挠曲线近似微分方程
合集下载
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
x 0 时， ， wA 0 A w A 0
当
求得：
C 0; D 0
y
L
P
B
B
wB
x
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
Px 2 w( x) ( x 3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
PL2 B （ ） 2 EI
wmax
PL3 wB （ ） 3EI
C
x1
x2
AB段 (0 x1 a)
a
a
M1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分 AB段
M1 Px1 EIw1
P 2 EI1 x1 C1 EIw1 2 P 3 EIw x1 C1 x1 D1 6
1
y
M<0
d2w 0 2 dx
d2w M ( x) 2 EI dx
o
x
d 2 w M ( x) (2) 2 EI dx
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d w M ( x) 2 EI dx
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
最大挠度及最大转角
dw( x 2 ) Pa 2 ( x2 ) dx 2 2 EI
2
y
a
P
C
C
max C CB
wmax
Pa 2 2EI
L
B
x
wB
Pa 2 wB (3L a) 6EI
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
§6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分(精)
大挠度fmax和最大转角max。
解: 由对称性可知梁的两个支反力为
RA
q
RB
ql RA RB 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 q 2 EI ' ' M ( x) (lx x ) 2
EI ' ' M ( x) Pl Px (2)
例题 6-1 图
对挠曲线近似微分方程进行积分, 得
Px 2 EI ' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EI C1 x C 2 (4) 2 6
边界条件为 :
x
A
l x
B x
x 0, 0 x 0, ' 0
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
得
C1 EI '| x 0 EI 0 C2 EI 0
式中，θ 0 和 v0 分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
例题６-３ 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。
两段梁的挠曲线方程分别为
1 挠曲线方程 转角方程 挠度方程
( 0 «x «a)
2
( a«x « l )
b " P x EIv1 M1 l
b EIv2 " M 2 P x P( x a) l
3 θA ql θ max θB 24 EI
x
q
第四章(弯曲挠度3-Lu)
§4-9 用积分法计算梁旳挠度与转角
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
对于等截面梁，EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
（b）
q
B
（d）
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如：
p
A
B
p A
边界条件： wA=0 wB=0
边界条件： wA=0 θA=0
用积分法求梁的挠和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程：
d2y dx 2
M (x) EI
EI
d2y dx2
M
(x)
积分一次得转角方程为：
EIy M (x)
dy dx
M (x) EI
dx
C
再积分一次得挠度方程为：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
5ql 4
ymax
y
x l 2
384EI
max
A
B
ql3 24 EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。
设弯矩刚度EI为常数。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
三、使用视频 1.可使用的视频文件类型 常用格式为AVI,另一种为RealAudio。 2.加入视频 1）定位光标 2）选择“插入/图片/视频”菜单命令，弹出
“视频”对话框 3）选择视频文件 3.修改视频属性 1）选定视频位置上出现的图片 2）单击右键选择“图片属性” 3）在“图片属性”对话框中设置视频的属性
C ql3 24
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
d2y dx 2
M (x) EI
EI
d2y dx2
M
(x)
积分一次得转角方程为：
EIy M (x)
dy dx
M (x) EI
dx
C
再积分一次得挠度方程为：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
5ql 4
ymax
y
x l 2
384EI
max
A
B
ql3 24 EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。
设弯矩刚度EI为常数。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
三、使用视频 1.可使用的视频文件类型 常用格式为AVI,另一种为RealAudio。 2.加入视频 1）定位光标 2）选择“插入/图片/视频”菜单命令，弹出
“视频”对话框 3）选择视频文件 3.修改视频属性 1）选定视频位置上出现的图片 2）单击右键选择“图片属性” 3）在“图片属性”对话框中设置视频的属性
C ql3 24
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
工程力学第1节 挠曲线近似微分方程
挠曲轴线 近似微分方程 结论
M ( x) y EI
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
M ( x) y EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下 侧纤维受拉，弯矩 M >0，曲线的二阶导数 y >0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下 侧纤维受压，弯矩 M <0，曲线的二阶导数 y <0；
第十章
梁的弯曲变形
一、挠曲轴线近似微分方程
挠曲轴线：图示悬臂 梁在纵向对称面内的 外力 F 的作用下，将 产生平面弯曲，变形 后梁的轴线将变为一 条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线。
挠曲轴线方程
y f ( x)
y f ( x)
挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
梁的弯曲变形
