2019届高考数学选修2-2高考试题文档版四
高中数学 数学高考真题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．虽然难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新、稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了区分度低的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对选修2－2推理与证明、数系的扩充与复数的引入的考查，相对来说比较常规、难度不大、变化小、综合性低，属于基础类必得分试题；对导数及其应用的考查，难度大、综合性强、运算能力要求高、得分比较困难，主要考查导数的计算、几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等．其他省市试题和全国卷类似，难度相当．要想学好这部分知识不仅要有扎实的基础知识、基本能力，还要注意一些数学思想的培养，比如分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等！下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区对选修2－2所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ，理2)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1， ∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.2．(2019·全国卷Ⅱ，理2)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z －对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 3．(2019·全国卷Ⅲ，理2)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i答案 D解析 由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i(1－i)＝1＋i.故选D. 4．(2019·高考，理1)已知复数z ＝2＋i ，则z ·z －＝( ) A.3B. 5 C ．3 D ．5答案 D解析 解法一：∵z ＝2＋i ，∴z －＝2－i ，∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 解法二：∵z ＝2＋i ，∴z ·z －＝|z |2＝5.故选D.5．(2019·全国卷Ⅲ，理6)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1. 又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.6．(2019·某某高考，理8)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值X 围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]答案 C解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立， 当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤x ln x 恒成立．设g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2.令g ′(x )＝0， 得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， 所以g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值X 围是0≤a ≤e，即[0，e]．故选C. 7．(2019·某某高考，9)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0答案 C解析 由题意，b ＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.设y ＝b ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a <－1时，1－a >0，可知g (x )在(－∞，0)上单调递增； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增．此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时， 因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增．如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点．当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去．综上，－1<a <1，b <0.故选C. 二、填空题8．(2019·全国卷Ⅰ，理13)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .9．(2019·某某高考，理9)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．答案13解析 ∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.10．(2019·某某高考，11)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案22解析 z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 1－i 2＝12－12i ，易得|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 11．(2019·某某高考，2)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为其实部为0，故a ＝2.12．(2019·某某高考，11)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e,1)解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e,1)． 三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ，理20)已知函数f (x )＝sin x －ln (1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数． 证明：(1)f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点；(2)f (x )有且仅有2个零点． 证明 (1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫α，π2时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2单调递减，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点．(2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，所以存在β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫β，π2单调递减．又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2没有零点．③当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减．而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln (x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点． 综上，f (x )有且仅有2个零点．14．(2019·全国卷Ⅱ，理20)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．解 (1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e<x 1<e 2)， 即f (x 1)＝0.又0<1x 1<1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点． (2)证明：因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x在曲线y ＝e x上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1， 故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x在点B ⎝⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线． 15．(2019·全国卷Ⅲ，理20)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3单调递减． 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递增，所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递减，所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0,1]的最小值为－1，最大值为1. 16．(2019·高考，理19)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．解 (1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83，即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]． 由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：所以g (x )的最小值为－6，最大值为0. 故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a <－3时，M (a )＝F (0)＝|g (0)－a |＝－a >3； 当a >－3时，M (a )＝F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a >3； 当a ＝－3时，M (a )＝3. 综上，当M (a )最小时，a ＝－3.17．