高等流体力学第5讲
西安交通大学高等流体力学课件
第一章流体力学基本概念1.1 连续介质假说推导流体力学基本方程的两条途径统计方法把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，运用力学定律和概率论预测流体的宏观性质。
对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运系数（μ，κ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。
连续介质方法把流体看作连续介质，而忽略分子的存在，假设场变量（速度、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵守质量、动量和能量守恒定律。
从而推导出场变量的微分方程组。
流体力学采用连续介质的方法1.1 连续介质假说连续介质方法失效场合火箭穿越大气层边缘，此时微观特征尺度接近宏观特征尺度；研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。
1.1 连续介质假说流体质点由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
流体质点是流体力学研究的最小单元。
当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速度和密度。
(,,,)u u x y z t =r r (,,,)x y z t ρρ=r r 欧拉参考系当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。
独立变量x , y , z , t1.2 欧拉和拉格朗日参考系000(,,,)r r x y z t =r r 拉格朗日参考系着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位置随时间变化，式中x 0, y 0, z 0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。
独立变量x 0, y 0, z 0, t 。
x, y, z 不再是独立变量，x - x 0 = u ( t - t 0), y - y 0 = v (t - t 0),z - z 0 = w (t - t 0), T =T (x 0, y 0, z 0, t ), ρ=ρ(x 0, y 0, z 0, t )。
高等流体力学-第五讲
∂C ∂ 2C = Dm 基本方程： 基本方程： ∂t ∂x 2
定解条件：由质量守恒，在任何时刻， 定解条件：由质量守恒，在任何时刻，有：∫ Cdx = M
或
+∞ −∞
C ( x ,0 ) = M δ ( x )
求解方法： 求解方法：
1）量纲分析相似解法 ； ）
∂ 2C ∂ 2C ∂ 2C ∂C ∂(Cu1 ) ∂(Cu2 ) ∂(Cu3 ) 对三维流动： 对三维流动： + + + = Dm 2 + 2 + 2 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
7
第五讲 扩散理论
6
第五讲 扩散理论
3、移流扩散方程（Advective Diffusion Equations） 、移流扩散方程（ ）
取控制体如图， 方向为例。 取控制体如图，以x1方向为例。 假设： 假设：层流运动时溶液的扩散与流体静止 时的分子扩散相同。 时的分子扩散相同。 由质量守恒定律，可得： 由质量守恒定律，可得：
1、分子扩散系数与概率统计量间的关系 、
（1）分子扩散方程的基本解 ） 问题： 考虑一维问题） 时刻， 问题： （考虑一维问题）在t=0时刻，坐标原点处（x=0） 时刻 坐标原点处（ ） 放置质量为M的扩散质 确定浓度沿x轴的扩散过程 的扩散质， 轴的扩散过程。 放置质量为 的扩散质，确定浓度沿 轴的扩散过程。
D12 D22 D32
∂C D13 ∂x1 ∂C D23 ∂x 2 D33 ∂C ∂x 3
Dij应是空间坐标的函数，当选择坐标使其与二阶张量的主轴方向一致 应是空间坐标的函数， 九个量中仅有三个主值， 不为零。 时，九个量中仅有三个主值，即：D11，D22，D33不为零。当满足各向同性 条件下， 条件下，有：
高等流体力学PPT课件
2
aij ijkk
uD S r
表示由于流体微团变形而产生的 M 点相对于M点 的速度变化。
uR
1 ur
2
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 对于M 点的速度变化。
M 点相
26
26
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系：
u t x,y,z
u
u(x,
y,
z,
t)
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系：u u(x0, y0, z0,t)
u
t
x0 , y0 ,z0
流体质点速度随时间的变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
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速度分解定理，应变率张量和旋转率张量
速度分解定理
ui
ui x j
xj
1 2
ui x j
u j xi
1 2
ui x j
u j xi
xj
sij x j aij x j S r A r
Sr 1 ur
2
u uD uR
aij x j ijk x jk r
物质导数
以矢量和张量下标形式表示的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D
Dt
t
u
t
u
算符
u
ui vj wk
i
x
j
y
k
z
u v w x y z
13
13
物质导数物理意义
D Dt t uk xk
D 物质导数，质点导数，随体导数；
Dt
欧拉参考系中的时间导数，称局部导数或就地导数，表示空
【计算流体力学】第5讲-差分方法3
通量差分分Байду номын сангаас （FDS）： 耗散低、分辨率高
Step 1: 运用差分格式，计算
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
Step 2: 运用Riemann解， 计算
F j 1/ 2
F
(U
L j 1/
2
,U
) R
j 1/ 2
Step 3: F Fj1/2 Fj1/2
x
x
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
13
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
二阶精度TVD区（二 者交集）
1
通量分裂技术： 模型方程 NS/ Euler 方程
Step 1 针对模型方程构造差分格式
u a u 0 t x
u uˆ j1/2 uˆ j1/2
x
x
a0
uˆ j1/2 =......