工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。 第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢 板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起 跳板大变形，以确保运动员被弹起。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角 位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小， 则有以下关系：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C1
Fb 6l
l2 b2
,
C2
Fab 6l
l
a
Page 14
材料力学 第六章 弯曲变形
四 积分法总结
❖ 优点：适用范围广、精确 ❖ 缺点：计算繁琐
五 刚度条件
w
max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱax
w
练习：写边界条件和连续性条件
A
B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
连续性条件 wC wC;C C 或wC' wC' wD wD;D D 或wD' wD'
Mi EI wi" M EIw" M
w
wi
Page 19
材料力学 第六章 弯曲变形
例一：求图示简支梁C点挠度
y A
l/2
F
C l/2
x B
=
y
y
F
A
C
+ x
B
A
x
C
B
l/2
l/2
l/2
l/2
wC
wC q
wC F
5ql4 384EI
Fl 3 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 20
Page 16
材料力学 第六章 弯曲变形
练习（续）
y
a
x
b
l
边界条件 w 0; 0
x0
x0
连续性条件
w w ;
w w ;
xa
xa xa
xa
xb
xb xb
xb
Page 17
材料力学 第六章 弯曲变形
一 叠加§原理6.4 用叠加法求梁的变形
当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位 移，等于各载荷单独作用时该截面位移的矢量和
例二：求图示梁C点的挠度
l
F
a
A
B
C
F
B
C
A
wB
B
w1
wC
wB
w1
Fl 3
3EI
B
a
Fl 3 3EI
Fl 2 2EI
a
Fl 2 6EI
2l
3a
任意点的挠度均包含刚体位移和形变位移两部分
Page 21
材料力学 第六章 弯曲变形
例三：求图示梁C点的挠度
l
aF
分段变形叠加法
A
B
C=
F
F
A
B
C+ A
tan dw 小变形
dx
tan dw w'
dx
Page 4
材料力学 第六章 弯曲变形
1
1
w'' w'
3
22
高等数学
二 挠曲线方程推导
小变形
1 w"
w'
2
=
1
1M
EI 材料力学
w'' d 2w M dx2 EI
w''
d 2w dx2
M EI
——挠曲线近似微分方程
Page 5
F1
F2
w
=
F1
F2
+
w1
w2
二 适用条件
材料服从胡克定律和小变形条件——挠度和转角均
与载荷成线性关系
Page 18
材料力学 第六章 弯曲变形
三 简§单证6明.4：用叠加法求梁的变形
梁任意截面弯矩为 M Mi
每一弯矩单独引起的挠度为wi，根据挠曲线的近似 微分方程
EIwi" M i
EIwi"
w 0 w 0, w' 0 w
F
w w , w' w' w w , w' w'
Page 7
材料力学 第六章 弯曲变形
1. 写出弯矩方程三，若解弯题矩步不骤能用一个函数给 出，要分段写出
2. 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠 度函数
3. 利用边界条件、连续性条件确定积分常数， 如果分n段写出弯矩方程，则有2n个积分常 数
Page 8
材料力学 第六章 弯曲变形
例一
悬臂梁端部受载F=200N，圆形截面直径d=10mm，长度为
l=50mm，材料的杨氏模量为E=210GPa，试求外伸端的转
角和挠度。
解：任意横截面的弯矩为 y
A
M F l x
x
挠曲线近似微分方程为
l
θB
Bx
wB
EIw'' M F l x
积分，得 EIw' F x2 Flx C; EIw F x3 Fl x2 Cx D
§6.1工程中第的六弯曲章变弯形问曲题变形
§6.2挠曲线微分方程 §6.3用积分法求弯曲变形 §6.4用叠加法求梁的变形 §6.5简单超静定梁 §6.6提高弯曲刚度的一些措施
Page 1
材料力学 第六章 弯曲变形
§6.1 工程/生活中的弯曲变形
Page 2
材料力学 第六章 弯曲变形
一 基本概§念 6.2 挠曲线微分方程
材料力学 第六章 弯曲变形
一 微分§方6程.的3积用分积分法求弯曲变形
d 2w dx2
M EI
d dx
dw dx
M EI
dw dx
M EI
dx
C
w
M EI
dx
dx
Cx
D
如何确定积分常数？
Page 6
材料力学 第六章 弯曲变形
1 边界条件 二 积分常数的确定
w 0
2 连续性条件
F
Bx wB
Page 10
材料力学 第六章 弯曲变形
求图示简支梁的弯曲变形例二
y
F
FRA
a
b
A C
x1
x2
l
FRB x B
解：1）求出梁的支反力 分段列出弯矩方程
FRA
Fb l
,
FRB
Fa l
AC段
M1
Fb l
x1
0 x1 a
BC段
M2
Fa l
l
x2
a x2 l
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 11
❖ 挠曲线：变形后梁的轴线；
❖ 挠度：横截面形心沿y方向位移，向上为正；
y
θ
θ
dw F
w
x
x
dx
截面转角（θ）：横截面对其原来位置转过的角度， 逆时针为正；等于挠曲线的倾角
Page 3
材料力学 第六章 弯曲变形
y
基本概念（续） θ
θ
dw
F
w
x
x
dx
挠曲线方程：w=f(x) 挠度与转角的关系：
分段列挠曲线近似微例分二方（程续）
AC EIw1'' M1
BC EIw2'' M 2
分段积分
EIw1'
AC
Fb 2l
x12
C1
EIw1
Fb 6l
x13
C1x1
D1
EIw2'
BC
Fa 2l
x2
l2
C2
EIw2
Fa 6l
x2
l 3
C2
x2
l
D2
Page 12
材料力学 第六章 弯曲变形
B
C
F
A
Fa
B
θB
C w1
B
wC
w1 w2
Fal 3EI
a
Fa3 3EI
Fa2 3EI
l a
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 22
F C
w2
一 基本概念§6.5简单超静定梁
y
FRA A
x1
例二（续）
F
a
b
C
x2 l
代入边界条件
w1 x10 0, w2 x2 l 0
求得积分常数
FRB x B
D1 D2 0
Page 13
材料力学 第六章 弯曲变形
y
FRA A
x1
例二（续）
F
a
b
C
x2 l
FRB x B
代入连续性条件 wC' wC' , wC wC
求得积分常数
2
62
代入边界条件 wA' A 0, wA 0
求得积分常数 C 0, D 0
例一（续）
故 EIw' F x2 Flx
y
2
A
θB
EIw F x3 Fl x2 62
x l
从而在B端
B
wB'
Fl2 2EI
,
wB
Fl 3 3EI
代入数值，θB=-0.00242rad；wB=-0.0805mm