(2019·某某高考，理20)设函数f (x )＝e xcos x ，g (x )为f (x )的导函数． (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，证明f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0； (3)设x n 为函数u (x )＝f (x )－1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π4，2n π＋π2内的零点，其中n ∈N ，证明2n π＋π2－x n <e－2n πsin x 0－cos x 0.解 (1)由已知，有f ′(x )＝e x(cos x －sin x )． 因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，有sin x >cos x ，得f ′(x )<0，则f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )时，有sin x <cos x ， 得f ′(x )>0，则f (x )单调递增．所以，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)证明：记h (x )＝f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .依题意及(1)，有g (x )＝e x(cos x －sin x )， 从而g ′(x )＝－2e xsin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，故h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋g (x )(－1)＝g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x <0. 因此，h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，进而h (x )≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0. (3)证明：依题意，u (x n )＝f (x n )－1＝0，即e xn cos x n ＝1.记y n ＝x n －2n π，则y n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且f (y n )＝e yn cos y n ＝e xn －2n πcos(x n －2n π)＝e －2n π(n ∈N )．由f (y n )＝e－2n π≤1＝f (y 0)及(1)，得y n ≥y 0.由(2)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0， 所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数， 因此g (y n )≤g (y 0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0. 又由(2)知，f (y n )＋g (y n )⎝⎛⎭⎪⎫π2－y n ≥0，故π2－y n ≤－f (y n )g (y n )＝－e －2n πg (y n )≤－e－2n πg (y 0) ＝e －2n πe y 0(sin y 0－cos y 0)<e －2n πsin x 0－cos x 0. 所以2n π＋π2－x n <e－2n πsin x 0－cos x 0.18．(2019·某某高考，22)已知实数a ≠0，设函数f (x )＝a ln x ＋1＋x ，x >0. (1)当a ＝－34时，求函数f (x )的单调区间；(2)对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞均有f (x )≤x 2a ，求a 的取值X 围． 注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解 (1)当a ＝－34时，f (x )＝－34ln x ＋1＋x ，x >0.f ′(x )＝－34x ＋121＋x＝(1＋x －2)(21＋x ＋1)4x 1＋x，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，＋∞)． (2)由f (1)≤12a ，得0<a ≤24.当0<a ≤24时，f (x )≤x 2a 等价于x a 2－2 1＋x a－2ln x ≥0. 令t ＝1a，则t ≥2 2.设g (t )＝t2x －2t 1＋x －2ln x ，t ≥22，则g (t )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫t －1＋1x 2－1＋xx－2ln x . ①当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，＋∞时，1＋1x≤22，则g (t )≥g (22)＝8x －421＋x －2ln x . 记p (x )＝4x －221＋x －ln x ，x ≥17，则p ′(x )＝2x－2x ＋1－1x＝2x x ＋1－2x －x ＋1x x ＋1＝(x －1)[1＋x (2x ＋2－1)]x x ＋1(x ＋1)(x ＋1＋2x ).故所以p (x )≥p (1)＝0.因此g (t )≥g (22)＝2p (x )≥0.②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，17时，g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－2x ln x －(x ＋1)x. 令q (x )＝2x ln x ＋(x ＋1)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17，则q ′(x )＝ln x ＋2x＋1>0，故q (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17上单调递增，所以q (x )≤q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17. 由①，得q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝－277p ⎝ ⎛⎭⎪⎫17<－277p (1)＝0. 所以q (x )<0. 因此，g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－q (x )x>0. 由①②知对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，t ∈[22，＋∞)，g (t )≥0，即对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e2，＋∞，均有f (x )≤x 2a. 综上所述，所求a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24. 19．(2019·某某高考，19)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3,1,3}中，求f (x )的极小值； (3)若a ＝0,0＜b ≤1，c ＝1，且f (x )的极大值为M ，求证：M ≤427.解 (1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2，从而f ′(x )＝3(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＋b 3. 令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3.因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3,1,3}中，且a ≠b ，所以2a ＋b 3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1.列表如下：所以f (x )的极小值为f (1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32. (3)证明：因为a ＝0，c ＝1，所以f (x )＝x (x －b )(x －1)＝x 3－(b ＋1)x 2＋bx ，f ′(x )＝3x 2－2(b ＋1)x ＋b .因为0＜b ≤1，所以Δ＝4(b ＋1)2－12b ＝(2b －1)2＋3>0， 则f ′(x )有2个不同的零点，设为x 1，x 2(x 1<x 2)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝b ＋1－b 2－b ＋13，x 2＝b ＋1＋b 2－b ＋13.列表如下：1证法一：M ＝f (x 1)＝x 31－(b ＋1)x 21＋bx 1＝[3x 21－2(b ＋1)x 1＋b ]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－b ＋19－2(b 2－b ＋1)9x 1＋b (b ＋1)9＝－2(b 2－b ＋1)(b ＋1)27＋b (b ＋1)9＋227(b 2－b ＋1)3＝b (b ＋1)27－2(b －1)2(b ＋1)27＋227(b (b －1)＋1)3≤b (b ＋1)27＋227≤427.因此M ≤427. 证法二：因为0<b ≤1，所以x 1∈(0,1)．当x ∈(0,1)时，f (x )＝x (x －b )(x －1)≤x (x －1)2. 令g (x )＝x (x －1)2，x ∈(0,1)，则g ′(x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13(x －1)． 令g ′(x )＝0，得x ＝13.列表如下：所以当x ＝13时，g (x )取得极大值，且是最大值，故g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.所以当x ∈(0,1)时，f (x )≤g (x )≤427.因此M ≤427.。
2019年新课标Ⅳ数学选修2-2高考试题文档版五
