2020届嘉定区高三二模数学Word版(附解析)
2020届上海市嘉定区高三下学期第二次质量调研测试(二模)数学试题
绝密★启用前嘉定区2019学年高三第二次质量调研测试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{2,4,6,8},{1,2,3}A B ==，则A B =∩______．2．线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_________． 3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于_______．4．在5(2)x -的二项展开式中，3x 项的系数为_______． 5．若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于_________．7．设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为123,1,6n S a a a =+=，则6S =______．8．已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y fx -=．若1(3)2f -=，则a =_____． 9．设2,90z z ∈+=C ，则|4|z -=________．10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）．11．设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值是_________．12．在ABC V 中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若222sin a b c A ++=，则A =______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ）．A ．1y x =B ．2x y =C ．1||y x =-D ．lg ||y x = 15．如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n nS s t S -∈，则t s -的最小值为（ ）．A ．23B ．94C ．12D ．16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a ∈R ，函数2()2cos f x x a x =+．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若36f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员()*x x ∈N 户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92(0)50a x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元． （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同．直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A B 、两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =r ，求OAB V 的面积（其中O 为坐标原点）； （3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅u u u r u u u r 为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1, 2,n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若18,2a m ==，求7S 的值； （2）若35,25m S ==，求1a 的值；（3）若11,a m =为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”．嘉定区2019学年第二学期高三年级质量检测卷检测（2020.5.19）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．解析：{2}．2．解析：125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 3．解析：2124S ππ=⋅⋅=．4．解析：515()(2)r r r r T C x -+=-，故3x 的系数为225(2)40C -=．5．解析：max 213Z =+=．6．解析：3244133r S r r V ππππ==⇒=⇒==． 7．解析：由()6261126(0)26312q q q q S -+=>⇒=⇒==-．8．解析：1(3)2(2)332log 22a f f a -=⇒=⇒=+⇒=．9．解析：由2903z z i +=⇒=±，则|4||34|5z i -=±-=．10．解析：33438247C P C ⋅==． 11．解析：设圆心为(3,1)O ，并且直线过O ，则22222()()1213PA PB PO OA PO OB PO OA PO ⋅=+⋅+=-=-≥-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．。
2020届嘉定二模试卷答案
数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合A ＝{2，4，6，8}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝ ． 2．线性方程组{x −2y =53x +y =8的增广矩阵为 ．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于 ． 4．在（x ﹣2）5的二项展开式中，x 3项的系数为 ． 5．若实数x ，y 满足{x ≥0y ≤1x −2y ≤0，则z ＝x +y 的最大值为 ．6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于 ．7．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2+a 3＝6，则S 6＝ ． 8．已知函数f （x ）＝2+log a x （a ＞0且a ≠1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ）．若f ﹣1（3）＝2，则a ＝ ．9．设z ∈C ，z 2+9＝0，则|z ﹣4|＝ ．10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是 （结果用数值表示）． 11．设P 是双曲线x 2−y 28=1的动点，直线{x =3+tcosθy =tsinθ（t 为参数）与圆（x ﹣3）2+y 2＝1相交于A 、B 两点，则PA →⋅PB →的最小值是 ．12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2+c 2＝2√3bc sin A ，则A ＝ ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“|x ﹣2|＜1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．下列函数中，既是（0，+∞）上的增函数，又是偶函数的是（ ） A ．y =1xB ．y ＝2xC ．y ＝1﹣|x |D ．y ＝lg |x |15．如图，若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面BCC 1B 1内动点P 到棱A 1B 1的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n 是6和a n 的等差中项．若对任意的n ∈N *，都有3S n −1S n∈[s ，t ]，则t ﹣s 的最小值为（ ）A ．23B ．94C ．12D ．16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为3，PC ＝5，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．设常数a ∈R ，函数f （x ）=√3sin2x +acos 2x ． （1）若f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）若f(π6)=3，求方程f （x ）＝2在区间[0，π]上的解．19．某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x （x ∈N *）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2x %，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为2(a −950x)(a ＞0)万元．（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值． 20．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点P （0，2），且它的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同．直线l 过点Q （1，0），且与椭圆Γ相交于A 、B 两点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为d →=(1，2)，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）； （3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA →⋅MB →为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{a n }满足：a n +1={a n2，a n 为偶数a n +m ，a n 为奇数，记数列{a n }的前n 项和为S n ． （1）若a 1＝8，m ＝2，求S 7的值； （2）若m ＝5，S 3＝25，求a 1的值；（3）若a 1＝1，m 为奇数，求证：“a n +1＞m ”的充要条件是“a n 为奇数”．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合A ＝{2，4，6，8}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝ {2} ． 利用交集定义直接求解．∵集合A ＝{2，4，6，8}，B ＝{1，2，3}， ∴A ∩B ＝{2}． 故答案为：{2}．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．线性方程组{x −2y =53x +y =8的增广矩阵为 [1−25318] ．利用二元一次方程组的增广矩阵的定义直接求解． 二元一次方程组{x −2y =53x +y =8的增广矩阵为[1−25318]．故答案为：[1−25318]．本题考查线性方程组的增广矩阵的求法，考查增广矩阵的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于 4π ． 圆柱的底面半径为r ＝1，母线长为l ＝2，其侧面积为S ＝2πrl ，由此能求出结果． ∵圆柱的底面半径为r ＝1，母线长为l ＝2， ∴其侧面积为S ＝2πrl ＝2π×1×2＝4π． 故答案为：4π．本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．在（x ﹣2）5的二项展开式中，x 3项的系数为 40 ．利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为3求出展开式中含x 3项的系数． （x ﹣2）5的展开式的通项为T r +1＝C 5r x 5﹣r （﹣2）r ＝C 5r （﹣2）r x 5﹣r令5﹣r ＝3得r ＝2故展开式中含x 3项的系数是C 52×4＝40 故答案为：40．