格式1
a0
uˆ j1/2 =......
6
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x
高等流体力学第五章
5.5 空间区域离散
5.4 例子－一维稳态导热
导热方程
d dT k S 0 dx dx
导热方程对控制容积积分
dT dT k k Sdx 0 dx e dx w w
用分段线性分布来计算方程dT/dx所得的方程将为：
e
k e (TE TP ) k w TP TW S x 0 x e x w
d dT k S 0 dx dx
其中k是导热系数，T是温度， S是单位容积的发热率
5.4 例子－一维稳态导热
( δ x )w
w W P Δx
(δ x )e
e E
X
d dT k S 0 dx dx
5.4 例子－一维稳态导热
网格结点P，该点以网格结点E及W作为 它的两个邻点。 (E表示东例，即正的x方向，而W表示西 侧，或是负的x方向)．虚线表示控制容 积面。字母e与w代表控制面． 对于所考虑的一维问题，假设在y与z方 向为单位厚度。
离散方程标准形式 a P TP a E TE aW TW b
其中
ke aE x e
kw aW x w
a P a E aW
b S x
5.5 空间区域离散
把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确 定节点在于区域中的位置及其代表的容积(即控制容 积)，这一过程称为区域离散化。 区域离散化过程结束后，可以得到以下四种几何要 素： 1）节点— 需要求解的未知物理量的几何位置； 2）控制容积—应用控制方程或守恒定律的最小儿何 单位； 3）界面 —它规定了与各节点相对应的控制容积的 分界面位置； 4）网格线 — 沿坐标轴方向联结相邻两节点而形成 的曲线簇
高等流体力学-第五讲PPT共53页
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
高等流体力学-第五讲 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高等流体力学第5讲
f (z) (x, y) i (x, y)
z(x,y) r
式中 i 1 ，
O
x
z x iy rei 为复变量。
x, y是平面直角坐标， r, 是平面极坐标的向径和幅角。
设函数 f (z) 在点 z0的某邻域内处处可导，则称函数 f (z) 在 点 z0 处解析；又若 f(z) 在区域 D内的每一点解析，则称 f (z) 在 区域 D 内是 解析函数。
x y 可得 f f
x (iy)
，
y
x
三、 复速度
用复势描述势流运动，需要建立复势f (z)和速度矢量 v 的关系。
复势f (z)的导数为
df i u iv
dz x x
称复势的导数为复速度，其实数为x向的分速度， 其虚数为 y 向分速度的负值。
其中记号
2
2 x2
2 2 y2 z2
称为拉普拉斯算子（Laplace operator）
笛卡尔坐标系下 2 2 2
x2 y2 z2 0
对于不可压缩均质流体 = const，有 1 p p
对于外力有势且质量力只有重力的情况，有 f gk (gz)
代入理想流体 Lamb 形式的运动方程
v t
v v
2
v
f
1
p
积分可得
v v gz p f (t)
t 2
Lagrange积分方程
对于理想不可压缩均质流体的势流运动，其控制方程为
高等流体力学(粘性流体力学部分)课件
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
zz C12 xx C12 yy C11 zz C37
xy (C11 C12 ) xy
xz (C11 C12 ) xz
yz (C11 C12 ) yz
