黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(含精品解析)
【详解】 故选：A 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角的的三角函数值是解题的关键.
2.
（）
A. 2 B. -3 C. 7 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用根式的性质及对数的运算性质直接化简求值即可.
【详解】
.
故选：B
【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了对数的运算性质，考查了计算能力.
【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数 y＝f[g(x)]，若 t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且 y＝f(t)
在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若 t＝g(x)与 y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则
y＝f[g(x)]为增函数；若 t＝g(x)与 y＝f(t)的单调性相反，则 y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13.在
内，与角 终边相同的角是_________.
【答案】 【解析】
（或 ）
【分析】
利用终边相同的角的集合概念即可得出．
【详解】∵
，
∴在 0 到 2π 范围内，与角 终边相同的角是 （或 ）．
⑤ 在钝角 中， ，则
；
⑥
.
【答案】②③⑤
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】①
为偶函数，
为奇函数，显然不关于 轴对称，错误；
②
，两边平方可得
，所以
或
，故
，正确；
③因为 0＜θ ，所以 0＜sinθ＜θ＜ ，所以 cos（sinθ）＞cosθ，令 x＝cosθ，所以 cosθ＞sin（cosθ），故： cos（sinθ）＞sin（cosθ），正确；
（1）
；
（2）
.
【答案】（1） ； 【解析】 【分析】
（2） .
由三角函数定义可得
，
【详解】∵点 在角 的终边上，
∴
，
，利用诱导公式化简式子，代入角 的三角函数值即可.
（1）
，
（2）
.
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式与任意角的三角函数的定义，掌握诱导公式是基础，属于基础题．
18.已知
，
.
（1）求
④把函数
的图象向左平移 个单位长度后，
得到
，当 时，
，故 不是对称轴，错误；
⑤在钝角 中， ，∴
，即
，
⑥
又
，正确；
∴ 故答案为：②③⑤
，错误.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想与转化思想，属于中档题.
16.若函数
【答案】 【解析】 【分析】
,恰有 个零点，则 的取值范围是___________.
7.在 中,角 所对的边分别为 ，
,则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理，即可解得 .
【详解】∵
∴
，即
，
∴
，又 a＜b，A 三角形的内角，
∴
故选:B
【点睛】本题考查了正弦定理的应用，注意利用大边对大角进行角的限制，属于基础题.
8.已知
则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 【解析】
，
；（2）
；（3）
.
【分析】
（1）由图象得出 A、T 的值，求出 ω、φ 的值，即得 f（x）与 x0 的值；（2）利用正弦函数的单调性可求得 f（x） 的单调增区间；（3）根据自变量的范围，确定函数的零点，即求 g（x）＝0 的根，进一步求出实数 m 的取值
3.已知集合 A.
， B.
，
,则 （ ）
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】∵
，借助余弦图像即可得到结果． ，
∴
即 故选：Ｃ 【点睛】本题考查交集概念及运算，考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．
4.函数
的零点所在区间为 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令函数 f（x）＝0 得到 ，转化为两个简单函数 g（x）＝2x，h（x） ，最后在同一坐标系中画出 g（x）， h（x）的图象，进而可得答案．
故答案为： （或 ）． 【点睛】本题考查了终边相同的角的集合的概念，属于基础题．
14.先将函数
的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，得到函数 的图象，函数 的
解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象变换规律即可得到函数 的解析式.
【详解】将函数
的图象向右平移 个单位得到函数
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦函数的有界性可得，对任意 xi，xj（i，j＝1，2，3，…，n），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使 n 取得最小值，尽可能多让 xi（i＝1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小 n 值． 【详解】∵f（x）＝ 对任意 xi，xj（i，j＝1，2，3，…，n）， 都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2， 要使 n 取得最小值，尽可能多让 xi（i＝1，2，3，…，n）取得最高点，
【详解】令
0，
可得 ，
再令 g（x）＝2x，
，
在同一坐标系中画出 g（x），h（x）的图象，
可知 g（x）与 h（x）的交点在（ ，1），
从而函数 f（x）的零点在（ ，1）， 故选：Ｃ．
中档题．
【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是
5.下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
【分析】
根据已知区间，确定 的范围，求出它的最大值，结合 0＜ ＜1，求出 的值．
【详解】因为 所以 所以
，又 ，
所以 故选： 【点睛】本题是基础题，考查三角函数的最值的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
10.已知 A. －4 B. 4 【答案】C 【解析】
，则 C. －8
的值为 （ ） D. 8
（）
先利用同角三角函数基本关系式求出 cos（α+β）．
和
，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出
【详解】∵
∴
，
∴
。 故选：D 【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式及两角和的余弦公式，解题的关键是正确使用公式进行求 解．
9.已知
在区间 上的最大值为 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，
再向上平移 个单位后，得到函数
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的图象变换,注意左“+”右“-”，上“+”下“-”，属基础题．
15.下列说法中，正确的序号是_________.
①
的图象与
的图象关于 轴对称；
②若
，则
的值为 1；
③若
,则
；
④ 把函数
的图象向左平移 个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为 ；
哈三中 2018—2019 学年度上学期高一学年第一模块数学试卷
第 I 卷 （选择题, 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1.
（）
A.
B.
【答案】A
C.
D.
【解析】
【分析】
利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
①
②
③
④
A. ① ，② ，③ ，④
B. ① ，② ，③ ，④
C. ① ，②
，③
，④
D. ① ，② ，③ ，④ 【答案】B 【解析】 【分析】 通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于 1，通过排除法得到选项 【详解】②的图象关于 y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下 凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于 1，故排除Ａ 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．
11.设
，
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
故选 C
，
，
，则 的大小关系为（ ）
由 tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，得到 a＝logsin1cos1
logcos1sin1＞logsin1sin1＝1；由
lgtan1＞0＞lgsin1＞lgcos1，得到 b＝logsin1tan1 【详解】∵tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，
b＝logsin1tan1
logcos1tan1＝d＜0，∴0＞d＞b．
综上可得：a＞c＞0＞d＞b．
∴b＜d＜c＜a．
故选：D．
【点睛】本题考查四个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质、三角函数知识的 合理运用．
12.已知函数
，若存在
满足
，且
，则 的最小值为 （ ）
A.
B.
