三年级思维 容斥原理
容斥原理公式及运用完整版
容斥原理公式及运用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。
三年级容斥原理
三年级容斥原理小朋友们，咱们今天来聊聊一个有点神奇的数学知识——三年级容斥原理！你们知道吗？这容斥原理就像是一个神奇的魔法钥匙，能帮咱们解开好多数学谜题呢！比如说，咱们班有喜欢画画的小朋友，有喜欢唱歌的小朋友，还有既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友。
那怎么才能知道到底有多少小朋友有自己的爱好呢？这就要靠容斥原理啦！想象一下，咱们把喜欢画画的小朋友看作是一群小猫咪，把喜欢唱歌的小朋友看作是一群小兔子。
那既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友，不就是既是小猫咪又是小兔子的神奇存在嘛！咱们来举个具体的例子。
假设班里有 20 个小朋友喜欢画画，15 个小朋友喜欢唱歌，其中 8 个小朋友既喜欢画画又喜欢唱歌。
那到底总共有多少小朋友有爱好呢？咱们先把喜欢画画的 20 个小朋友和喜欢唱歌的 15 个小朋友加起来，是不是得到 35 个呀？可是这里面，那些既喜欢画画又喜欢唱歌的 8 个小朋友被重复计算啦！所以咱们得减去这 8 个，这样才能得到真正的总数。
算一算，就是 35 - 8 = 27 个小朋友。
再比如说，有一堆水果，有苹果、香蕉、橙子。
有的水果只属于一种类别，有的水果既可以是苹果又可以是橙子，这是不是就有点像容斥原理啦？小朋友们，容斥原理是不是还挺有趣的？它就像是一个能把混乱的东西整理得清清楚楚的小助手。
学会了它，咱们就能在数学的世界里更加游刃有余啦！所以呀，小朋友们可别觉得它难，只要多想想这些有趣的例子，多做做练习，容斥原理就能被咱们轻松拿下！这就像咱们学会了骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但多练习就能骑得又快又稳啦！加油吧，小朋友们，相信你们一定能掌握这个神奇的知识！总之，三年级的容斥原理虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多思考多练习，就一定能把它变成咱们数学学习中的好帮手！。
容斥原理三个公式小学
容斥原理三个公式小学
三集合容斥问题公式：
（1）A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都不满足的个数
解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC 面积之和减去两两重叠的部分，但是中间三者重叠的部分减去了三次，相当于被挖空了，所以还得加上它。
（2）A+B+C-只满足两个条件的个数-2倍满足三个条件的个数=总数-三者都不满足的个数
解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC 面积之和减去重叠两层的面积，再减去重叠三层的面积的两倍。
重叠2层，只用减去1层，重叠3层，得减掉2层。
（3）只满足一个条件的个数+只满足两个条件的个数+满足三个条件的个数=总数-三者都不满足的个数。
解释：把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于只有一层的面积+重叠两层的面积+重叠三层的面积。
(尖子生培优)集合问题(容斥原理)-三年级数学思维拓展
（尖子生培优）集合问题（容斥原理）三年级数学思维拓展集合问题，也是思维拓展中比较常见的题型之一，又称为容斥原理问题。
1．某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？2．一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？3．某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？能力巩固提升4．三（1）班在喜欢吃的水果中，每人至少选了一种．喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃西瓜的有25人，两种都喜欢的有9人，三（1）班一共有几人？5．学校举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？6．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？7．三（4）班同学在本学期的期中考试中，有36人数学获得优秀，有29人语文获得优秀，有28人语文和数学都获得了优秀，同时有9人语文数学都没有获得优秀，三（4）班总共有多少学生？8．对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人。
两项都会的有10人，两项都不会的有9人。
这个班一共有多少人？9．五（2）班有48人，在学校举行的社团活动中，参加舞蹈社的有29人，参加美术社的有25人，两个社团都没参加的有3人，既参加舞蹈社又参加美术社的有多少人？10．四（1）班有26位同学参加了“小记者”兴趣小组，有25位同学参加了“小主持人”兴趣小组，有6位同学既参加了“小记者”兴趣小组，又参加了“小主持人”兴趣小组，其余的5位同学参加了其他兴趣小组．四（1）班共有多少人？11．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？12．某一个班共有学生50人，参加文艺活动的有28人，参加体育活动的有30人，并且全班每人至少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？13．在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分．如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？14．把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
三年级上册数学奥数课件-容斥原理 人教版(共22张PPT)
部分＝总体-另一部分+重复的部分
拓展3、参加舞蹈演出的有32人，参加歌唱演出的 有27人，两种都参加的有11人，两种都未参加的有 31人，一共有多少人？
舞蹈 32人
歌唱 27人
11人
都未参 加31人
？人
参加：32+27-11=48（人） 全部：48+31=79（人） 答：一共79人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人， 参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有 参加的有25人，那么同时参加语文、数学 两科竞赛的有多少人？
练习三
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法 语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多 少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人， 会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。 问这两种棋都会下的有多少人？
包含与排除
当两个计数部分有重复时，为 了不重复计数，应从它们的和 中减去重复部分，这一原理， 我们称为包含排除原理，也称 容斥原理。
脑筋急转弯：
有2个爸爸、2个儿子在家看电视， 但是家里只有3个人，这是怎么回事呢？
2个爸爸
2个儿子
既是爸爸又是儿子
2 + 2-1=3（人） 总体＝各部分之和—重复的部分
例1、三年级一班有23人喜欢音乐，25人 喜欢美术，音乐和美术有喜欢的有8人， 全班喜欢音乐美术的共有多少人？
23+25-8=40（人） 答：全班喜欢音乐美术的有40人。