2019年新课标Ⅳ数学选修2-2高考试题文档版五单选题（共5道）1、用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N+，且n＞1）时，第一步即证下列哪个不等式成立（）A1＜2B1+＜2C1++＜2D1+＜22、用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）AB-C+D3、把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是（）A10B20C40D604、6名同学从左到右站成一排，其中甲不能站在两头，不同的站法有（）种．A480B240C120D965、函数y=x2cosx的导数为Ay′=2xcosx－x2sinxBy′=2xcosx+x2sinxCy′=x2cosx－2xsinxDy′=xcosx－x2sinx填空题（共5道）6、由抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的图形的面积______．7、曲线与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为______．8、由直线x=，x=e，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是______．9、由抛物线y2=，y2=x-1所围成封闭图形的面积为______．10、|x+2|dx=______．-------------------------------------1-答案：tc解：用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N+，且n＞1）时，时，第一步应验证不等式为：1++＜2故选C．2-答案：tc解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+-=-．故选B．3-答案：B4-答案：A5-答案：A-------------------------------------1-答案：解：由抛物线y=x2-1与直线y=x+1可得交点（-1，0），（2，3），则由抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的图形的面积S==（）=．故答案为：．2-答案：4-2ln2解：由曲线与直线y=x-1联立，解得，x=-1，x=2，故所求图形的面积为S===4-2ln2．故答案为：4-2ln2．3-答案：2解：由题意，由直线x=，x=e，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是==2．故答案为：2．4-答案：解：如图两个曲线的交点为（1.25，±0.5），所以由抛物线y2=，y2=x-1所围成封闭图形的面积为：2=2 =2（y-）|=；故答案为：．5-答案：解：|x+2|dx=-∫-4-2（x+2）dx+∫-23（x+2）dx==（-x2-2x）|-4-2+（x2+2x）|-23=．故答案为：．。
2019届高考数学选修2-2高考试题文档版四
2019届高考数学选修2-2高考试题文档版四单选题（共5道）1、如果命题P（n）对于1成立，同时，如果成立，那么对于2也成立．这样，下述结论中正确的是（）（n）对于所有的自然数n成立（n）对于所有的正奇数n成立（n）对于所有的正偶数n成立（n）对于所有大于3的自然数n成立2、利用数学归纳法证明“”的过程中，由“”变成“1”时，不等式左边的变化是（）A增加B增加和C增加，并减少D增加和，并减少3、用数学归纳法证明，其中n＞1且n∈N*，在验证2时，左式是（）A1B1+C1D14、用数学归纳法证明，在验证当1等式成立时，其左边为（）A1B1C12D1235、函数2的导数为′=2－x2′=22′2－2′－x2填空题（共5道）6、等于．7、曲线2-613与直线3所围成的区域面积为．8、由曲线2和直线与2x所围成的平面图形面积．9、曲线与围成的面积为．10、2．1-答案：解：∵命题P（n）对于1成立，同时，如果成立，那么对于2也成立．这样，1时P（1）成立，可得3时P（3）成立，…，依此类推可得：P（n）对于所有的正奇数n成立．故选：B．2-答案：解：时，左边1时，左边=由“”变成“1”时，故选D．3-答案：解：用数学归纳法证明1…+＜n，其中n＞1且n∈N*，在验证2时，左式=11，故选：C．4-答案：解：由题意可知，等式的左边是：12+…1，所以在验证当1等式成立时，左边=12．故选C．5-答案：A1-答案：∫-ππ∫-π0（）∫0π（）π0+（）|0π=2+2=4故答案为42-答案：解方程组得交点横坐标为x1=2，x2=5，所求图形的面积为故答案为：．3-答案：解：在同一直角坐标系下作出曲线2，直线，2x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组，得交点（0，0），（1，1），解方程组得交点（0，0），（2，4），∴所围成的图形面积为：2；故答案为：．4-答案：3解：先作出的图象，如图所示，从图象中可以看出围成的面积为1-0-（-1-1）=3．故答案为：3．5-答案：解：2∫-4-2（2）∫-23（2）（2-2x）4-2+（x2+2x）23=．故答案为：．。
2019届高考数学选修4-4高考试题文档版二
2019届高考数学选修4-4高考试题文档版二单选题（共5道）1、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）22、直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A20°B70°C160°D120°3、已知点A的极坐标是（3，），则点A的直角坐标是（）A（3，）B（3，-）C（，）D（，-）4、已知圆的焦点，C为圆的圆心，则|CF|等于（）A6B4C2D05、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）2填空题（共5道）6、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆r=2cosq的圆心到直线rsinq+2rcosq=1的距离是.7、参数方程中当为参数时，化为普通方程为_______________.8、（选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为是参数，）和是参数），它们的交点坐标为（）。
9、如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；10、直线被圆截得的弦长为______________。
-------------------------------------1-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．2-答案：tc解：直线l：即，表示过点（-2，5），倾斜角等于70°的直线，故选B．3-答案：tc解：x=ρcosθ=3×cos =，y=ρsinθ=2×sin =∴将极坐标是（3，），化为直角坐标是（，）．故选C．4-答案：tc解：∵x=-3+2sinθ，y=2cosθ，∴x+3=2sinθ，y=2cosθ，将方程两边平方再相加，∴（x+3）2+y2=4，∴G（-3，0），∵F为抛物线y2=-4x的焦点，∴F （-1，0），∴|GF|==2，故选C．5-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．-------------------------------------1-答案：由ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0，其圆心是A（1，0），由ρsinθ+2ρcosθ=1得：化为直角坐标方程为2x+y-1=0，由点到直线的距离公式，得d=2-答案：试题分析：由参数方程，两式平方作差得，．3-答案：（2，1）4-答案：略5-答案：直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z1z2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D z1z2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n(n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确． 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2 C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C. 10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( ) A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f(x)ex ，则g ′(x )＝f′(x)ex －f(x)(ex)′(ex)2＝f′(x)－f(x)ex ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f(x1)ex1＜f(x2)ex2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______． 解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.答案：5 14．(天津高考)已知函数f (x )＝ax lnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案： 315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2 020＝2 017×1 010. 答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b＋a －cb －c＝a －b ＋b －ca －b＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数． 函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝an 2＋1an －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)a 1＝S 1＝a12＋1a1－1，所以a 1＝－1±3. 又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a22＋1a2－1，所以a 2＝5－3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a32＋1a3－1，所以a 3＝7－5. (2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋12＋1ak ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ak 2＋1ak －1 ＝ak ＋12＋1ak ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2. (1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 解：(1)由奇函数的定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)， 恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤ex －12x2－1x .令g (x )＝ex －12x2－1x ，则g ′(x )＝ex(x －1)－12x2＋1x2.令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e >0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.。
2019年高考数学(选修2-2) 全书综合测评