C.
a＝logsin1cos1，b＝logsin1tan1，c＝logcos1sin1，d＝logcos1tan1，
logcos1tan1＝d＜0，由此能求出结果．
《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题06 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e x f x --=-1()f x =-，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =______________．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=．【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式；（2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 注意：①性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．②性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点（1）偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；（2）奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．2．判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果(()0)f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 3．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 4．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 5．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．6．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 7．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 8．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 9．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 10．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 12．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 13．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B 【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -=C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解． 【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【答案】A【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可．【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】3-【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()23f === ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解．【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1xf x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足，代入函数求值即可．【解析】对一切且恒成立．恒成立，恒成立．，．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______________．【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，利用当0＜x＜2时，＝4x，求出，再求出，即可求得答案．【解析】∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④ ，为非奇非偶函数； 故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断 与 的关系． 29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知 ， ．若偶函数 满足 （其中 ， 为常数），且最小值为1，则 ______________． 【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定 ，利用基本不等式求最值，确定 的值，即可得到结论． 【解析】由题意， ， ， 为偶函数， ， ， ， ， ， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________．【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=，可得(4)0f=，则20191(1)(2)(019) )(2if i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f=+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______________．【答案】2【分析】根据题意，由是定义在R上的奇函数可得，结合函数为奇函数，分析可得，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得的值，相加即可得答案．【解析】根据题意是定义在R上的奇函数，则的图象关于点（﹣1，0）对称，则有，又由是R上的奇函数，则，且，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三上学期第一次验收考试(9月)数学试卷
哈三中2022—2023学年度上学期高三学年第一次验收考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（共60分）(一)单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合(){}lg 3,A x y x x N ==-∈，则集合A 的真子集的个数为A ．7B ．8C ．15D ．162．sin 495=A ．1B ．12-CD．23．若幂函数()()226844mm f x m m x -+=-+在()0,+∞上为减函数，则m 的值为A ．1或3B ．1C ．3D ．24．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012t hc c T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中c T 是环境温度，h 为常数.现有一个105C 的物体，放在室温15C 的环境中，该物体温度降至75C 大约用时1分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30C ，则m 的值约为（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．2.9B ．3.4C ．3.9D ．4.45.将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数23cos y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的图象，则ϕ的值可以是A ．712πB ．125πC ．12πD ．3π6．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =-7．已知())20222022lnx x f x x -=--，当02x <<π，cos a x =，ln cos b x =，cos e x c =，试比较()()(),,f a f b f c 的大小关系A ．()()()f a f c f b <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f a f c <<8．已知()()βαβαβαsin sin cos cos 2=++-，其中α，β均为锐角，则()βα-tan 的最大值为A.31 B.32 C.33 D.332(二)多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．02cos <C ．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角D.若βαsin sin =，则α与β的终边相同10．下列命题为真命题的是A ．若0a b <<，则22a ab b>>B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则33a b >D ．若0a b >>，c d >，则ac bd>11．已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是A ．()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是23πC ．ω的取值范围是91344⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．()f x 在区间0,15⎛⎫⎪⎝⎭π上单调递增12．)(x f 是定义在R 上的函数，满足12()(),(1)2xf x f x xe f e'+=-=-，则下列说法错误的是A ．)(x f 在R 上有极大值B ．)(x f 在R 上有极小值C ．)(x f 在R 上既有极大值又有极小值D ．)(x f 在R 上没有极值第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．若sin 2cos 0A A +=，则2sin cos sin 3cos A AA A+=-___________；14．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_________；15．某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟，则1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系()h t 的解析式为；16．已知函数()21log 0()210x x x f x x ---<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，，，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等实根．则实数a 的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知π0π2<<<<αβ，1cos 43⎛⎫-= ⎪⎝⎭πβ，()3sin 5+=αβ.（1）求sin 2β的值；（2）求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．已知函数2()2(1)2ln ()f x ax a x x a R =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.19．已知函数2()2sin sin cos cos 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的对称中心，并求当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的值域；（2）若函数()g x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴轴对称，求()g x 在区间()0,π上的单调递增区间.20．已知函数()11e e xx f x -=+．(1)判断并用定义法证明()f x 在其定义域上的单调性；(2)若()()33920x x x f k f ⋅+-+<对任意1x >恒成立，求实数k 的取值范围．21.哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层．本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：当05x ≤≤时，()34k T x x =+；当5<10x ≤时，()()213023560T x x x =-+；若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．设()f x 为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．22.已知函数2)1()1ln(2)(+-+=x ax x f 有两个不同的零点1x ，2x .（1）当211-<<-x 时，求证：211)1ln(+->+x x ；（2）求实数a 的取值范围；（3）求证：0122212221<++++x x x x .