最新湖南省长沙市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二
湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题
一、单选题二、多选题1.已知函数，对，恒有，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2.已知数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）A．B．C．D．3. 已知，，则的值为（ ）A．B．C．D．4.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知复数为纯虚数，且，则的虚部为（ ）A ．1B．C ．iD．6. 已知复数z满足（为虚数单位），则（ ）A．B ．5C．D ．27. 某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”.在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书.某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（ ）A．B．C．D．8. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9. 质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x 轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（ ）A．B．C．D．10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象与轴的交点为，则下列结论正确的是（）A．的最小正周期为B．的最大值为2C ．直线是图象的一个对称轴D ．在区间上单调递增湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题11. 设首项为的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）A．数列为等比数列B ．数列为等比数列C．数列为等比数列D ．数列的前项和为12.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若两两相交，则交线互相平行13. 十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则______.14. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______.15.若集合，则________．16. 已知F 1，F 2是椭圆E 1：（a >b >0）的左、右焦点，曲线E 2： y 2=4x 的焦点恰好也是F 2，O 为坐标原点，过椭圆E 1的左焦点F 1作与x 轴垂直的直线交椭圆于M ，N ，且△MNF 2的面积为3.（1）求椭圆E 1的方程；（2）过F 2作直线l 交E 1于A ，B ，交E 2于C ，D ，且△ABF 1与△OCD 的面积相等，求直线l 的斜率.17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l 与双曲线C交于两点，点在双曲线C 上，且.(1)求的面积；(2)若（O 为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.18. 已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．(1)求C的标准方程；(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. 如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于，设.(1)证明：；(2)当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积.20. 如图，正三棱柱的底面边长的3，侧棱，D是延长线上一点，且．(1)求证：直线平面；(2)求二面角的大小；(3)求三棱锥的体积．21. 已知函数的部分图象如图所示.(1)求的值及函数的单调减区间；(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求c的取值范围.。
湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题(含答案解析)
13．已知二项式
1
x
a y
5
的展开式中含
x3 y
的项的系数为
40
，则
a
________．
14．函数 y loga x 4 1的图像恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，其中
mn
0
，则
1 m
1 n
的最小值为___________.
15．2023 年 2 月 6 日，土耳其发生 7.8 级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.
B．已知随机变量
X
服从二项分布
B
n,
1 3
，若
E
3X
1
6
，则
n
5
．
C．已知回归直线方程为 yˆ bˆx 1.8 ，且 x 2 ， y 20 ，则 bˆ 9.1．
D．对变量 x 与 y 的统计量 2 来说， 2 值越小，判断“x 与 y 有关系”的把握性越大．
10．如图是函数 f x Asin x （ A 0 ， 0 ， π ）的部分图像，则（ ）
2 人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可
供选择，每名女生至多从中选择参加
2
项活动，且选择参加
1
项或
2
项的可能性均为
1 2
；
每名男生至少从中选择参加
2
项活动，且选择参加
2
项或
3
项的可能性也均为
1 2
，每人
每参加 1 项活动可获得综合评价 10 分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
所以 ln3 ln2 lne 2 ，故 b a c ， e 2 e2
a b cos
湖南省长沙市2024届高三下学期高考考前模拟卷数学试题(二)含答案
考前模拟卷二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中x 的系数为（）A.15B.10C.5D.1【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式5151C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令521r -=，则2r =，所以x 系数为25C 10=.故选：B2.已知实数a ，且复数2i2ia z +=+的实部与虚部互为相反数，则复数z 对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数z ，求得实部与虚部，依题求出a 的值，代入即得复数对应的点，判断即可.【详解】()()2i 2i 2i 224i2i 555a a a az +-++-===++，其实部为225+a ，虚部为45a -，依题有224055a a+-+=，解得6a =-，所以22i z =-+，其对应的点为()2,2-，位于第二象限.故选：B.3.在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4.双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂线交双曲线于,A B 两点，1F AB 为正三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长22b AB a=，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可.【详解】设()1,A c y ，代入双曲线方程可得22224221122221y x c a b y b a b a a --=⇒==，所以22b AB a =即正三角形的边长，所以正三角形的高为2222b a a⨯=，所以)222222322220c ac ac c a ac e a=⇒=⇒=-⇒-=⇒=，故选：C.5.已知四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 为PC 中点，则（）A.BE 平面PADB.PD ⊥平面ABCDC.平面PAB ⊥平面PADD.DE EB=【答案】C 【解析】【分析】由线面平行的性质判断A 错误；举反例判断B 错误；先证明PH AB ⊥，再由线面垂直得到AB ⊥平面PAD ，进而得到平面PAB ⊥平面PAD ，判断C 正确；由已知条件判断D 错误.【详解】A ：易知//BC 平面PAD ，因为BE BC B = ，且两条直线都在平面PBC 内，所以BE 不可能平行平面PAD ，故A 错误；B ：举反例，如图PH 垂直平面ABCD 时，由于PD PH P ⋂=，所以PD 不垂直，故B 错误；C ：作PH AD ⊥于点H ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PH AB ⊥，又AB AD ⊥，PH AD H ⋂=，且,PH AD 都在平面PAD 内，所以AB ⊥平面PAD ，因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故C 正确；D ：没有任何条件可以证明DE EB =，故D 错误；故选：C.6.已知圆22:(1)(2)16C x y -++=，过点()0,1D 的动直线l 与圆C 相交于,M N两点||MN =直线l 的方程为（）A.4330x y +-=B.3440x y -+=C.0x =或4330x y +-= D.4330x y +-=或3440x y -+=.【答案】C 【解析】【分析】考虑直线l 与x 轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【详解】当直线l 与x 轴垂直时，易知直线l 的方程为0x =，22:(1)(2)16C x y -++=中令0x =得2(2)15y +=，解得2y =，故此时()22MN y ==-=，符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，则圆心到直线的距离为d =MN ===，1d ∴==，解得43k =-，则直线l 的方程为413y x =-+，即4330x y +-=，综上可知直线l 的方程为0x =或4330x y +-=.故选：C.7.已知圆内接四边形ABCD 中，π2,,4AD ADB BD ∠==是圆的直径，2AC BD ⋅= ，则ADC ∠=（）A.5π12B.π2 C.7π12D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形ABCD 的几何性质，即可得所求.【详解】因为2AC BD ⋅=，所以()2AD DC BD +⋅= ，易知BD =，结合图形，2·242AD BD =⨯= ，90BCD ∠=︒，则242DC -= ，故DC = .所以在直角三角形BCD 中可得π3BDC ∠=，故7π12ADC ∠=.故选：C .8.若直线e 4eln40x y -+=是指数函数(0x y a a =>且1)a ≠图象的一条切线，则底数=a （）A.2或12 B.eC.D.e 【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为()()00,x f x ，根据导数的几何意义，列式运算求得a 的值.【详解】设切点坐标为()()00,x f x ，对函数x y a =，求导得ln x y a a '=，切线方程e 4eln40x y -+=化成斜截式为4e 44eln y x =+，由题设知000e ln 04e eln44x x a a x a ⎧=>⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，显然ln 0a >，即1a >，由0e 4ln x aa =，得04e eln4e4ln x a +=，即01ln4ln x a=+，即()00ln ln 01ln ln ln4ln ln4ln 4xx aa x a a a a =⋅+=+=⋅，即0ln ln ee 444ln xaa a a=⋅=⋅，化简得ln 44ln a a =，令ln 0a t =>，即44t t =，利用指数函数与一次函数的性质，可知1t =或12，即ln 1a =或12，解得e a =.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c 是空间中三条不同的直线，,αβ是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（）A.若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，则a α⊥B.若,a αβα⊥⊥，则aβC.若a ,b a ,c a α，则b α或c α.D.若,,a b a αβ⊥⊥ b ，则α β，【答案】ABC 【解析】【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.【详解】对A ，需要补上,b c 不平行才成立，否则a 可能与α相交或平行，故A 错误；对B ，若,a αβα⊥⊥，则a β∥或a β⊂，故B 错误；对C ，有可能b α⊂且c α⊂且b c P ，故C 错误；对D ，若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥，故D 正确.故选：ABC.10.对于事件A 与事件B ，若A B ⋃发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.()()2P BA P AB =∣∣C.事件A 发生的概率的范围为[]0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD 【解析】【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则()()()()30.72P A B P A P B P A ⋃=+==，所以()0.24,A P A =，故A 错误；对于B ，()()()()()()()()()1|,||22P AB P AB P AB P B A P A B P B A P A P B P A ====，故B 正确；对于C ，()()()()()()()()30.72,0.243P AB P A B P A P B P AB P A P AB P A ⋃=+-=-==+，若事件A 与事件B 互斥，则()0P AB =，此时()P A 取到最小值为0.24，若()()P A P B ⊆，此时()()(),P AB P A P A =取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，()0.3P A =，则()0.6P B =，由()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得()()()0.30.60.720.18P AB P A P B =+-==⋅，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域和值域均为{}0,x x x ≠∈R ∣，对于任意非零实数,,0x y x y +≠，函数()f x 满足：()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，且()f x 在(),0∞-上单调递减，()11f =，则下列结论错误的是（）A.122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2023202311222i i f =⎛⎫ ⎪⎝=⎭-∑C.()f x 在定义域内单调递减 D.()f x 为奇函数【答案】BC 【解析】【分析】赋值法可判断A ，根据等比数列求和公式判断B ，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C ，由函数的特例可判断D.【详解】对于A ，令12x y ==，则()21121()[()]22f f f =，因1()02f ≠，故得1()2(1)22f f ==，故A 正确；对于B,由()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，令y x =，则2[()]1(2)()2()2f x f x f x f x ==，则111111()(2)()2222i i i f f f ++=⨯=，即111(2()22i i f f +=，故1{(2i f 是以1(22f =为首项，2为公比的等比数列，于是()2023202320241212122212i i f =-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑，故B 错误；对于D ，由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，令2y x =-，则()()()()()22f x f x f x f x f x --=+-①，把,x y 都取成x -，可得()()()()()222f x f x f x f x f x ----==-②，将②式代入①式，可得()()()()()22f x f x f x f x f x --=-+，化简可得()(),f x f x -=-即()f x 为奇函数，故D 正确；对于C ，()f x 在(),0∞-上单调递减，函数为奇函数，可得()f x 在()0,∞+上单调递减，但是不能判断()f x 在定义域上的单调性，例如()1f x x=，故C 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出(),()f x f x -的关系式即可判断奇偶性等.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数()πsin 23f x x x ϕ⎛⎫=++-⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称，则ϕ可以为__________.（写出一个符合条件的ϕ即可）【答案】π6-.（答案不唯一）【解析】【分析】因为函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，只需根据三角函数图象让2x =也为πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴即可.【详解】函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，则只要πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称即可，所以()2πππ32k k ϕ+=+∈Z ，所以()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，如令0k =，可以取π6ϕ=-.