (X)
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
-
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9
例如 xR yxsix nyR
y
yx
yxsix n
ysinx
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
-
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6
第一节
第一章
映射与函数
一、映射 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数 五、复合函数 六、初等函数
-
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7
一、 映射
映射 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f ,
使得 xX, 有唯一确定的 yY 与之对应 ,则称 f 为
f
12
2
1 2
2
O
1
x
1 1 , 0t1
f
1 t
t 2,
t
t 1
-
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14
例2 函数 y 2
y
y2
o
x
y y x
例3
绝对值函数
x, y xx,
x0 x0
1, x0 例4 符号函数 y sgn x0, x 0
1, x 0
o
x
y
1
•o
x
1
定义域为 x , , 值域为 y1,0,1
显然： xsgnxx
若恒有 fxfx， 则称f (x) 在 D 内为偶函数 .
-
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3
三、如何学习高等数学 ?
学数学最好的方式是做数学
预习 复习 作业 考勤
自我学习的能力
微信公众号: 山东建大高等数学
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4
学而优则用, 学而优则创 治学之道： 宽, 专, 漫 基础要宽 专业要专 要使自己的专业知识漫到其他领域
做好当下 厚积薄发
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5
第一章 函数与极限
下界: f(x)K2, 称 f(x) 在 X 上有下界. K 2 为一个下界.
有界: | f (x)| M. M为正数
无界: M 0,x0X, 使得 fx0 M.
例如 f (x) =sin x, sinx 1, 有界. f ( x) 1 在 (0, 1) 内有下界, 但没有上界, 所以无界. x
2
二、什么是高等数学 ?
初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 初等数学 —— 代数、几何、三角、解析几何
高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
主要内容： 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续
2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册)
3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
高等数学
主讲人：张晓平教授
-
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1
一、什么是数学 ?
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学
数学 数学
不仅是一种工具, 而且是一种思维模式;
不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学, 而且是一种文化;
能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的 一个重要标志.
-
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从 X 到 Y 的映射,记作 f :XY.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f(x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f(X) f(x)x X 称为 f 的 值域 .
-
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8
注意: 1)映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
X
f
f 称为X 上的变换 R
f 称为定义在 X 上的函数
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11
二、函数的概念
1. 函数的概念
设数集 DR,则称映射 f:DR为定义在 D 上的函数 ,
记为
yf(x),x D 定义域
因变量
自变量
y
W y y fx ,x D 称为函数的值域. y
y0fx0叫作函数在 x0 处的函数值.
y x 和 yx是不同的函数 （对应关系不同）
y2lgx和 y lg x2是不同的函数 （定义域不同）
-
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13
例1
已知函数
yf(x) 2 x, 1x,
0x1 x1
写出 f(x) 的定义域及值域, 并求
f
1 2
及
f
1 t
.
解 f(x)的定义域 D[0, ) y
y1x
值域 f(D )[0, ) y2 x
结论 f (x) 在X上有界 f (x) 在X上既有上界又有下界.
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2. 函数的单调性
设 f (x) 的定义域为 D，区间I D , 对于 I 上任意两点 x1 x2 ,
若恒有 f (x1) < f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调增加 ;
若恒有 f (x1) > f (x2) , 则称 f (x) 在 I 内单调减少 .
函数图形:
C (x ,y )yf(x), xDDf(D)
ax b x (D[a,b])
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说明：（1）单值函数 多值函数
例如 x2 y2 r2在 xr为单值函数,
在 (-r, r) 内为多值函数. 没有特别说明， 均指单值函数.
（2）函数相等
例如： y x 和 y x2是相同的函数.
单调增加或单调减少的函数统称为单调函数 .
图象：y
y f(x)
y
f (x2 ) f ( x1 )
y f(x)
f ( x1 ) f (x2 )
o x1 x2
I
x o x1
x2
x
I
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3. 函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称 （即x D， x D），
若恒有 fxfx， 则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ;
o x1
x2 x
f 既是满射又是单射, 故 f 为双射 或一一映射.
又如 三角形(三角形集) 合
海伦公式
b
a
面积 S(0,) (满射)
c
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用名称.
例如,
f
X (≠ )
f
X (≠ )
X (数集 或点集 )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
Sign [sain]
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例5 取整函数：不超过x 的最大整数， 记做： yx
如 []3 , [ 3 .5 ] 4
2 2 , 0 .4 1
y
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•
2
•
1
3
x
• -2
• -3
除例2外都是分段函数
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三、函数的几种特性
1. 函数的有界性 上界: f(x)K1, 称 f(x) 在 X 上有上界. K 1 为一个上界.