全书综合测评 一．选择题1．设i 为虚数单位，则复数z=i i+-12在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若函数f(x)满足f(x)=e x ln x+3xf ’(1)-1,则，f ’(1)= ( )A.2e -B ．3e-C.-e D ．e3．函数f(x)=x ³+x ²-5x 的单调递增区间为 ( )A ．（-∞，35-）和(-1，+∞） B ．（-∞，35-）和(1，+∞)，C ．（-∞，-1)，和(35，+∞) D.( -∞，-1)和(35，+∞)4．已知x ₁>0，x ₁≠1且(n ∈N*)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ₊₁，或者对任意正整数n 都满足x n <x n ₊₁”，当此题用反证法否定结论时，应为( ) A ．对任意的正整数n ，都有x n=x n ₊₁． B ．存在正整数n ，使x n>x n ₊₁C ．存在正整数n(n ≥2)，使x n ≥x n ₊₁且x n ≤x n ₋₁D ．存在正整数n(n ≥2)，使（x n -x n ₋₁）（x n -x n ₊₁）≥05．若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a+ln a>b+ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．图①~图④是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是 ( )圈① 图② 图③ 图④ A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④7．设函数f (0)(x)=sinx ，定义f (1)(x)=f ’(0)(x),f (2)(x)=,f ’(1)(x)……)()(x n f =f ’(n-1)(x )，则f (1)(15º)+f (2)(15º)+f (3)(15º)+…+f (2017)(15º)的值是 ( )A ．426+B ．426- C.0 D.18．已知z ₁、z ₂均为复数，下列四个命题中，为真命题的是( )A.|z ₁|_|1z -|=12zB ．若|z ₂|=2，则z ₂的取值集合为{-2，2，- 2i ，2i}（i 是虚数单位）C ．若，则z ₁=0或z ₂=0 D.一定是实数9．已知，若，则 ( )A ．31B ．31- C.32 D ．32-10.若函数n x x f 12)(=)0(>x x 的极值点是α，函数g(x )=x ln x ²(x ﹥0)的极值点是β，则有( )A ．α﹤βB ．α﹥βC ．α=βD ．α与β的大小不确定11．已知z -是复数z 的共轭复数，且z+z -+z ·z -=0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线12．定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x ₁ x ₂（a<x ₁ <x ₂<b ）满足a b a f b f x f --=)()()1(',a b a f b f x f --=)()()2('，则称函数)(x f 是[a ，b]上的“双中值函数”．已知函数a x x x f +-=23)(是[0，α]上的“双中值函数”，则实数α的取值范围是( )A.)21,31(B.)2,23( C.D.)2,31(二．填空题13．设函数)0(2)(≠+=a b ax x f ，若(330)(x f dx x f =⎰f(x)dx=3f(x 0)，x 0 >0，则x 0 =____．14．观察下列式子：, (47)4131211,3531211,23211222222<+++<++<+，根据上述规律，第n 个不等式应该为_______________．15.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数f(-1)=0，当x >0时，x f ’(x ) -f(x )>0，则使得，f （x ）>0成立的x 的取值范围是________．16．下列四个命题中，正确的为________（填上所有正确命题的序号）． ①若实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1;②若z 为复数，且|z| =1，则|z-i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，+∞)，都有x >sin x ；④定积分⎰=-πππ0422dx x三．解答题17．已知复数z=i i i -++-2)1(32)1(，i 为虚数单位．(1)若复数z ₁与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z ₁；(2)若实数a ，b 满足z ²+az+b= 1-i ，求z ₂ =a+bi 的共轭复数．18．设函数21)(+=x x f ，a,b ∈(0,+∞)．(1)用分析法证明：32)()(≤+a b f ba f ； (2)设a+b>4，求证：af(b)，bf （a ）中至少有一个大于21．19．已知函数)(x f =xln x -22xa (a ∈R )．(1)若a=2，求曲线y=f(x )在点（1,f(1)）处的切线方程；(2)若g(x )= f(x )+（a-1）x 在x =1处取得极小值，求实数α的取值范围．20．已知函数x x f -=22)(，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a ₁ =f(1)．当n ≥2时，)252(21)(2-+=-n n n a f n s .(1)直接写出口a ₁ ，a ₂，a ₃，a ₄的值;(2)猜想数列{a n }的通项公式，并给予证明．21.现有一张长为108 cm ，宽为a cm(a<108)的长方形铁皮ABCD ，准备用它做一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，在长方形铁皮ABCD 的一个角上剪下一块边长为x cm 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，把余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体铁皮容器的高为ycm ，体积为Vcm³. (1)求y 关于x 的函数关系式；(2)求该铁皮容器体积V 的最大值．22．已知函数f(x)=ln （a x +1）+x x+-11，x ≥0，其中a>0．(1)若f(x )在x =1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x )的单调区间；(3)若f(x )的最小值为1，求a 的取值范围.综合测评 一、选择题1．D z=231)1)(1()1)(2(12i i i i i ii-=-+--=+-,在复平面上对应的点为)23,21(-，位于第四象限， 故选D ．2．A 由已知可得f ’(x)=xe lnx+x x e +3f ’(1)，令x=1，则，f ’(1)=0+e+3f ’(1)，解得f ’(1)=2e-，故选A ．3．B 由题意得，f ’(x)= 3x ²+2x-5，令f ’(x)>0，得x<35-或x>1，故选B ．4．D 命题的结论等价于“数列｛x n }是递增数列或是递减数列”，其否定是“数列既不是递 增数列，也不是递减数列”，由此可知选D ．5．C 构造函数y=x+lnx ，x>0，则y ’=1+x 1>0，故函数y= x+ln x 在(0，+∞)上单调递增，由“a>b>0”可得到“a+ln a>b+ln b ”，反之，由“a+ln a>b+ln b ”亦可得到“a>b>0”，选C ．6．B ①②正确；③不正确，导函数图象过原点，且在原点附近的导数值异号，但三次函 数在x=0处不存在极值；④不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故选B ．7．A 由题设可算得：f (1)(x) cos x ，f (2)(x)=-sin x ，f (3)(x)=- cos x ，f (4)(x)= sin x ，f (5)(x)= cos x ，……，显然f (1)(x)=f (5)(x)=f (9)(x)=f (13)(x)=f (17)(x)=...=f (2017)(x),即f (n)(x)=f (n+4)(x)，又f (1)(x)+f (2)(x)+f (3)(x)+f (4)(x)=0, 且2017 = 504x4+1，故f (1)(15°)+f (2)(15°)+f (3)(15°)+...+f (2017)(15°)=f (1)(15°)=cos(15°)=426+，选A ．9. C 依题意知因为，所以，则，故，故选C ．10．B 由题意得f'(x)= 2xln x+x ，g ’(x)=In x ²+2，又函数f(x)= x ²ln x( x>0)的极值点是α，函数g(x)=xln x ²(x>0)的极值点是β，所以2αln α+α=0，In β²+2=0，所以α=21e -，β=1e -，所以α>β，故选B ．11．A 设z=x+yi(x ，y ∈R )，则-z =x-yi ，代入z+-z +z ·-z =0，得x+yi+x-yi+x ²+y ²=0，即x ²+y ²+2x=0，整理得(x+1)²+y ²=1，∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．12.C 由题意可知，在区间(0，α)上存在x ₁，X ₂( 0<x ₁<x ₂<0)，满足f ’(x ₁)=f ’(x ₂)=a 2a )0()(--a f a f .∵f(x)=x³-x ²+a ．∴f ’(x)= 3x ²-2x,∴方程3x ²-2x= a ²-a 在区间(0，a)上有两个不相等的实数根． 令g(x)=3x ²-2x-a ²+a(0<x<a)，则g （x ）有两个不同的零点，∴解得21<a<1．∴实数a 的取值范围是，故选C ．二、填空题 13．答案3解析 ∵ ba bx ax dxb ax 393030)331()2(+=+=+⎰，∴9a+3b=203ax +3b ，∴ 20x =3，∵x 0 >0, ∴x 0=3，故答案为3．14，答案1122)1(1...2312211++<+++++n n n解析 根据规律，不等式的左边是(n+1)个正整数倒数的平方的和，右边分数的分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应该为1122)1(1...2312211++<+++++n n n .15．答案（-1，0）U(1，+∞)解析 设g(x)=x x f )(，则g(x)的导数为2)()(')('x x f x xf x g -=,∵当x>0时，xf'(x)-f(x)>0，即当x>0时，g ’(x)恒大于0,∴当x>0时，函数g(x)为增函数，∵f '(x)为奇函数，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，又∵g （-1）=1)1(--f =0，f(x ）>0，∴当x>0时，g(x)>0=g(1)，当x<0时，g(x)<0=g （-1），∴x>1或-1<x<0，故使f(x)>0成立的x 的取值范围是（-1，0）U(1，+∞)， 故答案为（-1，0）U(1，+∞)． 16．答案①②③④解析 ①若实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a+ b+c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|=1．