故答案为：π6-13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为A ，过,A F 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，若直线l 的斜率为1，且83AB =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】22142x y +=【解析】【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.【详解】设(),0F c ，由题意知，,b c a ==，直线l 的方程为y x c =-，与椭圆C 的方程联立化简得x cx -=2340，所以40,3A B x x c ==，故833B A AB x x c =-==，解得c =所以2b a ==，椭圆C 的方程为22142x y +=.故答案为：22142x y +=14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m 个关卡，分别为：12,,,m G G G ，记挑战每一个关卡()1,2,,k G k m = 失败的概率为k a ，其中()110,1,3k a a ∈=.游戏规则如下：从第一个关卡1G 开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若2m =，设龙年在闯关结束时进行到了第X 关，X 的数学期望()E X =__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第1k +关的概率总等于闯到第k 关()1,2,,1k m =-L 的概率的一半，则数列{}n a 的通项公式n a =__________,1,2,,n m = .【答案】①.53②.1122n -+【解析】【分析】若2m =，则X 得可能取值为1,2，分别求解概率，再求解数学期望()E X 即可；根据题意求解游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-，于是根据递推关系式可得数列{}n a 的通项公式.【详解】若2m =，则X 得可能取值为1,2，又()()1121,21333P X P X ====-=，所以()12512333E X =⨯+⨯=；设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ；那么有()()()()()()121121111111k kk m a a a a P a a a ----=---- ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-；即121k k k a a a +=-，对两边同时取倒数，可得1122k k a a +=-，即111222k k a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又112321a -=-=，故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列，从而111122,,1,2,,22n n n n a n m a ---===+ .故答案为：53；1122n -+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.若抛物线Γ的方程为24y x =，焦点为F ，设,P Q 是抛物线Γ上两个不同的动点.（1）若3PF =，求直线PF 的斜率；（2）设PQ 中点为R ，若直线PQ斜率为2，证明R 在一条定直线上.【答案】（1）±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦半径公式得到2P x =，求出(2,P ±，从而求出斜率；（2）法一：:2PQ y x t =+，联立抛物线方程，设()()1122,,,P x y Q x y ，得到两根之和，两根之积，得到122R y y y +==，求出答案；法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，得到21211242y y x x y y -==-+，从而确定12y y +=，得到122R y y y +==，得到答案.【小问1详解】()1,0,13P F PF x =+=，2P x \=，将2x =代入24y x =得，y =±(2,P ∴±所以21PF k ±==±-；【小问2详解】法一：设()()1122,,,P x y Q x y，:2PQ y x t =+，即x =，代入24y x =，得20y -+=，由韦达定理，有12y y +=故122R y y y +==，R在定直线y =上.法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意，21212221211242244y y y y y y x x y y --===-+-，故12y y +=，故122R y y y +==，R在定直线y =上.16.如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD，,2,4,AB AD AB AD PB CD PD ⊥=====，点E 为PB 中点，DE PC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知点F 为线段AB 的中点，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）连接BD ，可证PD BD =，从而得到DE PB ⊥，即有DE ⊥平面PBC ，可得DE BC ⊥，由222BC BD CD +=，可得BC BD ⊥，即可证明BC ⊥平面PBD ，即BC PD ⊥，再由222PB PD BD =+，得PD BD ⊥，从而证明PD ⊥平面ABCD ；（2）以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量为(m = ，表示出(1,0,EF = ，代入向量夹角公式，可得直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【小问1详解】连接BD .因为AB AD =，且AB AD ⊥，所以BD D =，因为PD =，所以PD BD =.因为E 是棱PB 的中点，所以DE PB ⊥.因为,,DE PC PC PB ⊥⊂平面PBC ，且PC PB P = ，所以DE ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以DE BC ⊥.由题意可得BC BD ==，则222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥.因为,BD DE ⊂平面PBD ，且BD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD .因为PD ⊂平面PBD ，所以BC PD ⊥.因为,2PD BD PB AB ===，所以222PB PD BD =+，所以PD BD ⊥.因为,BD BC ⊂平面ABCD ，且BD BC B ⋂=，所以PD⊥平面ABCD .【小问2详解】以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,4,0C，(0,0,P，(E ，()2,1,0F从而(2,2,PB =- ，()2,2,0BC =-，(1,0,EF = 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得(m = ，设直线EF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,6m EF m EF m EF α⋅====，所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为6.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 2π13,,,3a A b c ABC ==> 的内切圆圆I 的面积为3π.（1）求b c 、的值及cos ABC ∠；（2）若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，试讨论在BC 边上是否存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ 若存在，求出点M 的位置，并求出DBM △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）8,7b c ==，11cos 13ABC ∠=；（2）存在，位置见解析，10.【解析】【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出bc 与b c +的关系，再由余弦定理得到它们的另一个关系式，联立解出,b c ，最后由余弦定理解出cos ABC ∠即可；（2）由题意BI BM CI CM ⋅=⋅ ，配合切线长定理可解出BM ，再设角θ结合正弦定理解出BD ，最后由面积公式求得即可.【小问1详解】因为ABC 内切圆圆I 的面积为3π，可得圆I的半径为r =，则)()112π13sin ,262223ABC S b c bc bc b c =++=∴=++ ，所以1132b c bc +=-，由余弦定理得222π2cos 1693b c bc +-=，得2()169b c bc +-=，将1132b c bc +=-代入整理得：2()560bc bc -=，解得56,15,,8,7bc b c b c b c =∴+=>∴== .∴由余弦定理得：222137811cos 213713ABC ∠+-==⨯⨯.【小问2详解】记圆I 与BC 边切于点E ，根据切线长定理可求得6,7BE CE ==，若BI BM CI CM ⋅=⋅ ，则BE BM CE CM ⋅=⋅，即()6713BM BM =-，解得7BM =，所以在BC 边上存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ .依题意可知I 为内心，则BD 平分ABC ∠，记ABD DBC θ∠=∠=，则11cos cos213ABC ∠θ==，故23913cos ,sin 1313θθ====，在ABD △中，2πππ33ADB ∠θθ=--=-，由正弦定理得2ππsin sin sin 33BD AB c ADB θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，又π31513sin cos sin 732226c θθθ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，7395BD ∴=，11sin 72251310DBM S BM BD θ=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .18.已知函数()e x x f x =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：()e 1xf x ≤-；（3）设()()()22e 2e 41x xg x f x a a a =-+-+∈R ，若存在实数0x 使得()00g x ≥，求a 的最大值.【答案】（1）增区间为(),1-∞，减区间为()1,+∞；（2）证明见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）求出()f x '，判断导数正负得到函数()f x 的单调区间；（2）利用分析法转化要证结论，要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，利用导数判断()h x 单调性，求出最大值即可得证；（3）()()22e2e 41x x g x f x a a =-+-+，分别讨论当102a ≤≤时和12a >时是否存在0x 使得()00g x ≥，即可求解.【小问1详解】()f x 的定义域为()1,ex x f x -='R ，所以当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),1∞-，减区间为()1,∞+.【小问2详解】要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，()21e e x xx h x -'-=，令()21e x m x x =--，则()212e 0x m x =--<'，所以()m x 在R 上单调递减，又()00m =，∴当0x <时，()()0,0m x h x '>>；当0x >时，()()0,0m x h x '<<.()h x ∴在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()00h x h ∴≤=，所以e 1e x x x ≤-，即()e 1xf x ≤-得证.【小问3详解】当102a ≤≤时，()()20242120g a a a a =-=-≥，即存在00x =满足题意；当12a >时，由（2）知，()()()2222e 2e 41e 1e 2e 41x x x x x g x f x a a a a =-+-+≤--+-+()()()()()2226112611221e 21e 4e 0244x x x a a a a a a a +-+-+⎛⎫=-++-=--+≤< ⎪⎝⎭，∴此时()0g x <恒成立，不满足题意；综上，所以a 的最大值为12.19.设数集S 满足：①任意x S ∈，有0x ≥；②任意x ，y S ∈，有x y S +∈或x y S -∈，则称数集S 具有性质P .（1）判断数集{}0,1,2,4A =和{}0,2,4B =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P .（i ）当5n =时，求证：1a ，2a ，…，n a 是等差数列；（ii ）当1a ，2a ，…，n a 不是等差数列时，求n 的最大值.【答案】（1）数集A 不具有性质P ，数集B 具有性质P ，证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义判断可得出结论(2)（i ）推导出10a =，再根据性质P 的定义推导出32532432a a a a a a a a -=--=-=从而证明（ii ）根据性质P 的定义得出12,,,n a a a ⋅⋅⋅在5n ≥均为等差数列，再令4n =进行验证，可以不是等差数列，所以得出n 的最大值.【小问1详解】证明：对于数集A ，41A +∉，41A -∉，所以数集A 不具有性质P ，对于数集B ，任意,x y B ∈，x y B -∈，所以数集B 具有性质P .【小问2详解】（i ）当5n =时，数集{}125,,,C a a a =⋅⋅⋅具有性质P ，55552a a a a +=>，所以55a a C +∉，即550a a C -=∈，因为123450a a a a a ≤<<<<，则10a =，又因为5453525a a a a a a a +>+>+>，所以5(2,3,4)i a a C i +∉=，则5(2,3,4)i a a C i -∈=，因为154535250a a a a a a a a =<-<-<-<，所以得542a a a -=，533a a a -=，524a a a -=，因为43425a a a a a +>+=，所以43a a C +∉，则43a a C -∈，又因为14340a a a a =<-<，所以432a a a -=或433a a a -=，因为533a a a -=，所以433a a a -=(舍去)，即432a a a -=，32532432a a a a a a a a -=--=-=，所以213243542a a a a a a a a a -=-=-=-=，即当5n =时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列.（ii ）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P ，按照(1)推导的方式得出5n ≥一般结论，具体如下：因为122n n n n n n a a a a a a a --+>+>>+> ，所以(2,3,,1)n i a a C i n +∉=- ，即(2,3,,1)n i a a C i n -∈=- ，因为11220n n n n n n a a a a a a a a --=<-<-<<-< ，所以1(2,3,,1)n i n i a a a i n +--==- ①，所以12n n a a a -=+，23n n a a a -=+，因为12131312n n n n n n n a a a a a a a a a ------+>+>>+>+= ，所以1(3,4,5,,2)n i a a C i n -+∉=- ，即1(3,4,5,,2)n i a a C i n --∈=- ，因为112131310n n n n n n a a a a a a a a ------=<-<-<<-< ，根据120n a a a ≤<<< ，分两种情况：第一种情况为122n n a a a ---=，133n n a a a ---=，…，133n n a a a ---=，第二种情况为12(3)n n k a a a k ---=≥，13(2)n i a a a i n --=≥-，先考虑第二种情况1223n n k n n a a a a a a ---=+≥+=，与题意矛盾，1332n i n n a a a a a a --=+≥+=，与题意矛盾，所以只能为第一种情况，可得1(3,4,,2)n i n i a a a i n ---==- ②，由①-②，得11(3,4,,2)n n n i n i a a a a i n -+---=-=- ，即12332221n n n n a a a a a a a a a ----=-==-==- ，即当5n ≥时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列，当4n =时，434a a a +>，所以43a a C +∉，即43a a C -∈，由前面得出1434240a a a a a a =<-<-<，所以432a a a -=，423a a a -=，当322a a a -≠成立时，1a ，2a ，3a ，4a 不是等差数列，所以n 的最大值为4.【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：定义法：1(N )n n a a d n *+-=∈(d 为常数)等差中项法：122(N )n n n a a a n *++=+∈通项公式法：(N )n a an b n *=+∈（a ，b 为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法进行证明.。
湖南省长沙市高考模拟试卷(二模)数学理试题Word版含解析
科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共5页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。