拓展1、一共有79人参加节目，参加小品类节目的 有46人，参加曲艺类节目的有39人，并且每人至少 参加一种节目，问两项节目都参加的有多少人？
共79人
小品类 46人
小学数学三年级难点问题——容斥原理
小学数学三年级难点问题——容斥原理容斥原理是小学数学的难点之一，对于三年级的同学来说，这个知识点比较新，会有一些不适应，今天我们就用一道例题来介绍一下容斥原理及其计算方法。
文氏图三（2）班共有60人，其中，喜欢足球的23人，喜欢跑步的30人，既喜欢足球又喜欢跑步的有6人，问既不喜欢足球，也不喜欢跑步的有几人？首先，我们把喜欢足球的23人列出来。
喜欢踢球的23人再将喜欢跑步的30人列出来。
喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意，有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步，我们用红色标记出来。
6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话，我们可以看得出来，喜欢踢球，喜欢跑步的同学就是上图中所有的圆点，其中包括蓝色圆点、棕色圆点和红色圆点，它们一共有23+30-6=47个，也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步，那么既不喜欢踢球，又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人，即60-47=13人，他们是不是在教室里当学霸呢？实际上，容斥原理问题我们可以用画图的方法很快的计算出来，具体地说，就是画一个文氏图，对于此题，我们先画一个椭圆，表示喜欢踢球的人，如下图所示。
用一个椭圆表示喜欢踢球的人（抽象画法）然后再画一个与刚才的椭圆有重叠的椭圆，表示喜欢跑步的同学。
喜欢踢球和喜欢跑步的同学两个椭圆重叠的部分就是既喜欢踢球又喜欢跑步的同学。
题目问的是既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人数，从图中可以看出，蓝色部分就是要求的既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人。
显然，我们通过图形可以看出，蓝色部分等于整个长方形减去两个椭圆遮住的部分，而两个椭圆遮住的部分等于黄色区域+绿色区域-重叠区域，这样看是不是一目了然啊。
因此，列出算式就是60-（23+30-6）=13人。
奥数班三年级第5讲 容斥原理
【课堂精练】
4. 两张长 4厘米，宽 2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在 桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
4 厘 米
2厘 米 图3
长方形面积： 4 × 2 = 8平方厘米 正方形面积： 2× 2 = 4平方厘米
覆盖面积： 8 ＋ 8 - 4= 12平方厘米
15
【课堂精练】
5. 一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都 不会的有4人。两样都会的有多少人？
第5讲 容斥原理
三年级奥数班
【知识点拨】
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部 分不被重复计算，通常我们采用以下计数方法。这种方法的基 本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出 去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为 容斥原理。
9
【典型例题】
例6：某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红 旗的共有 34人，手中有黄旗的共有 26人，手中有蓝旗的共有18 人．其 中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6人．而手中只有红、黄两种小旗的 有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗 的有 3人，那么这个班共有多少人？
【典型例题】
【典型例题】
例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并
且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少
人？
数学得满分 语文得满分 语文得满分
维恩图
15人 4人 12人
12人
15 ＋ 12 – 4 = 23人
4
【典型例题】 一、容斥原理1： A 人 AB人 B人 总人数 = A ＋ B – AB
小学奥数之容斥原理知识点
小学奥数之容斥原理知识点容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
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• 1、在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏 。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究 出一种新的计数方法，这种方法的基本思想 是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容 中的所有对象的数目先计算出来，然后再把 计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算 的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法 称为容斥原理。
2、A类B类元素个数总和 = 属于类元素个数 + 属于B类元
素个数 — 既是A类又是B类元素个数
3、解决容斥原理，一般采用文氏图。
文氏图指用于显示元素集合重叠区域的图示
【例3】四（2）班有56只小老虎，参加语 文竞赛的有28只小老虎，参加数学竞赛的 有27只小老虎，如果两科都没参加的有25 只小老虎，那么参加语文、数学两科竞赛 的有多少人？
【练习】一个俱乐部有103人，其中会下 中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52 人，这两种棋都不会下的有12人。问这个 俱乐部里两种棋都会下的有多少人？
容斥原理
【例1】森林里有58只小老虎，每只老虎 都至少喜欢游泳和爬树中的一项，已知喜 欢游泳的有38只小老虎，喜欢爬树的有24 只小老虎，那么既喜欢游泳又喜欢爬树的 小老虎有多少只？
【练习1】某班有48人，班主任问：“做 完语文作业的请举手？”有42人举手。又 问：“做完数学作业的请举手？”有37人 举手。“有没有哪个同学一门作业也没完 成呀？”结果无人举手。问：这个班语文 、数学作业都做完的人数是多少？
【例4】阳光喔举办学生书法展览。学校 的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品 ，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是 六年级的，五、六年级参展的书法作品共 有10幅，其他年级参展的书法作品共有多 少幅？
• 【练习4】南明小学举行小学田径运动会，其 中24名运动员不是六年级的，28名运动员不 是五年级的，已知五、六年级运动员共有32 名，五、六年级和中低年级运动员各有多少 名？
【例2】三（2）班在一次订报活动中，每 只小老虎至少订一种报纸。有15只小老虎 订了《小学生画报》，32只小老虎定了《 故事导报》，既订了《小学生画报》又订 了《故事导报》的有9只小老虎，问三（2 ）有多少只小老虎？
【练习2】一次期末考试，某班所有同学 语、数成绩至少有一门得满分。已知有25 人数学得满分，有22人语文得满分，并且 有4人语、数都是满分，那么这个班有多 少人？