江海名师零距离二轮数学(大题提高版)

专题一 解决集合与常用逻辑用语问题【典题导引】例1. 设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2,(0,)1y x m x =∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B I ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.例2. 设函数()ln f x ax x =，且曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为20x y b --=(其中e 是自然对数的底数)． （1）求实数a 、b 的值； （2）设集合321393{|,[3,)}x x x A y y bx --+==∈-+∞，{}()0B x f x m =-≥．①求集合A ；②若A B ⊆，求实数m 的取值范围．例3．已知1a ≥，函数9()441f x x x =+++（[]0,1x ∈），32()3216g x x a x a =--+（[]0,1x ∈）． （1）求()f x 和()g x 的值域；（2）若[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得21()()g x f x =成立，试求a 的取值范围．变题：是否存在实数a ，使得[]12,0,1x x ∃∈，21()()g x f x =成立？例4. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24(2)3n n S T --=． （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．专题二 解决函数的图象与性质问题【典题导引】例1. 已知函数()f x 为R 上的偶函数．（1）若0x ≥时，2()1()f x x ax a R =-+∈． ①求0x <时，()f x 的解析式；②若函数()f x 有4个零点，求实数a 的取值范围；（2）设m R ∈，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小．例2. 已知二次函数2()1f x ax bx =++和函数21()2bx g x a x b-=+．（1）若()f x 为偶函数，试判断()g x 的奇偶性；（2）若方程()g x x =有两个不等的实根，求证：函数()f x 在(1,1)-上是单调函数．例3.（2015⋅上海）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.例4. 设0a >，函数()af x x x=+，当[]13x ,∈时，()f x 的值域为A ，且[,]()A n m n m ⊆<.（1）①若1a =,求m n -的最小值；②若16m =，8n =，求a 的值；（2）若1m n -≤，且[,]A n m =，求a 的取值范围.专题三 解决基本初等函数问题【典题导引】例1.已知函数()2log (1)a f x x x =-+ (0a >且1a ≠)．（1）当a 变化时，函数()y f x =的图象恒过定点，试求定点的坐标； （2）若()f x 在区间[]0,2上的最大值为2，求a 的值．例2. 设m R ∈，函数12()423x x f x m m +=-⋅+-，x R ∈． （1）当[0,2]x ∈时，求函数()y f x =的最大值；（2）若x R ∃∈，使得()()0f x f x -+=，求实数m 的取值范围．例3. 设函数2()2(,)f x x x a x R a R =+-∈∈.（1）若()f x 为偶函数，求实数a 的值； （2）设2a >，求函数()f x 的最小值.变式：求函数2()2([0,1],)f x x x a x a R =+-∈∈的最小值．例4. 已知函数()log a f x b x =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(8,2)和(1,1)-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()3(2)()g x f x f x =+-的最小值；（3）若对任意[1,2]x ∈，不等式(2)2(2)f x f x m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．专题四 解决利用导数研究函数问题（1）【典题导引】例1．设函数()ln f x x ax =-，其中a 为实数．（1）若a =1，求证：()1f x -≤恒成立； （2）若曲线(),(1 )y f x x =∈+∞，上任意两点的连线的斜率都小于4，求实数a 的最小值．例2. 设函数2()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-．（1）当1,12a x =>时，求证：()()f x g x >；（2）若[1,]x e ∃∈，使得不等式()()f x g x a +≤成立，求实数a 的取值范围．例3．(2013⋅山东)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈．（1）设0a ≥，求()f x 的单调区间；（2）设0a >，且对任意0x >，()(1)f x f ≥．试比较ln a 与2b -的大小．例4. 已知()ln 1x f x e x =--其中e 是自然对数的底数． （1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立，求实数m 的取值范围．专题五 解决利用导数研究函数问题（2）【典题导引】例1. 设函数2()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-，a R ∈且1a ≠．（1）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上是单调性相同的单调函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：a e >时，函数()f x 存在两个零点．例2. 已知函数()ln f x x =，()x g x e =，其中e 是自然对数的底数．（1）求证：()()2g x f x ->；（2）若关于x 的不等式()g x<有解，求实数m 的取值范围.例3. 已知函数2()ln f x ax b x =-在点(1,(1))f 处的切线为1y =．（1）求实数,a b 的值；（2）是否存在实数m ，当(0,1]x ∈时，函数2()()(1)g x f x x m x =-+-的最小值为0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．例4. 