姓名准考证号绝密★启用前长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.【试卷综析】本试题是一份高三模拟测试的好题，涉及范围广，包括复数、正态分布、集合、命题、充要条件、直线与椭圆、三角函数解析式、线性规划、平面向量、异面直线、排列组合、导数、函数单调性、不等式、参数范围、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标、双曲线、离心率、程序框图、数列、新定义集合等高考核心考点，又涉及了三角函数、解三角形、立体几何、概率统计、函数应用、解析几何、导数与数列结合应用等必考解答题型。
本题难易程度设计合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从16，22等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考数学应用；从,21两题可以看出，考运算。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为 A ．i B ．－iC ．1D ．－1【知识点】复数运算 【答案解析】A()111111z i i z i z z i z i +-=⇒+=-⇒==-+故选A 【思路点拨】转化，分母实数化2．设随机变量X ～N (2，32)，若P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】正态分布【答案解析】C 显然c=2 【思路点拨】正确理解图像 3．二项式6(x 的展开式中常数项为 A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20【知识点】二项式定理 【答案解析】B()6336216631,3=022rr rrr r r T x xr r C C ---+⎛==--⇒= ⎝令故常数项为()622361=15T C -=-，选B【思路点拨】记住通项公式是关键4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x AB ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q ⌝是p ⌝的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件 【知识点】并集，交集，补集，命题，充要条件 【答案解析】B 显然:;:.p x AB q x A B p q ∈∈∴⇒则由逆否命题与原命题等价，所以q p ⌝⇒⌝故选B 充分非必要条件【思路点拨】逆否命题与原命题等价最好回答5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞ C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【知识点】椭圆，直线系，直线与椭圆关系 【答案解析】B显然(),0b 在椭圆外，即3b <-或3b >符合题意，故选B 【思路点拨】直线显然过点(),0b ，只有该点在椭圆外时才合题意6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ,B 是图象与x轴的交点，若cos APB ∠=ω的值为 A ．4π B ．3πC ．2πD ．π【知识点】由图像得到解析式 【答案解析】CP PC x cos 2APB APB ⊥∠=∠=-过点作轴，则由tan ()3tan tan 44tan 2431tan tan 144T T APC CPB APB APC CPB T T TAPC CPB +∠+∠∠=∠+∠===-⇒=-∠∠-⨯tan所以22T ππω== 故选C 【思路点拨】本题是个创新题，通过图像蕴含方程式，求出周期，再求ω的值7．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为A ．4-B ．4C ．3D ．3-【知识点】线性规划 【答案解析】B画出可行域，针对目标函数，研究最大值，知道2,2x y =-=-时，有最大值。
2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题(二模)含解析
2023-2024学年湖南省高三高考数学押题模拟试题（二模）一、单选题1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若A 的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合A =（）A ．{}1,3,5,8-B ．{}3,0,2,6-C ．{}4,8,10,13D ．{}7,10,12,16【正确答案】B【分析】不妨设1234a a a a <<<，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，即可得解.【详解】不妨设1234a a a a <<<，则A 的所有三元子集为{}{}{}{}123124134234,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ，由题意可得1231241342341358a a a a a a a a a a a a ++=-⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得12343026a a a a =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，因此集合{}3,0,2,6A =-.故选：B.2．已知ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则ABC 一定为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量的模化简不等式，得出AD 和AC 的关系，即可得出ABC 的形状.【详解】由题意，在ABC 中，令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D.∵对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，∴22222BA tBA BC t BC AC -⋅+≥ ，令2BA BC t BC⋅= ，代入上式，得2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥ ，即222sin BA AC α≥ ，也即sin BA AC α≥ .从而有AD AC ≥ .∴π2ACB ∠=.∴ABC 为直角三角形，故选：D.3．过双曲线2212y x -=的左焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，则λ=（）A ．2B ．3C ．4D ．6【正确答案】C【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称，即可得到答案.【详解】左支内最短的焦点弦224b a==，又22a =，所以与左、右两支相交的焦点弦长22a ≥=，因为实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于x 轴对称.如图所示：所以当4λ=时，有3条直线满足题意.故选：C4．设a ，b 为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则log a b =（）A B ．12C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】首先由()()234a b ab -=得出()()2344a b ab ab +=+，由11a b+≤22()8()a b ab +≤，代入得出12ab ab +≤，而12ab ab +≥，即12ab ab+=，由基本不等式等号成立条件得出1ab =，即可得出答案．【详解】因为()()234a b ab -=，所以()()()223444a b ab a b ab ab+=+-=+，又因为11a b +≤所以a bab+≤，所以22()8()a b ab +≤，所以()328(4)4a a b b b a +≤，即12ab ab+≤，又12ab ab ≥=+，当且仅当1ab =时，等号成立，所以12ab ab+=，此时1ab =，所以1log log 1a a b a==-，故选：D ．5．已知()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θ∈π，则θ的取值范围是（）A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π5π,44⎛⎫ ⎝⎭C ．3π7π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-转化为353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，利用增函数性质可得()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，故而sin cos θθ>，进而得出答案即可.【详解】不等式()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>+，又()3517f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，所以sin cos θθ>，故()5π2π2πZ 44πk k k θ+<<+∈.因为[)0,2θ∈π，所以θ的取值范围是π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 6．已知200200Cnnn n a -=⋅⋅（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】C【分析】整理n a 得200400536200C 32n nn n a --=⋅⋅，当80n ≤时，只要2003n -，40056n-均为整数即可，但当80n >，400562n -会出现小数，应考虑200C n中因子2的个数问题.【详解】因为20020020020033322200200200C C 62C32nnn n nn nnn n n a ------=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅200400536200C32n n n--=⋅⋅，要使()195n a n ≤≤为整数，必有2003n -，40056n-均为整数，当2n =，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80时，2003n -和40056n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个.当86n =时，8638586200C 32a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=中，200!中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以86200C 中因数2的个数为197821105--=，故86a 是整数.当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92!中因数2的个数为88，108!中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197881054--=，故92a 不是整数.因此，整数项的个数为14115+=.故选：C.7．在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为A ．⎡⎣B ．1,25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎭D ．【正确答案】C【详解】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0E ，1，1)2，1(2G ，0，1)，(F x ，0，0)，(0D ，y ，0)由于GD EF ⊥，所以210x y +-=，(0,1)x ∈，11(0,)22x y -+=∈，DF =当25y =时，线段DF 当0y =时，线段DF 长度的最大值是1而不包括端点，故1y =不能取；故选C ．8．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243【正确答案】B【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为22215()()339+=；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为49，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算ξ为2，4的概率，ξ为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.【详解】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮24(6)916()81P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：B二、多选题9．已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据()1,2,,i x i m = 的平均数为x ，方差为2x s ；第二部分样本数据()1,2,,i y i n = 的平均数为y ，方差为2y s ，设22,x y x y s s ≤≤，则以下命题正确的是（）A ．设总样本的平均数为z ，则x z y ≤≤B ．设总样本的平均数为z ，则2z x y≥⋅C ．设总样本的方差为2s ，则222x ys s s ≤≤D ．若,m n x y ==，则2222x ys s s +=【正确答案】AD【分析】对于A 选项，因为x y ≤，由x y m nz m n m n=+++放缩可得x z y ≤≤；对于B 选项，举例说明B 不正确；对于C 选项，举例说明C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，代入总体方差计算公式，可得2222x ys s s +=.【详解】对于A 选项，因为x y ≤，所以y m n m nz nx m n m y y y m n n m =+≤+=++++x m n m nz nx m n m y x x m n n m =+≥+=++++，即x z y ≤≤，A 正确；对于B 选项，取第一部分数据为1,1,1,1,1，则1x =，20x s =，取第二部分数据为3,9-，则3y =，236y s =，则2252121(13)37749x y z =⨯+⨯<=⋅=，B 不正确；对于C 选项，取第一部分数据为2,1,0,1,2--，则0x =，22x s =，取第二部分数据为1,2,3,4,5，则3y =，22y s =，则5530310102m z y m n n m n x ==⨯+⨯+=++，222222595917(2(2)21041()()044y x y m n s x z y z s s s m n m n ⎡⎤⎡⎤=+=+++=>=⎣-⎦⎣⎦++-++，C 不正确；对于D 选项，若,m n x y ==，则z x y ==22222222(()x y x y s s m n s y s s z m n m n x z +⎡⎤⎡⎤=+++-+-=⎣⎦⎣⎦+，D 正确.故选：AD.10．如图，ABCD A B C D -''''为正方体.任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（）A ．S 为定值B ．S 不为定值C ．l 为定值D ．l 不为定值【正确答案】BC【分析】作出辅助线，得到平面α，从而得到截面的周长为定值，举出例子得到面积不是定值.【详解】将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '-''后，得到一个以平行平面A BD '与D B C ''为上、下底面的几何体V ，在A B ''上取一点E '，作//B D E T '''，//A E S B ''，再作//TM A D '，//MR CD '，//QS B C '，则六边形E TMRQS '即为平面α，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ''剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11E E A A =''，故l 为定值.当E '位于A B ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 22，故S 不为定值.故选：BC11．已知函数()()lg 1f x x =+，实数a ，()b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，则（）A ．12+=+a bB ．()()121a b ++=C ．25a =-D ．1b =-【正确答案】BC【分析】根据题目给出的等式()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，代入函数解析式得到a 、b 的关系，从而判断出()10621f a b ++的符号，再把()106214lg2f a b ++=，转化为含有一个字母的式子即可求解．【详解】∵()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴()()11lg 1lg 1lg lg 222b a b b b +⎛⎫⎛⎫+=-+==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴12+=+a b 或()()121a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴()()121a b ++=，故A 不正确，B 正确；又由()()lg 1f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+.所以()()()()10106211101626212a b a b b b +++=+++=++>+.从而()()()101010621lg 62lg 6222f a b b b b b ⎡⎤⎡⎤++=++=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.又()106214lg2f a b ++=，所以()10lg 624lg22b b ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，故()1062162b b ++=+.解得13b =-或1b =-（舍去）.把13b =-代入()()121a b ++=解得25a =-.所以25a =-，13b =-，故C 正确，D 不正确.故选：BC.12．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是（）A ．数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+B ．若数列42n y n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则222(1)n n nT n +=+C ．当*n ∈N时，2462n x x x x ⋅⋅⋅⋅< D ．