则由|z-i|≤|z|+|-i|=2．可得|z-i|的最大值等于2，故②正确； ③令y=x-sin x ，其导数为y ’=1-cos x ，y ’≥0．∴y=x-sin x 在R 上为增函数，当x=0时，x-sin x=0,∴对任意x ∈(0，+∞)，都有x-sin x>0．故③正确. ④定积分⎰-ππ02dxx 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确． 三、解答题17．解析由已知得复数：ii i i i i i i i i i i i z +=+=+-++=-+=-++-=-++-=15i 55)2)(2()2)(3(2323322)1(32)1((1)复数z ₁与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们的实部互为相反数，虚部相等，所以z ₁= -1+i ．(2)因为z ²+az+b= 1-i ，所以（1+i ）²+a(1+i)+6=1-i ，整理得a+b+(2+a)i=1-i ，因为a ，b ∈R ，所以a+b=1，且2+a=-1，解得a=-3，b=4，所以复数z ₂=-3+4i ，所以z ₂的共轭复数为-3-4i ．18．证明 (1)要证)(b a f +)(a b f ≤32，只需证322121≤+++ab ba即证3222≤+++a b a b a b ,即证3222522242≤++++b ab a a ab b ，即证（a-b ）²≥0，这显然成立，∴)(b a f +)(a b f ≤32．(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于21，即212≤+b a ，212≤+a b ，则有2a ≤b+2，2b ≤a+2．两式相加得a+b ≤4．这与a+b>4矛盾，∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于21．19．解析 (1)当a=2时，f(x)= xln x-x ²，f ’(x)= In x+1-2x ，因为f(1)=-1，f ’(1)= -1，所以曲线y=f(x)在点（1 ，f(1)）处的切线方程为y= -x.(2)由已知得g(x)=xln x-22x a +(a-1)x ，则g'(x)= In x-ax+a ，记h(x)=g ’(x)=1nx-ax+a,则h(1)=0，h ’(x)=x 1-a=x ax -1．①当a ≤0，x ∈(0，+∞)时，h ’(x)>0，函数g ’(x)单调递增，因为g ’(1)=0，所以当X ∈(0，1)时，g ’(x)<0，当X ∈(1，+∞)时，g ’(x)>0，所以g(x)在x=1处取得极小值，满足题意，②当0<a<1时，则a 1>1．当x ∈(0，a 1)时，h ’(x)>0，故函数g ’(x)单调递增，可得当x ∈ (0，1)时，g ’(x)<0，X ∈(1，a 1)时，g ’(x)>0，所以g(x)在x=1处取得极小值．满足题意．③当a=1时，当x ∈(0，1)时，h ’(x)>0．g ’(x)在(0，1)内单调递增，x ∈(1，+∞)时，h ’(x)<0，g ’(x)在(1，+∞)内单调递减，所以当x ∈(0，+∞)时，g(x)在x=1处取极大值，不合题意，④当a>1．即0<a 1<1时，当x ∈(a 1，1)时，h ’(x)<0，g ’(x)单调递减，g ’(x)>0，当x ∈(1，+∞)时，h ’(x)<0，g ’(x)单调递减，g ’(x)<0，所以g(x)在x=1处取得极大值，不合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为（-∞，1）． 20．解析 (1)a ₁=2，a ₂ =3，a ₃ =4，a ₄=5．(2)由(1)猜想a n =n+1．下面用数学归纳法证明： ①当n=1，2，3，4时，由(1)可知猜想成立； ②假设n=k （k ≥4且k ∈N*）时猜想成立，即1+=k a k ，则当n=k+1时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-++2)1(52)1(21)(211k k a f s k k即即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--+-+-+++2)1(52)1(21)2(2)252(2111k k a a a k k k k k ， 化简整理得1)1(21++=+=+k k a k ，∴当n=k+1时猜想成立，综上所述，对任意n ∈N*，a n = n+1成立．21．解析(1)由题意得x ²+4xy= 108a ，即y=(0<x ≤a)．(2)铁皮容器的体积V(x)= x 2y= x 2·V ’(x)=，当0<a ≤36，即a 6≥a 时，在(0，a]上， V ’(x)≥0恒成立，函数V(x)单调递增，此时)108(241)()(maxa a a V x V -==当36<a<108，即a 6<a 时，在(0，a 6）上，V ’(x)>0，函数V(z)单调递增，在(a 6，a]上，V ’(x)<0，函数V(x)单调递减，此时max)(x V =V(a 6)= 108a a ,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<<=,360),108(41,10836,108)(2m axa a a a a a x V22．解析(1)由题意得2)1)(1(222)1(21)('x ax a ax x ax a x f ++-+=+-+=∵f(z ）在x=1处取得极值，∴f ’(1)=0，即0)1(42=+-+a a a ，解得a=1．(2)由(1)知f ’(x)=2)1)(1(22x ax a ax ++-+，∵x≥0，a>0，∴ax+1>0.①当a≥2时，在区间(0，+∞)上，f’(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，+∞)．②当0<a<2时，令f’(x)>0，解得x>a a-2，令f’(x)<0，解得x< a a-2，∴f(x)的单调减区间为(0，a a-2），单调增区间为（a a-2，+∞）．综上可知，当a≥2时，f(x)的单调增区间为(0，+∞)；当0<a<2时，f(x)的单调减区间为(0，a a-2），单调增区间为（a a-2,+∞）．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)=1；当0<a<2时，由(2)②知，f(x)在x=a a-2处取得最小值，最小值为f(a a-2）<f(0)=1. 综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．。
2019年人教版 高中数学 选修2-2综合测试题【1】及答案
2019年编·人教版高中数学高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（ ） Ａ．1 Ｂ．1a -Ｃ．1a +Ｄ．21a -答案：Ｃ2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（ ）Ａ．2m <或4m > Ｂ．42m -<<- Ｃ．24m << Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ3．设()()sin ()cos f x ax b x cx d x =+++，若()cos f x x x '=，则a b c d ，，，的值分别为（ ） Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0Ｃ．0，1，0，1Ｄ．1，0，0，1答案：Ｄ4．已知抛物线2y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处的切线平行于直线3y x =-，则抛物线方程为（ ） Ａ．23119y x x =-+ Ｂ．23119y x x =++ Ｃ．23119y x x =-+ Ｄ．23119y x x =--+答案：Ａ5．数列{}n a 满足1120212112n n n nn a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，，，，≤≤≤若167a =，则2004a 的值为（ ）Ａ．67Ｂ．57Ｃ．37Ｄ．17答案：Ｃ6．已知a b ，是不相等的正数，x =，y =，则x ，y 的关系是（ ）Ａ．x y >Ｂ．y x >Ｃ．x >Ｄ．不确定答案：Ｂ7．复数2()12m iz m i-=∈-R 不可能在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限答案：Ａ8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（ ）的运算的结果（ ）Ａ．B D *，A D * Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D * Ｄ．C D *，A D *答案：Ｂ9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） Ａ．a ，b 都能被5整除 Ｂ．a ，b 都不能被5整除 Ｃ．a 不能被5整除Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除答案：Ｂ10．下列说法正确的是（ ） Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值 Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x =无极值答案：Ｂ11．对于两个复数12α=，12β=--，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=．其中正确的个数为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｂ12．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（ ） Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()baf x dx ⎰Ｃ．1()2baf x dx ⎰ Ｄ．1()baf x dx b a -⎰答案：Ｄ二、填空题13．若复数222log (33)log (3)z x x i x =--+-为实数，则x 的值为 ．答案：414．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆） ○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为 ．答案：6115．函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>在区间[12]-，上的最大值为3，最小值为29-，则a ，b 的值分别为 ．答案：2，316．由24y x =与直线24y x =-所围成图形的面积为 ．答案：9三、解答题17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求sin cos n n x x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．）