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 5．若实数x ，y 满足{x ≥0y ≤1x −2y ≤0，则z ＝x +y 的最大值为 3 ．先根据不等式组画出可行域，然后把z ＝x +y 看作y ＝﹣x +z ，找其在y 轴上的截距最大值即是z 的最大值．根据不等式组画出可行域如图中△ABO 所示，目标函数z ＝x +y 可看作直线y ＝﹣x +z ，把图中的虚线进行平移，可知在点A 处，直线在y 轴上的截距最大，而点A 的坐标为（2，1），所以Z max ＝2+1＝3． 故答案为：3．本题考查线性规划，考查学生的作图能力和运算能力，属于基础题． 6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于4π3．利用球的主视图的面积是π，求出球的半径，然后求解球的体积． 球的主视图的面积是π， S ＝πr 2＝π ⇒r ＝1⇒V =4πr 33=4π3．故答案为：4π3．本题考查三视图求解几何体的体积，球的体积的求法，是基本知识的考查．7．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2+a 3＝6，则S 6＝ 63 ． 由等比数列的通项公式求出公比q ，由此能求出等比数列的前6项和． ∵各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2+a 3＝6， ∴q +q 2＝6，且q ＞0，解得q ＝2，∴S 6=1×(1−26)1−2=63．故答案为：63．本题考查等比数列的前6项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝2+log a x （a ＞0且a ≠1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ）．若f ﹣1（3）＝2，则a ＝ 2 ．由f ﹣1（3）＝2，可得f （2）＝3，代入可得3＝2+log a 2，解得a ．∵f ﹣1（3）＝2，∴f （2）＝3，代入可得3＝2+log a 2，化为log a 2＝1，解得a ＝2．故答案为：2．本题考查了互为反函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．设z ∈C ，z 2+9＝0，则|z ﹣4|＝ 5 ． 由题设条件解出Z ，进而解决|z ﹣4|的问题． 由z 2+9＝0⇒z ＝±3i ，则|z ﹣4|＝|±3i ﹣4|＝5． 故答案为：5．本题主要考查复数的运算，属于基础题．10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是47（结果用数值表示）．4对夫妇先选3对，又每对夫妇有两种选法，利用乘法原理及随机事件概率就可得出结果． 解析：由题知，首先对4对夫妇任意选3对，其3人分别为选中3对中的每对的任一人，则有C 43⋅23种可能，再由随机事件概率得，P =C 43⋅23C 83=47，故答案为：47．本题主要考查的是乘法原理及概率，数学计算能力，是道基础题．11．设P 是双曲线x 2−y 28=1的动点，直线{x =3+tcosθy =tsinθ（t 为参数）与圆（x ﹣3）2+y 2＝1相交于A 、B 两点，则PA →⋅PB →的最小值是 3 ． 根据直线过圆心，把所求数量积进行转化即可求解结论．设圆心为E （3，1），并且直线过E ，则PA →⋅PB →=（PE →+EA →）•（PE →+EB →）=PE →2+PE →•（EA →+EB →）+EA →•EB →=PE →2−EA →2=PE →2−1；因为P 为双曲线x 2−y 28=1的动点，所以当P 为右顶点K （1，0）时，PE 最小； 即PA →⋅PB →的最小值是：（3﹣1）2﹣1＝3； 即PA →⋅PB →的最小值是3， 故答案为：3．本题主要考查平面向量数量积的应用以及直线与圆锥曲线的综合，属于中档题目． 12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2+c 2＝2√3bc sin A ，则A ＝π3．利用余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2bc sin （A +π6）＝b 2+c 2，结合基本不等式，正弦函数的性质可求sin(A +π6)=1，结合A 的范围即可求解A 的值． ∵a 2+b 2+c 2=(b 2+c 2−2bccosA)+b 2+c 2=2√3bcsinA ， ∴bc （cos A +√3sin A ）＝2bc sin （A +π6）＝b 2+c 2， 又∵2bcsin(A +π6)=b 2+c 2≥2bc ， ∴sin(A +π6)≥1，∴可得：sin(A +π6)=1， ∵A ∈（0，π），A +π6∈（π6，7π6），可得A +π6=π2，可得A =π3． 故答案为：π3．本题主要考查了余弦定理，两角和的正弦函数公式，基本不等式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“|x ﹣2|＜1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件x ＞1，|x ﹣2|有可能大于1，|x ﹣2|＜1⇒1＜x ＜3，由此能推导出“x ＞1”是“|x ﹣2|＜1”的必要非充分条件．∵x ＞1，|x ﹣2|有可能大于1，比如x ＝4，|4﹣2|＝2＞1， |x ﹣2|＜1⇒1＜x ＜3，∴“x ＞1”是“|x ﹣2|＜1”的必要非充分条件， 故选：B ．本题考查命题真假的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14．下列函数中，既是（0，+∞）上的增函数，又是偶函数的是（ ） A ．y =1xB ．y ＝2xC ．y ＝1﹣|x |D ．y ＝lg |x |根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项即可．函数y =1x在（0，+∞）上是减函数，且是奇函数，即A 不符合题意； 函数y ＝2x 是非奇非偶函数，即B 不符合题意；函数y ＝1﹣|x |在（0，+∞）上是减函数，即C 不符合题意；对于函数y ＝lg |x |，当x ＞0时，有y ＝lgx ，单调递增；而f （﹣x ）＝lg |﹣x |＝lg |x |＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，即D 正确．故选：D ．本题考查函数的单调性、奇偶性和函数图象的变换法则，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．15．如图，若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面BCC 1B 1内动点P 到棱A 1B 1的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆由图可得P 到棱A 1B 1的距离即P 到B 1的距离．再由抛物线的定义得答案． P 到棱A 1B 1的距离即P 到B 1的距离．又动点P 到棱A 1B 1的距离等于它到棱BC 的距离， ∴平面BCC 1B 1内动点P 到定直线BC 和定点B 1距离相等． 则P 的轨迹为抛物线的一部分， ∴点P 所在的曲线为抛物线． 故选：C ．本题考查抛物线的定义，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n 是6和a n 的等差中项．若对任意的n ∈N *，都有3S n −1S n∈[s ，t ]，则t ﹣s 的最小值为（ ）A ．23B ．94C ．12D ．16由题先算出S 1，再由4S n =6+a n ⇒4S n =6+S n −S n−1⇒3S n =6−S n−1⇒(S n −32)=−13(S n−1−32)，得出S n 关系式，再分别讨论n 的奇偶得出范围，由3S n −1S n的单调性得出s ，t ，即可得出结果．当n ＝1时，S 1=a 1=12，4S n =6+a n ⇒4S n =6+S n −S n−1⇒3S n =6−S n−1⇒(S n −32)=−13(S n−1−32)， {S n −32}是以12为首项，−13为公比的等比数列，S n −32=12×(−13)n−1，即S n =32+12(−13)n−1．若n 为奇数，S n ∈(32，2]；若n 为偶数，S n ∈[43，32)． 而f(S n )=3S n −1S n 是关于S n 的单调递增函数，并且f(43)=134，f(2)=112，故t ﹣s 最小值是112−134=94，故选：B ．本题主要考查的是等差数列的性质，构造等比数列及函数的性质，是道综合题． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为3，PC ＝5，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（1）由题意，在△PCD 中又勾股定理可求PD ＝4，即四棱锥的高为4，利用四棱锥的体积公式即可求解；（2）由AD ∥BC ，可得∠PBC 即为异面直线AD 与BP 所成角，由题意利用线面垂直的判定和性质可得BC ⊥PC ，即∠PCB =π2，可求tan ∠PBC =53，即可求解异面直线AD 与BP 所成角的大小．（1）∵由题意，在△PCD 中，PC ＝5，CD ＝3，PD ⊥CD ， ∴PD =√PC 2−CD 2=√52−32=4， ∴四棱锥的高为4，∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积为：V =13×32×4=12． （2）∵AD ∥BC ，∴∠PBC 即为异面直线AD 与BP 所成角，∵BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，可得BC ⊥平面PCD ，又PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC，即∠PCB=π2，∵PC＝5，BC＝3，∵tan∠PBC=5 3，∴∠PBC=arctan 5 3．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．设常数a∈R，函数f（x）=√3sin2x+acos2x．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若f(π6)=3，求方程f（x）＝2在区间[0，π]上的解．（1）由f（x）为奇函数时，必有f（0）＝0，可得a＝0．（2）由已知利用特殊角的三角函数值可求a＝2，利用三角函数恒等变换的应用可求f（x），进而可求sin（2x+π6）=12，结合正弦函数的图象可求x的值，即可得解在区间[0，π]上的解．（1）当f（x）为奇函数时，必有f（0）=√3sin0+a＝0，可得a＝0．当a＝0时，f（x）=√3sin2x，利用正弦函数的性质可知其为奇函数，符合题意，可得a 的值为0．（2）因为f(π6)=√3sin(π3)+acos2(π6)=32+3a4=3⇒a=2，所以f(x)=√3sin2x+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，由f(x)=2⇒sin(2x+π6)=12⇒2x+π6=π6+2kπ，或2x+π6=5π6+2kπ，可得：x＝kπ，或x=π3+kπ(k∈Z)，所以在区间[0，π]上的解为x ∈{0，π3，π}．本题主要考查了特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．19．某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x （x ∈N *）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2x %，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为2(a −950x)(a ＞0)万元．