当*n ∈N 时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y -->+【正确答案】ABC【分析】设直线:(1)n n l y k x =+，方程联立由Δ0=，可得1n n x n =+，1n n n y n =+，从而可判断A ，B ；由2244441n n n n +<++，得221nn <+C ；举例即可判断D ，如4n =.【详解】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=，得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=，则由Δ0=，即()()222222410n n n k n k k ∆=--+=，得n k =所以可得211n n n n k n x k n -==++，()11n n n y k x n =+=+，故A 正确；()()()()22244222221111111nn n nn y n n n n n n +===-++++，所以()()2222222221111111112(1)22311n n nT n n n n =-+-++-=-++=++ ，故B 正确；对于C ，由1n nx n =+，得2221n n x n =+，因为2244441n n n n +<++，所以()()222221n n n +<+，所以()2212221nn n <++，所以()()222222121n n n n n n <=+++，所以221nn <+则24622423521n x x x x n n ⋅=⨯⨯⨯<⋅⋅⋅=+= 故C 正确；对于D，1n n nx n y =，因为*n ∈N ，所以213n +≥≥，所以03<≤，令()2ln ln n n n n n n x y x y x y ---+，即21ln 1n n n n nnx y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+，令()()214ln ln 2,113x g x x x x x x ⎛-=-=+-∈ ++⎝⎦，则()()()()2221140,0,311x g x x x x x x ⎛-'=-=>∈ ++⎝⎦，所以函数()g x在⎛ ⎝⎦上单调递增，由114ln 21013313g ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭+，得44444421ln 01x y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以当4n =时，()2ln ln n n n n n nx y x y x y --<+，故D 错误.故选：ABC.关键点睛：本题考查圆的切线问题和数列不等式的证明问题，解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由Δ0=，得出1n n x n =+，211n n n y n =+，证明得到212n n -<比较2452n x x x x ⋅⋅⋅⋅.三、填空题13．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒.则点C 的坐标为______.【正确答案】()1,2-或()9,6-【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()2,2C t t 由2210,4,x y y x --=⎧⎨=⎩得2840y y --=.则12128,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩①又1121x y =+，2221x y =+，则121218,1.x x x x +=⎧⎨=⎩②因为90ACB ∠=︒，所以，0CA CB ⋅= .故()()()()221212220t x t x t y t y --+--=.将方程组①、②代入上式并整理得42141630t t t ---=()()()213410t t t t ⇒++--=.显然，2410t t --≠.否则，22210t t -⨯-=.于是，点C 在直线210x y --=上，即点C 与A 或B 重合.所以，11t =-，23t =-.故所求点()1,2C -或()9,6C -.故答案为()1,2-或()9,6-14．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f =，且对任意x ∈R ，满足(2)()f x f x +-≤32x ⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则(2008)f =________【正确答案】200822007+由(2)()32x f x f x +-≤⋅可得(6)()632x f x f x +-≤⋅，从而可得(2)()32x f x f x +-=⋅.从而可求(2008)f 的值.【详解】因为(2)()32x f x f x +-≤⋅，故2(4)(2)32122x x f x f x ++-+≤⋅=⋅，+4(6)(4)32482x x f x f x +-+≤⋅=⋅，故(6)()(6)(4)(4)(2)(2)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-32122482632x x x x ≤⋅+⋅+⋅=⋅，而(6)()632xf x f x +-≥⋅，所以(6)()632x f x f x +-=⋅，所以(2)()32x f x f x +-=⋅，故()()()(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)200f f f f f f f f =-+-++-+L 2006200403232322008=⋅+⋅++⨯+L 1004200814320082200714-=⨯+=+-，故答案为.200822007+本题考查不等式的性质、等比数列的前n 和，注意利用夹逼的方法把不等关系转化为相等关系，本题属于较难题.15．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【正确答案】【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C 面⊥，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD ==，从而43PO PD OD =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP，则2211PP PO OP =-==．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图乙．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 262PM PP MPP =⋅==1226PE PA PM a =-=-小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为1PAB P EF S S ∆∆-223(26))4a a =--3263a =-又46a =124363183PAB P EFS S ∆∆-=-=由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．16．如图，在78⨯的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出______个棋子才可能满足要求.【正确答案】11【分析】通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然后构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠，最后得到答案.【详解】如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(),i j .第一步通过反证法证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在()1,4、()1,5、()2,4、()2,5这些方格.同理()6,4、()6,5、()7,4、()75,这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()5,1、()5,2、()5,3所在区域，同理()3,6、()3,7、()3,8、()4,6、()4,7、()4,8、()5,6、()5,7、()5,8所在区域内至少取出3个棋子.这样在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾，故假设不成立，则若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.关键点睛：本题的关键是通过反证法证明任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，然偶利用图形分析出取出固定标号的棋子，则无法五子连珠.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列.(1)若3cos 5B =，ABC 的面积为2，求ABC 的周长；(2)求sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围.【正确答案】(2)1122⎫-+⎪⎪⎝⎭【分析】（1）利用等比中项公式与三角形面积公式求得b =再利用余弦定理与完全平方公式求得a c +，从而得解；（2）结合题意，先化简所求得求公式q 的取值范围即可，利用三角形两边之和大于第三边得到关于q 的不等式组，从而得解.【详解】（1）因为a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =，又3cos 5B =，0πB <<，所以4sin 5B ==，所以ABC 的面积为2114sin 2225ABC S ac B b ⨯===△，故b =25ac b ==，由余弦定理2222222632cos 255b ac ac B a c a c =+-=+⨯⨯=+--，即22265611a c b +=+=+=，则()2222112521a c a ac c +=++=+⨯=，所以a c +=，故ABC的周长为a b c ++（2）设a ，b ，c 的公比为q ，则b aq =，2c aq =，而sin cos tan sin cos cos sin sin cos tan sin cos cos sin A A C A C A C B B C B C B C ++=++()()()()sin sin πsin sin sin πsin A C B B bq B C A A a+-=====+-，因此，只需求q 的取值范围即可.因a ，b ，c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a ，b ，c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>.故有不等式组22a aq aq aq aq a ⎧+>⎨+>⎩，即221010q q q q ⎧--<⎨+->⎩，解得q q q <<⎨⎪><-⎪⎩，从而1122q <<，因此所求范围为⎫⎪⎪⎝⎭.18．已知数列{}n a 满足：()123R,1a t t t =-∈≠±，()()()1123211N 21n n n n nn t a t t a n a t +++-+--=∈+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较1n a +与n a 的大小.【正确答案】（1）()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±；（2）1n n a a +>．【分析】（1）由已知可得()1121111121n n n n n n a a t a t t ++++-=+-+-，令11n nn a b t +=-求数列{}n b 的通项公式，即可求数列{}n a 的通项公式；（2）通过（1）作差()()1121(1)()...()1nn n n n n t a a t t t t t n n -+-⎡⎤-=-+-++-⎣⎦+，讨论01t <<、1t >判断1(1)()...()n n n n t t t t t --+-++-、1t -的符号，即可得结论．【详解】（1）原式可变形得：()()11211121n n n nn t a a a t ++-+=--+-，则()()11212111112121n n n n n n n n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-，记11n n na b t +=-，则122n n nb b b +=+，整理得1221n n b b +-=，又122(1)122t b t -==-，所以2{}n b 是首项、公比均为1的等差数列，则2n n b =，故2n b n=.所以()211n n t a n-=-，Nn +∈且1t ≠±．（2）由（1），作差可得：()()()2112111n n n n t a a nt t t t n n -+-⎡⎤-=-++++⎣⎦+，又()2111(1)()...()n n n n n n nt t t tt t t t t ---++++=-+-++- ，当01t <<时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++-<且10t -<；当1t >时，1(1)()...()0n n n n t t t t t --+-++->且10t ->综上，当0t >且1t ≠时，1t -与()211n n nt t t t -⎡⎤-++++⎣⎦同号，即1n n a a +>．19．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒，①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）①4；②当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C .【分析】（1）过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN ，可得MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论；（2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，由线面平行的判定定理证明//BP 平面11DA C ．【详解】（1）证明：如图，过射线PC 上一点H 作HM PC ⊥交PA 于M 点，作HN PC ⊥交PB 于N 点，连接，MN则MHN ∠是二面角A PC B --的平面角．在MNP △中和MNH △中分别用余弦定理，得2222cos MN MP NP MP NP γ=+-⋅⋅，2222cos MN MH NH MH NH θ=+-⋅⋅，两式相减得22222cos 2cos 0MP MH NP NH MP NP MH NH γθ-+--⋅⋅+⋅⋅=，∴22cos 22cos MP NP PH MH NH γθ⋅⋅=+⋅⋅，两边同除以2MP NP ⋅，得cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（2）①由平面11AA C C ⊥平面ABCD ，知90θ=︒，∴由（1）得11cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠，∵1cos 60A AC ∠=︒，cos 45BAC ∠=︒，∴1122cos 224A AB ∠=⨯=．②在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ．连结1B C ，延长1C C 至P ，使1CP C C =，连结BP ，在棱柱1111ABCD A B C D -中，11//A B AB ，//AB CD ，∴11//A B ，∴四边形11A B CD 为平行四边形，∴11//A D B C ．在四边形1B BPC 中，1//B B CP ，∴四边形1B BPC 为平行四边形，∴1//B C BP ，∴1//A D BP ，又1A D ⊂平面11DA C ，BP ⊄平面11DA C ，∴//BP 平面11DA C ．∴当点P 在1C C 的延长线上，且使1CP C C =时，//BP 平面11DA C ．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡(.)B Pascal 提请了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat 讨论了这个问题，后来惠更斯(.)C Huygens 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,k k k N >∈局，谁便赢得全部赌注a 元.每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌钱相互独立.在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌钱意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌钱意外终止的情况，甲、乙便按照赌钱再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注.（1）甲、乙赌钱意外终止，若2243,4,2,1,3a k m n p =====，则甲应分得多少赌注？（2）记事件A 为“赌钱继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌钱继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.【正确答案】（1）216元；（2）3()1(13)(1)f p p p =-+-，是，理由见解析.【分析】(1)设赌钱再进行X 局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，由此利用概率计算公式即可得解；(2)设赌钱再进行Y 局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得()f p ，再利用导数求出()f p 的最小值作答.【详解】（1）设赌钱再继续进行X 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X =时，甲以4:1赢，所以224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当3X =时，甲以4:2赢，所以122228(3)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，当4X =时，甲以4:3赢，所以2132224(4)133327P X C ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，于是得甲赢得全部赌注的概率为48424892727279++==，所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元.