解：当1n =时，sin cos 1x x +=-； 当2n =时，有22sin cos 1x x +=；当3n =时，有3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )x x x x x x x x +=++-， 而sin cos 1x x +=-，12sin cos 1x x +=∴，sin cos 0x x =． 33sin cos 1x x +=-∴．当4n =时，有4422222sin cos (sin cos )2sin cos 1x x x x x x +=+-=． 由以上可以猜测，当n *∈N 时，可能有sin cos (1)n n n x x +=-成立．18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=， （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．解：（1）设实数根为a ，则2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=， 即2(tan 2)(1)0a a a i θ---+=．由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，．又π02θ<<， 得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=， 即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=， 由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解．故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线． （1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=． 因为0t ≠，所以2a t =-．()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =．又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=． 将2a t =-代入上式得b t =． 因此3c ab t ==-．故2a t =-，b t =，3c t =-．（2）3223()()y f x g x x t x tx t =-=--+，2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-． 当(3)()0y x t x t '=+-<时，函数()()y f x g x =-单调递减．由0y '<，若0t >，则3tx t -<<；若0t <，则3tt x <<-．由题意，函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，则(13)3t t ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，或(13)3t t ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，，． 所以9t -≤或3t ≥．又当93t -<<时，函数()()y f x g x =-在(13)-，上不是单调递减的． 所以t 的取值范围为(][)93--+，，∞∞．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=<．解：此命题是真命题．0a b c ++=∵，a b c >>，0a >∴，0c <．<<，即证223b ac a -<，也就是证22()3a c ac a +-<， 即证()(2)0a c a c -+>．0a c ->∵，2()0a c a c a b a +=++=-+>， ()(2)0a c a c -+>∴成立，故原不等式成立．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(00.048)x ∈，，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时，1.44y =；由21.44(0.012)k=·，得10000k =，那么2()10000f x x =， 银行应支付的利息3()()10000g x xf x x ==·， 设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于，296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =． 因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增； (0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22．已知函数()0)f x x >，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=．（1）求234a a a ，，；（2）猜想数列{}n a 的通项，并予以证明．解：（1）由1()a f x =，得21()a f a ===，32()a f a ====43()a f a====（2）猜想：)na n*=∈N，证明：（1）当1n=时，结论显然成立；（2）假设当n k=时，结论成立，即ka=；那么，当1n k=+时，由1()k ka f a+===，这就是说，当1n k=+时，结论成立；由（1），（2）可知，na()n n*∈N都成立．高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2()sinf x x=的导数是（）Ａ．2sin xＢ．22sin xＣ．2cos xＤ．sin2x答案：Ｄ2．设复数12z=-，则满足n z z=的大于1的正整数n中，最小的是（）Ａ．7 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2答案：Ｂ3．下列函数在点0x=处没有切线的是（）Ａ．23cosy x x=+Ｂ．siny x x=·Ｃ．12y x x=+ Ｄ．1cos y x=答案：Ｃ4．2231111dx x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰（ ）Ａ．7ln 28+Ｂ．7ln 22-Ｃ．5ln 28-Ｄ．17ln 28-答案：Ａ5．编辑一个运算程序：112(1)2m n k m n k *=*=*+=+，，，则12005*的输出结果为（ ） Ａ．4008 Ｂ．4006 Ｃ．4012 Ｄ．4010答案：Ｄ6．如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走（ ）Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18 答案：Ｃ7．在复平面内，复数2(1)1iz i=++对应的点在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．在ABC △中，A B C ∠∠∠，，分别为a b c ，，边所对的角，若a b c ，，成等差数列，则B ∠的范围是（ ）Ａ．π04⎛⎤ ⎥⎝⎦， Ｂ．π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｃ．π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，答案：Ｂ9．设211111()123S n n n n n n =++++++++，则（ ）Ａ．()S n 共有n 项，当2n =时，11(2)23S =+ Ｂ．()S n 共有1n +项，当2n =时，111(2)234S =++ Ｃ．()S n 共有2n n -项，当2n =时，111(2)234S =++ Ｄ．()S n 共有21n n -+项，当2n =时，111(2)234S =++答案：Ｄ10．若函数2()ln (0)f x x x x =>的极值点是α，函数2()ln (0)g x x x x =>的极值点是β，则有（ ） Ａ．αβ> Ｂ．αβ<Ｃ．αβ=Ｄ．α与β的大小不确定答案：Ａ11．已知函数431()232f x x x m =-+，x ∈R ，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围 是（ ）Ａ．32m ≥ Ｂ．32m > Ｃ．32m ≤Ｄ．32m <答案：Ａ12．如图，阴影部分的面积是（ ）Ａ．Ｂ．-Ｃ．323Ｄ．353答案：Ｃ二、填空题13．若复数22(2)(2)z a a a a i =-+--为纯虚数，则实数a 的值等于 ．答案：014．若函数24()1xf x x =+在区中(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ．答案：10m -<≤－15．类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义： ．答案：对n *∈N ，若1n n a a k +=·（k 是常数），则称数列{}n a 为等积数列； 2()3()n n a n =⎧⎨⎩，为奇数，为偶数51()225()2n n n S n n -=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数．为偶数16．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于 ．答案：2- 三、解答题17．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．解：由于2y x bx c =++，所以2y x b '=+，所以抛物线在点(12)，）处的切线的斜率为2k b =+，因为切线与直线20x y ++=垂直，所以21b +=，即1b =-，又因为点(12)，在抛物线上，所以12b c ++=，得2c =．因为22y x x =-+，于是函数没有最值，当12x =时，有最小值74．18．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，26n a =，令()n n b a n n *=+∈N ，求数列{}n b 的通项公式．解：在1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-中，令1n =，得11a =；令2n =，得323(1)15a a =-=；令3n =，得4324(1)a a =-２，所以428a =．将1234a a a a ，，，代入n n b a n =+中，得12b =，23481832b b b ===，，． 由此猜想：22n b n =．以下用数学归纳法证明猜想正确． （1）当1n =和2n =时，结论成立；（2）假设当(2)n k k =≥时，结论成立，即22k b k =，所以22k k a b k k k =-=-，由已知有21(1)(1)(1)(1)(21)(1)(1)(21)k k k a k a k k k k k k +-=+-=+--=+-+，因为2k ≥，所以21(1)(21)231k a k k kk +=++=++，于是221(231)(1)2(1)k b k k k k +=++++=+，所以当1n k =+时，结论也成立，根据(1)和(2)，对任意n *∈N ，均有22n b n =．