八年级数学全等三角形证明题
人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题)
人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案）1.已知：A B=4，A C=2，D 是B C 中点，A D 是整数，求A D?AB CD解析：延长A D 到E,使DE=A D,则三角形A D C 全等于三角形E B D即BE=A C=2 在三角形A B E 中,AB-BE<A E<A B+B E即:10-2<2A D<10+2 4<A D<6又A D 是整数,则A D=512.已知：D 是A B 中点，∠AC B=90°，求证：C D AB2ADC B3.已知：BC=D E，∠B=∠E，∠C=∠D，F 是C D 中点，求证：∠1=∠2A 12BEC F D证明：连接 BF 和 EF 。
因为 BC=E D,CF=D F,∠BCF=∠ED F 。
所以 三角形 B CF 全等于三角形 E DF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接 BE 。
在三角形 BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠A B C=∠A E D 。
所以 ∠A BE=∠AE B 。
所以 A B=A E 。
在三角形 A BF 和三角形 AEF 中， A B =A E,BF=EF, ∠ABF=∠A B E+∠EBF=∠A E B+∠BEF=∠A EF 。
所以 三角 形 A BF 和三角形 AEF 全等。
所以 ∠B AF=∠E AF (∠1=∠2)。
A 4. 已知：∠1=∠2，C D=D E ，EF//AB ，求证：EF=A C证明： 过 E 点，作 E G//AC ，交 A D 延长线于 G 则2 1 FCD∠DE G=∠D C A ∵C D=D E ∴⊿A D C ≌⊿G D E ， ∠D G E=∠2A A S又 E（ ） B∴E G=A C ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠D G E ∴EF=E G ∴EF=A C5. 已知：A D 平分∠B A C ，A C=A B+B D ，求证：∠B=2∠CACB D证明： 在 A C 上截取 AE=A B ，连接 E D ∵AD 平分∠B A C ∴∠E A D=∠BA D 又 ∵AE=A B ， A D=A D ∴⊿AE D ≌⊿A B D （ S AS ） ∴∠AE D=∠B ， D E=D B ∵A C =A B+B DA C =A E+CE ∴CE=D E ∴∠C=∠E D C ∵∠AE D=∠C+∠E D C=2∠C ∴∠B= 2∠C6. 已知：A C 平分∠B A D ，C E ⊥A B ，∠B+∠D=180°，求证：AE=A D +B E证明:在B C上截取BF=B A,连接EF.∠A BE=∠FBE,BE=BE,则⊿A BE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;A B平行于C D,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠D C E,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=A B+C D.13.已知：A B//E D，∠E A B=∠B D E，E DA F=CCFA B证明：A B//ED,A E//BD推出AE=B D,又有AF=C D,EF=B CA D则：△AE D 是等腰三角形。
人教版八年级数学上册全等三角形的证明习题(大题)
全等三角形的证明1、如图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠CAE ，AC=AE ，求证：BC=DE2、如图，AF=DB ，BC=EF ，AC=DE ，求证：BC∠EF 。
3、已知：如图，∠ABC ＝∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线． 求证：AB ＝DC ．4、如图，∠DCE ＝90°，CD ＝CE ，AD∠AC ，BE∠AC ，垂足分别为A 、B ． 求证：AD ＋AB ＝BE ．ABCDE5、已知，AC∠CE ，AC=CE ， ∠ABC=∠EDC=900，证明：BD=AB+ED 。
6、如图，在∠ABC 中，D 为BC 边的中点，过D 点分别作DE ∠AB 交AC 于点E ， DF ∠AC 交AB 于点F .求证：BF=DE 。
7、如图，点E 在AB 上，AC=AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
所添条件为 ，你得到的一对全等三角形是∆ ∆≅ .证明：ABCDE8、如图，AD 平分∠BAC ，DE∠AB 于E ，DF∠AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC.9、如图，AE 是∠BAC 的平分线，AB=AC 。
若点D 是AE 上任意一点，请证明：∠ABD∠∠ACD ；10、（1）把一大一小两个等腰直角三角板（即EC=CD,AC=BC ）如图1放置，点D 在BC上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ． 求证：（1）ΔACD∠ΔBCE （2）AF∠BE ．FE D CB AECDBABACDEFB DE A（2）把左边的小三角板逆时针旋转一定的角度如图2放置，问AF与BE是否垂直？并说明理由．图2。
八年级上册数学全等三角形证明题
八年级上册数学全等三角形证明题一、全等三角形证明题1 20题及解析。
（一）题目1。
1. 题目。
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。
求证：AF = EF。
2. 解析。
证明：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。
因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。
在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG = ∠CDA（对顶角相等），DG = DA。
根据SAS（边角边）全等判定定理，可得△BDG≌△CDA。
所以BG = AC，∠G = ∠CAD。
又因为BE = AC，所以BG = BE。
所以∠G = ∠BEG。
因为∠BEG = ∠AEF（对顶角相等），所以∠AEF = ∠CAD。
所以AF = EF。
（二）题目2。
1. 题目。
如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BE = CF，∠B = ∠DEF。