（2）设赌钱继续进行Y 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y =时，乙以4:2赢，3(3)(1)P Y p ==-，当4Y =时，乙以4:3赢，1333(4)(1)3(1)P Y C p p p p ==-=-，从而得乙赢得全部赌注的概率为333()(1)3(1)(13)(1)P A p p p p p =-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率3()1()1(13)(1)f p P A p p =-=-+-，对()f p 求导得322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=---+⋅--=-，因415p ≤<，即()0f p '>，从而有()f p 在4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是得min 4608()5625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，乙赢的概率()P A 最大值为6081710.02720.05625625-==<，所以事件A 是小概率事件.21．作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B 两点（如图），且(P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB ∠=︒，求PAB ∆的面积.【正确答案】（1）见解析；（2）49【详解】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，直线1:3l y x m =+.①将式①代入椭圆C 的方程，并化简整理得22269360x mx m ++-=.则123x x m +=-，2129362m x x -=，PA k =PB k =故12213PAPByx y x k k-+--+=上式分子((12211133x m x x m x ⎛⎛=+--++- ⎝⎝(()121223x x m x x m =+-+-(()22936332m m m m -=⋅+----22312312m m =--+-+0=.从而，0PA PB k k +=.又点P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线.所以，PAB ∆的内切圆的圆心在直线x =.（2）若60APB ∠=︒，结合1的结论知PA k =PB k =将直线:PA l y x =-，代入椭圆C 的方程并消去y得(2141181330x x +-+-=.因为上式两根分别是1x、11314x -=.则)117PA x=-=.同理，)17PB =.故1sin602PABSPA PB ∆=︒=22．已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，函数()221x tf x x -=+的定义域为[],αβ.(1)求()()()max min g t f x f x =-；(2)证明：对于()π0,1,2,32i u i ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，若123sin sin sin 1u u u ++=，则()()()123111tan tan tan g u gu g u ++<.【正确答案】(1))22251625++t t (2)证明见解析【分析】（1）由韦达定理得t αβ+=，14αβ=-，利用导数确定函数在区间[],αβ上的单调性．从而求得函数()f x 的最大值与最小值，最后写出()g t ；（2）先证：()2tan ,1,2,3169cos i ig u i u ≥=+，从而利用不等式证明结论即可．【详解】（1）已知α，β是方程()24410R x tx t --=∈的两个不等实根，∴t αβ+=，14αβ=-.故0α<，0β>.当1x ，[]2,x αβ∈时，∴()()()()()()()()()()22222222222211444441212221221111x xt x xt x x x t x xt f x x x x x ------+-----===<+'+++而当[],x αβ∈时，24410x tx --≤，于是()0f x ¢>，即()f x 在[],αβ上单调增.∴()()()()()()()()()()()22222222222121222211111t t t t t g t f f βααββααβαββαβαβααβαβαβ-+--+⎡⎤-+-+--⎣⎦=-==+++++++)2222525225162516t t t t ⎫+⎪+⎝⎭==++（2）()2228216324cos cos cos cos tan 1,2,316169cos 9cos iii ii i i i iu u u u g u u u ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≥=++当且仅当1624cos cos i i u u =，即cos 3i u =时，等号成立；∴()()()()22212312311111639cos cos cos tan tan tan 166u u u g u g u g u ⎡⎤++≤⨯+++⎣⎦()222123759sin sin sin u u u ⎤=-++⎦而()22221231231sin sin sin sin sin sin 33u u u u u u ++⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即()2221239sin sin sin 3u u u ++≥，当且仅当1231sin sin sin 3u u u ===时等号成立，∴()()())123111753tan tan tan g u g u g u ++-由于等号不能同时成立，故得证，所以()()()1231113tan tan tan 4g u g u g u ++.易错点睛：本题主要考查函数与不等式的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)求导确定函数单调性时，注意结合一元二次方程的根与不等式关系；(2)多次利用基本不等式时，注意去等条件是否均成立.。
湖南省长沙市高考数学二模试卷(理科)
湖南省长沙市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·宣城模拟) 若全集，集合，，则为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·大庆期末) 若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A . 1B . 2C . 1或2D . ﹣13. （2分） (2020高二上·珠海月考) “方程表示的曲线为椭圆”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）(2012·山东理) 若，，则sinθ=（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·新乡模拟) 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A . 为了计算B . 为了计算C . 为了计算D . 为了计算6. （2分）(2020·成都模拟) 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即. 若的面积，，，则等于（）A .B .C . 或D . 或7. （2分）(2020·吉林模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·天津期中) 若函数，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A .B .C . 或D . 或10. （2分） (2016高二上·延安期中) 若实数x，y满足则的取值范围是（）A . （﹣1，1）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣∞，﹣1）D . [1，+∞）11. （2分）过双曲线的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=3处有极小值，则c的值是（）A . 3或9B . 9C . 3D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·伊春月考) 数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.14. （1分） (2015高一下·城中开学考) 若cos（﹣α）= ，则cos（+2α）=________．15. （1分） (2019高一下·永安月考) 在正三棱柱 ,已知 , 在棱上,且,则与平面所成角的正弦值为________．16. （1分）(2017·大连模拟) 已知平面内三个单位向量，，，＜，＞=60°，若 =m +n ，则m+n的最大值是________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （15分） (2016高一下·江阴期中) 已知数列{an}满足an+1= an+t，a1= （t为常数，且t≠ ）．（1）证明：{an﹣2t}为等比数列；（2）当t=﹣时，求数列{an}的前几项和最大？（3）当t=0时，设cn=4an+1，数列{cn}的前n项和为Tn ，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．18. （5分） (2017高二下·高淳期末) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，E、F分别为A1C1、B1C1的中点，D为棱CC1上任一点．（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1 ．19. （5分）(2017·山西模拟) 为弘扬中国传统文化，2017年中央电视台著名主持人董卿主持了一档节目《中国诗词大会》参赛的100名选手年龄分布情况如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这组数据的中位数和平均值（保留1位小数）（Ⅱ）节目最后由高中生武亦姝和编辑彭敏争夺冠军，比赛规定：主持人每出一题，两位选手必有一人得1分，另一人不得分，先得5分者将成为第二季的总冠军，现比赛进行到武亦姝和彭敏的得分比为3：2，接下来假设主持人每出一道题，彭敏得分的概率为，武亦姝得分的概率为，请问最终武亦姝获得冠军的概率是多少？（Ⅲ）现从年龄在[10，20）、[50，60），[60，70]内的三组选手中任意抽取2人，求抽出选手中年龄大于50岁的人数ξ的概率分布列和期望．20. （10分）(2016·河北模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，短轴长为2，O为原点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，且△AOF的面积是△BOF的面积的3倍．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．21. （10分）已知函数 .（1）当a=1时，求函数的极值；（2）求函数的单调区间.四、选做题 (共2题；共20分)22. （10分） (2019高二下·揭阳期末) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点在直线l：上．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求的值．23. （10分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）解不等式|x﹣2|+|x+1|≥5．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：考点：解析：考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：略答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、。
2023届湖南省长沙市高三年级二模数学试题【含答案】
一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =+->，{}2,B x x k k ==∈Z ，则()U B A ⋂=ð（）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}1,0,1,2,3-B【分析】解不等式可求得集合A ，结合补集定义可得U A ð，根据交集定义可得结果.【详解】由2230x x -->得：1x <-或3x >，即{1A x x =<-或}3x >，{}13U A x x ∴=-≤≤ð；{}2,B x x k k ==∈Z ，(){}0,2U A B ∴= ð.故选：B.2．设函数()()sin f x x ωϕ=+()0,0πωϕ><<，将函数()f x 的图象先向右平移π6个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与cos y x =图象重合，则（）A ．12ω=，π6ϕ=B ．12ω=，π3ϕ=C ．2ω=，5π6ϕ=D ．2ω=，π3ϕ=C【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与cos y x =图象重合，求得参数ω，ϕ，即得答案.【详解】将函数()f x 的图象先向右平移π6个单位长度后，得到πππsin sin 666y f x x x ωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到πsin 26y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于得到的函数的图象与cos y x =图象重合，故2ω=，()ππ2π,Z 62k k ωϕ-+=+∈，所以()5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，故选：C ．3．点P 在单位圆上运动，则P 点到直线l ：()()()131270x y λλλ++--+=（λ为任意实数）的距离的最大值为（）A ．231+B ．6C ．321+D ．5B【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距离.【详解】将直线方程变形为l ：()()73210x y x y λ+-+--=，由703210x y x y +-=⎧⎨--=⎩,解得直线过定点()3,4Q ，P 在单位圆上运动,圆()0,0O ,圆的半径1r =故原点到直线l 距离的最大值为22345OQ =+=，则P 点到直线l 的距离的最大值为1156r OQ OQ +=+=+=.故选:B ．4．已知x ∈C ，下列选项中不是方程31x =的根的是（）A ．1B ．13i22+C ．13i22-+D ．13i22--B【分析】利用因式分解与复数的性质求根即可.【详解】因为31x =，x ∈C ，所以310x -=，即()()2110x x x -++=，解得1x =或1313i222x -±-==-±，故选项ACD 中是方程31x =的根，B 中不是.故选：B5．已知向量a 与b 的夹角为30︒，且3a = ，1b = ，设m a b =+ ，n a b =- ，则向量m 在n方向上的投影向量为（）A ．2nB ．nC ．3nD ．33n A【分析】根据投影向量公式求解即可.【详解】因为知向量a 与b 的夹角为30︒，且3a = ，331,3122b a b =⋅=⨯⨯= ，m 在n方向上的投影向量为()()2222222a b a b m n n a b n n n n n a a b b a b+-⋅-⋅=⋅=⋅=-⋅+- ．故选：A ．6．1360年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆锥形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（）A ．12小时B ．23小时C ．34小时D ．78小时D【分析】设沙漏的底面半径为r ，高为h ，然后根据题求出当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙的体积，从而可求出漏下的沙子体积与总体积的关系，进而求得结果.【详解】设沙漏的底面半径为r ，高为h ，则沙的体积为213r h π，当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙形成的圆锥的高为12h ，底面半径为12r ，所以所剩余的沙的体积为221111132283r h r hππ⎛⎫⋅⋅=⨯ ⎪⎝⎭所以漏下的沙子体积为总体积的78，故记时时间为78小时．故选：D7．等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n 项和为n S ，且10a >，01q <<的等比数列{}n a 为例，先画出直线OQ ：y qx =，并确定x 轴上一点()11,0A a ，过点1A 作y 轴的平行线，交直线OQ 于点1P ，则111A P a q =．再过点1P作平行于x 轴，长度等于1a q 的线段12PM ，……，不断重复上述步骤，可以得到点列{}n P ，{}n M 和{}n A ．下列说法错误的是（）A ．2231A A a q=B ．||||n n n P A q OA =C ．点n A 的坐标为(),0n S D ．1||n n n P A S a =-D【分析】根据题设描述，确定题图中相关线段的数量关系，结合直线斜率定义、等比数列前n 项和判断各项的正误即可.【详解】选项A ，由题设及图象知：22323221||A A P M P M a q ===，故正确；选项B ，因为||||n n n P A OA 表示直线OQ :y qx =斜率，即为q ，故正确；选项C ，点n A 的横坐标为2111111111......n n n n OA A A A A a a q a q a q S --+++=++++=，故正确；选项D ，由||||||n n n n n n P A P M M A =+，而1||||n n n n OA P M S ++=，||n n OA S =，则1||n n n n P M S S +=-，又△1n n A A M 为等腰直角三角形，即11||||n n n n A M A A S a ==-，综上，11||n n n P A S a +=-，故错误．故选：D8．已知A ，B ，C ，D 是体积为205π3的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =，且三棱锥A －BCD 的体积为23，则线段CD 长度的最大值为（）A ．23B ．32C ．13D ．25B【分析】先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到π2ACB ∠=，且23ACB S = ，求出点D 到平面ABC 的距离，求出点D 所在球的截面的半径及三角形ABC 的外接圆半径，设点D 在平面ABC 上的投影为E ，当CE 最长时CD 最长，结合213=+=CE ，求出CD 长度的最大值.