（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值．（1）由题中条件：“从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入”得到一个不等关系，列不等式得x 的取值范围；（2）问题先转化成一个不等关系，然后转化为恒成立问题解决．（1）由题意得（100﹣x ）×2（1+2x %）≥200，解得：0≤x ≤50．（2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为2 （a −9x 50）万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为2（100﹣x ）（1+2x %）万元，即2x(a −950x)≤(100−x)×2(1+2x%)恒成立，其中0≤x ≤50，即a ≤100x +4x 25+1恒成立， 又因为100x +4x 25+1≥2√400x 25x +1=9，当且仅当x ＝25时等号成立，所以a max ＝9．本题主要考查函数在实际生活中的应用、恒成立问题的解法．求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．20．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点P （0，2），且它的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同．直线l 过点Q （1，0），且与椭圆Γ相交于A 、B 两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为d →=(1，2)，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA →⋅MB →为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．（1）由抛物线的方程可得焦点坐标，由题意可得椭圆的c 值，再由椭圆过的定点可得b 的值，又由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；（2）由直线l 的一个方向向量为d →=（1，2），可得直线l 的方程，与椭圆联立可得A ，B 的坐标，进而求出面积；（3）分直线l 的斜率为0和不为0两种情况讨论，当直线l 的斜率不为0设直线l 的方程，与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出数量积MA →⋅MB →，要使之为定值，则需使分子、分母的多样性系数成比例，求出定点，进而求出MA →⋅MB →的值．当斜率为0时，求出A ，B 的坐标，求出数量积也为定值．（1）由椭圆过（0，2），可得b ＝2，再由抛物线的方程y 2＝8x 可得焦点为（2，0）， 所以由题意可得椭圆的焦点（2，0），又a 2＝b 2+c 2，可得b =c =2⇒a =2√2，故椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）由直线l 的方向向量（1，2），可得直线l 的斜率为2，又过（1，0），所以可得l 的方程：y ＝2x ﹣2，将直线与椭圆联立得A(169，149)，B （0，﹣2），故S △OAB =12|OQ |•|y A ﹣y B |=12•1•|149+2|=169． （3）假设存在这样的点M （a ，0），①当直线斜率不为0时，设：l ：x ＝my +1，M （a ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 将l 与椭圆联立得（m 2+2）y 2+2my ﹣7＝0，MA →⋅MB →=(x 1−a)(x 2−a)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+(1−a)m(y 1+y 2)+(1−a)2=(m 2+1)⋅−7m 2+2+(1−a)m ⋅−2m m 2+2+(1−a)2 =m 2(a 2−8)+2a 2−4a−5m 2+2，由于该式为定值，故2(a 2−8)=2a 2−4a −5⇒a =114，定值为716． ②当直线斜率为0时，A(2√2，0)，B(−2√2，0)，MA →⋅MB →=(2√2−114)(2√2+114)=716．综上，定点M(114，0)，定值716．本题考查求椭圆的方程的方法及直线与椭圆的综合，以及数量积为定值的性质，属于中档题．21．（18分）已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{a n }满足：a n +1={a n 2，a n 为偶数a n +m ，a n 为奇数，记数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若a 1＝8，m ＝2，求S 7的值；（2）若m ＝5，S 3＝25，求a 1的值；（3）若a 1＝1，m 为奇数，求证：“a n +1＞m ”的充要条件是“a n 为奇数”．（1）根据数列的递推关系，求出数列的前7项，然后进行求解即可；（2）根据条件，分别讨论当a 1是奇数，是偶数时，对应的前三项和是否满足条件即可；（3）根据充要条件的定义，利用定义法和数学归纳法进行证明．（1）a 1＝8，m ＝2，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故S 7＝30．（2）设k 是整数．①若a 1＝2k ﹣1，a 2＝2k +4，a 3＝k +2．则a 1+a 2+a 3＝5k +5＝25⇒k ＝4，此时a 1＝7．②若a 1＝4k ，a 2＝2k ，a 3＝k ，则a 1+a 2+a 3＝7k ＝25，此时k 不存在．③若a 1＝4k ﹣2，a 2＝2k ﹣1，a 3＝2k +4，则a 1+a 2+a 3＝8k +1＝25⇒k ＝3，此时a 1＝10． 故a 1＝7或a 1＝10．（3）证明：充分性：若a n 为奇数，则a n +1＝a n +m ＞m ；必要性：先利用数学归纳法证：a n ≤m （a n 为奇数）；a n ≤2m （a n 为偶数）．①a 1＝1≤m ，a 2＝1+m ≤2m ，a 3=1+m 2≤m 成立； ②假设n ＝k 时，a k ≤m （a k 为奇数）；a k ≤2m （a k 为偶数）．③当n ＝k +1时，当a k 是偶数，a k+1=ak 2≤m ；当a k 是奇数，a k +1＝a k +m ≤2m ，此时a k +1是偶数．综上，由数学归纳法得a n≤m（a n为奇数）；a n≤2m（a n为偶数）．从而若a n+1＞m时，必有a n+1是偶数．进而若a n是偶数，则a n＝2a n+1＞2m矛盾，故a n只能为奇数．本题主要考查数列递推关系的应用，根据条件利用分类讨论思想以及结合数学归纳法进行推理证明是解决本题的关键．难度大综合性较强．。
上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|1,A x y x x R ==-∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A 中1y x =-10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.若函数()1f x x =，()1g x x x -，则()()f x g x +=__________． 【答案】11x +-(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果. 【详解】()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题． 4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】 由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >,∴9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线2sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec 2tan xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______. 【答案】34【解析】 【分析】 化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t . 【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2i iM AB AP =⋅（1,2,,10i =），则1210M M M +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ， 直线33B C 的方程为3(6)y x =--， 可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=， 即有233i i i i M AB AP x =⋅=+ 3(3)18i i x y =+=，则12101810180M M M++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa xf x a ax x x⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x≤的解集为(],3,-∞则实数a的取值范围为___________.【答案】(]1,3【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a>，且1a≠，设函数21()21xa xf xx x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x的解集是(-∞，3]，当1x时，2|2|3x x-，可得2323x x--，解得13x ；当1x<，即(,1)x∈-∞时，3xa，不等式恒成立可得13a<．综上可得13a<．∴实数a的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.已知*n N∈，从集合{}1,2,3,,n中选出k（k∈N,2k≥）个数12,,,kj j j，使之同时满足下面两个条件：①121kj j j n≤<<≤；②1i ij j m+-≥（1,2,,1i k=-），则称数组()12,,k j j j 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m的组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题． 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x ，||1y ，可得||2z ，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x ，||1y ，则||2z ，故充分性不成立；由||1z ，则221x y+，所以||1x ，||1y ，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( )A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-,即有()()()2121f x f x x x αα--<<-, 令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+,则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos126AB AC AB AC π⋅==，可得83AB AC =ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+ 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12= 又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴83AB AC =∴111sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯=考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价． 