19．已知数列1，11，111，1111，，1111n 个，，写出该数列的一个通项公式，并用反证法证明该数列中每一项都不是完全平方数．解：由于1911111999(101)99n n n ==-个个·，所以该数列的一个通项公式是1(101)9n n a =-； 证明：假设1111n 个是一个完全平方数，由于1111n 个是一个奇数，所以它必须是一个奇数的平方，不妨设21111(21)n m =+个（m 为整数），于是1111104(1)n m m -=+个．故15552(1)n m m -=+个5此式中左边是奇数，右边是偶数，自相矛盾，所以1111n 个不是一个完全平方数．20．已知1a i z i -=-，0a >，复数()z z i ω=+的虚部减去它的实部所得的差为32，求实数a ．解：()(1)1(1)1112222a i a i i a a i a a z i i --+++-+-====+-． 211111()222222a a a a a a a z z i i i i ω+-++++⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵； 213222a a a ++-=∴，解得2a =±． 又因为0a >，故2a =．21．已知函数()sin cos (sin cos )f x x x m x x =-+．（1）若1m =，求函数()f x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上的单调增区间； （2）若函数()f x 在区间ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调递减函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1m =时，()sin cos sin cos f x x x x x =--，()sin cos sin cos f x x x x x =--， 则22()cos sin cos sin (cos sin )(cos sin 0)f x x x x x x x x x '=--+=-+-，由于πc o s s i n 2s i n 14x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，而π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos sin 10x x +->，因此由()0f x '>，可得cos sin 0x x ->，即sin cos x x <，于是π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故函数()f x 的单调增区间为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）22()cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )f x x x m x x x x x x m '=---=-+-．因为函数()f x 在区是ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，所以()0f x '<在ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，而由于x ∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以cos sin 0x x -<，因此只要cos sin 0x x m +->在ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，即sin cos m x x <+恒成立．又πcos sin (11)4x x x ⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，，所以应有1m -≤．22．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A ，B 孔的面积忽略不计）．解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则k y ab=， 其中(0)k k >为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，有42260(00)b ab a a b ++=>>，得30(030)2a b a a-=<<+． 于是22(2)30302k k k a y a a ab a a a+===--+． 当0y '=时，6a =或10a =-（舍去）．∵本题只有一个极值点，当6a =时，3b =，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．。
2019年高中数学北师大版选修2-2模块综合测试2 Word版含解析
2019年北师大版精品数学资料选修2－2 模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2013·江西高考]已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M ∩N ＝{4}知4∈M ，所以z i ＝4，z ＝－4i ，选C. 答案：C2．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( ) A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一样D ．两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A.答案：A3．函数y ＝4x 2＋1x 单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案：C4．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛－ππ sin xdx ＝0B ．⎠⎛01x dx ＝23C ．cos xdx ＝2cos xdxD ．⎠⎛－ππsin 2xdx ＝0解析：可由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案：D5．函数y ＝x 3＋3x 在(0，＋∞)上的最小值为( )A ．4B ．5C ．3D ．1解析：y ′＝3x 2－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，而x ∈(0,1)，f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，∴x ＝1是函数的最小值点，且f (1)＝4.答案：A6．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是( )A ．±15B ．15C ．－15D ．15解析：lo g 2(m 2－3m －3)－2lo g 2(m －3)＋1＝0， lo g 2m 2－3m －3(m －3)2＝－1，m 2－3m －3(m －3)2＝12，m ＝±15， 而m >3，m ＝15. 答案：B7．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A ．2k (k ＋2)B ．1k (k ＋1)C ．1(k ＋1)(k ＋2)D ．2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).故选D.答案：D8．[2014·陕西高考]已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A ．5B ． 5C ．3D ． 3解析：∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22＋1＝5.故选A. 答案：A9．若函数f (x )＝13x 3－ax 2＋ax 在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <43B ．0<a <43C ．a >1或a <0D ．0<a <43解析：命题⇔f ′(x )＝0在(0,1)，(1,2)都有根， 且f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a >01－a <04－3a >0⇒1<a <43，故选A.答案：A10．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A ．92B ．322C ．32D ．94解析：z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案：B11．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( )C 3H 8A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析：后一种化合物应有4个C 和10个H ，所以分子式是C 4H 10. 答案：B12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )≤f (x )，对任意的正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤bf (b )B ．af (a )≥bf (b )C ．af (b )≤bf (a )D ．af (b )≥bf (a )解析：∵xf ′(x )≤f (x )， ∴f (x )－xf ′(x )≥0.∴(f (x )x )′≤0即函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上递减(或为常数函数)．∴g (b )≤g (a )即f (b )b ≤f (a )a .∴af (b )≤bf (a )，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是__________．解析：k ＝y ′＝cos x ∈[－1,1]，因此倾斜角的范围为[0，π4]∪[3π4，π)．答案：[0，π4]∪[3π4，π)14．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．解析：观察图1～5得：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31，由规律可得a n ＋1＝2a n＋1(n ≥2)．答案：a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)15．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8，f (1)＝1, 即(1,1)点在y ＝f (x )上，又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，f ′(1)＝2，∴切线过点(1,1)，斜率为2，∴切线方程为y ＝2x －1.答案：y ＝2x －116．