【详解】因为球的体积为205π3，故球的半径R 满足32054ππ33R =，故5R =，而4AB =，2AC =，23BC =，故222AB AC BC =+，故π2ACB ∠=，故1232232ACB S =⨯⨯= ，设点D 到平面ABC 的距离为h ，则123233h ⨯⨯=，故3h =，点D 在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为h R >，所以平面α与平面ABC 在球心的异侧，设球心到平面ABC 的距离为d ，而△ACB 外接圆的半径为122AB =，则541d =-=，故球心到平面α的距离为312-=，故截面圆的半径为541-=，设点D 在平面ABC 上的投影为E ，则E 的轨迹为圆，圆心为△ABC 的外心即AB 的中点，当CE 最长时CD 最长，此时213=+=CE ，故CD 长度的最大值为2232CE h +=.故选：B ．关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、多选题9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上是增函数，则（）A ．()f x 关于=1x -对称B ．()()4f x f x +=C ．11524f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()202310n f n ==∑BC【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D 选项，结合单调性得出C 选项.【详解】()f x 为偶函数，()()2f x f x -=-所以()()20f x f x -+=，所以()()20f x f x -++-=，所以()f x 关于点()1,0-对称，A 错误；又()()()42f x f x f x +=-+=，所以()()4f x f x +=，B 正确；因为()f x 在[]0,1上是增函数，所以11111522444f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=>=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；因为()()()()()()()()()()2013024012340f x f x f f f f f f f f -+=⇒+=+=⇒+++=，，所以()()()()()202311232n f n f f f f ==++=∑，而()2f 的值不确定，故D 错误.故选:BC ．10．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则下列说法正确的是（）A ．该多面体的表面积为623+B ．该多面体的体积为523C ．该多面体的平行平面间的距离均为2D ．过A 、Q 、G 三点的平面截该多面体所得的截面面积为332ABD【分析】根据该多面体结构特征即可求出表面积判断A ，利用割补法求体积判断B ，分别求解两平行平面的距离即可判断C ，利用平面性质找到截面图形，利用正六边形由六个正三角形组成求面积判断D.【详解】由题意，该多面体的面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的正三角形构成，故该多面体的表面积为22361816234⨯+⨯⨯=+，故A 正确；该多面体的体积为原正方体的体积去掉8个相同的三棱锥的体积，注意到该多面体的原正方体边长为2，所以()231212522832223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，若该多面体平行平面为上下两个正方形所在的平面，则平行平面间的距离为2；若该多面体平行平面为两个正三角形所在的平行平面，如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，,EM EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点11,M N ，因为12C C MQ ⊥，22A C MQ ⊥，1222,C C A C ⊂平面1221A A C C ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，,MQ EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--,由正方体边长为2得216A C =，根据22E A MQ A EMQ V V --=，则22111222113132222322A M ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得2166A M =，根据对称性知2111A M N C =，所以112121116266263M N A C A M N C =--=-⨯=，此时平面EMQ 与平面BCG 的距离为263，即两个正三角形所在的平行平面间的距离为263，故C 错误；根据平面性质知，过A 、Q 、G 三点的平面截得的截面图形是一个边长为1的正六边形ABGPQE ，故截面面积为23336142⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用i A 表示i 号箱有奖品（i ＝1，2，3，4），用j B 表示主持人打开j 号箱子j ＝2，3，4），下列结论正确的是（）A ．()114P A =B ．()3212P B A =C ．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱D ．要使获奖概率更大，用应该改选2号或者4号箱ABD【分析】根据古典概型判断A 选项，结合条件概率和全概率公式及贝叶斯公式分别判断B,C,D 选项.【详解】对于A 选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此1A ，2A ，3A ，4A 的概率均为14，即A 正确；对于B 选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故()3212P B A =，故B 正确；对于C 、D 选项，方法一：奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故()3113P B A =，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故()3212P B A =，奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故()330P B A =，奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故()3412P B A =，由全概率公式可得：()()()433111111043223i i i P B P A P B A =⎛⎫==+++= ⎪⎝⎭∑，()()()1313311143143P A B P A B P B ⨯===，()()()232331131421843P A B P A B P B ⨯===>，故C 错误，D 正确.方法二：若继续选择1号箱，有奖品的概率为14，无奖品的概率为34，主持人打开了无奖品的3号箱，若不换号，则甲在1号箱获得奖品的概率依然为14，而在排除了3号箱有奖的情况下，2号或者4号箱获奖的概率会提高，因此为了增加中奖的概率，甲应该改选2号或者4号箱．故选：ABD ．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点()()2,4P m n n m <射入，经过抛物线上的点()11,A x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（）A ．121=x x B ．点()11,A x y 关于x 轴的对称点在直线2l 上C ．直线2l 与直线=1x -相交于点D ，则A ，O ，D 三点共线D ．直线1l 与2l 间的距离最小值为4ACD【分析】设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，然后利用韦达定理即可求出12x x 和直线1l 与2l 间的距离，从而可确定AD 两项；表示出直线OA 和OD 的斜率即可确定C 项；假设B 项正确反推条件，从而可确定B 项.【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB 过抛物线的焦点()1,0F ，设直线AB 的方程为1x ty =+，将直线AB 的方程代入24y x =中，得2440y ty --=，所以由韦达定理得124y y =-，124y y t +=，所以221212144y y x x =⋅=，故选项A 正确；若点()11,A x y 关于x 轴的对称点在直线2l 上，则12y y =-，所以122y y ==，即2n =，不一定成立，故不合题意，选项B 错误；直线2l 与=1x -相交于点()21,D y -，所以直线OD 的斜率为2OD k y =-，又直线OA 的斜率为112211144OA y y k y y x y ====-，所以OD OA k k =，所以A ，O ，D 三点共线，故选项C 正确；直线1l 与2l 间的距离()22121212416164d y y y y y y t =-=+-=+≥，当0=t 时，d 取最小值4，故选项D 正确；故选：ACD.三、填空题13．已知()()()()()234501234512345x x x x x a a x a x a x a x a x +++++=+++++，则4a =___________．15【分析】根据题意，结合根据组合数的计算公式及性质，即可求解.【详解】由题意知()()()()()234501234512345x x x x x a a x a x a x a x a x +++++=+++++，根据组合数的计算公式及性质，要得到展开式中4x 的系数，则只有一个括号内取常数，其余的四个括号都取x ，所以41234515a =++++=．故答案为1514．设P 是双曲线221412x y -=右支上的一个动点，1F 、2F 为左、右两个焦点，在12PF F △中，令12PF F α∠=，21PF F β∠=，则tan:tan 22αβ的值为_________．13【分析】三角形的内角角平分线的交点为内切圆的圆心，根据双曲线的定义，结合三角形的内切圆的切线长的性质可得内切圆的其中一个切点必与双曲线的右顶点重合，最后再根据三角函数的定义表示出tan:tan 22αβ即可求解．【详解】由双曲线的方程221412x y -=，可得4c =，2a =，设12PF F △的内切圆C 在12F F ，1PF ，2PF 上的切点分别为D ，E ，F ，设切点D 的坐标为(,0)D m ，因为12121212PF PF EF EP FP FF EF FF DF DF -=+--=-=-()()22c m c m m a =+--==，即m a =，切点D 与双曲线的右顶点重合，1||DF c a ∴=+，2||DF c a =-，根据题意可得12PF F α∠=，21PF F β∠=，则两角的角平分线的交点一定为12PF F 的内心．如图所示，因此1tan 2CD F D α=，2tan 2CD F Dβ=，所以1tan:tan 223r c a c a a c r c a αβ--=⋅==++．故答案为1315．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(),,0,1a b c ∈，且1a b c ++=，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b+的最小值为______．163/153【分析】先根据题意得出322a b +=，再结合基本不等式即可求得213a b+的最小值．【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分的概率为c ，(),,0,1a b c ∈，且1a b c ++=，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则322a b +=，所以()21121142142163262632323233b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b =，即14b =，12a =时取等号，所以213a b+的最小值为163．故163．16．已知0a ≠，函数()x f x ae =，()ln g x a x b =+，若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则使不等式bm a<恒成立的最小整数m 的值是__________．3【详解】分析：求导，表述出公切线，从而会得到ba的一个表达式，构造函数，求导分析整理即可.详解：()()(),0xaf x aeg x x x''==>，设公切线在()f x 上的切点为()11,xx ae ，在()g x 上的切点为()22,x y ，()()1122x ak f x ae g x x ∴=='='=，12x x e -∴=，在()g x 上的切点为()11,xe ax b --+，∴切线方程为()111x x y ae ae x x -=-，把点()11,xe ax b --+代入切线方程：()11111x x x ax b ae ae e x --+-=-，化简可得11111x x be x x e a=+-+，构造函数()1x xh x e x xe =+-+，则()1xh x xe ='-，令()00010x h x x e '=-=即001xx e =，则()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，又12111022h e ⎛⎫=-'> ⎪⎝⎭，23221033h e ⎛⎫=-'< ⎪⎝⎭，01223x ∴<<，故()()0000000max 1x x xh x h x e x x e e x ==+-+=+，()2132122.1max 2.623e h x e ∴≈+<<+≈即2.1 2.6b a <<，又b m a>则使不等式bm a<恒成立的最小整数m 的值是3.故答案为3.点睛：不等式恒成立问题若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．四、解答题17．已知在ABC 中，2a b =，且12ABC S =△．(1)若4b =，求()tan A B +；(2)若π2C <，且3sin 5C =，求sin A ，sin B ．(1)377-或377(2)25sin 5A =，5sin 5B =【分析】（1）利用三角形面积公式可构造方程求得sinC ，根据同角三角函数关系可得tan C ，结合诱导公式可得结果；（2）利用三角形面积公式可构造方程求得,a b ，由余弦定理可求得c ，代入正弦定理中可求得结果.【详解】（1）当4b =时，28a b ==，1sin 16sin 122ABC S ab C C ∴=== ，解得：3sin 4C =；当C 为锐角时，27cos 1sin 4C C =-=，sin 37tan cos 7C C C ∴==，()()37tan tan πtan 7A B C C ∴+=-=-=-；当C 为钝角时，27cos 1sin 4C C =--=-，sin 37tan cos 7C C C ∴==-，()()37tan tan πtan 7A B C C ∴+=-=-=；综上所述：()37tan 7A B +=-或377.（2）2213sin sin 1225ABCS ab C b C b ==== ，25b ∴=，245a b ==，π2C <，24cos 1sin 5C C ∴=-=，由余弦定理得：22242cos 10080365c a b ab C =+-=-⨯=，解得：6c =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==得：345sin 255sin 65a C A c ⨯===，325sin 55sin 65b C Bc ⨯===.18．如图所示的在多面体中，,AB AD EB EC ==，平面ABD ⊥平面BCD ，平面BCE ⊥平面BCD ，点,F G 分别是,CD BD 中点.(1)证明：平面AFG //平面BCE ；(2)若,2,2,5BC BD BC BD AB BE ⊥====，求平面AFG 和平面ACE 夹角的余弦值.(1)证明见解析(2)31414【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明,（2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角形知识求两平面的夹角.【详解】（1）如图，取BC 中点H ，连接EH ，因为EB EC =，所以EH BC ⊥，又因为平面BCE ⊥平面BCD ，平面BCE 平面BCD BC =，EH ⊂平面BCE ，所以EH ⊥平面BCD ，同理可得AG ⊥平面BCD ，所以//EH AG ，又因为AG ⊄平面,BCE EH ⊂平面BCE ，所以AG //平面BCE ，因为点,F G 分别是,CD BD 中点，所以//FG BC ，又因为FG ⊄平面,BCE BC ⊂平面BCE ，所以FG //平面BCE ，又因为,,AG FG G AG FG ⋂=⊂平面AFG ，所以平面AFG //平面BCE .（2）方法一：因为,//BC BD BC FG ⊥，所以FG BD ⊥，由（1）知,AG BD AG ⊥⊥平面,BCD GF ⊂平面BCD ，所以AG GF ⊥，所以,,GF GB GA 两两相互垂直，如图，以点G 为坐标原点，,,GF GB GA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为2,5AB BE ==，所以1,2,1GA GB EH BH ====，则()()()0,0,1,2,1,0,1,1,2A C E ，平面AFG 的一个法向量为()0,2,0DB =，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =r，由()()2,1,1,1,0,2AC CE =-=-，得00n AC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z +-=⎧⎨-+=⎩，解得322x y x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取2x =，得()2,3,1n =-，设平面AFG 和平面ACE 的夹角为θ，则6314cos cos ,14214n DB n DB n DB θ⋅====⨯，所以平面AFG 和平面ACE 的夹角的余弦值为31414.方法二：因为平面AFG //平面BCE ，所以平面AFG 和平面ACE 的夹角即二面角A CE B --.如图，过点A 作AM CE ⊥，垂足为点M ，过点M 作MN EC ⊥交BE 于点N ，则AMN ∠为二面角A CE B --所成平面角.