【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，221201216h =-=cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2， 故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由. 【答案】（1）2a =22（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x 3得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D 0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=>⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y（2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =- 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++.【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列； （2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论． 【详解】（1）证明：112n n n S a a +=，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=， 又11a =，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n nb b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k nb b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>， 2211(1)2c m c c -∴==-，232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯，3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m ---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅ 1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
上海市嘉定(长宁)区2020届高三数学第二次质量调研(二模)试题(含解析)
嘉定（长宁）区高2020届三第二次质量调研（二模）数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i ，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．6.已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【解析】【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【答案】【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知,则“”是“”的．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A. 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高C. 年第三季度同比有所提高D. 年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2020年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2020年第三季度环比有所下降，故A错误；2020年第一季度利用率为74.2%，2020年第一季度利用率为72.9%，故2020年第一季度同比有所下降，故B错误；2020年底三季度利用率率为73.2%，2020年第三季度利用率为76.8%，故2020年第三季度同比有所提高，故C正确；2020年第四季度利用率为78%，2020年第一季度利用率为76.5%，故2020年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
上海市嘉定区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析
上海市嘉定区2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r （ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A【解析】【分析】 由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解.【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ，所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u u r u u u r ． 故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B【解析】【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712PP P P P P ， 共有22623321C C C ++=，故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.3．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】首先由[]0,x π∈，可得3x πω-的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的不等式，解不等式即可求得范围.【详解】因为[]0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以只需4233πππωπ≤-≤，∴5563ω≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.4．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103【答案】D【解析】【分析】计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确.因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误.故选：D .【点睛】本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合M 的表示，求解函数y x a =-的定义域化简集合N 的表示，根据M N M ⋂=可以得到集合M 、N 之间的关系，结合数轴进行求解即可.【详解】{}{}2|320|12M x x x x x =-+≤=≤≤，{}{}||N x y x a x x a ==-=≥.因为M N M ⋂=，所以有M N ⊆，因此有1a ≤.故选：A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.6．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，L ，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =【答案】B【解析】【分析】【详解】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =． 考点：程序框图、茎叶图．7．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．928【答案】A【解析】【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-. 故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数 【答案】C【解析】【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误；选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3L L 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.9．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D【解析】【分析】 71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>得解． 【详解】71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>，所以b a c <<，故选D 【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．10．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32- D．32【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=u u u r u u u r r ，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u u u r u u u r u u u r， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.11．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53C ．43D ．32【答案】B【解析】【分析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值.【详解】如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，由题知222294cos 607212AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅ 则外接圆半径212sin 603BC r ==⋅︒， 因为⊥OD AB ，所以22212319OD AO AD =-=-=， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43MO AN ==， 由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以16AM x AB ==，49AN y AC ==，所以5233x y +=. 故选：D.【点睛】 本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．363π+ B ．836π C ．31633π+ D ．16833π+ 【答案】B【解析】【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥 半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯= 四棱锥体积为：21143238333V Sh ==⨯⨯⨯= 原几何体体积为：12836V V V π=+= 本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届上海市嘉定区高三下学期二模数学试题(解析版)
【点睛】
本题是递推关系为分段函数类型，注意分析并使用分类讨论，还考查了充要条件的证明，复杂的且关于自然数的递推不等式的证明可用数学归纳法证明.