5个系数是C11,C12,C17,C27,C37。 根据第三个前提。当变形率等于零时， xx yy zz 则，C17 C27 C37 剩下两个系数C11和C12待定。
x l 1 x m1y n 1z y l 2 x m 2y n 2 z z l 3 x m 3y n 3 z
流速分量u′，v′，w′可以表示为
ux ' l1ux m1uy n1uz
ux ' l2ux m2uy n2uz
本例题说明,已知流速场、 和p以后，从本构方程即可得任一点处 的各个应力分量。
§3-2 粘性流体的运动方程 在实际液体中分离出一个微分平行六面体，各边 长为dx、dy、dz，其质量为ρdxdydz。作用在六 面体上的表面力每面有三个：一个法向正应力， 两个切应力。法向力都是沿内法线方向。
x'x' xxl12 yy m12 zz n12 2 xyl1m1 2 yz m1n1 2 xzl1n1
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第五讲 气动函数及压力波一、 气流参数（一）滞止参数如果按照一定的过程将气流速度滞止到零，此时气流的参数就叫做滞止参数。
滞止状态的概念可以很形象地用图5-1来表示。
它是假想把某一点处的气流引入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。
根据一元稳定绝能流动的能量方程式2211221122h v h v +=+ 可知气体的焓值随气流速度的减小而增大。
如果把气流由速度v 1=v （焓h 1=h ）绝能地滞止到v 2=0，此时所对应的焓值h 2就称为滞止焓，用符号h *表示，则*212h h v =+如果研究的是定热比容的完全气体，h =c p T ，则式（9一22）可改p c v T T /212*+= （5－1） 式中 T *称为滞止温度，它是把气流速度绝能滞止到零时的温度。
将式(5—1)两边同除以T ，则有2*2221111/1/()12212p kR k v T T v c T v T k c -=+=+=+- 所以*211Ma 2k T T -=+（5－2） 前面得到了滞止温度与温度的比与Ma 数的关系式，下面我们来推导一下其它滞止参数的表达式。
完全气体的状态方程和滞止状态的状态方程可表示为p =ρRT 和p *=ρRT * ，两者相除则有***()()p p ρρT T =。
（a ） 对等熵流动有p */ ρ*k =常数，p / ρk =常数，两者相比，则有**()k p p ρρ=。
（b ） 由式（a ）和（b ）可得图5-1 滞止参数模型**2111()(1Ma )2k kk k k p p T T ---==+ （5－3）11**2111()(1Ma )2k k k ρρT T ---==+ （5－4）由式（9－2、3、4）可知，气流参数与其滞止参数的比值只是气流Ma 数的函数。
这种函数关系是分析和计算气体流动的基础，在气体动力学中占有非常重要地位。
这里应强调的是，在气体动力学中，引进滞止状态的概念是把它作为一个参考状态。
对一元流动来讲，每个截面都对应有自己的滞止状态，而与实际流动中的过程无关。
也就是说，滞止参数是一个点函数。
引入滞止焓后，一元稳定流动的能量方程可表式为*1*2h h w q s -=- （5－5） 对绝能流动而言，有**21h h =或*h =常数。
由此可知：一元稳定绝能流动的滞止焓沿流程为一常数，同佯对完全气体，因为h *=c p T *，所以其滞止温度也保持不变。
通过进一步的理论分析可证明，在绝能等熵流动中，所有的滞止参数沿流程都不变。
（二）临界状态参数将c 2=kRT 及c *2=kRT *引入到绝能等熵的能量方程后，则有22*121c v kRT k k +==--常数 （5－6） 由上式可知，c 与v 的关系函数满足椭圆方程，关系曲线如图5-2所示。
从中可以看出，在气流由滞止状态绝能地向最大流速状态的变化过程中，必然要经历这样一种状态.即v =c 或Ma=1的状态。