设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 存在两个极值点1x ，2x 12()x x <． ①求实数a 的取值范围；②若21221()()221f x f x e a x x e ≤----(其中e 是自然对数的底数)，求证：2x e ≥．专题六 解决三角恒等变换的有关问题【典题导引】例1. 已知()sin (0)f x x x ωωω=+>.（1）当2ω=时，若函数()(0)2y f x πθθ=+<<是偶函数，求θ的值；（2）当12ω=时，若6()5f α=，且233ππα-<<，求sin()3πα-的值．例2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin b a C =．（1）求11tan tan A C+的值； （2）若tan 3A =，求tan B 的值．例3. 已知,(0,)αβπ∈,且tan 2,cos αβ==． （1）求cos2α的值； （2）求2αβ-的值．例4. 已知(0,)2πα∈，且15tan 22tan 2αα+=． （1）求tan α的值；（2）求cos(2)4πα-的值；（3）若7sin(2)sin 5αββ+=，求tan()αβ+的值．专题七 解决三角函数的图象与性质问题【典题导引】例1．（2015⋅湖北）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><在某一个x ωϕ+ 02π π 32π 2π x [来源学+科+网]3π 56π sin()A x ωϕ+ 0 5 5- 0（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5(,0)12π，求θ的最小值.例2.（2015⋅南通三模）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若3()2f α=，求sin(2)6πα+的值．xyO 2 -2 （例2图）3π- 32π例3．已知函数()22sin()sin 2f x x x x π=--．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域．例4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是偶函数，且图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ω和ϕ的值．专题八 解决解三角形和正余弦定理应用问题【典题导引】例1．如图，已知ABC ∆中，AB =，3AD =，5CD =，45ABC ∠=o ，且(0,)2ADB π∠∈． （1）求ADB ∠的大小； （2）求AC 的长．例2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a c b ac +=-． （1）求B 的大小；（2）若64A ππ≤≤，求ca的取值范围；（3）若c A ∠的平分线AD b ．AB C例3.（2016⋅四川）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．例4．在ABC ∆tan tan tan A B A B ⋅--=（1）求C ∠的大小；（2）若ABC ∆的面积3=∆ABC S ，求ABC ∆周长的最小值；（3）设角,,A B C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且ABC ∆是锐角三角形，求22a b +的取值范围．专题九 解决平面向量及应用问题【典题导引】例1. 如图，在ABC ∆中，2CD DB =u u u r u u u r ． （1）若(,)AD xAC yBC x y R =+∈u u u r u u u r u u u r，求x ，y 的值；（2）若AC =3BC =，30ACB ∠=o，求AD BC ⋅u u u r u u u r 的值．例2．设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b ββ=r ，(cos ,sin )c ββ=-r ． （1）求b c +r r的值；（2）若()k k Z αβπ+=∈，求证：//a c r r；（3）若(3)a b c ⊥+r r r，求tan()αβ+的值．B例3．如图，点C是半径为1，圆心角为32π的圆弧AB上的点．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+u u u r u u u r的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅u u u r u u u r的取值范围．例4. 在ABC∆中，已知(sin sin sin)(sin sin sin)3sin sinA B C B C A B C+++-=．（1）求角A的大小；（2）设O为ABC∆的外心（三角形各边中垂线的交点），当13BC=，ABC∆的面积为33时，求AO BC⋅uuu r uu u r的值；（3）设AD为ABC∆的中线，当23BC=时，求AD长的最大值．（例3图）专题十 解决不等式的有关问题【典题导引】例1．设函数2()6f x ax bx =++(0)a ≠．（1）若不等式()2f x x <的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U ，求a 、b 的值；（2）若0a >，0b >，且(2)8f =，求12a b+的最小值．例2．（1）在平面直角坐标系xOy 中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则22(3)λμ+-的取值范围是 ．（2）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b ≤≤-≥+-，，则ba的取值范围 是 ．例3.（2016⋅江苏改编）已知函数()12()2x x f x =+．（1）求不等式()174f x >的解集；（2）若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值．例4.已知1()31x f x =-，2()39(0)x f x a a =⋅->，x R ∈，且112212(),()(),()(),()().f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩（1）当1a =时，求不等式12()()f x f x ≤的解集；（2）当29a ?时,设2()()f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间[,]m n的长度定义为n m -)，试求l 的最大值；（3）是否存在这样的a ，使得当[2,)x ∈+∞时，2()()f x f x =?若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．专题十一 解决等差数列与等比数列问题【典题导引】例1．