矩阵连乘算法
动态规划-(矩阵连乘)
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4、构造最优解
void MatrixChain::Traceback(int i, int j) {
if(i==j) { cout<<'A'<<i; return;} if (i<s[i][j]) cout<<'('; Traceback(i, s[i][j]); if (i<s[i][j])cout<<')'; if(s[i][j]+1<j)cout<<'('; Traceback(s[i][j]+1, j); if(s[i][j]+1<j) cout<<')'; } void MatrixChain::Traceback() { cout<<'('; Traceback(0, n-1); cout<<')'; cout<<endl; }
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n ③当i<j时，m [ i ] j ] [ m [ i ] k ] [ m [ k 1 ] j ] [ p i 1 p k p j
这里 A i 的维数为 pi1pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
m [i]j] [ m i k j{ m [i]n k [ ] m [k 0 1 ]j] [ p i 1 p kp j}i i j j
根据MatrixChain动态规划算法： ②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法
一、矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指在矩阵计算中，给定n个矩阵，求这n个矩阵的连乘积的最优解问题。
矩阵连乘问题既可以用于组合优化，也可以用于信息处理系统中查找最优路径的搜索算法。
它是最基本的组合优化问题。
二、矩阵连乘问题的算法
1. 动态规划法：动态规划法是求解矩阵连乘问题的常用算法。
它采用递归方法，将原问题分解为若干个子问题，然后求出各子问题的最优解，最后组合出原问题的最优解。
2. 贪心算法：贪心算法是一种经典的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题，即通过某种启发式规则，在每一步中都使最优决策，最终得到最优解。
3. 分支定界法：分支定界法是一种由搜索算法和界定法相结合而成的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题。
该算法按照树状的层次结构，向下搜索一个在每一步骤都使得当前最优的路径，然后上溯形成最优解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种搜索算法，它可以用于求解矩阵连乘问题。
它采用一种模拟物理过程的原理，通过不断地改变解的状态，以求出相对最优解。
- 1 -。
矩阵连乘算法
输入矩阵A输入矩阵B输出矩阵C=(A*B)代码：#include<stdio.h>#define MAX 32int martixminus(int a[][MAX],int b[][MAX],int c[][MAX],int s) {int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<s;j++)c[i][j]=a[i][j]-b[i][j];}return 0;}int martixadd(int a[][MAX],int b[][MAX],int c[][MAX],int s) {int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<s;j++)c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];}return 0;}int part(int a[][MAX],int a11[][MAX],int a12[][MAX],inta21[][MAX],int a22[][MAX],int s){int i,j,k;k=s/2;for(i=0;i<k;i++){for(j=0;j<k;j++){a11[i][j]=a[i][j];a12[i][j]=a[i][j+k];a21[i][j]=a[i+k][j];a22[i][j]=a[i+k][j+k];}}return 0;}int Strassen(int a[][MAX],int b[][MAX],int c[][MAX],int s){int A11[MAX][MAX],A12[MAX][MAX],A21[MAX][MAX],A22[MAX][MAX], B11[MAX][MAX],B12[MAX][MAX],B21[MAX][MAX],B22[MAX][MAX],M1[MAX][MAX],M2[MAX][MAX],M3[MAX][MAX],M4[MAX][MAX],M5[MAX][MAX], M6[MAX][MAX],M7[MAX][MAX],temp[MAX][MAX],temp2[MAX][MAX];int i,j,k;k=s/2;if(s==1){c[0][0]=a[0][0]*b[0][0];return 0;}part(a,A11,A12, A21, A22,s);part(b,B11,B12, B21, B22,s);martixminus( B12, B22, temp,k);Strassen( A11, temp, M1,k);martixadd( A11, A12, temp,k);Strassen( temp,B22, M2,k);martixadd( A21, A22, temp,k);Strassen( temp, B11 ,M3,k);martixminus( B21, B11, temp,k);Strassen( A22, temp, M4,k);martixadd( A11, A22, temp,k);martixadd( B11, B22, temp2,k);Strassen( temp, temp2, M5,k);martixminus( A12, A22, temp,k);martixadd( B21, B22, temp2,k);Strassen( temp, temp2, M6,k);martixminus( A11, A21, temp,k);martixadd( B11, B12, temp2,k);Strassen( temp, temp2, M7,k);for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){c[i][j]=M5[i][j]+M4[i][j]+M6[i][j]-M2[i][j];c[i][j+k]=M1[i][j]+M2[i][j];c[i+k][j]=M3[i][j]+M4[i][j];c[i+k][j+k]=M5[i][j]+M1[i][j]-M3[i][j]-M7[i][j];}return 