哈三中2022—2023学年度上学期 高三学年第一次验收考试数学答案13.514.[]4,0 15. ()30sin32(0)12h t t t π=+≥ 16.(]0,1 17.(1)27sin 2cos 2cos 22cos 12449πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫β=−β=β−=β−−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)()cos cos 44π⎛π⎫⎛⎫⎛⎫α+=α+β−β− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()4134cos cos sin sin 44535315ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=α+ββ−+α+ββ−=−⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18.(1)()22ln ,()22222'()2,'()2,(2).(1)(22)(2)'()220'(),(01)(1)0(01)(1)111(0)(1)(f x x x f e e f x f e y x x e e x ax f x xx a f x xa a a a=−=−=−=−=−−+=−==+∞>+∞<−+∞切线方程：，时，单减区间：，，单增区间： ，②当时，单减区间：，，单增区间： ，③当时，单减区间： ，-和 ，，单增区间：-①当)1(0)1110(0,1)()(1)0(01)(1)111(0)(1)()1(0)110a a a aa a a aa =−+∞−<<+∞≥+∞<−+∞=−+∞ ，1④当时,单减区间： ，⑤当时,单减区间：和- ，，单增区间： ，-综上，当时,单减区间：，，单增区间： ，当时，单减区间： ，-和 ，，单增区间：- ，1当时,单减区间： ，- 1-119.(1)())3211(,),().62221(2)()()2),32511(0,)(,).1212f x x k k Zg x f x x x =++−+∈−=−=−++∈，对称中心：，值域：当时，单增区间：πππππππ121212121212121220.(1),,112()()()0,11(1)(1)()(),().x x x x x x x x R x x R x x e e e e f x f x e e e e f x f x f x R ∀∈<−−−−=−=<++++⇒<定义域：，且在上单调递增 11(2)()(),()11(?3)(392)(392)·33921231,3(3,)324()1,'()0,()(3)34.3x xx x x x x x x x x x x xx e e f x f x f x e e f k f f k x k t t g t t g t g t g t k −−−−−===−⇒++<−−+=−+−⇒<−+−><−−=∈+∞=−−>⇒>=⇒≤为奇函数，对任意恒成立令，21(1)()20540=⇒==k kT()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+−≤≤++=1052235721504360082x x x x x x x f(2) 当50≤≤x 时()600860032322088348034334333x x x x +=++−≥−=++ 当且仅当311=x 时等号成立. 当105<<x 时，当7=x 时，()937m in ==f f31120831。
数学-黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三10月月考试题和答案
哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
哈三中2018—2019学年度上学期高一学年第一模块数学试卷第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】故选：A【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角的的三角函数值是解题的关键.2.（）A. 2B. -3C. 7D. 1【答案】B【解析】【分析】利用根式的性质及对数的运算性质直接化简求值即可.【详解】.故选：B【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了对数的运算性质，考查了计算能力.3.已知集合，，,则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】，借助余弦图像即可得到结果．【详解】∵，∴即故选：Ｃ【点睛】本题考查交集概念及运算，考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．4.函数的零点所在区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数f（x）＝0得到，转化为两个简单函数g（x）＝2x，h（x），最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．【详解】令0，可得，再令g（x）＝2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：Ｃ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．5.下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A. ①，②，③，④B. ①，②，③，④C. ①，②，③，④D. ①，②，③，④【答案】B【解析】【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项【详解】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．6.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求单调减区间．【详解】∵x2+2x﹣3＞0，∴x＞1或x＜﹣3；又∵y＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数；且y＝log2x在（0，+∞）上是增函数；∴函数y＝log2（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故选：A．【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．7.在中,角所对的边分别为，,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理，即可解得.【详解】∵∴，即，∴，又a＜b，A三角形的内角，∴故选:B【点睛】本题考查了正弦定理的应用，注意利用大边对大角进行角的限制，属于基础题.8.已知则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）．【详解】∵∴，∴。
最新版黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一10月月考数学试题Word版含答案
高一第一次阶段性测试（数学）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A ={}4,3,2,1,0，B ={}6,5,3,0,则A B 等于（A ）{}0,3 （B ）{}4,3,2,1,0 （C ）{}5,6,0,3 （D ）{}6,5,4,3,2,1,02．集合{}0,3,5,7A =的子集个数为(A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 83．集合A =}{40≤≤x x ，B ={}20≤≤y y ，则下列对应关系不能构成从集合A 到集合B映射的是（A ）x y x f 21:=→ （B ）x y x f 31:=→ （C ）x y x f 32:=→ （D ） x y x f =→: 4．已知函数2(1)()13(1)x f x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+≤⎩，则[](3)f f =（A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）2-5．函数y =的定义域为（A ）[)[]3,21,2-- （B ）[)()3,21,2-- （C ）[](]3,21,2-- （D ）[)(]3,21,2--6.函数()2f x x = （A ）(],2-∞ （B ）5,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ） [)2,+∞ （D ）15,8⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭7. 函数212++=x x y 的值域为 （A ）R （B ）),74[+∞ （C ） ]74,0( （D ）]74,(-∞ 8．已知)(x f 是一次函数，2(2)3(1)5,2(0)(1)1f f f f -=--=，则=)(x f（A ）23+x （B ）23-x （C ）32+x （D ）32-x9．全集为R ，{}2|50A x x x =->,B ={}a x x <-5|,（a 是常数），且10B ∈，则 （A ）()U A B R =ð （B ）()U B A R =ð （C ）()()U U A B R =痧 （D ）A B R =U 10．若函数1)1(2++-=x a ax y 在()+∞∈,2x 上是增函数，则（A ）0>a （B ）1>a （C ）1≥a （D ）31≥a11．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=)0(4)0(4)(22x x x x x x x f ，若2(2)(1)f a a f ->-，则实数a的取值范围是（A ）()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭12．已知21,x x 是方程()()053222=+++--k k x k x ()R k ∈的两个实根，则2212(1)(1)x x -+-的最大值为（A ）32 （B ） 36 （C ）955 （D ）不存在二、填空题（每小题5分）13．不等式12x +>的解集为 ．14．已知2()21f x x =+，则(21)f x += ．15．函数2)(2++-=x x x f 的单调递增区间为 ．16．定义在正实数集上的函数满足条件：（1）1)2(=f ；（2）)()()(y f x f xy f +=；（3）y x >时)()(y f x f >，则满足2)3()(≤-+x f x f 的x 的取值范围为_____．三、解答题（本大题共4道题，每小题10分，共40分）17. 已知函数2()x f x x +=，证明函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递减.18. 已知集合{}06|2<--=x x x A ，{}082|2<-+=x x x B ，{}023|22<+-=a ax x x C ，若()C A B ⊆I ，求实数a 的取值范围.19. 若正方形ABCD 边长为4，一质点P 从B 出发沿正方形从B 至C 至D 至A 运动，设点P运动路程为x ,把ABP ∆的面积)(x f 表示为x 的函数.（1）求)(x f 的解析式；（2）x 取何值时ABP ∆面积最大？最大值是多少？20．已知函数bax x x f +=2)(（ ,a b 为常数）且方程()12f x x =-有两个实根为123,4x x ==.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设1k >，解关于x 的不等式；xk x k x f --+<2)1()(.参考答案1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.B9.D 10.D11. C 12.A13.14．15．16．17．证明略。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析
15．幂函数 y f (x) 的图象经过点 (4, 1 ) ，则 f ( 1 ) =____.
2
4
16．函数
f
x
满足
f
x
x2 2x, x 2
2 f x 2, x
2
，则
f
3
值为_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
的 17．已知函数
19．设函数
f
x
a2x
t
ax
1
（
a
0且a
1)是定义域为
R
的奇函数
（Ⅰ）求 t 的值；
（Ⅱ）若函数
f
x 的图象过点 1，32
，是否存在正数
mm
1
，使函数
g(x)
logm
a2x
a 2 x
mf
(x)
在
1，log2 3 上的最大值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由
20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
C. (2, 3)
D. (3, 4)
9．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1 与 lg1=0
1
B. 27 3
1 3
与 log27
1 3
3
C.log39=2 与 32=9
D.log55=1 与 51=5
10．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（
故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面 位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷及答案