（2016⋅天津）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为(0)d d ≠，对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.（1）设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；（2）设 ()22*11,1,n kn k k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑例2．设数列{}n a 满足121a a ==，212n n n a a a λ+++=+，N n *∈，λ为常数．（1）若135,,a a a 成等比数列，且0λ≠，求λ的值；（2）设1n n n b a a +=-，N n *∈，求证：数列{}n b 为等差数列； （3）设22n n a a n c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．例3．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足11a =，141n n n S a a +=+*()n N ∈． （1）求15a 的值；（2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若12m a -，m a ，18m k a ++成等比数列，其中*m N ∈，*k N ∈，求m 的值．例 4.（2015⋅南通一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若*112()2n nan N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和21(3)()4n S n n n =+∈*N ，证明：{}n a 是“紧密数列”；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”， 求q的取值范围．专题十二 解决数列综合应用问题【典题导引】例1. 已知数列{}n a 是等比数列． （1）设22a =，516a =．①若22212212()n n a a a t a a a +++=+++L L ，*n N ∈，求实数t 的值； ②若在11a 与41a 之间插入k 个数12,,,k b b b L ，使得12145111,,,,,,k b b b a a a L 成等差数列，求k 的值；（2）若数列{}n c 是公差不为0的等差数列，11a c =，22a c =，3m a c =,其中m 是某个正整数，且3m ≥，求证：数列{}n a 中的每一项都是数列{}n c 中的项．例2. 已知数列{}n a 满足1()a a a R =∈，*123()n n n a a n N +=-∈，*12()5n n n b a n N =-⨯∈．（1）当25a ≠时，求证：数列{}nb 是等比数列；（2）当2a =时，求数列{}n a 前n 项和n S ；（3）若*1,n n n N a a +∀∈>，求实数a 的值．例3.（2015⋅四校联考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111(1)12n n n n S S n a a +++=+--，*n N ∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）设26a =，求证：数列{}n a 是等差数列.例4.（2014⋅江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．专题十三 解决直线与圆及其应用问题【典题导引】例1. 已知圆C :222430x y x y ++-+=.（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取得最小值时点P 的坐标.例2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若过点9(,4)2A 的直线l 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的13，求直线l 的方程．例3. 已知圆C 经过点(1,1)A -，(1,1)B -，且与直线20x y +-=相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点A 作倾斜角互补的两条相异直线，与圆C 分别交于点P 、Q ，求证：直线PQ的斜率为定值；（3）设点00(,)D x y 在直线20x y +-=上，若圆C 上存在点M 、N 满足DM MN =u u u u r u u u u r，求0x 的取值范围．例4.（2016⋅江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，求实数t 的取值范围．专题十四 解决圆锥曲线与方程问题【典题导引】例1．平面直角坐标系xOy 中，设双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>，抛物线()22:20C x py p =>．（1）若双曲线1C 的一条渐近线方程为23y x =，求双曲 线1C 的方程；（2）若双曲线1C 的渐近线与抛物线2C 交于点,,O A B ，且OAB ∆的垂心为2C 的焦点，求双曲线1C 的离心率．例2．如图，,,A B C 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC BC ⊥，2BC AC =． （1）求椭圆M 的离心率；（2）若直线40x y -+=被ABC ∆的外接圆所截得弦长为例3.（2015⋅南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且12BF F ∆是边长为2 的等边三角形． （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记2ABF ∆、2BCF ∆的面积分别为1S 、2S ．若122S S =，求直线l例4．（2015⋅重庆）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥.（1）若12PF =+22PF =-（2）若1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围.（例3图）（例1图）专题十五 解决解析几何中的综合问题【典题导引】例1．（2014⋅江苏） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>> 的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为41()33，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．例2．（2015⋅江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．lOPCBx y FA （例2图）例3．