在Rt BCG 中，225GC BG BC =+=，在Rt ACG 中，226AC AG GC =+=，在直角梯形AGHE 中，因为//AG EH ，2222CD DB CB =+=,所以1=22GH DC =，所以22(21)(2)3,AE =-+=在ACE △中，2224cos 230AC CE AE ACE AC CE∠+-==⋅⋅，所以1614sin 13030ACE ∠=-=，利用三角形等面积可得1sin 2ACE S AC CE ACE ∠=⋅⋅⋅ 11465230=⨯⨯⨯12AM CE =⋅⋅152AM =⨯⋅，所以14,5AM =145355EM =-=，因为23cos 2cos 15BEC BEH ∠∠=-=，所以5,3EN =4515MN =，过点N 作NP BC ⊥于2,13BN EN P BE BE =-=，则25,3BN =22,33BP BH ==44,33NP EH ==22133GP GB BP =+=，所以22413141333AN ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在AMN 中，14,3AN =14,5AM =4515MN =，所以1416143145459cos 1414452155AMN ∠+-==⨯⨯，所以平面AFG 和平面ACE 夹角的余弦值为31414.19．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．(1)求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)记21n nb n S =，求数列{}n b 的前2023项的和M ．(1)证明见解析(2)20232024【分析】（1）根据所给递推公式及前n 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；（2）求出n b ，利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为()*N n n n n S T S T n +=⋅∈，当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅⇒=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，由n n n n S T S T +=⋅，可得1n S ≠，所以1nn n S T S =-，当2n ≥时，1111n n n S T S ---=-．所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，即1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以111111111n n n n S S S S ---==+---，所以111111n n S S --=--所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列.（2）所以()11111n n n S =+-⨯=-，则1n n S n +=，因为()2111111n n b n S n n n n ===-++，故1111120231223202320242024M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．20．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高x （单位：cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高x 160170175185190儿子身高y170174175180186(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？(2)记 ˆˆ,(1,2,,)i i i ii y y y x a n e b i =-=--= ，其中i y 为观测值， i y 为预测值，i e 为对应(),i i x y 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式：555521111880,155450,885,156045i ii i i i i i i x x y x y ========∑∑∑∑()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑.(1) 0.589y x =+，178x <时，儿子比父亲高；178x >时，儿子比父亲矮，儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.(2)0；任意具有线性相关关系的变量10ni i e==∑ ，证明见解析【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论；（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高的残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.【详解】（1）由题意得160170175185+190170174175180+186176,=17755x y ++++++===，515222151560455176177156045155760285ˆ0.515545051761554501548805705i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯-=====-⨯--∑∑，ˆˆ1770.517689a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为 0.589y x =+，令0.5890x x +->得178x <，即178x <时，儿子比父亲高；令0.5890x x --<得178x >，即178x >时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（2）由 0.589y x =+可得 12345=0.5160+89169,174,176.5,181.5,184y y y y y ⨯=====，所以51ˆ885i i y==∑，又51885i i y ==∑，所以()55551111=ˆ=ˆˆ0i i i i i i i i i ey y y y ====--=∑∑∑∑，结论：对任意具有线性相关关系的变量10ni i e==∑ ，证明 ()()111ˆˆˆn n ni i i i ii i i e y y y bx a ====-=--∑∑∑11ˆˆˆˆ()0n ni i i i y b x na ny nbx n y bx ===--=---=∑∑21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1D -，且有两个顶点所在直线的斜率为12，过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点M ，与y 轴交于点N ．(1)若AMD 的面积为65，求直线l 的方程；(2)设过原点O 且与直线l 平行的直线l '交椭圆于点P ，求证：2AM AN OP⋅为定值．(1)620x y ++=或20x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）先根据题中条件求出椭圆方程，设直线方程后联立椭圆方程得到弦长AM ，再求出点D 到直线AM 的距离，根据AMD 的面积为65可得k ，即可.（2）先表示出AM ，AN ，2OP ，后可证其为定值.【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1D -，所以21b =，又椭圆有两个顶点所在直线的斜率为12，则12b a =，所以2a =，故椭圆方程为2214x y +=．由题意过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点M ，()2,0A -，可知直线的斜率存在，不妨设为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++-=．设()11,M x y ，21216214k x k -=-+，所以2122814k x k -=+，故222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以2222222284412141414k k k AM k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，点()0,1D -到直线()2y k x =+的距离2211k d k+=+，因为AMD 的面积为65，所以1625AM d ⨯⨯=，即22221141621451k k k k ++⨯⨯=++，解得16k =-或1k =．所以直线l 的方程为()126y x =-+或2y x =+，即620x y ++=或20x y -+=．（2）由（1）可知直线l 的方程为()2y k x =+，()0,2N k ，224114k AM k +=+，所以224421AN k k =+=+，设直线OP 的方程为y kx =，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221440k x +-=，设()00,P x y ，则202414x k =+，则2202414k y k=+，所以22220024414k OP x y k +=+=+，故22222241211424414k k AM AN k k OP k +⨯+⋅+==++，因此2AM ANOP ⋅为定值．方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．已知函数()()1e ln xf xg x x -=-.(1)若函数()211ln e 2x g x x ax a x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，讨论()f x 的单调性；(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.①若函数()()1e ln x g x x x 1-=+，()()f m f n =，且m n ≠，证明1m n +<②若函数()2211e ln 2x g x x x x x x 1-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，证明()1ln 22f x +>(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得结果；（2）得到()()211ln ln 2f x x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若选①，不妨设0m n <<，则10,e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分两种情况讨论n ：分别当111e e n <≤-和111e n -<<时，利用导数可证不等式成立；若选②，利用导数证明ln 1x x -≥，21ln 2ln 2x x +->即可得证.【详解】（1）因为()211ln e 2x g x x ax a x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()()211ln 2f x x ax a x =++-，()f x 的定义域为()0,∞+，()()()111x x a a f x x a x x++--'=++=.当1a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a <时，若()0,1x a ∈-，()0f x '<，()f x 单调递减；若()1,x a ∈-+∞，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上所述：当1a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a <时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，()f x 在(1),a -+∞上单调递增.（2）证明：选①因为()()11ln x g x x e x -=+，所以()ln f x x x =，()f x 的定义域为()0,∞+，且()1ln f x x '=+.当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.不妨设0m n <<，则10,e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()0f m f n =<，可知11e n <<.当111e e n <≤-时，1m n +<显然成立.当111e n -<<时，110,e n ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，由ln ln m m n n =，且10,e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知()()1ln ln e 0m m m m +=<，则ln m m m <-，ln ln m n m m n n n n +<-+=-+.设()()1ln x x x ϕ=-，11,1e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()ln 0x x ϕ'=->，()ϕx 在11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()11ln11x ϕ<-=，所以1m n +<成立.综上所述，1m n +<.选②()()211ln ln 2f x x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦.设()ln h x x x =-，则()1x h x x-'=.当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以()()min 11h x h ==，ln 1x x -≥，因此()222211111ln 2222x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+≥+≥⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立.设()2ln x x x ϕ=-，0x >，则()221x x x ϕ-'=.当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增.因此()min 2121ln 2ln 2222x ϕϕ⎛⎫+==-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而()()1ln 22f x x ϕ+≥≥，则()1ln 22f x +≥，因为212≠，所以()1ln 22x f x +=≥中的等号不成立，故()1ln 22f x +>.关键点点睛：第（2）问，选②时，利用导数证明ln 1x x -≥，21ln 2ln 2x x +->是解题关键.。
长沙市高考数学二模试卷(理科)A卷
长沙市高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知命题，那么命题为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二·卢龙期末) 若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A . ﹣2B . 4C . ﹣6D . 63. （2分） (2015高三上·东莞期末) 已知圆（x﹣m）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，若离心率为的双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（）A . 1B .C . 2D . 44. （2分） (2018高二下·邯郸期末) 已知，则（）A .B .C .D .5. （2分）设集合A={1，2，3，4，5，6}，A∩B=B，2∈B，则满足条件的集合B的个数共有（）A . 64个B . 32个C . 31个D . 63个6. （2分）(2017·石家庄模拟) 某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A . 4B .C .D . 127. （2分）(2017·衡阳模拟) 曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为（）A . 1B . ﹣1C . ﹣7D . ﹣118. （2分）给出以下命题：⑴若，则f(x)>0；⑵；⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 09. （2分）设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是（）A . 1B .C . 3D . 910. （2分） (2017高三上·韶关期末) 设双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A . ±B . ±C . ±D . ±11. （2分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则正四面体D﹣A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南京期末) 观察下列等式：（sin ）﹣2+（sin ）﹣2= ×1×2；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin（）﹣2= ×2×3；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（）﹣2= ×3×4；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin（）﹣2= ×4×5；…照此规律，（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+（sin ）﹣2=________．14. （1分） (2017高一下·滨海期末) 设数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+1，那么此数列的通项公式 a n=________．15. （1分） (2015高三上·秦安期末) 已知抛物线y2=4x的准线与双曲线 =1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________．16. （1分）(2017·天河模拟) 在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若 =m +n ，则m+n=________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2017·抚顺模拟) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．18. （10分） (2012·重庆理) 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．19. （10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2） AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．20. （5分）已知圆方程为y2﹣6ysinθ+x2﹣8xcosθ+7cos2θ+8=0．（1）求圆心轨迹的参数方程C；（2）点P（x，y）是（1）中曲线C上的动点，求2x+y的取值范围．21. （10分）(2018·中原模拟) 已知．（1）若关于的方程在上恒成立，求的值；（2）证明：当时，．22. （10分） (2018高二下·虎林期末) 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 : ,已知过点的直线的参数方程为:(为参数),直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线和直线的普通方程;（2）若 , ,成等比数列,求的值.23. （5分）(2017·宿州模拟) 设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣1时，不等式lnf（x）＞1成立；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、答案：略22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。