2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷满分150分．考试时间为120分钟；（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．（3）考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若3-i1+iz =,i 为虚数单位，则z （）A ．2i -B ．12i -C ．12i+D ．2i+2．设集合1{1},12A xB x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知,B C 分别是上、下底面圆的圆心，6,2AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）图1图2A ．803πB ．703πC ．20πD ．563π4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos 2Bb Cc =，且||||CA CB CA CB +=- ，则A =（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ≠,甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定6．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若4863,,5a a a 成等差数列，则1056S a a =+（）A ．1219B ．114C ．314D ．211367．有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%，加工出来的零件混放在一起．己知第1,2,3台车床加工的零件数的比为4: 5: 11，现任取一个零件，记事件i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =,事件B =“零件为次品”，则()1P A B =（）A ．0.2B ．0.05C ．537D ．10378．设0a >且1a ≠，若函数()()32223722,0()2log ,0e a x x a a x x f x x x x ⎧-+-++≤⎪=⎨->⎪⎩有三个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,(2,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1(1,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1(1,2)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,1(1,2)3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，某学校举办了一场关于杭州亚运会相关知识问答竞赛，比赛采用计分制（满分100分），该校学生成绩绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A ．0.01a =B ．该校学生成绩的众数为80分C ．该校学生成绩的75%分位数是85分D ．该校学生成绩的平均分是76.510．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22154x y +=的右焦点重合，,A B 是抛物线C 上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A ．抛物线C 的标准方程为24y x=B ．若直线AB 经过点F ,则以线段AB 为直径的圆与y 轴相切C ．若点(1,1),Q P 为抛物线C 上的动点，则PQF 周长的最小值为3+D ．若0OA OB ⋅=,则||||32OA OB ⋅≥11．如图，已知正三棱台111ABC A B C -是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中12AA =,以点A 为球心，11BCC B 的交线为曲线,P Γ为Γ上一点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面11BCCB 的距离为B ．曲线Γ的长度为4πC ．CP 的最小值为2D ．所有线段AP 所形成的曲面的面积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则1a =_______．（用数字作答）13．已知圆221:3C x y +=,圆222:(1)(2)3C x y -+-=,直线:2l y x =+．若直线l 与圆1C 交于,A B 两点，与圆2C 交于,D E 两点，,M N 分别为,AB DE 的中点，则||MN =________．14．设*{1,2,,}m N m = 表示不超过()*m m N∈的正整数集合，kA 表示k 个元素的有限集，()S A 表示集合A中所有元素的和，集合(){}*,m k k k m T S A A =⊆N ，则3,2T =_________；若(),32024m S T ≤，则m 的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数21()sincos (0)2f x x x x ωωωω=->．（1）当1ω=时，求函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2,0,23A f a AD π⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC 的面积．16．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC 沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥,连接PB 得三棱锥P ABC -,如图2．图1图2（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ;（2）在线段PC 上是否存在点M ,使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．17．已知函数()e xf x ax =+．（1）若1a =-,求函数()f x 的单调区间；（2）当0x >时，2()1f x x >+恒成立，求实数a 的取值范围．18．这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ,求{}n a 的前n 项和n S ；（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为20x y ±=．（1）求双曲线H 的标准方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交双曲线H 左右两支于,A B 两点（异于顶点），点A 关于x 轴的对称点为E ，证明直线BE 过定点Q ；（3）过双曲线H 上任意不同的两点,C D 分别作双曲线H 的切线，若两条切线相交于点M ，且0MC MD ⋅=，在第（2）的条件下，求MPQ S 的最大值及此时点M 的坐标．2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案1-4CCDA5-8BADC9ACD10AD11ACD12．2401314．{3,4,5}；2215．（1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（2）216．（1）略（2）2317．（1）单调递减区间(,0)-∞单调递增区间(0,)+∞（2）2a e>-18．（1）2727(3)(4)6464P X P X ====91(5)(6)6464P X P X ====15()4E X =（2）34(4)4nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）12519．（1）2214x y -=（2）(1,0)Q （3）(0,MPQ S M =。
精校word版答案全---2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期末考试英语试题
哈三中2018-2019学年度上学期高一学年第二模块英语考试试卷第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节（共5 小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
第二部分阅读理解第一节：共15小题；每小题2分，满分30分阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
AIf you are dreaming of visiting one of those picture-perfect European towns filled with old-world attractiveness and scenic beauty, here is a look at the most beautiful small towns in Europe.ManarolaManarola, Italy, is filled with rainbow-colored homes along the Mediterranean (地中海) coast. This attractive fishing town is famous for its unbelievable wine, and the paintings. There are no cars here, no traffic lights, or traffic noise. You can drive to Manarola, but you will have to park just outside the town and then take a shuttle bus or walk in on foot.Garmisch-PartenkirchenGarmisch-Partenkirchen, Germany, is a fascinating mountain town, once two separate towns, one Roman and the other Teutonic. The 1936 Winter Olympics forced them to become one, though the two sides still have different characters. The town dates back to 15 AD, filled with narrow streets lined with historic three or four-story buildings painted with religious scenes (宗教场景).MarsaxlokkThe energetic trading port of Marsaxlokk, Malta, was built in 900 BC. Today, this picture-liketown is the main supplier (供应地) of fish to the island nation that sits in the Mediterranean Sea. It has no modern buildings to ruin its attractiveness. With such quiet surroundings, including the traditional fishing boats, it is a particularly charming (迷人的) place to visit.Port MageeIn a country filled with beautiful towns, Port Magee, is a standout, sitting on the southwest coast of Ireland. This seaside fishing town has a row of brightly colored buildings along with a rich and colorful history. At The Bridge Bar, you will find live music many nights of the week along with nice food and a fine glass of beer.21. In which town are tourists not allowed to go sightseeing by car?A. ManarolaB. Garmisch-PartenkirchenC. MarsaxlokkD. Port Magee22. Marsaxlokk is attractive for______.A. wine and paintingsB. religious scenesC. fishing boats and old buildingsD. rich history and live music23. Manarola and Port Magee are perfect choices for tourists who ______.A. prefer enjoyment in an old coastal fishing townB. want to stay on a Mediterranean islandC. have special interest in traditional fishing boatsD. need to be refreshed in a mountain town24. Which statement about Garmisch-Partenkirchen is TRUE?A. Garmisch-Partenkirchen is a Roman town.B. The 1936 Winter Olympics gave birth to the town.C. There are many wide streets painted with religious scenes.D. The two sides of it now have similar characters.25. You may find this passage on a __________.A. newspaperB. tourist guideC. scientific magazineD. geography bookBThe US teenager Thomas Cheatham had planned to study Latin during his time at Hebron High School in Texas. However, when he learned that the school district was going to offer a Mandarin (普通话) class, he quickly changed his mind.