2．下列函数中，既是 上的增函数，又是偶函数的是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.
【详解】
对A奇函数；对B非奇非偶函数；对C：是偶函数，在 是减函数.
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.
3．如图，若正方体 的侧面 内动点 到棱 的距离等于它到棱 的距离，则点 所在的曲线为（）．
所以 ，在 中， ．
【点睛】
本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题.
18．设常数 ，函数 ．
（1）若 为奇函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） 为奇函数,可得 ，解出 ，再代回验证看是否符合题意.
（2）根据 求出 ，再解方程.
【答案】3.
【解析】先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心 ，再将 变为
，转化为动点 到 的距离的最小值.
【详解】
设圆心为 ，并且直线过 ，则
又 ， ，又 ,则 ．
故答案为：3
【点睛】
本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.
16．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 ______．
12．已知函数 （ 且 ）的反函数为 ．若 ，则 _____．
【答案】2.
【解析】由 ，得 ，再代入解析式，求出
上海市嘉定区2020年高三第二学期期中(二模)学科质量检测数学试题(word解析版)
【答案】（1） ；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，表示出动员 户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收入，再解不等式.
（2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题.
11.设 是双曲线 的动点，直线 （ 为参数）与圆 相交于 两点，则 的最小值是_________．
【答案】3.
【解析】
【分析】
先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心 ，再将 变为
，转化为动点 到 距离的最小值.
【详解】设圆心为 ，并且直线过 ，则
又 ， ，又 ,则 ．
故答案为：3
【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.
故答案为：
【点睛】考查了三视图的概念，球的体积公式，属于容易题.
7.设各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，则 ______．
【答案】63.
【解析】
【分析】
先由 ,求出等比数列的公比 ，再和等比数列的前 项和公式求出
详解】由 ，得 ．
故答案为: 63
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前 项和公式，属于容易题.
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
【答案】C
【解析】
【分析】
侧面 内动点 到棱 的距离等于它到棱 的距离,转化成动点 到定直线 和定点 的距离相等，判断 点轨迹为抛物线.
【详解】 到棱 的距离即 到 的距离,即点 到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）轨迹为抛物线，故此题选C．
上海市嘉定区高考数学二模试卷Word版含解析
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数 y=2sin 2（ 2x ）﹣ 1 的最小正周期是 ． 1 2．设 i 为虚数单位，复数 ，则 | z| =．3．设 f ﹣ 1（ x ）为 的反函数，则 f ﹣ 1（1） =．4．=．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若= ，则=．7．直线 （t 为参数）与曲线 （ θ为参数）的公共点的个数是．8．已知双曲线 C 1 与双曲线 C 2 的焦点重合， C 1 的方程为 ，若 C 2 的一条渐近线的倾斜角是 C 1 的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 C 2 的方程为．9．若，则满足 f （x ）＞ 0 的 x 的取值范围是．10．某企业有甲、 乙两个研发小组， 他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则 最少有一种新产品研发成功的概率为 ．．设等差数列 n } 的各项都是正数，前 n 项和为 S n ，公差为 d ．若数列 11 { a 也是公差为 d 的等差数列，则 { a n } 的通项公式为 a n =．12．设 x ∈R ，用[ x] 表示不高出 x 的最大整数（如 [ 2.32] =2，[ ﹣ 4.76] =﹣5），对于给定的n ∈ N * ，定义C=，其中 x ∈[ 1， +∞），则当时，函数 f （ x ） =C的值域是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若 x=12﹣3x 2=0”的逆否命题是（），则 x+A．若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1．如图，在正方体1 1 1 1 中，M、E是AB的三均分点，G、N是14ABCD ﹣A B C DCD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．15．已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形， D、P 是△ ABC 内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．16．已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．﹣2，1]B．﹣2，0C．﹣1，1D．﹣1，0[[][][]三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，两个焦点为F1（﹣ 1，0）和 F2（1，0）．圆 O 的方程为 x2+y2=a2．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F1且斜率为 k（k＞0）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点，与圆 O 交于P、Q 两点（点 A 、P 在 x 轴上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列时，求弦 PQ 的长．20．若是函数 y=f（ x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得关于定义域内任意x，都有 f （x+a）=f（﹣ x）建立，则称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性质”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性质”，若拥有“P（a）性质”，求出所有 a 的值的会集；若不拥有“P（a）性质”，请说明原由；（ 2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，且当 x≤0 时， f （x ）=（x+m）2，求函数 y=f（ x）在区间 [ 0，1] 上的值域；（ 3）已知函数y=g（x ）既拥有“P（0）性质”，又拥有“P（ 2）性质”，且当﹣ 1≤x≤ 1 时，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的图象与直线 y=px 有 2017 个公共点，求实数 p 的值．21．给定数列 { a n } ，若满足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），关于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，则称数列 { a n} 为指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为，，试判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需说明原由）；（ 2）若数列 { a n} 满足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n，证明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），证明：数列{ a n}中任意三项都不能够构成等差数列．2017 年上海市嘉定区高考数学二模试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数y=2sin 2（ 2x）﹣ 1 的最小正周期是．1【考点】 H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，2【解答】解：函数 y=2sin （2x）﹣ 1，∴最小正周期 T=．