气体动力学中称这种状态为临界状态，所对应的气流参数称为气流的临界状态参数，并标以下标cr ，如p cr 、T cr 、v cr 和c cr 等。
显然，v cr =c cr 。
在式(5－6)中令c =v =c cr ，则可得cr c =（5－7）max /cr v c = （5－8） 利用Ma 数的定义、式(5－2)、(5－3)和（5－4），可得*/2/(1)cr T T k =+， （5－9）*1/[2/(1)]kk cr p p k -=+， （5－10） 1*1/[2/(1)]k cr ρρk -=+。
（5－11）图5-2 c v 曲线 c对空气，k =1.4，则有p cr /p *=0.5283。
应该指出，在一元流动的每一个截面上，都有相应于该截面的临界参数，如同在气流的每一个截面上都有相应的滞止参数一样。
如果气流在某个截面上的Ma 数恰好等于1，则该截面上的气流状态就是临界状态，该截面上气流的参数就是临界参数，该截面叫做临界截面。
在绝能等熵流动过程中，因为沿流道所有滞止参数保持不变，所以所有的临界参数也保持不变。
（三）速度系数在气体动力学中，除了用马赫数作为无量纲参数以外，往往也用气流速度与临界声速 之比作为无量纲速度，称为速度系数，并用符号λ来表示，即cr λv c = （5－12） 与Ma 数相比，应用λ数的最大好处是，在绝能流动中，当气体速度趋于v max 时，c 下降为零，Ma 数趋于无穷大，这样在作图时v =v max 附近的情况就无法表示出来。
而max max cr λv c == （5－13） 这样就消除了上述困难。
2221Ma 21Ma2k λ+=+ （5－14） 或22221Ma 11λk λk +=-+ （5－15）上述关系可以作成如图5-3所示的图线。
可见，当 Ma=0时，λ=0；当 Ma<1时，λ<1 (亚声速)； 当 Ma=1时，λ=1；当 Ma>1时，λ>1 (超声速)；当Ma→∞时，max λλ=因此，λ数和Ma 数一样也是表示亚声速或超声速气流的一个简单标志。
另外，气流参数与滞止参数的比也可以用λ数来表示，把式（5－14)代入式（5－2、3、4），得到 *21(1)1k T T λk -=-+ （5－16） *211(1)1kk k p p λk --=-+ （5－17）1*211(1)1k k ρρλk --=-+ （5－18）λ图5-3 λ～Ma 曲线二、气体动力学函数及其应用从前面的分析中可以看出，气流滞止参数与气流参数之比可以用气流的Ma 数或λ数的函数来表示。
后面还将会看到，流量公式和动量方程式也可以用Ma 数或λ数的函数表示出来。
这些Ma 数或λ数的函数叫做气体动力学函数。
（一）函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)、在气体动力学中，令*21()11k τλT λk -==-+ （5－19） *211()(1)1kk k πλp p λk --==-+ （5－20）1*211()(1)1k k ελρρλk --==-+ （5－21）对空气(k =1.4)来说，函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)随λ数的变化如图5-4a 所示，这三个函数均为单减函数。
另外，这三个函数也可用Ma 数表示如下：*21(Ma)1/(1Ma )2k τT T -==+（5－22） *211(Ma)1/(1Ma )2kk k πp p --==+ （5－23）1*211(Ma)1/(1Ma )2k k ερρ--==+ （5－24）函数τ(Ma)、π(Ma)和ε(Ma)随Ma 的变化如图5-4所示。
例5－3 用风速管测得空气流中一点的总压p *=9.81×104Pa ，静压p =8.44×104Pa ，用热电偶测得该点空气流的总温T *=400K ，试求该点气流的速度v 。