“I thought Mandarin would be more beneficial than Latin,” said Cheatham, who is now in his second year of studying the language. He speaks Mandarin to order food at Chinese restaurants and can read social media posts from his Chinese-speaking friends.While it is a difficult language to master, the high school junior, who plans to study computer engineering, thinks it will be important for his career. “Chinese is a good language to know, especially with China becoming a growing power,” he said.Many experts agree that proficiency in a language spoken by a billion people worldwide will give American students an edge in the global economy. “People are looking at China as our next economic competitor, and interest in Mandarin is growing,” said Marty Abbott, executive director of the American Council on the Teaching of Foreign Languages. “We’re seeing it in all parts of the country.”Abbott estimates that as many as 100, 000 students are now studying Mandarin throughout the US, in public and private schools. She said the US government had designated (指定) Mandarin as a “critical needs”language and provided professional development programs for teachers. “Our government wants to increase our language competency for national security (安全) and economic competitiveness,” Abbott said.At the same time, the Chinese government is spreading knowledge of the Chinese language and culture through Confucius Institutes established in many US states. For example, the Confucius Institute at the University of Texas in Dallas has been the home of a Confucius Institute for 10 years. It sponsors (赞助) Confucius Classrooms at 21 local public and private schools, where tens of thousands of students are learning Mandarin.26. Thomas Cheatham decided to study Mandarin instead of Latin because he thought ______.A. Mandarin was easier to learn than LatinB. Mandarin might help him learn more about Chinese foodC. Mandarin could enable him to make more friends onlineD. Mandarin could have more advantages in his future career27. The underlined word “proficiency” in Paragraph 4 probably means ________.A. strong interestB. great skillC. lack of practiceD. a level of difficulty28. Which of the following statements might Marty Abbott agree with?A. Mandarin should be taught in every classroom throughout the US.B. The US government’s policy has helped popularize (普及) Mandarin in the US.C. Many Americans learn Mandarin because they worry about their national history.D. Those competent at Chinese will be the most competitive in the US in the future.29. Which of the below statements is TRUE according to the passage?A. Americans are looking at China as a great economic competitor.B. Chinese is the most popular second language in the US.C. American students are only studying Chinese in public schools.D. The Confucius Institute at the University of Texas is the first one in the US.30. What is the main idea of the article?A. The rising popularity of Mandarin among American students.B. The influence of China’s growing power on America ns.C. The benefits of learning Mandarin for Americans.D. How Confucius Institutes in the US help promote Mandarin.CThe idea of having a car, a plane, a drone (无人飞机) parked outside your home may not be as unlikely as it seems.We are going to have personal air vehicles that are both cars and planes. At least that’s Missy Cummings’s vision of the future. It’s basically the intersection (交叉) of a drone with a robotic car, so your plane is also your car, but the quick development of technology is that you are actually driving neither.Drones have a negative image in the media, says Cummings, because they are basically seen as spy cameras. But most people don’t realize that when they are on a plane they are effectively travelling on a drone. The fly-by-wire technology that exists on all Airbuses and many Boeing crafts is the exactly same technology that exists on drones.The reason why drones are the answer to the future is that we are terrible drivers. Humans have a half-second lag (延迟) in almost any quick response that they need to have. Even ahalf-second delay can mean the difference between life and death, and computers and automated (自动化的) systems don’t have that.So, our transportation network of the future, both on the ground and in the air, will actually be safer when we turn it over to computers.There really aren’t any technological difficulties to this idea. The biggest difficulties we have are psychological and cultural, in terms of giving up the car, but no new tech needs to be developed to have your own personal flying car. What we have to do is improve production and reduce manufacturing costs.People should be excited about this: it promises much in terms of safer travel, and people in parts of the world where the road and air networks are poor will be able to get the goods and services.31. Most people don’t know that _______.A.we needn’t drive a flying carB.drones are actually spy camerasC.planes are much safer than flying carsD.The technology on drones is used on planes32. According to the author, what makes drones the best choice in the future?A.Their low costs.B.Their high speed.C.Their quick response.D.Their modern comforts.33. The underlined word “that” in Paragraph 4 refers to _______.A.the truthB.the differenceC.quick responseD.a half-second delay34. What will most probably prevent the popularity of flying cars in the future?A.Their being expensive.cking advanced technology.C.People’s not accepting the idea.D.People’s failing to improve production.35. What’s the best title of the passage?A.Future VehiclesB.Future Flying CarsC.An Answer to the FutureD.Safer Travel第二节：共5小题；每小题2分，满分10分根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期期末考试数学试题
