18年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第18讲求定积分的方法
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
求定积分的方法的总结
求定积分的方法的总结求定积分的方法的总结求定积分的方法的总结篇【一】1. 知识网络2.方法总结(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法： baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba求定积分的.方法的总结篇【二】一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<= <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法。
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结导读：定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的'最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a 定积分的应用1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）●直角坐标系下（含参数与不含参数）●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）●功、水压力、引力●函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）【定积分的计算方法总结】1.定积分计算方法总结2.不定积分的方法总结3.定积分证明题方法总结六篇4.极限的计算方法总结5.不定积分知识点总结6.高中定积分的概念课件7.也谈计息天数的计算方法散文8.《小数加减法的计算方法》教学反思范文上文是关于定积分的计算方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
求定积分的方法总结
求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。
本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。
2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。
通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。
例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。
常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。
根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。
3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。
它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。
微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。
常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。
一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。
在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。
例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。
通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。
它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。
但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。
高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法
高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法【知识要点】 一、曲边梯形的定义我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn ii i i b aS f x x f n ξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx是被积式.说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.（4）图中阴影部分的面积S=12[()()]baf x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()baF x ，即()()()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰.计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式（1） 1()cx c = （2）1(sin )cos x x = （3）1(cos )sin x x -=( 4)11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1x ¢+=+八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.【方法讲评】【例1】 定积分11(||1)x dx --ò的值为____________.【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220sin 2x dx π=⎰ ．【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则3()f x dx =⎰( )A ．16B ．18-C ．24-D ．54【例2】计算10(1dx +⎰的结果为（ ）.A ．1B ．4π C ．14π+ D ．12π+【解析】先利用定积分的几何意义求dx x ⎰-121：令)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），dx x ⎰-1021即是41圆面积，即4π；所以 1(1dx +⎰=4111121π+=-+⎰⎰dx x dx .【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx =⎰参考答案【反馈检测1答案】142π-【反馈检测1详细解析】⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-【反馈检测3答案】263π 【反馈检测3详细解析】由于313)dx =ò1⎰+313dx ⎰．其中1⎰值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =211121212623ππ⨯⨯⨯+⨯=+又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò263π+ ．故答案为：263π．。
word完整版定积分在高考中的常见题型
定积分在高考中的常见题型解法贵州省印江一中(555200) 王代鸿定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算，也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。
从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。
一、利用微积分基本定理求定积分1、微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F (x) f (x)，那么bf(x)dx F(a) F(b).这个结论叫做微积分基本a定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。
2、例题讲义e1例1、计算1(- 2x)dx1x解：因为(In x x2) 12xxe1所以j (一2x)dx =(|nx x2) I：(In e e2) (In 1 12) e21x【解题关键】：计算b f(X)dx的关键是找到满足F(x) f(x)的函数aF(x)。
跟踪训练：1计算02 (e x cosx)dx二、利用定积分的几何意义求定积分。
1、定积分的几何意义：设函数y=f(x)在a,b上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积bS= a f (X)dx2、例题讲义：【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积和4 |例3、求0 . 4(X 2)2dx的值解：令y 4 (x 2)2(y 0)则有y2 4 (x 2)2(y 0)及(x 2)2 y24(y 0)右图所以1-(x 2)2dx - S a A 2 o / 2【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点求其定积分_83(lx+2)2^y2=2,,…y 丄及x 轴所围图形的面积为（ ） 2 x A. 15 B. 17 C.如 2 4 4 2 三、利用变换被积函数求定积分1从积分变量x 分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就 变换被积函数求其定积分。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
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第18讲 求定积分的方法
【知识要点】 一、曲边梯形的定义
我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法
分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：1
1
()()n
n
n i
i i i b a
S f x x f n ξ==-=
∆=∑∑
如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数
()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()b
a
S f x dx =⎰，
其中
⎰
是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx
是被积式.
说明：（1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋
近的常数S （n →+∞时）记为
()b
a
f x dx ⎰
，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③
求和：1
()n
i i b a
f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()b
b
a a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；
性质2
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰（定积分的线性性质）；
性质3()()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰
⎰⎰其中（定积分对积分区间的
可加性）
五、定积分的几何意义
（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由
直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.
（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由
直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分
()b
a
f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.
（4）图中阴影部分的面积S=
1
2
[()()]b
a
f x f x dx -⎰
六、微积分基本定理
一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰，
这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()b
a
F x ，
即
()()()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
.
计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式
（1） 1
()cx c = （2）1
(sin )cos x x = （3）1
(cos )sin x x -=
( 4)11
(
)(1)1
n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(
（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1
x ¢+=+
八、求定积分的方法
(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.
【方法讲评】
【例1】 定积分
1
1
(||1)x dx --ò
的值为____________.
【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220
sin 2
x dx π
=⎰ ．
【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2
++=x f x x f ,则
3
()f x dx =⎰
( )
A ．16
B ．18-
C ．24-
D ．54
【例2】计算
10
(1dx +⎰
的结果为（ ）.
A ．1
B ．4
π C ．14π+ D ．12π+
【解析】先利用定积分的几何意义求
dx x ⎰
-1
21：令)10(12≤≤-=x x y ，即
)0,10(12
2
≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图）
，dx x ⎰-102
1即是4
1圆面积，即4π；所以 1
(1dx +⎰
=4
1111
21
π
+
=-+
⎰
⎰
dx x dx .
【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的
4
1
（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.
【反馈检测3】3
1
3)___________
dx =⎰
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：
求定积分的方法参考答案
【反馈检测1答案】
14
2
π
-
【反馈检测1详细解析】
⎰
⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20
2020202
2cos 212cos 212sin π
πππ
dx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22
020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-
【反馈检测3答案】2
63
π 【反馈检测3详细解析】
由于3
1
3)dx =ò
1
⎰
+3
1
3dx ⎰．
其中
1
⎰
值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形
的面积的大小，即图中阴影部分的面积．
故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =
21112
1212623
ππ⨯⨯⨯+⨯=+
又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò2
63π+ ．
故答案为：2
63
π．。