0;}int main(){int i,j,k,n,m;int martix1[MAX][MAX],martix2[MAX][MAX],martix3[MAX][MAX];scanf("%d",&m);for(i=0;i<m;i++){scanf("%d",&n);for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++)scanf("%d",&martix1[j][k]);}for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++)scanf("%d",&martix2[j][k]);}Strassen( martix1, martix2, martix3,n);for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n-1;k++)printf("%d ",martix3[j][k]);printf("%d\n",martix3[j][k]);}}return 0;}。
矩阵连乘
例如，我们可以按M1(M2(M3M4))的方式去计算， 也可以按(M1(M2M3))M4的方式去计算，所得结果是 相同的。 但是值得注意的是， 按前一方式计算需要做125,000次乘法， 而按后一方式计算只需要做2,200次乘法。 由此可见，矩阵连乘的运算次序对于所需要的计算量 （所需乘法次数）有着极大的影响。 M3M4：50*1*100=5,000；M2(M3M4)： 20*50*100=100,000 M1(M2(M3M4))：10*20*100=20,000 (M2M3)：20*50*1=1000； (M1(M2M3))： 10*20*1=200 ； (M1(M2M3))M4：10*1*100=1000
记第t个矩阵Mt的列数为rt，并令rt-1为矩阵Mt的行数。 则Mi┅Mk连乘所得是ri-1×rk维矩阵， Mk+1┅Mj连乘所得是rk×rj维矩阵， 故这两个矩阵相乘需要做ri-1×rk×rj次乘法 由于在此之前我们已知 任一个规模不超过j-i的矩阵连乘所需的最少乘法次数， 故(Mi┅Mk)和(Mk+1┅Mj)所需的最少乘法次数已知， 将它们分别记之为mik和mk+1,j。 形为(Mi⋯Mk)(Mk+1⋯Mj)的矩阵连乘所需的最少乘法 次数为：mik+mk+1,j + ri-1×rk×rj。
矩阵的乘
矩阵相乘只有在第一个矩阵的列数和第二个矩 阵的行数相同時才有定义。假如A为m×n矩阵， B为n×p矩阵，则他們的乘AB(有时记做A · B) 乘 会是一个m×p矩阵。 例如一个2x3的矩阵 与一个 3x2的矩阵的乘会 是一个2x2的矩阵 。
例子
1 -1 3 1 x 2 1 1 0 1 [3 1] + 0 [2 1]+ 2 [1 0] -1 [3 1] + 3 [2 1]+ 1 [1 0] [3 1 ] + [0 0 ] + [2 0] [-3 -1]+ [6 3 ] + [1 0] 5 1 4 2 0 3 2 1
三个矩阵连乘的运算顺序
三个矩阵连乘的运算顺序三个矩阵的连乘运算顺序是一项非常重要的算法问题，也是线性代数中的一个基础知识点。
当需要进行多个矩阵的乘法运算时，我们必须仔细考虑其顺序，方能得到正确的结果。
在三个矩阵连乘的运算中，如果我们的三个矩阵分别为A、B、C，那么其连乘的运算顺序可表示为A*B*C。
当然，在实际运算时我们必须根据不同的矩阵值、维度、特点等进行适当的选择和调整。
首先，我们需要明确一点的是，矩阵之间的乘法不满足交换律。
即A*B不一定等于B*A。
因此，在确定三个矩阵的连乘顺序时，不能随意更改矩阵的次序。
其次，我们需要知道的是，在矩阵连乘中，括号的插入顺序也会影响乘积的结果。
例如，在下列三个矩阵连乘的式子中：A*B*C我们可以将括号插入在不同位置，从而改变乘积的顺序：(A*B)*C 或 A*(B*C)无论我们选择哪种运算顺序，必须遵循以下原则：（1）维度要匹配，即 A 的列等于 B 的行，B 的列等于 C 的行，否则无法进行乘法运算。
（2）考虑到普遍的缓存机制，矩阵乘积的运算也应遵循空间局部性原则，即让内存和缓存可以重复利用。
在三个矩阵连乘问题中，求连乘的最小值并不总是我们所关心的问题。
我们所追求的是找出一种运算顺序，可以最好地满足我们需要的计算效率、空间复杂度、命令级并行度等需求。
因此，我们需要在规定的维度和空间限制下，尝试不同的运算次序，以获得最优结果。
总之，在三个矩阵的连乘运算中，我们需要综合考虑多种因素，包括矩阵的特点、维度、空间和时间限制等，以确定最优的运算顺序。
只有在正确的运算顺序下进行矩阵乘法运算，才能得到准确、快速、高效的结果。
矩阵连乘问题方程
矩阵连乘问题方程
矩阵连乘问题是一个经典的优化问题，涉及到多个矩阵的乘法操作。
为了提高计算效率，我们需要找到一种最优的矩阵乘法顺序，使得计算成本最低。
假设我们有一组矩阵A1, A2, ..., An，它们需要进行连乘操作，即C = A1 * A2 * ... * An。
我们需要找到一种最优的乘法顺序，使得计算矩阵C 的成本最低。
根据矩阵乘法的性质，我们可以知道以下规律：
1. 矩阵的乘法满足结合律，即(A * B) * C = A * (B * C)。
2. 矩阵的乘法不满足交换律，即A * B 不一定等于B * A。
因此，我们不能简单地将矩阵按照任意顺序进行连乘，而是需要寻找一种最优的乘法顺序。
一种常见的解决方法是使用动态规划算法。
我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，表示前i 个矩阵进行连乘，最终得到矩阵j 的最小计算成本。
然后我们遍历所有可能的矩阵乘法顺序，更新dp 数组的值。
最终，dp[n][j] 的值就是我们要求的最小计算成本。
下面是具体的算法步骤：
1. 初始化dp 数组为一个n 行j 列的全零数组。
2. 遍历所有可能的矩阵乘法顺序，对于每个顺序，计算当前乘法操作的成本，并更新dp 数组的值。