哈三中2021—2022学年度下学期高二学年期末考试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|),(x y y x A ==，{}(,)|B x y y x ==，则集合B A 的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则11a b <C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则b a a b>3．已知1,0x y >>，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为A ．9B ．10C ．11D ．7+4．函数()f x =的单调递增区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞A ．设随机变量1~62XB ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()2E X =B ．已知随机变量()2~2X N σ，且(4)0.9P X <=，则(02)0.1P X <<=C ．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()E X =0.6D ．四位同学到4所大学访问，每人只去一所大学，设事件A =“4个人去的大学互不相同”，事件B =“甲独自去一所大学”，则2(|)9P A B =6．已知奇函数()f x 满足()()()2f x f x x -=-∈R ，且[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则关于x 的方程()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和是A ．4B ．6C ．8D ．107．已知函数xx x f ln )(=，22)1ln()(ax x x g ++=，若],1[21e x ∈∀，)1,0(2∈∃x 使得)()(21x g x f >成立，则实数a 的取值范围是A ．ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．ln 2,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．ln 2,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．已知函数()ln()(0)xf x e a ax a a a =-+->，，若关于x 的不等式0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,eC ．1(,1)eD ．(0,)e （二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．下列关于回归分析的说法中，正确的是A ．在回归分析中，散点图内的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，我们称两个变量呈正相关B ．在回归分析中，残差点所在的带状区域宽度越宽，说明模型的拟合精度越高C ．在回归分析中，样本数据中一定有样本点()x yD ．决定系数2R 越大，模型的拟合效果越好A ．函数x mx x f ln )(2-=在)2,1(上单调递增的一个必要不充分条件是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>41|m m B ．“2||>+b a ”是“2||||>+b a ”充分不必要条件C ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件D ．命题“01],3,2[2≥+-∈∃mx mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围为1|6m m ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭11．下列说法中正确的是A ．函数2123y x x =-+的值域为1(,]2-∞B．函数2y =的值域为[2,)+∞C．函数y =[2,D ．若函数22log (2)y ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[0,1]12．悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为cosh x y a a =（e e cosh 2xxa ax a a a -+=⋅，其中a 为非零常数，e 为自然对数的底数）．当a ＝1时，记()cosh f x x =，则下列说法正确的是A ．()()2221f x f x =-B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的导函数()f x '是奇函数D ．()f x 在(],0-∞上单调递减二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数(21)f x -的定义域为．14．哈三中理学会组建甲、乙两个数学解题小组，两个小组独立开展解题工作，已知某道竞赛题甲小组解题成功的概率为23，乙小组解题成功的概率为12．在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为．15．函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤+-=1,231619)(22x a x x x ax x x f ，，若)1()(f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为．16．已知定义在R 上的函数)(x f 满足),0[,)()(212+∞∈∀=-+x x x x f x f ，，均有12121212()())2f x f x x x x x x x -+>≠-（，则不等式21)1()(->--x x f x f 的解集为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|211}B x a x a =-<<+.（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为3 5 .（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++.()2P kχ≥0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数（单位：个）进行了统计，得到如下统计数据：年份20182019202020212022年份编号x 12345报考人数y3060100140170（1）经分析，y 与x 存在显著的线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+并预测2023年的报考人数；（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布2(,)N μσ，根据往年统计数据，2385,225μσ==.录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在[385,400]之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2023年该专业录取的大约人数(最后结果四舍五入，保留整数).参考公式和数据：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.若随机变量X ()2~,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973.P X μσμσ-<<+=随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,03080,30120150x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现Z 症状的情况，决定对小白鼠进行接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为14，假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望.22．（本题满分12分）已知()2ln(1).x f x e a x =++（1）若()f x 在0x =处的切线恰好与轴平行，讨论此时()f x 的单调性；（2）当1a =-时，判断()sin 1()x g x f x e x ---=的零点个数.哈三中2021—2022学年度下学期高二学年期末考试数学试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案BCBDDBAAADABCDACD二、填空题：13.1[,2]2-14.2515.[2,4]16.1(,)2+∞三、解答题：17.（1）(,1)[2,)A =-∞-+∞ （2）当B =∅时，211a a -≥+，2a ≥当B ≠∅时，21121111212a a a a a a -<+-<+⎧⎧⎨⎨+≤--≥⎩⎩或，3222a a ≤-≤<或综上，322a a ≤-≥或18.（1）（2）零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，220.00125<10.828=6χχ=,依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100（3）X 的可能取值为0,1,2,3，3(3,5X B 3123283236(0)((1)()512555125P X P X C =====⋅⋅=,22333254327(2)(),(3)()551255125P X C P X ==⋅⋅====.X ∴的分布列为X 0123P812536125541252712539()355E X =⨯=.19.（1）()11234535x =++++=，()130601001401701005y =++++=，所以()()()121360ˆ3610niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑，则ˆˆ1003638a y bx=-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程是ˆ368yx =-，当2023年时，即6x =时，ˆ3668208y=⨯-=，即2023年的报考人数大约为208人.（2）考试成绩()2~385,15X N ，则40038515=+，10.6827(400)0.158652P X ->==，直接录取人数为2080.1586533⨯≈，[385，400]之间的录取人数为0.68272080.8572⨯⨯≈，所以2023年该专业录取的大约为335790+=人.20.（1）由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入80150kv x=--，解得2400k =，所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩.当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤.答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时，240045008080[180(150)]150150x y x x x x=-=--+--4800(33667≤-≈.当且仅当4500150150x x-=-，即30(583x =-≈时等号成立.答：隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.21.（1）已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为14，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现Z 症状的概率为114p =，在第二天接种后当天出现Z 症状的概率为2113131444416p ⎛⎫=-⨯=⨯= ⎪⎝⎭，在第三天接种后当天出现Z 症状的概率为3331944464p =⨯⨯=，所以，一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为123139374166464p p p p =++=++=；（2）设事件C =“某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，则()32333131544432P C C C 2⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,随机变量X 可能的取值为1、2、3，则()()5132P X P C ===,()()()2751352132321024P X P C P C ==-⋅=⨯=⎡⎤⎣⎦,()()227277293132321024P X P C ==-=⨯=⎡⎤⎣⎦,所以X 的分布列为：X 123P 53213510247291024随机变量X 的数学期望为51357292617()12332102410241024E X =⨯+⨯+⨯=.22.（1）()2,1x a f x e x '+=+()200f a ='+=2a ∴=-()22ln(1).x f x e x ∴=-+()()22,1x f x e f x x '+'=-在()1,-+∞单调递增，且()00.f '=当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时(),0f x '>.所以函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增.（2）证明:略。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试(内考)数学(理)试卷及解析