故答案为2．设 i 为虚数单位，复数，则| z| =1．【考点】 A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法规、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣ i，则 | z| =1．故答案为： 1．．设f ﹣1（ x）为的反函数，则 f﹣1（1） = 1 ．3【考点】 4R：反函数．【分析】依照反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数 f﹣1（ x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得： x=1，∴ f ﹣ 1（x ）=1．故答案为 1．4．= 3 ．【考点】 8J ：数列的极限．【分析】 经过分子分母同除 3n +1，利用数列极限的运算法规求解即可．【解答】 解：= = =3．故答案为： 3．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是30° ．【考点】 MI ：直线与平面所成的角．【分析】 依照圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，尔后求解母线与轴所成角即可．【解答】 解：设圆锥的底面半径为 R ，母线长为 l ，则：2其底面积： S底面积 =πR，其侧面积： S 侧面积 = 2π Rl= π，Rl∵圆锥的侧面积是其底面积的2 倍，∴ l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角 θ有，cos θ== ，∴ θ=60，°母线与轴所成角的大小是：30°．故答案为： 30°．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，若=，则=．【考点】 85：等差数列的前 n 项和．【分析】=，可得 3（ a14d）=5（ a12d），化为： a1=d．再利用等差数列的++求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴ 3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是1．【考点】 QK：圆的参数方程； QJ：直线的参数方程．【分析】依照题意，将直线的参数方程变形为一般方程，再将曲线的参数方程变形为一般方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3， 5），半径 r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有 1 个公共点，即可得答案．【解答】解：依照题意，直线的参数方程为，则其一般方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其一般方程为（x﹣3）2+（ y﹣ 5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径 r=，圆心到直线 x+y﹣6=0 的距离 d== =r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2 与直线x+y﹣6=0 相切，有1 个公共点；故答案为： 1．8．已知双曲线C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则C2的方程为．【考点】 KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，尔后求解即可．【解答】解：双曲线 C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，焦点坐标（± 2， 0）．双曲线 C1的一条渐近线为： y=，倾斜角为30°，C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，可得 C2的渐近线y=．可得， c=2，解得 a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】 7E：其他不等式的解法．【分析】由已知获取关于x 的不等式，化为根式不等式，尔后化为整式不等式解之．【解答】解：由 f（x ）＞0 获取即，因此，解得x＞1；故x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（ 1， +∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则最少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】 C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对峙事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设最少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对峙事件，则事件 B 为一种新产品都没有成功，由于甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则 P（B）=（1﹣）（1﹣）= ，再依照对峙事件的概率之间的公式可得 P（A ）=1﹣P（B）= ，故最少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．n}的各项都是正数，前n项和为S n，公差为d．若数列11．设等差数列 { a也是公差为 d 的等差数列，则 { a n} 的通项公式为 a n=．【考点】 84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得： S n=na1d．a n＞0.=+（n﹣1）d，化简 n+≠1时可得： a1 2 2d﹣d．分别令 n=2，3，解出即可得出．=（n﹣1）d +【解答】解：由题意可得：S n1d． a n＞0．=na +n 1n﹣1）2 22（n﹣1） d．=+（ n﹣ 1） d，可得： S =a +（ d +∴na1+d=a1+（ n﹣ 1）2d2+2（n﹣1）d．22d dn≠1 时可得： a1=（ n﹣ 1）d +﹣．分别令 n=2，3，可得： a122d﹣d，a12 2d﹣ d．=d +=2d +解得a1，d= ．=∴ a n=+（﹣）．n 1 =故答案为：．12．设 x ∈R，用x表示不高出 x 的最大整数（如[=2，﹣ 4.76 =﹣5），对[]][]于给定的 n∈ N*，定义 C =，其中 x ∈1，∞），则当[+时，函数 f（ x） =C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类谈论，依照定义化简C x n，求出 C x10 的表达式，再利用函数的单调性求出 C x10 的值域．【解答】解：当 x∈ [ ， 2）时， [ x] =1，∴ f （x）=C= ，当 x∈[，2）时， f （x）是减函数，∴ f（ x）∈（ 5，）；当 x∈[ 2， 3）时， [ x] =2，∴ f （x） =C=，当 x∈[ 2， 3）时， f （x）是减函数，∴ f（x）∈（ 15， 45] ；∴当时，函数 f （x）=C的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．．命题“若x=1，则 x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）13A．若 x ≠ ，则x2﹣3x+2≠0 B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1 1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1【考点】 25：四种命题间的逆否关系．【分析】依照逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2﹣3x 2+≠0，则 x≠1应选： D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B1C1D1中， M 、E 是 AB 的三均分点， G、N 是CD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定 5 个极点在面 DCC1D1上的投影，即可得出结论．【解答】解： A1在面 DCC1D1上的投影为点 D1，E 在面 DCC1D1的投影为点 G，F 在面 DCC1D1上的投影为点 C， H 在面 DCC1D1上的投影为点 N，因此侧视图为选项 C 的图形．应选 C15．已知△ ABC是边长为 4 的等边三角形，D、P 是△ ABC内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．【考点】 9V：向量在几何中的应用．【分析】以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得 B，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△ APD的面积公式即可得出．【解答】解：以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4，∴B（﹣ 2，﹣2），C（2，﹣2），由足=[（﹣ 2，﹣2）（2，﹣2）=（ 0，﹣），+]=（0，﹣）+ （4，0）=（，﹣），∴△ ADP 的面积为 S= ||?