求证：AC = DF。
2. 解析。
因为BE = CF，所以BE + EC = CF+EC，即BC = EF。
在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠DEF，BC = EF。
根据SAS全等判定定理，可得△ABC≌△DEF。
所以AC = DF。
（三）题目3。
1. 题目。
已知：如图，AB = CD，AE = DF，CE = FB。
求证：AF = DE。
2. 解析。
因为CE = FB，所以CE + EF = FB + EF，即CF = BE。
在△AEB和△DFC中，AB = CD，AE = DF，BE = CF。
根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△AEB≌△DFC。
所以∠B = ∠C。
在△ABF和△DCE中，AB = CD，∠B = ∠C，BF = CE。
根据SAS全等判定定理，可得△ABF≌△DCE。
所以AF = DE。
（四）题目4。
1. 题目。
如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F。
八年级全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2AD BC证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGB ACDF21E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
八年级数学重难点题目
八年级数学重难点题目一、三角形全等证明类题目。
1. 如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。
求证：△ABC≌△DEF。
解析：在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。
根据三角形全等判定定理中的“边角边”（SAS），即如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
所以可以得出△ABC≌△DEF。
2. 已知：如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AC = AD。
解析：因为∠3 = ∠4，所以∠ABC = ∠ABD（等角的补角相等）。
在△ABC和△ABD中，∠1 = ∠2，AB = AB（公共边），∠ABC = ∠ABD。
根据“角边角”（ASA）判定定理，可得△ABC≌△ABD，所以AC = AD。
二、等腰三角形性质与判定类题目。
3. 等腰三角形的一个角为80°，求这个等腰三角形的顶角度数。
解析：当80°角为顶角时，顶角度数就是80°；当80°角为底角时，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，则顶角为180° - 80°×2 = 20°。
所以顶角度数为80°或20°。
4. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F。
求证：AD = AF。
解析：因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
因为DE⊥BC，所以∠B + ∠BDE = 90°，∠C+∠F = 90°。
又因为∠BDE = ∠ADF（对顶角相等），所以∠ADF = ∠F，根据等角对等边，可得AD = AF。
三、勾股定理应用类题目。
5. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据勾股定理a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。
八年级全等三角形简单证明题及答案(15道)
∴BC=ED．
全等三角形的判定与性 质．
01
如图，在△ABC中， ∠C=90°，点D是AB边上的 一点，DM⊥AB，且 DM=AC，过点M作 ME∥BC交AB于点E．求证： △ABC≌△MED。
02
证明：∵MD⊥AB，
∴∠MDE=∠C=90°，
∵ME∥BC，
∴∠B=∠MED，
在△ABC与△MED中， ∠B=∠MED ∠C=∠EDM DM=AC ，
∠D=∠B ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即
AE=CF．
全等三角形的判定与性 质．
11.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延 长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证： Rt△ABE≌Rt△CBF；
证明：∵∠ABC=90°，
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
全等三角形的判定．
如图，在△ABC中， AB=AC，AD平分 ∠BAC．求证： ∠DBC=∠DCB．
解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴在△ACD和△ABD中 AB=AC ∠BAD=∠CAD
AD=AD ， ∴△ACD≌△ABD， ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB．
：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中， AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ，
∴△ABC≌△ADC．
全等三角形的判定．
9.如图，已知 点E，C在线段
BF上， BE=CF， AB∥DE， ∠ACB=∠F．
求证： △ABC≌△DEF
．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF．
全等三角形的判定与性质．
初二数学-全等三角形证明经典50题
初二数学几何证明1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD2.已知：D 是AB 中点，/ ACB=90。
，求证：CD -AB2A3.已知：BC=DE，/ B= / E,Z C= / D, F 是CD 中点，求证:4.已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ，求证：/ B=2 / C7.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 ADD5. AE=AD+BE，求证: O6.8.已知：D 是AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD 1 AB29.已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D, F 是CD 中点，求证:12.已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB , / B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BECD=DE , EF//AB，求证:EF=AC10.已知：/ 1 = / 2,c12.如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD 上。