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点(1,0)F，过F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设,AB CD 的中点分别为,M N .（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN例4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:162x y C +=，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AO 交椭圆C 于另一点P ．（1）若直线l 的斜率为4，求直线PB 的斜率；（2）若A ，E ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在定点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.专题十六 解决立体几何中的有关问题【典题导引】例1．(2016⋅江苏)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为AB ，BC 的中点，点F在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥． （1）求证：直线//DE 平面11A C F ； （2）求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．例2. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：//AB EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．C E A BD F （例2图） 1A A 1B B C1C D E F例3. 如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC中点．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM AD ⊥．例4. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，PA PD =，F 为AD 的中点，PD BF ⊥． （1）求证：AD PB ⊥；（2）若菱形ABCD 的边长为6，5PA =，求四面体PBCD 的体积；（3）若点E 在线段BC 上，且13EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．（例4图）P A B C D EFP A B C D M N专题十七 应用题（1）【典题导引】例1．如图，某地有一条东西走向的公路1l ，现经过公路1l 上的A 处铺设一条南北走向的公路2l ．施工中发现A 处正北2百米的B 处有一古迹，为了保护古迹，决定以B 为圆 心，2百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路1l 、2l ，欲再新建一条公路PQ ， 点P 、Q 分别在公路1l 、2l 上，且要求PQ 与圆B 相切（切点为T ）．（1）设BQ x =百米，试利用QTB ∆∽QAP ∆，将新建公路PQ 的长表示为x 的函数； （2）试确定点Q 的位置，使新建公路PQ 的长最短．1东例2．如图，B 、C 是海岸线l 上相距50km 的两个海边小城，圆O 是半径为10km 的某海岛小城的环岛路，A 为圆O 上的物资中转站，其中23AOC π∠=，25km OC =，且//l OA ．为使中转站A 的物资运往B 城，计划从A 地沿环岛路至某地P ，再沿水路PQ 至海岸线l 上Q ，最后沿海岸线QB 至B 城修建运输线，其中//PQ OC ,Q 在线段BC 上．（1）设POC θ∠=，求运输线总长度y 关于θ的函数； （2）求运输线总长度的最小值．g g ••••A BO P •Q C （例2图）例3．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB上．测得tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km ，． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中P (6PQ km =，且)PQ OM ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为r =．若与此同时，一瘦游轮以/小时的速度自码头A 开往 码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行？（例3图）M例4．某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足()y mf x=，其中2log(4),04, ()6,4,2x xf xxx+<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．.（1）如果投放的药剂质量为4m=,试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.专题十八 应用题（2）【典题导引】例1．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45o 的方向上，两岛相距10海里．小船P 从海岛B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船Q 从海岛A 出发，沿北偏西15o 方向 以4海里/小时的速度移动．（1）求小船航行过程中，两船相距的最近距离；（2）求小船P 处于小船Q 的正东方向时，小船航行的时间．例2. 如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD =，C 是AB 的中点，3BCD π∠=，设BAD θ∠=，且(,)93ππθ∈． （1）若4πθ=，求AB 的长； （2）求BD 长的最小值．••B 岛北P Q例3．如图，街道PQ 长6km ，且与公路OM 垂直，一端P 到公路OM 、ON 的距离分别为8km ，，tan 3MON ∠=-，D 为PQ 的中点，街道DP 段有多处重要文物．现 从公路OM 上距离O 为6km 的A 地修建一条直线公路AQB ，将三条公路围成的区域 AOB 建成一个工业园区．（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． ①求点P 的坐标； ②求公路AB 的长； （2）为保护街道DP 段的重要文物，规划设立一个圆形保护区，保护区的边界为圆心C在线段DP 上，并与AB 相切的圆，且D 和P 到该圆上任意一点的距离均不少于．当DC 多长时，圆形保护区的面积最大？例4. 水渠是地面上人工开凿的水道，用于引江河之水灌溉农田．