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数学试卷一、选择题1.已知集合{}{}0,2,2,1,0,1,2,A B ==--则A B ⋃=（ ） A.{}0,2B.{}1,2C.{}0D.{}-2-1,0,1,2，2.已知,a b 为实数，i 为虚数单位，若2+ii ia b +=，则a b +=（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．33.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有( )人 附表：附：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．20B ．40C ．60D ．804.平面向量a r 与b r 的夹角为120,(2,0),||1a b ==︒r r ，则|2|a b +r r=( )A ．4B ．3C ．2D 5.已知函数()|sin |cos f x x x =，则下列结论中错误的是( ) A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的最小正周期为2π6.三棱锥P ABC -中,,,PA PB PC 互相垂直, 1,PA PB M ==是线段BC 上一动点,若直线AM 与平面PBC 则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是( )A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π7.等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()54,n a a =r ，()78,m a a =u r ，且4m n ⋅=u r r，则2122211log log log a a a ++⋯+= ( )A ．5B ．112C ．132D ．22log 5+8.已知圆22220x y x y a +++﹣＝截直线40x y+﹣＝所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为( ) A．(2+ B ．()2 C ．()15,-+∞ D ．()15,2-9.已知在ABC ∆中，3π4B =，1AB =，角A 的平分线AD =，则AC =( )B.1 310.设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有1(2)()f t f t +=，且(0,4]x ∈时，()'()f x f x x>，则6(2017)f ，3(2018)f ，2(2019)f 的大小关系是（ ） A ．6(2017)3(2018)2(2019)f f f << B ．3(2018)6(2017)2(2019)f f f << C ．2(2019)3(2018)6(2017)f f f << D ．2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是( )A ．2B C D 12.已知函数()()21ln 10210x x f x x x x ⎧-+≤=⎨-++>⎩，函数()()g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．513,11,44⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.131,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．131,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．513,44⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13.已知sin 20cos202cos130m ︒︒︒+=，则m =__________.14.如图，圆柱1OO 中，两半径1,OA O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1OO 所成角的正切值，则该圆柱1OO 的体积为__________.15.已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 12a =且65423a a a =+，则14m n+的最小值是__________. 16.给出下列五个命题：①已知直线,a b 和平面α，若////a b b α,，则//a α；②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；③双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则直线()b y x m m R a =+∈与双曲线有且只有一个公共点；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于12,P P 两点，线段12P P 中点P ，设直线l 斜率为()10k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-.其中，正确命题的序号为__________.三、解答题17.已知数列{}n a 满足11a =，且*112()n n a a n N +-=∈. (1)求证：数列{1}n a +为等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18.某学校为了了解学生对《3.12植树节》活动节日的相关内容，学校进行了一次10道题的问卷调查，从该校学生中随机抽取50人，统计了每人答对的题数，讲统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]五组，得到如下频率分布直方图．（1）若答对一题得10分，答错和未答不得分，估计这50名学生成绩的平均分；（2）若从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率． 19.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 与侧面PAB均为正三角形，2,AB P M C ==为AB 的中点．（1）证明：平面PCM ⊥平面PAB ； （2）N 为线段PA 上一点，且34CMN S ∆=，求三棱锥P CMN -的体积． 20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，110F -（，）为其左焦点，3(1,)2P 在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若,A B 是椭圆C 上不同的两点，以AB 为直径的圆过原点O , 求AB 的最大值. 21.已知直线:(1)l y k x =-与函数()ln f x x =. (1)若()(1)f x k x ≤-恒成立，求k 的取值的集合. (2)若210x x >>，求证：212121()()2f x f x x x x x ->-+.22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是22612sin θρ+=，直线l的极坐标方程是πcos 04ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2,0P ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11PM PN+的值． 23.设函数()|21|4f x x x =+--. （1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|2f x x m +->-对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.参考答案1.答案：D解析：2.答案：B解析：3.答案：C5.答案：D解析：6.答案：C解析：7.答案：B解析：8.答案：D解析：10.答案：A解析：函数f x （）满足()12f t f t +=（），可得()142f t f t f t +==+（）（），∴f x （）是周期为4的函数．()()620176132018322201923f f f f f f ===（）,（）,（）（）．令()f x g x x=（），0]4x ∈（,，则()()2'xf x f x g x x -'=（），∵0]4x ∈（,时，()()'f x f x x＞，∴0,g x g x '（）>（）在04]（,递增，∴()()23123f f f <（）<，可得：613223f f f （）<（）<（），即620173201822019f f f （）<（）<（）．11.答案：D解析： 13.答案：解析： 14.答案：4π 解析： 15.答案：94解析： 16.答案：④⑤解析：①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误.②当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误.③因为双曲线的渐近线方程为y bax =±，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当17.答案：(1)由已知得12111n n n n n n a a a +===+++ 又112a +=∴数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由1知，n 12n a += ∴n 21n a =-则123...n n S a a a a =++++12n (21)(21)...(21)=-+-++- n12(22...2)n =+++-2(12)12n n ⨯-=--122n n +=--解析：18.答案：（1）答对题数的平均数为 (10.0230.0450.1270.2290.10)2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 6.35=， 所以这50人的成绩平均分约为10 6.3563.5⨯=分（2）答对题数在[)0,2内的学生有0.022502⨯⨯=人，记为,A B 答对题数在[)2,4内的学生有0.042504⨯⨯=人，记为,,,a b c d从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人的情况有(,),(,),(,),(,)A B A a A b A c (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(),(,),(,),(,)A d B a B b B c B d a b a c a d b c b d c d ，共15种其中恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有8种 所以恰有1人答对题数在[2,4)内的概率815P =． 解析：19.答案：（1）ABC ∆是边长为2的正三角形，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥，CM同理，PM =PC ， 因为222CM PM PC +=，所以CM PM ⊥ 又AB PM M =I ，所以CM ⊥平面PAB ， 又CM ⊂平面PCM ， 所以平面PCM ⊥平面PAB ． （2）由1得CM ⊥平面PAB ， 所以CM MN ⊥，CMN ∆为直角三角形， 所以1324CMN S CM NM ∆=⋅⋅=，且CM =MN =． 在AMN ∆中，由222cos 2AN AM MN A AN AM+-=⋅，2221cos602AN AN+-⎝⎭︒=．解得12AN =，即32PN =即3333,4488PNM PAM PAB PN S S S PA ∆∆∆====113383P CMN C PMNPMN V V S CM --∆===解析：20.答案：（1）设椭圆的右焦点为()21,0F ,根据椭圆的定义：1224PF PF a +== 2a ∴=又1c =Q,b ∴∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知，45AOx BOx ∠=∠=︒不妨设()00,A x y，则220001,43x y x +=AB . 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为()()1122,,,,,y kx m A x y B x y =+联立22143x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩，22243)84120k x kmx m +++-=（ 由2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->得22430k m +->，（*）由韦达定理有21212228412,4343km m x x x x k k --+==++， 因为AB 以为直径的圆过原点O ,所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r 即222212121212271212(1)()034m k x x y y k x x km x x m k --+=++++==+ 即2212127k m +=满足（*）式.设AB 的中点是()00,P x y ，则12024,234x x km x k +-==+ 022433434km my k m k k -=+=++2AB OP ===22(169)(1212)k k +++≤=当且仅当221691212k k +=+时等号成立，即k =<AB解析：21.答案：(1)令()()(1)(0)g x f x k x x =--> 则依题意()ln (1)0g x x k x =--≤恒成立所以当x e =时也成立，则1()ln (1)001g e e k e k e =--≤⇒≥>- 又'11()00g x k x x k =->⇒<<，'1()0g x x k<⇒>； 所以()g x 在10k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以max 111()()ln ln 10g x g k k k k k k k==-⋅+=--+≤令()ln 1(0)h x x x x =--+>则''11()101,()001x h x x h x x x x-=-+=>⇒><⇒<< 所以()h x 在()0,1上递减，在()1+∞，上递增， 所以()(1)0h x h ≥=，故()ln 10h k k k =--+≤的解为1k = 所以满足题意的K 的取值的集合为{}1. (2)要证212121()()2f x f x x x x x ->-+， 即证212121ln ln 2x x x x x x ->-+令21x t x = 则210x x >>Q ,1t ∴> 即可转证：212211ln211x x x x x x >-+，即证ln 211t t t >-+ 因为1t >所以即证1)ln 2(1)t t t +>-（ 即证ln ln 220(1)t t t t t +-+>> 令()ln ln 22(1)F t t t t t t =+-+>…(*)则'11111()ln 2ln 1ln 1F t t t t t t t t t =+⋅+-=+-=-+-由1中结论易知1()0h t >,即11ln 10t t-+->，即得'()0F t >所以()ln ln 22F t t t t t =+-+在()1,+∞上递增， 所以()ln ln 221ln1ln12120F t t t t t =+-+>⨯+-⨯+= 即(*)式得证，所以原不等式得证. 解析：22.答案：（1）曲线C 化为：2222sin 6ρρθ+=，将222sin y x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入上式，即2236x y +=，整理得曲线C 的直角坐标方程22162x y +=.由πcos -04ρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭cos sin 0θθ，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得20x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程20x y +-=.（2）由1知，点()2,0P 在直线l 上，可设直线的参数方程为3π2cos 4(3πsin4x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），即2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入曲线C的直角坐标方程，得221143622t t -++⨯=，整理，得210t -=，所以24160∆=+⨯=>，1210t t =-<，由题意知，1212121111t P N t P t t t M t -+=+====解析： 23.答案：（1）当4x ≥时，()2145f x x x x =+-+=+，原不等式即为50x +>， 解得54x x >-≥∴4x ≥； 当142x -≤<时，()21433f x x x x =++-=-，原不等式即为330x ->， 解得142x x >-≤<∴14x <<； 当12x <-时，()2145f x x x x =--+-=--，原不等式即为50x -->， 解得5x <-；综上，原不等式的解集为{|1x x >或5}x <-.（2）()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=. 当142x -≤≤时，等号成立. ∴()34f x x +-的最小值为9，要使()342f x x m +->-成立，故29m -<， 解得m 的取值范围是：711m -<<.解析：。