求证：BC=AB+DC。
D14.已知：AB=CD，/ A= / D，求证：/ B= / CB15. P 是/ BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB17.已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC18. （ 5 分）如图，在△ ABC 中，BD=DC ，/ 仁/2，求证：AD 丄 BC .19. （ 5分）如图，0M 平分/ POQ , MA 丄OP,MB 丄OQ , A 、B 为垂足，AB 交0M 于点N . 求证：/ OAB= /OBA16.已知/ ABC=3 / C ,Z 1 = / 2, BE 丄 AE ，求证:AC-AB=2BE20. （ 5分）如图，已知 AD // BC ,/ PAB 的平分线与/ CBA 的平分线相交于 E , CE 的连线 交 AP 于D .求证：AD+BC=AB .（6分）如图，△ ABC 中，AD 是/ CAB 的平分线，且 AB=AC+CD ，求证：/ C=2/ B22. （6分）如图①，E 、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE 丄AC 于E , BF 丄AC 于F , 若AB=CD , AF=CE , BD 交 AC 于点 M .（1） 求证：MB = MD , ME=MF（2） 当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由.23. （ 7分）已知：如图， DC // AB ，且DC =AE , E 为AB 的中点,（1）求证：△ AEDEBC.21.（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC夕卜，请再写出两个与△ AED的面积相等的三角形.（直接写出结果，不要求证明）：24. （7分）如图，△ ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F .求证：BD=2CE.25、（10分）如图: DF=CE AD=BC/ D=Z G 求证：△26、（10分）如图：AE、BC交于点M F点在AM上,求证：AM>^ ABC的中线。
三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)-2023年新八年级数学题型(人教版)(解析版)
三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．【变式1】如图，AB ＝AD ，∠1，DA 平分∠BDE ．求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ，∵DA 平分∠BDE ．∴∠ADE ＝∠ADB ，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC和△ADE中，{∠ADE=∠B AB=AD∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE（ASA）．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．【解答】解：在△ABC与△ADC中，{∠1=∠2 AC=AC∠3=∠4，则△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故选：B．【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠DEFBC =EF ∠ACB =∠F，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）． 题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB //CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CD BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式1】已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【变式2】如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE .求证：BD ＝CE .【详解】∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE +∠CAE ＝90°，∠BAE +∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD .又AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE (ASA ).∴BD ＝CE .【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，在河岸BM 上截取BC ＝CD ，作ED ⊥BD 交AC 的延长线于点E ，垂足为点D ．（DE ≠CD ）（1）线段 的长度就是A 、B 两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】解：（1）线段DE 的长度就是A 、B 两点间的距离；故答案为：DE ；（2）∵AB ⊥BC ，DE ⊥BD∴∠ABC ＝∠EDC ＝90°又∵∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝CD∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴AB ＝DE ．【变式4】如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【变式5】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN【变式6】如图，已知224m ABC S =△，AD 平分BAC ∠，且AD BD ⊥于点D ，则ADC S =△________2m ．