某果园现有的旧水渠的横断面是一段抛物线弧AOB ，顶点O 为水渠最底端（如图1），渠宽为4m ，渠深为2m ．现 计划对现有的旧水渠进行改造．（1）为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为如图2所示的等腰梯形ABCD 的新水渠（C 、D 在抛物线弧AOB 上，//AB CD ），问 新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少（即等腰梯形ABCD 的面积最大）； （2）考虑到果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖成横断面为如图3所示的抛物线弧AOB 的外切等腰梯形1111A B C D 的新水渠（点A 、B 在线段11A B 上），要使所挖土的土方量最少（即等腰梯形ABCD 的面积最小），请你设计水渠 改挖后的底宽，并求出这个底宽．（例4图1）例5. 某软件公司新开发一款游戏软件，该软件按游戏的难易程度共设置若干关的闯关游戏，为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干游戏币，设第n 关奖励n a 个游戏币，且满足1,42111=≤≤+a a a a n n n ，该软件公司提供了两种奖励方案：①从第二关开始每闯 过一关奖励的游戏币数是前一关的q 倍；②从第二关开始每闯过一关多奖励d 游戏币 (R d ∈).游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案.（1）若选择第①种方案，设第1关到第n 关奖励的总游戏币为n S ，即12...n n S a a a =+++，且1142n n n S S S +≤≤，求q 的取值范围；（2）若选择第②种方案，且设置第1关到第k 关奖励的总游戏币数为100(即*21,...N k a a a k ∈+++)时获特别奖励，为了增加获特别奖的难度，如何设置d的取值，使得k 最大，并求k 的最大值.专题十九 解决概率统计与算法问题【典题导引】例1.（2015⋅安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本 数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]L . （1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的 概率.例2. 如图所示的算法中，令tan ,sin ,cos a b c θθθ===，若在集合3{,0,,}4442ππππθθθ-<<≠中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ．（1）求θ值所在的范围；（2）求函数2()22cos f x x x θ=+-有2个零点的概率．(例2图) (例1图)例3. 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生， 将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随 机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． （1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； （2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．例4. （2015 南通二模）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．①写出所有等可能的基本事件；②求参赛学生中恰有1名女生的概率．专题二十 数学填空题解题突破【典题导引】（一）直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法．它是解填空题的常用基本方法．使用直接法解填空题， 要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法． 例1.（1）(2015⋅江苏)设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ． （2）已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -= ．（3）已知向量(cos ,sin )a θθ=r，b =r ，则||a b -r r的最大值与最小值之和为．（4）已知函数2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内不是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．（二）特殊化法当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决．例2. （1）已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则函数3()a g x bx x =+上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为 ．（2）在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +的值为__________．（3）设a R ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a = ． （4）如图，在平行四边形ABCD 中 ，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP = ，则AP AC ⋅u u u v u u u v=.（5）观察下列等式： ①2cos22cos 1αα=-；②42cos48cos 8cos 1ααα=-+；A DP③642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-；④8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+；⑤108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-． 可以推测，m n p -+= ．（6）已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点1x 与2x ，设2009100912p x x =+，2010101012q x x =+，2011101112r x x =+，则常数ar bq cp ++的值为 ．（7）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．（三）数形结合法借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法．