解：由式（5－22）可得 4*48.4410()0.869.8110πλp p ⨯===⨯。
由气动函数表（k =1.4）查得λ=0.5025，则气流速度为π(λ), ε( λ), τ(λ) λ0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 τ(λ)ε( λ) π(λ)0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (a)2.4图5-4 函数π, ε, τ曲线Ma0.5 1.0 1.5 2.02.53.0 3.5(b)τ(Ma) ε (Ma) π(Ma)0.20.0.0.8 1.0 π(Ma), ε(Ma),cr v λc ==0.5025187m/s ==。
（二）流量函数气动计算中往往是先给定气流的滞止参数和λ数(或Ma 数)，如果直接按公式mρAv = 来计算流量，则必须先根据给定的滞止参数和λ数求出v 和ρ。
但这佯计算是很麻烦的，下面我们就来寻求用λ函数表示的流量公式。
由流量公式可得()cr cr cr crρvm ρAv ρv A ρv == ，11*211*/11(1)(1)11/k k cr cr cr ρv ρρk k λλλk k ρv ρρ----==--++，1121111()(1)21k k k k λλk --+-=-+。
将上式用q (λ)表示，并称为流量函数，即1121111()()(1)21k k k k q λλλk --+-=-+ （5－25）则有()cr cr mq λρv A = 。
式中ρcr 和c vr 均可表示为11**11*22()()11k k cr p ρρk RT k --==++，cr cr v c ==所以有*()mAq λ= （5－26）其中1112-+⎪⎭⎫⎝⎛+=k kk R k K 。
对空气， k =1.4， R =287.4J/(kg·K)，则K =0.0404。
q (λ)随λ数的变化如图5-5a 所示。
当λ=0时，q (λ)=0；当λ=1时，q (λ)=1，取最大值；当λ=λmax 时，q (λ)=0。
由此可见，q (λ)在临界截面处取最大值。
流量函数q (λ)也可以表示成Ma 数的函数q (Ma)，q (Ma)随Ma 数的变化如图5-5b 所示。
引入流量函数后，一元稳定流动的连续方程又可表示为*()m K Aq λ== 常数 （5－27）由式(9－54)，在绝能等熵流动的条件下，由于p *和T *保持不变，则有()Aq λ=常数 （5－28） 由此可以得出下列重要结论:1.当气流为亚声速（λ<1）时，由图5-5可见，随λ数的增大，q (λ)也随之增大，因此，相应的流管截面积必须减小。
所以，对亚声速流动讲，流管截面积减小时流速增大；流管截面积增大时则流速减小。
2.当气流为超声速(λ>1)时，随λ数的增大，q (λ)却减小，因此，相应的流管截面积必须增大。
所以，对超声速流动，流管截面积增大时，流速增大；流管截面积减小时，则流速减小。
3．当λ=1时，q (λ)达到最大值，相应的截面积应该是流管的最小截面积。
即对绝能等熵流动而言，临界面必是流管中的最小截面。
但这只是必要条件，也就是说流管的最小截面并不一定是临界截面。
从上述结论可以知道，要将气流绝能等熵地由亚声速流动加速为超声速流动，管道必须做成先收缩后扩张的形状，即拉伐尔喷管，如图9－11所示。
关于这个问题的细节将在后面讨论。
有时候已知条件不是气流的滞止压力而是气流压力，此时流量公式中的q (λ)可用另一个气动函数y (λ)来代替。
()()()q λm K A y λπλ== ， （5－29）在图5-5a 中也给出了y (λ)随λ数的变化情况。
例5－4 有一扩压器(见图5-7)，设出口截面积和进口截面积之比A 2/A 1=2.5，己知进口截面上空气流的λ1=0.80，求出口截面积上空气流的λ2。