| |=×× = ，应选： A．16．已知 f（ x）是偶函数，且f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．[ ﹣2，1]B．[ ﹣2，0]C．[ ﹣1，1]D．[ ﹣1，0]【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于偶函数在对称区间上单调性相反，依照已知中f（x）是偶函数，且f（x ）在（ 0， +∞）上是增函数，易得f（ x）在（﹣∞， 0）上为减函数，又由若时，不等式 f（ax 1）≤f（ x﹣ 2）恒建立，结合函数恒建立的条+件，求出时 f （x﹣2）的最小值，进而能够构造一个关于 a 的不等式，解不等式即可获取实数 a 的取值范围．【解答】解：∵ f（ x）是偶函数，且 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数，∴ f（x ）在（﹣∞， 0）上为减函数，当时， x﹣2∈[ ﹣，﹣1]，故 f（ x﹣ 2）≥ f（﹣ 1）=f（1），若时，不等式 f （ax+1）≤ f （x﹣2）恒建立，则当时， | ax+1| ≤ 1 恒建立，∴﹣ 1≤ax+1≤ 1，∴≤a≤0，∴﹣ 2≤a≤ 0，应选 B．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．【考点】 GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，由余弦定理可求 cosB，进而可求 sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得 cosA，进而可求 sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求 sin（ 2A﹣ B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形，作 BD ⊥AC 于 D，可求 BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得 cosB，即可求 sinB，由（ I）知 A=C ? 2A ﹣ B=π﹣ 2B．进而 sin（ 2A﹣ B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴ a=4，b=2．cosB===．sinB===．∴ S△ABC = acsinB==．（ II） cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2 ×．cos2A=cos2 A ﹣sin2A=﹣．∴sin（2A ﹣B） =sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴a=4，b=2．又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形．作 BD⊥AC于 D，则BD===．∴S△ABC==．（ II） cosB===．sinB===．由（ I）知 A=C ? 2A ﹣B=π﹣ 2B．∴sin（2A ﹣B） =sin（π﹣2B）=sin2B =2sinBcosB=2××=．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】 MI ：直与平面所成的角；LF：棱柱、棱、棱台的体．【分析】（1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，化求解体推出果即可．（2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，明 HG⊥AM ，推出 AM ⊥平面 EFGH．通算求出 AM=4 ．AF ，直 AF 与平面α所成角θ，求解即可．解法二：以 DA 、DC、 DD1所在直分 x 、 y 、 z 建立空直角坐系，求出平面α一个法向量，利用直 AF 与平面α所成角θ，通空向量的数量求解即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，，⋯，⋯因此，．⋯（ 2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，由意， HG⊥平面 ABB 1A 1，故 HG⊥AM ，因此AM ⊥平面EFGH．⋯因，，因此S△AEH =10，）因 EH=5，因此 AM=4 ．⋯又，⋯直 AF 与平面α所成角θ，因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．．⋯⋯解法二：以DA 、DC、 DD1所在直分x 、 y、 z 建立空直角坐系，A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），⋯故，，⋯α，即平面一个法向量因此可取．⋯直 AF 与平面α所成角θ，．⋯因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．⋯19．如，已知 C：（ a＞ b＞ 0）点，两个焦点 F1（1，0）和 F2（1，0）． O 的方程 x2 y22．+=a（1）求 C 的准方程；（2） F1且斜率 k（k＞0）的直 l 与 C 交于 A 、B 两点，与 O 交于 P、Q 两点（点 A 、P 在 x 上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列，求弦 PQ 的．【考点】 KH ：直与曲的合；K3：的准方程； KL ：直与的地址关系．【分析】（1）求出 c=1， C 的方程，将点代入，解得 a2=4，尔后求解 C 的方程．（2）由定， | AF1|+| AF2| =4，| BF1|+| BF2 | =4，通 | AF 2| ，| BF2| ，| AB |成等差数列，推出．B（x0，y0），通解得 B，尔后求解直方程，推出弦 PQ 的即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，c=1，⋯C 的方程，将点代入，解得 a2=4（舍去），⋯因此， C 的方程．⋯（2）由定，|AF1|+| AF2|=4，|BF1|+| BF2|=4，两式相加，得 | AB|+| AF2|+| BF2| =8，因 | AF2| ，| BF2| ，| AB| 成等差数列，因此 | AB|+| AF2| =2| BF2| ，于是 3| BF2| =8，即．⋯B（x0， y0），由解得，⋯（或，，解得，，因此）．因此，，直 l 的方程，即，⋯O 的方程 x2+y2，心O 到直l的距离，⋯=4此，弦 PQ 的．⋯20．若是函数 y=f（ x）的定域 R，且存在常数 a，使得于定域内任意x，都有 f （x+a）=f（ x）建立，称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性”，若拥有“P（a）性”，求出所有a 的的会集；若不拥有“P（a）性”，明原由；（2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性”，且当 x≤0 ， f （x ）=（x +m）2，求函数 y=f（ x）在区 [ 0，1] 上的域；（3）已知函数 y=g（x ）既拥有“P（0）性”，又拥有“P（ 2）性”，且当 1≤x≤ 1 ，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的象与直 y=px 有 2017 个公共点，求数 p 的．【考点】 57：函数与方程的合运用．【分析】（1）依照意可知 cos（x+a） =cos（ x） =cosx，故而 a=2kπ， k∈ Z；（ 2）由新定可推出 f （x）偶函数，进而求出 f（ x）在 [ 0， 1] 上的分析式， m 与[ 0， 1] 的关系判断 f （x）的性得出 f（x）的最；（ 3）依照新定可知 g（x）周期 2 的偶函数，作出 g（ x）的函数象，依照函数象得出 p 的．【解答】解：（1）假 y=cosx 拥有“P（a）性”， cos（ x+a）=cos（ x）=cosx恒建立，∵cos（ x+2kπ）=cosx，∴函数 y=cosx 拥有“P（a）性”，且所有 a 的的会集 { a| a=2kπ，k∈Z} ．（ 2）由于函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，因此 f（ x） =f（﹣ x）恒建立，∴ y=f（ x）是偶函数．设 0≤x≤1，则﹣ x≤0，∴ f（x）=f （﹣ x）=（﹣ x+m）2=（ x﹣ m）2．①当m≤ 0 时，函数 y=f （x）在 [ 0，1] 上递加，值域为 [ m2，（ 1﹣ m）2] ．②当时，函数y=f（ x）在 [ 0， m] 上递减，在[ m，1] 上递加，y min=f（ m）=0，，值域为 [ 0，（1﹣m）2]．③当时， y min =f（m） =0，，值域为[ 0，m2 ] ．④ m＞1 时，函数 y=f（ x）在 [ 0， 1] 上递减，值域为 [ （1﹣m）2，m2] ．（3）∵ y=g（x ）既拥有“P（ 0）性质”，即 g（x ）=g（﹣ x），∴函数 y=g （ x）偶函数，又 y=g（x）既拥有“P（ 2）性质”，即 g（x+2）=g（﹣ x）=g（x），∴函数 y=g（x）是以 2 为周期的函数．作出函数 y=g（x）的图象以下列图：由图象可知，当 p=0 时，函数 y=g（x）与直线 y=px 交于点（ 2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当 p＞0 时，在区间 [ 0，2016] 上，函数 y=g（x）有 1008 个周期，要使函数 y=g （ x）的图象与直线 y=px 有 2017 个交点，则直线在每个周期内都有 2 个交点，且第2017 个交点恰好为，因此．