【答案】12【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥，∴BAD EAD ∠=∠，90ADB ADE ∠=∠=︒．∵AD AD ＝，∴()ADB ADE ASA ≌．∴BD DE =．∴ABD AED S S =△△，BCD ECD S S =． ∴12ABD BCD AED ECD ABC S S S S S =++=△△△△△．即12ADC ABC S S =．∵224m ABC S =△，∴212m ADC S =△．故答案为：12．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE ∥CF ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）若AE ＝13，AF ＝7，试求DE 的长．【解答】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE ＝∠DCF ，在△BDE 和△CDF 中，，∴△BDE ≌△CDF （ASA ）；（2）解：∵AE ＝13，AF ＝7，∴EF ＝AE ﹣AF ＝13﹣7＝6，∵△BDE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∵DE +DF ＝EF ＝6，∴DE ＝3．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【变式】（202210块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）； （2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6（cm ），BE ＝7×2＝14（cm ），∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【变式】已知：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、 BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =.【答案与解析】证明：∵ CD AE ⊥，CD BF ⊥∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB∴︒=∠+∠90ACF BCF∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC∴BCF ∆≌CAE ∆（AAS ）∴BF CE =【总结升华】要证BF CE =，只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，120CAB ABD ∠+∠=AD 、BC 分别平分CAB ∠、ABD ∠，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB ∠的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【详解】解：（1）∵AD ，BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠CAB +∠ABD =120°，∴∠OAB +∠OBA =60°，∴∠AOB =180°-60°=120°；（2）在AB 上截取AE =AC ，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=A B．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②证明：由（1）知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ．（2）成立．证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c ，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，AB ＝c .作法：(1)作∠DAF ＝∠α；图4－4－224－4－23(2)在射线AF 上截取线段AB ＝c ；图4－4－24(3)以B 为顶点，以BA 为一边，在AB 的同侧作∠ABE ＝∠β，BE 交AD 于点C .△ABC 就是所求作的三角形．[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 例7.已知：角α，β和线段a ，如图4－4－29所示，求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，BC ＝a .图4－4－29[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C ，再利用两角夹边作图． 解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC ＝a ；(3)分别以B ，C 为顶点，以BC 为一边作∠CBM ＝∠β，∠BCN ＝∠γ；(4)射线BM ，CN 交于点A .△ABC 就是所求作的三角形．图4－4－30【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：α∠，∠β和线段a ，求作ABC ，使A α∠=∠，2B β∠=∠，AB a =．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【详解】解：如图，△ABC即为所求．．【过关检测】一、单选题A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．≌过程中，先作2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到DBC ABCDBC ABC ∠=∠，再作DCB ACB ∠=∠，从而得到DBC ABC ≌，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】B 【分析】根据题意分析可得DBC ABC ∠=∠，DCB ACB ∠=∠，再加上公共边BC BC =，根据AAS ，即可判断DBC ABC ≌．【详解】解：∵得DBC ABC ∠=∠， BC BC =，DCB ACB ∠=∠，∴DBC ABC≌()ASA ， 故选：B ．