………外………○……………订………学校:________________考号：______………内………○……………订………黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考）数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--， 2{|4}B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0C. {}1,0-D. {}1,0,1-2.设复数()211i z i-=+，则z =（ ）3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图答案第2页，总16页○…………装…………○※※请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………○A. 23 B. 43 C. 2 D. 83 4.已知a=243，b =425，c =2513，则（ ）A. b < a < cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b5.已知数列{}n a 的前n 项和2n n S a λ=+，且11a =，则5S =（ ） A. 27 B.5327 C. 3116D. 31 6.设随机变量ξ~B(2,p)，η~B(4,p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为（ ）A. 3281B. 1127C. 6581D. 16817.已知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 88.甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（ ））A. 36种B. 24种C. 18种D. 12种9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）A. 2014n ≤B. 2015n ≤C. 2016n ≤D. 2018n ≤10.若(3x +x √x )n(n ∈N ∗)的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则∫√a 2−x 2dx a−a=A. 36πB.81π2 C. 25π2D. 25π 11.已知x 2+y 2=4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（） A. 2√10 B. 12√10 C. √10 D. 32√10…………装………:___________姓名：_____…………装………12.函数()x xf x e=，方程()()()2110f x m f x m ⎡⎤-++-=⎣⎦有4个不想等实根，则m 的取值范围是( )A. 22,1e e e e ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ B. 221,e e e e ⎛⎫-++∞ ⎪+⎝⎭ C. 221,1e e e e ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭ D. 22,e e e e ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知向量()2,4a =-， ()3,4b =--，则向量a 与b 夹角的余弦值为__________．14.设x ，y 满足约束条件{3x +2y −6≤0x ≥0y ≥0，则z =x −y 的最大值是______________. 15.在四面体ABCD 中，AB =AD =2,∠BAD =60°,∠BCD =90°，二面角A −BD −C 的大小为150°,则四面体ABCD 外接球的半径为__________．三、解答题（题型注释）16.在ABC ∆， 3B π=， 2BC = （1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上， AD DC =， DE AC ⊥， E 为垂足， 2ED =，求角A 的值.17.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．答案第4页，总16页…………装…………○…○…………线…………○※请※※不※※要※※在※※装※※订…………装…………○…○…………线…………○（Ⅰ）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ， b 的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．18.如图所示，在四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，AB =AA 1=2A 1B 1=2.（1）若M 为CD 中点，求证：AM⊥平面AA 1B 1B ；（2）求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值.19.在平面直角坐标系xOy 中，与点()2,3M -关于直线220x y -+=对称的点N 位于抛物线()2:20C x py p =>上.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点N 作两条倾斜角互补的直线交抛物线C 于A ， B 两点（非N 点），若AB 过焦点F ，求AF BF的值.20.已知函数f(x)=(x2+x)lnx+2x3+(1−a)x2−(a+1)x+b(a,b∈R). （1）当a=0，b=0时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若f(x)≥0恒成立，求b−2a的最小值21.《选修4-4：坐标系与参数方程》已知曲线C1:x+√3y=√3和C2:{x=√6cosφy=√2sinφ，（φ为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（1）把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；（2）设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.22.《选修4-5：不等式选讲》设a,b,c>0，且ab+bc+ca=1.求证：（1）a+b+c≥√3（2）√abc+√bac+√cab≥√3(√a+√b+√c).答案第6页，总16页参数答案1.D【解析】1.求解二次不等式可得： {}|22B x x x =≥≤-或，则{}|22R C B x x =-<<， 由Venn 图可知图中阴影部分为： (){}1,0,1R A C B ⋂=-. 本题选择D 选项. 2.C【解析】2.()()()()2i 1i i 1i 1i,1i 1i 1i z --==--=----=+-故选C.3.A【解析】3.先由三视图可判断该几何体为三棱锥，结合三棱锥的体积公式即可求出结果.由三视图可知该几何体为三棱锥，且底面为直角三角形，直角边分别为1和2，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为V =13×12×2×1×2=23.故选A 4.A【解析】4. 因为a =243=423>425=b ，c =2513=523>423=a ，所以b <a <c ，故选A ）5.C【解析】5.∵2n n S a λ=+，且11a =， ∴112S a λ=+，即1λ=- ∴2n n S a =-，当n 2≥时， ()12n n n S S S -=--， ∴122n n S S -=+，即1112n n S S -=+，∴()11222n n S S --=- ∴()11212n n S -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭∴45122S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3116故选：C 6.B【解析】6.P (ξ≥1)=59⇒C 21p(1−p)+C 22p2=2p −p 2=5⇒p =1P (η≥2) =C 42p 2(1−p)2+C 43p 3(1−p)+C 44p 4=6×19×49+4×127×23+181=1127，选B. 7.D【解析】7.双曲线焦点到渐近线的距离为b ,所以4b =.双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为2,故2c a -=,由于222216c a b a =+=+,解得5,3c a ==,右顶点到左焦点的距离为358a c +=+=,故选D. 8.B【解析】8.根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有C 21A 22=4种排法，其余3人排其它3个位置，共有A 33=6种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有4×6=24种．故选B ． 9.A【解析】9.前6步的执行结果如下： 0,1s n ==； 2s n ==； 0,3s n ==； 0,4s n ==；5s n ==； 0,6s n ==；观察可知， s 的值以3为周期循环出现，所以判断条件为2014n ≤？时，s =0．故选A.答案第8页，总16页外…………○………※※请※※内…………○………【解析】10.3x +x √xn (n ∈N ∗)展开式的通项为T r+1=C n r (3x )n−r (x √x )r =3n−r C n r x n−52r ,r=0,1,⋯,n ，因为展开式中含有常数项，所以n −52r =0，即r =25n 为整数，故n 的最小值为5．所以∫a−a √a 2−x 2dx =∫5−5√52−x 2dx =25π2.故选C11.D【解析】11.根据这五个数构成等差数列，可用x ，y 表示出后三项，再由x 2+y 2=4，令x =2cos θ，y =2sin θ，代入后三项的和，即可求出结果.因为在实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列， 所以设中间三项为a,b,c ，由等差数列的性质可得2b =x +y ，所以b =x+y 2，同理可得c =x+3y 4，所以后三项的和为b +c +y =x+y 2+x+3y 4+y =3x+9y 4，又因为x 2+y 2=4，所以可令x =2cos θ，y =2sin θ，所以3x+9y 4=32(cos θ+3sin θ)=3√102sin (θ+φ)≤3√102. 故选D 12.C【解析】12.根据题意画出函数图像：设()()()2,110t f x t m f x m =-++-= 有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x 值，故情况为外…………○…………装学校:___________姓内…………○…………装11221{{110,0,t tettee=>⎛⎫∈⎛⎫⎪∈⎪⎝⎭⎝⎭或当属于情况一时，将0代入方程得到m=1,此时二次方程()()()2,110t f x t m f x m=-++-=的根是确定的一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况二时，22211101{110mm e eme ee em+-+-<-+⇒<<+->故答案为：C.【解析】13.2344cos,=20a ba ba b-⨯+-⨯-⋅===14.2【解析】14.先由约束条件作出可行域，再由z=x−y可化为y=x−z，结合可行域即可求出结果.根据约束条件{3x+2y−6≤0x≥0y≥0作出可行域如下：因为目标函数z=x−y可化为y=x−z，因此直线y=x−z在y轴截距越小，目标函数z的值越大，由图像易得，当直线y=x−z过点(2,0)时，目标函数取最大值，即z max=2−0=2.故答案为2答案第10页，总16页15.√213【解析】15.过等边三角形ABD 的中心作平面ABD 的垂线l ） 取BD 的中点E ，过点E 做平面CBD 的垂线l′）设l ∩l′=G ，由几何关系可知：点G 为四面体ABCD 外接球的球心， △ABD 是边长为2的等边三角形，则EF=√33,二面角A −BD −C 的大小为150°,则∠GEF =60∘） 据此，在Rt △EFG 中，GF =EF ×tan60∘=1） 四面体ABCD 外接球的半径为GA =√GF 2+AF 2=√1+43=√213.16.（1）1AB =；（2）4A π=.【解析】16.试题分析:先求CD ，在△BCD 中，由正弦定理可得：sin sin BC CDBDC B=结合∠BDC=2∠A ，即可得结论． 解：（1）设AB x =，则由余弦定理有： 2222cos AC AB AC AB AC B =+-⋅ 即2223222cos60x x =+-⋅︒ 解得： 1x = 所以1AB =（2）因为ED =，所以sin ED AD DC A ===. 