同理，当 p＜0 时，．综上，．21．定数列 { a n } ，若足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，称数列 { a n} 指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通公式分，，判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需明原由）；（ 2）若数列 { a n} 足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+12a n，明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），明：数列{ a n}中任意三都不能够构成等差数列．【考点】 8B：数列的用．【分析】（1）利用指数数列的定，判断即可；（ 2）求出 { a n } 的通公式，即可明：{ a n} 是指数数列；（ 3）利用反法行明即可．【解答】（ 1）解：于数列{ a n} ，因a3 =a1+2≠a1?a2，因此 { a n} 不是指数数列．⋯于数列 { b n} ，任意n，m∈ N*，因，因此 { b n} 是指数数列．⋯（ 2）明：由意， a n+2 a n+1（ n+1 a n），=2a因此数列 { a n+1 a n} 是首 a2 a1，公比2的等比数列．⋯=2所以．所以，=，即 { a n} 的通公式（n∈N*）．⋯因此，故 {a n是指数数列．⋯}（ 3）明：因数列{a n是指数数列，故于任意的n，m∈N*，有 a n+m n m，}=a ?a令 m=1，，因此 { a n} 是首，公比的等比数列，因此，．⋯假数列 { a n} 中存在三 a u，a v，a w构成等差数列，不如u＜v＜w，由2a v=a u+a w，得，因此 2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（ t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u，⋯当 t 偶数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是偶数，（t+3）w﹣u是奇数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立；⋯当 t 奇数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是奇数，（t+3）w﹣u是偶数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u也不能够建立．⋯因此，任意 t∈N*，2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立，即数列 { a n } 的任意三都不行构成等差数列．⋯2017年 5月 22日。
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上海市嘉定区2020届高三二模数学试卷
2020.5
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =I
2. 线性方程组2538
x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为
3. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于
4. 在5(2)x -的二项展开式中，项的系数为
5. 若实数x 、y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最大值为
6. 已知球的主视图的面积是z x y =+，则该球的体积等于
7. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S =
8. 已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=，若1(3)2f -=，则a =
9. 设z ∈C ，290z +=，则|4|z -=
10. 从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概 率是 （结果用数值表示）
11. 设P 是双曲线2
2
18y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）与圆22(3)x y -+ 1=相交于A 、B 两点，则PA PB ⋅uu r uu r 的最小值是 12. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
若222sin a b c A ++=，
则A =
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ） A. 1y x
=
B. 2x y =
C. 1||y x =-
D. lg ||y x =
15. 如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到 棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 圆
16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差
中项，若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n n S s t S -
∈，则t s - 的最小值为（ ）
A.
23 B. 94 C. 12 D. 16
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =， PD ⊥底面ABCD .
（1）求四棱锥P ABCD -的体积；
（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
18. 设常数a ∈R ，函数2()3sin 2cos f x x a x =+.
（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；
（2）若()36
f π
=，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解.
19. 某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元，为了调整产业 结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工，据估计，若能动员x （*x ∈N ）户农民 从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ， 而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92()50
a x -（0a >）万元. （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值.
20. 已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>）过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x = 的焦点相同，直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =u r ，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；
（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅uuu r uuu r 为定值？若存在，求出点M 的坐标和
定值，若不存在，请说明理由.
21. 已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1
2n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数
， 记数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若18a =，2m =，求7S 的值；
（2）若5m =，325S =，求1a 的值；
（3）若11a =，m 为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”.
参考答案
一. 填空题
1. {2}
2. 125318-⎛⎫
⎪⎝⎭ 3. 4π 4. 40 5. 3 6. 43
π 7. 63 8. 2 9. 5 10.
47 11. 3 12. 3π
二. 选择题
13. B 14. D 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）12；（2）5arctan 3.
18.（1）0a =；（2）{0,,}3π
π.
19.（1）050x ≤≤；（2）9.
20.（1）22184x y +=；（2）169OAB S =V ；（3）11(,0)4
M ，716MA MB ⋅=-uuu r uuu r . 21.（1）730S =；（2）17a =或10；（3）证明略.。