3. 最后，dp[n][j] 的值就是我们要求的最小计算成本。
需要注意的是，由于矩阵的维度可能很大，导致可能的矩阵乘法顺序非常多，因此这个问题的计算复杂度是非常高的。
在实际应用中，我们通常会使用一些启发
式算法来近似最优解。
矩阵连乘
一、矩阵连乘（动态规划、备忘录）1、矩阵连乘给定n个矩阵{A1，A2，…，An}，其中Ai与Ai+1可乘的，i=1,2，…，n-1。
找出这个n个矩阵的连乘A1A2…An所需相乘的最少次数的方式。
2、分析矩阵连乘满足结合律，且不同的结合方式，所需计算的次数不同。
利用备忘录方法，用表格保存以解决的子问题答案，降低重复计算，提高效率。
m初始化为0，表示相应的子问题还位被计算。
在调用LookupChain时，若m[i][j]>0，则表示其中储存的是所要求子问题的计算结果，直接返回此结果即刻。
否则与直接递归算法一样，自顶而下的递归计算，并将计算结果存入m[i][j]后返回。
因此，LookupChain总能返回正确的值，但仅在它第一次被调用时计算，以后调用就直接返回计算结果。
用MemorizedMatrixChain函数将已经计算的数据存入表中，用LookupChain函数配合MemorizedMatrixChain函数递归调用计算。
但是备忘录方法记录了计算过程产生的值，从而不重复计算，被计算了的值，把时间的复杂度从2的n次方降低到n的3次方。
3、伪代码int MemoizedMatrixChain(int number_used){for(int i=1;i<=number_used;i++){for(int j=i;j<=number_used;j++) m[i][j]=0;}return LookupChain(1,number_used);}int LookupChain(int i,int j){if(m[i][j]>0) return m[i][j];if(i==j) return 0;int u=LookupChain(i,i)+LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<j;k++){int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<u) {u=t;s[i][j]=k;}}m[i][j]=u;return u;}void Traceback(int i,int j){if (i == j){cout << "A" << i;}else{cout << "(";Traceback(i,s[i][j]);Traceback(s[i][j]+1,j);cout << ")";}}4、程序实现#include <iostream>using namespace std;const int MAX = 50;class matrix{public:int p[MAX];int m[MAX][MAX];int s[MAX][MAX];int number_used;void input();int LookupChain(int i,int j);void Traceback(int i,int j);matrix();};matrix::matrix(){for(int i=0;i<MAX;i++){p[i]=0;for(int j=0;j<MAX;j++){m[i][j]=0;s[i][j]=0;}}cout<<"input the matrix number: ";cin>>number_used;input();cout<<"output the result："<<endl;LookupChain(1,number_used);Traceback(1,number_used);cout<<endl;}void matrix::input(){cout<<"the matrix: ";cout<<endl<<"input the row of A1 and columns of Ai: ";for(int j=0;j<=number_used;j++){cin>>p[j];}}int matrix::LookupChain(int i,int j){if(i==j) return 0;if(m[i][j]>0) return m[i][j];int u=LookupChain(i,i)+LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<j;k++){int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<u) {u=t;s[i][j]=k;}}m[i][j]=u;return u;}void matrix::Traceback(int i,int j) {if (i == j){cout << "A" << i;}else{cout << "(";Traceback(i,s[i][j]);Traceback(s[i][j]+1,j);cout << ")";}};int main(){matrix m;return 0;}运行情况：。
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法介绍矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。
这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。
本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。
问题描述给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作总数最小化。
动态规划算法动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。
它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。
定义子问题假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中i ≤ j。
确定状态转移方程设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。
根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。