文氏 图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形．例3.（1）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，3()h x x x =+的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 由小到大的顺序是________．（2）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ． （3）若方程lg()2lg(1)kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是________．（四）构造模型法例4.（1） 已知函数2cos 3sin 4()()cos 2x x e e x x f x x R x --+++=∈+ 的最大值为M ，最小值为m ， 则M m += ．（2）在四面体ABCD 中，AB CD =5AC BD ==，AD BC ==，则该四面体的体积V = ．（3）已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且 (1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ．（4）（2015⋅泰州一模）已知实数a b c 、、满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ．专题二十一 运用分类讨论的思想方法解题【典题导引】例1.（由数学概念、运算引起的分类讨论）函数21sin(),10,(),0,x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值的集合为______．训练1．（1）若函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在[1,1]-上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．（2）若集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的值的集合是________．（3）已知R m ∈，求函数2()(43)2f x m x x m =--+在区间[0,1]上的最大值．例2.（问题中的条件是分类给出的引起的分类讨论）设12,,,n a a a L 是各项均不为零的(4)n n ≥项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删 去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列．（1）当4n =时，求1ad的数值；（2）求n 的所有可能值．例3．（由图形或图象引起的分类讨论）将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两 部分，面积分别为21cm S ，22cm S ，其中12S S ≤．记折痕长为cm l ． （1）若4l =，求1S 的最大值； （2）若12:1:2S S =，求l 的取值范围．例4．（问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论）(2016⋅新课标Ⅰ)已知函数有()()()221x f x x e a x =-+-两个零点. （1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.专题二十二 运用数形结合的思想方法解题【典题导引】例1.（数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题）（1）函数()f x =的值域为 ．（2）若实数x 、y 满足条件221x y -=，则212yu x x=+的取值范围是_______. （3）22(cos cos 3)(sin sin 2)y θαθα=-++--的最大值为 ． （4）若实数a 、b 、c 、d 满足22ln 341a a c b d--==，则()()22u a c b d =-+-的最小值为 ．（5）（2015⋅泰州一模）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若B C ∠=∠且2227a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．例2.（数形结合解决隐含轨迹问题）（1）已知()())()2,0,2,2,02OB OC CA αααπ===≤<u u u r u u u r u u u r，则OA u u u r 与OB u u ur 的夹角的取值范围为 ．（2）已知(2cos )(2cos )(1,0)A B C ααββ-、、是平面上三个不同的点，若存在实数λ，使得CA BC λ=u u u r u u u r，则λ的取值范围是 ．（3）设D 是等腰ABC ∆腰AC 的中点，若2BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ．例3．已知函数2()21f x x ex m =-++-，2()(0)e g x x x x=+>，其中e 是自然对数的底数．（1）若函数()()h x g x m =-有零点，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()0g x f x -=有两个相异实根，求实数m 的取值范围．例4.（2010⋅江苏改编）设()f x 是定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '．如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()0h x >，使得2()()(1)f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定12,(1,)x x ∈+∞，12x x <，设m 为实数， 12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1α>，1β>，若()()()()12||g g g x g x αβ<－－，求m 的取值范围．专题二十三运用函数与方程的思想方法解题【典题导引】例1.如图，已知椭圆2222:1(1)1x yG aa a+=>-，22:(1)1M x y++=e，P为椭圆G上一点，过P作Me的两条切线PE、PF，E、F分别为切点．（1）求t PM=u u u u r的取值范围；（2）把PE PF⋅u u u r u u u r表示成t的函数()f t，并求出()f t的最大值、最小值．例2. 已知函数()ln(1)f x x x=+-，()lng x x x=．（1）求函数()f x的最大值；（2）设0a b<<，证明：0()()2()()ln22a bg a g b g b a+<+-<-．（例1图）。