若R t △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如右图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是__________．解析：在R t △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④，③÷④整理得M ＝N . 答案：M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)满足z ＋5z 是实数且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解：设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0) z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 18．(12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ (x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 证法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0. ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾；②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．19．(12分)[2013·福建高考]已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为 f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．20．(12分)某厂生产产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价P (万元)与产品件数x 满足：P 2＝kx，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x 件时，总利润为L (x )(万元)，求L (x )的解析式；(2)产量x 定为多少件时总利润L (x )(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)． 解：(1)由题意有502＝k100，解得k ＝25×104，∴P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x ·500x －1200－2x 375＝－2x 375＋500x －1200(x >0)．(2)由(1)得L ′(x )＝－225x 2＋250x ，令L ′(x )＝0⇒250x ＝225x 2，令t ＝x ，得250t ＝225t 4⇒t 5＝125×25＝55，∴t ＝5，于是x ＝t 2＝25，则x ＝25，所以当产量定为25时，总利润最大． 这时L (25)≈－416.7＋2500－1200≈883.答：产量x 定为25件时总利润L (x )最大，约为883万元． 21．(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )，若f ′(1)＝1. (1)求a 的值并求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程y ＝g (x )； (2)设h (x )＝f ′(x )＋g (x )，求h (x )在[0,1]上的最大值与最小值． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ，由f ′(1)＝1，得3－2a ＝1，所以a ＝1； 当a ＝1时，f (x )＝x 3－x 2，f (1)＝0，又f ′(1)＝1，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －0＝1×(x －1)，即g (x )＝x －1. (2)由(1)得h (x )＝3x 2－x －1＝3⎝⎛⎭⎫x －162－1312， 又h (0)＝－1，h (1)＝1，h ⎝⎛⎭⎫16＝－1312， 所以h (x )在[0,1]上有最大值1，有最小值－1312.22．(12分)[2013·江苏高考]设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论． 解：(1)令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x <0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数， 故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)．从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a . 当x <ln a 时，g ′(x )<0； 当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1， 即a >e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数； 当a >0时，令g ′(x )＝e x －a >0，解得a <e x ，即x >ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数， 类似(1)有ln a ≤－1，即0<a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1.(ⅰ)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x >0，得f (x )存在唯一的零点；(ⅱ)当a <0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )<0，f (1)＝－a >0，且函数f (x )在[e a,1]上的图像不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点．另外，当x >0时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数． 所以f (x )只有一个零点． (ⅲ)当0<a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0<x <a－1时，f ′(x )>0，当x >a －1时，f ′(x )<0，所以x ＝a－1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.①当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e. ②当－ln a －1>0，即0<a <e－1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0<a <e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1<0，f (a －1)>0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况，先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)<0.为此，我们要证明：当x >e 时，e x >x 2. 设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ， 再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ， 则l ′(x )＝e x －2.当x >1时，l ′(x )＝e x －2>e －2>0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数． 故当x >2时，h ′(x )＝e x －2x >h ′(2)＝e 2－4>0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x >e 时，h (x )＝e x －x 2>h (e)＝e e －e 2>0. 即当x >e 时，e x >x 2.当0<a <e －1，即a －1>e 时，f (ea －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)<0，又f (a －1)>0，且函数f (x )在[a －1，e a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x >a－1时，f ′(x )＝1x－a <0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当0<a <e－1时，f (x )的零点个数为2.。
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2019届高考数学选修2-2高考试题文档版四
单选题（共5道）
1、如果命题P（n）对于1成立，同时，如果成立，那么对于2也成立．这样，下述结论中正确的是（）（n）对于所有的自然数n成立
（n）对于所有的正奇数n成立
（n）对于所有的正偶数n成立
（n）对于所有大于3的自然数n成立
2、利用数学归纳法证明“”的过程中，由“”变成“1”时，不等式左边的变化是（）A增加
B增加和
C增加，并减少
D增加和，并减少
3、用数学归纳法证明，其中n＞1且
n∈N*，在验证2时，左式是（）
A1
B1+
C1
D1
4、用数学归纳法证明，在验证当1等式成立时，其左边为（）
A1
B1
C12
D123
5、函数2的导数为
′=2－x2
′=22
′2－2
′－x2
填空题（共5道）
6、等于．
7、曲线2-613与直线3所围成的区域面积为．
8、由曲线2和直线及2x所围成的平面图形面积．
9、曲线与围成的面积为．
10、2．
1-答案：
解：∵命题P（n）对于1成立，同时，如果成立，那么对于2也成立．这样，1时P（1）成立，可得3时P（3）成立，…，依此类推可得：P（n）对于所有的正奇数n成立．故选：B．
2-答案：
解：时，左边1时，左边=
由“”变成“1”时，故选D．
3-答案：
解：用数学归纳法证明1…+＜n，其中n＞1且
n∈N*，在验证2时，左式=11，故选：C．
4-答案：
解：由题意可知，等式的左边是：12+…1，所以在验证当1等式成立时，左边=12．故选C．
5-答案：A
1-答案：∫-ππ∫-π0
（）∫0π
（）π0+（）|0π=2+2=4故答案为4
2-答案：解方程组得交点横坐标为x1=2，x2=5，所求图形的面积为故答案为：．
3-答案：
解：在同一直角坐标系下作出曲线2，直线，2x的图象，所求面积为图中阴影部分的面
积．解方程组
，得交点（0，0），（1，1），解方程组得交点（0，0），（2，4），∴所围成的图形面积为：
2；故答案为：．4-答案：3
解：先作出的图象，如图所示，从图象中可以看出围成的面积为
1-0-（-1-1）=3．故答案为：3．
5-答案：
解：2∫-4-2
（2）∫-23
（2）（2-2x）4-2+（x2+2x）23=．故答案为：．。