填表计算最优值根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。
具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i= 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1× … × An的最优顺序和乘法操作总数。
重构最优解为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。
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福州大学数学与计算机科学学院
《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2）
i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。
由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。
不过k的位置只有j-i个可能。
因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。
s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为
(A[i:k])(A[k+1:j)。
从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为
(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]] )。
同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在
s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定
A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
3、动态规划迭代算法设计：
用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。
4、算法代码：
1.//3d1-2 矩阵连乘动态规划迭代实现
2.//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
3.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
4.#include "stdafx.h"
5.#include <iostream>
ing namespace std;
7.
8.const int L = 7;
9.
10.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);
11.void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
12.
13.int main()
14.{
15.int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};
16.
17.int **s = new int *[L];
18.int **m = new int *[L];
19.for(int i=0;i<L;i++)
20. {
21. s[i] = new int[L];
22. m[i] = new int[L];
23. }
24.
25. cout<<"矩阵的最少计算次数为：
"<<MatrixChain(6,m,s,p)<<endl;
26. cout<<"矩阵最优计算次序为："<<endl;
27. Traceback(1,6,s);
28.return 0;
29.}
30.
31.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)
32.{
33.for(int i=1; i<=n; i++)
34. {
35. m[i][i] = 0;
36. }
37.for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规
模）
38. {
39.for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的
前边界
40. {
41.int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后
边界
42.
43. m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链
ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )
44.
45. s[i][j] = i;
46.
47.for(int k=i+1; k<j; k++)
48. {
49.//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
50.int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]
*p[j];
51.if(t<m[i][j])
52. {
53. m[i][j] = t;
54. s[i][j] = k;
55. }
56. }
57. }
58. }
59.return m[1][L-1];
60.}
61.
62.void Traceback(int i,int j,int **s)
63.{
64.if(i==j) return;
65. Traceback(i,s[i][j],s);
66. Traceback(s[i][j]+1,j,s);
67. cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];
68. cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;
69.}
上述迭代算法的运行过程如下图所示：
当R=2时，先迭代计算
出： m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；
m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];。