在BCD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC CDBDC B=∠， 因为2BDC A ∠=∠，所以2sin2A =所以cos A =，所以4A π=. 17.（1）0.5,0200{0.860,200400140,140x x y x x x x ≤≤=-<≤->；（2）0.0015a =， 0.0020b =；（3）见解析.【解析】17.试题分析: （1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将260y =代入（1）中函数解析式可得400x =，即()4000.80P x ≤=，根据频率分布直方图可分别得到关于,a b 的方程,即可得,a b ;（3）x 取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用y 值,对应得出每组电费的概率,即可得到Y 的概率分布列,然后求出Y 的期望.试题解析:（1）当0200x ≤≤时， 0.5y x =；当当200400x <≤时， ()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；当当400x >时， ()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为0.5,0200{0.860,200400140,140x x y x x x x ≤≤=-<≤->.（2）由（1）可知，当260y =时， 400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知0.121000.30.8{1000.050.2b a +⨯+=+=，∴0.0015a =， 0.0020b =（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550， 当50x =时， 0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时， 0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时， 0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时， 0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时， 0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时， 0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 所以随机变量的数学期望250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18.（1）详见解析；（2）15.【解析】18.答案第12页，总16页外…………○………※※请※※内…………○………试题（1）连接AC ，可证AM⊥AB ，又因为AA 1⊥底面ABCD ，可得AM ⊥AA 1，即可得证.（2）如图建立空间直角坐标系A −xyz ，求出DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面A 1BD 的一个法向量n 的坐标，则直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值sinθ=|cos <n,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|.试题解析：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，连结AC ，则ΔACD 为等边三角形，又∵M 为CD 中点∴AM ⊥CD ，由CD//AB 得∴AM ⊥AB∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ∴AM ⊥AA 1，又∵AB ∩AA 1=A∴AM⊥平面AA 1B 1B（Ⅱ）∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，AB =AA 1=2A 1B 1=2，得DM=1，AM =√3，∴∠AMD =∠BAM =90° 又∵AA 1⊥底面ABCD ，分别以AB ，AM ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyzA 1(0,0,2)、B(2,0,0)、D(−1,√3,0)、D 1(−12,√32,2)∴DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,0)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)设平面A 1BD 的一个法向量n=(x,y,z)，则有{n ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−3x +√3y =02x −2z =0⇒y =√3x =√3z ，令x =1，则n =(1,√3,1)∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值sinθ=|cos <n,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗n·DD 1|=15．点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线AM 和平面ABCD 内的两条相交直线AB 、AA 1垂直，证明M ⊥平面AA 1B 1B ；第二问中通过建立空间直角坐标系A −xyz ，求得DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面A 1BD 的一个法向量=(1,√3,1)，结合sinθ=|cos <n,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=15得到结论. 19.（1）24x y =；（2）3+【解析】19.试题分析：（1）设(),N m n ，则31,22{ 23220,22n m m n -=-+-+⨯-+=解之得()2,1N ，代入()220x py p =>得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =；（2）设直线NA 的方程()12y k x -=-，则直线NB 的方程()12y k x -=--，联立方程()24{12x yy k x =-=-消元，得24840x kx k -+-=，由韦达定理可得()()42,411A k k k --+，同理， ()()42,411B k k k --++，由斜率公式可消去参数k 得1AB k =-，若1AF BF<，由cos45BF AF BF AF-=+，可得结果，若1AF BF>，同理可的结果.试题解析：（1）设(),N m n ，则31,22{ 23220,22n m m n -=-+-+⨯-+=解之得()2,1N ， 代入()220x py p =>得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）显然直线NA 的斜率是存在的，设直线NA 的方程()12y k x -=-， 设直线NB 的方程()12y k x -=--，设()11,A x y ， ()22,B x y ，联立方程()24{12x yy k x =-=-消元，得24840x kx k-+-=， 所以124x k +=，∴142x k =-，∴()1411y k k =-+， 故()()42,411A k k k --+， 同理， ()()42,411B k k k --++，所以()()41141114242AB k k k k k k k ++---==----+，若1AF BF<，因为cos45BF AF BF AF-=+，∴3AF BF==-答案第14页，总16页若1AF BF>，同理可求3AF BF==+.20.（1）9x −y −7=0；（2）-2【解析】20. （1）当a=0，b =0时，f(x)=(x 2+x )lnx +2x 3+ x 2−x ，求出f(1)，再对函数f(x)求导，求出f ′(1)，进而可得切线方程；（2）对函数f(x)求导，由导数的方法研究其单调性，表示出a ，和b ，再研究b −2a 的最值即可.（1）当a=0，b =0时，f(x)=(x 2+x )lnx +2x 3+ x 2−x ，∴f(1)=2f ′(x)=(2x +1)(lnx +3x) ∴f ′(1)=9∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为9x −y −7=0.（2）由题意，得f ′(x)=(2x +1)lnx +(x 2+x ) ⋅1x+6x 2+2(1−a)x −(a +1)= (2x +1)(lnx +3x −a)因为x∈(0,+∞)，令f ′(x)=0，得lnx +3x −a =0.设ℎ(x)=lnx +3x −a ，由于ℎ(x)在(0,+∞)上单递增，当0<x <1时，ℎ(x)<lnx +3−a ，当x <e a−3时，lnx +3−a <0，取M =min {1,e a−3}，则x∈(0,M)时，ℎ(x)<lnx +3−a <0，又ℎ(e a )=3e a >0，所以存在唯一x 0∈(0,+∞)，使得ℎ(x 0)=0，即a =3x 0+lnx 0.当0<x <x 0时，f ′(x)<0，所以f(x)在(x,x 0)上单调递减；当x >x 0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(x 0,+∞)上单调递增. 当x∈(0,+∞)时，f(x)min =f (x 0)=(x 02+x 0) lnx 0+2x 03−(1−a)x 02−(a +1) x 0+b=(x 02+x 0)lnx 0+2x 03+ (1−3x 0−lnx 0)x 02−(3x 0+lnx 0+1) x 0+b =−x 03−2x 02−x 0+b .因为f(x)≥0恒成立，所以f(x)min =−x 03−2x 02−x 0+b ≥0，即b ≥x 03+2x 02+x 0.b −2a ≥x 03+2x 02+x 0−2a = x 03+2x 02+x 0−6x 0−2lnx 0= x 03+2x 02−5x 0−2lnx 0.设φ(x)=x 3+2x 2−5x −2lnx ，x ∈(0,+∞)， 则φ′(x)=3x 2+4x −5−2x= 3x(x −1)+7x 2−5x−2x=(x−1)(3x 2+7x+2)x当0<x <1，φ′(x)<0，所以φ(x)在(0,1)上单调递减； 当x >1时，φ′(x)>0，所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增. 当x∈(0,+∞)时，φ′(x)min =φ(1)=−2.所以当x 0=1即a =3x 0+lnx 0=3，b =x 03+2x 02+x 0=4时，(b −2a)min =−221.（1）C 1:ρsin (θ+π6)=√32，C 2:ρ2=61+2sin 2θ；（2）1【解析】21.（1）根据曲线C 2的参数方程，先得到其普通方程，再由极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出结果；（2）分别求出P ，Q 的极坐标，再由|PQ|=|ρ2−ρ1|，即可求出结果.（1）因为C 2的参数方程为{x =√6cosφy =√2sinφ，（φ为参数），所以其普通方程为x 26+y 22=1，又C 1:x +√3y =√3，所以可得极坐标方程分别为：C 1:ρsin (θ+π6)=√32，C 2:ρ2=61+2sin 2θ.（2）∵M(√3,0)，N(0,1)，∴P (√32,12)，∴OP 的极坐标方程为θ=π6，把θ=π6代入ρsin (θ+π6)=√32得ρ1=1，P (1,π6)，把θ=π6代入ρ2=61+2sin 2θ得ρ2=2，Q (2,π6).∴|PQ|=|ρ2−ρ1|=1，即P ，Q 两点间的距离为1.22.（1）见解析；（2）见解析【解析】22.（1）由分析法证明即可：要证a+b +c ≥√3，只需证明(a +b +c)2≥3；即证a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca)≥3，结合题中条件，直到推出显而易见的结论即可；（2）同（1）用分析法证明即可. （1）要证a+b +c ≥√3，由于a,b,c >0，因此只需证明(a +b +c)2≥3.即证：a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca)≥3，而ab +bc +ca =1，答案第16页，总16页故需证明：a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca)≥3 (ab +bc +ca).即证：a 2+b2+c 2≥ab +bc +ca .而这可以由ab +bc +ca≤ a 2+b22+b 2+c 22+c 2+a 22= a 2+b 2+c 2（当且仅当a =b =c 时等号成立） 证得.∴原不等式成立.（2）√a bc +√b ac +√cab=abc.由于（1）中已证a +b +c ≥√3.因此要证原不等式成立，只需证明abc≥√a +√b +√c .即证a √+b √ac +c √≤1，即证a √bc +b √ac +c √ab ≤ab +bc +ca .而a √bc=√ab ⋅ac ≤ab+ac 2， b √ac ≤ab+bc 2，c √ab ≤bc+ca 2.∴a √bc +b √ac +c √ab ≤ ab +bc +ca （a =b =c =√33时等号成立）.∴原不等式成立.。