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，连接PN ，若6PM =，则PN 的长度不可能是（ ）【答案】D 【分析】如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，证明POH POM △≌△得到6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，∵PM OB ⊥，∴90PHO PMO ==︒∠∠，∵OC 平分AOB ∠，∴POH POM ∠=∠，又∵OP OP =，∴()AAS POH POM △≌△，∴6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，∵(264036=>，∴6，∴四个选项中，只有D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，AD BC ∥，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若4PE =，则点P 到AD 与BC 的距离之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，先证明AD FG ⊥，由角平分线的定义得到EBP GBP =∠∠，进而证明EBP GBP △≌△得到4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，则8FG PF PG =+=，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，∵AD BC ∥，∴AD FG ⊥，∵PE AB ⊥，∴90PFA PEA PEB PGB ====︒∠∠∠∠，∵BP 平分ABC ∠，∴EBP GBP =∠∠，又∵BP BP =，∴()AAS EBP GBP △≌△，∴4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，∴8FG PF PG =+=，∴点P 到AD 与BC 的距离之和为8，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，90C ∠=︒，点M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且8CB =，则点M 到线段AD 的最小距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，证明MDE MDC △≌△，得到ME MC =，再根据线段中点的定义得到142ME MC BC ===，根据垂线段最短可知点M 到线段AD 的最小距离为4．【详解】解：如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，∴90MED C ==︒∠∠，∵DM 平分ADC ∠，∴MDE MDC =∠∠，又∵MD MD =，∴()AAS MDE MDC △≌△，∴ME MC =，∵点M 是BC 的中点，8CB =，∴142ME MC BC ===，∴点M 到线段AD 的最小距离为4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E 在ABC 外部，点D 在ABC 的BC 边上，DE 交AC 于F ，若123∠=∠=∠，AE AC =，则（ ）．A ．ABD AFE △≌△B ．AFE ADC ≌△△ C ．AFE DFC ≌△△D ．ABC ADE △≌△ 【答案】D 【分析】首先根据题意得到BAC DAE ∠=∠，E C ∠=∠，然后根据ASA 证明ABC ADE △≌△．【详解】解：∵12∠=∠，∴12DAC DAC ∠+∠=∠+∠，∴BAC DAE ∠=∠，∵23∠∠=，AFE DFC ∠=∠，∴E C ∠=∠，∴在ABC 和ADE V 中，BAC DAE AC AEC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABC ADE ≌△△， 故选：D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去【答案】B 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA ，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ． 8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，8AD BD ==，10AC =，2AE =，则BF 的长为（ ）A ．11.2B ．11.5C ．12.5D ．13【答案】A 【分析】先证明BDE ADC △≌△，可得 6DE DC ==，14BC =，而10AC =，再由等面积法可得答案．【详解】解：∵ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，∴90ADB ADC BFA ∠=∠=︒=∠，∵AEF BED ∠=∠，∴DBE DAC ∠=∠，∵8AD BD ==，2AE =，∴BDE ADC △≌△，6DE =，∴6DE DC ==，∴14BC =，而10AC =，由等面积法可得：111481022BF ⨯⨯=⨯⨯，解得：11.2BF =；故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明BDE ADC △≌△是解本题的关键． 9．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；最后，他用步测的办法量出自己与E 点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定ABC DEF ≌△△的理由可以是（ ）A ． SSSB ． SASC ． ASAD ． AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上，∴A D ∠=∠，∵AC BC ⊥，DF EF ^，∴90ACB DFE ∠=∠=︒，∵AC DF =，∴判定ABC DEF ≌△△的理由是ASA ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知BP 是ABC ∠的平分线，AP BP ⊥，若212cm BPC S =△，则ABC 的面积（ ）A ．224cmB ．230cmC ．236cmD ．不能确定【答案】A【分析】延长AP 交BC 于点C ，根据题意，易证()ASA ABP DBP ≌，因为APC △和DPC △同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出2224cm ABC BPC S S ==．【详解】如图所示，延长AP ，交BC 于点D ，，∵AP BP ⊥，∴90APB DPB ∠=∠=︒，∵BP 是ABC ∠的角平分线，∴ABP DBP ∠=∠，在ABP 和DBP 中，ABP DBP BP BP APB DPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABP DBP ≌，∴AP DP =,∴ABP DBP S S =△△，∵APC △和DPC △同底等高，∴APC DPC S S =△，∴PBC DPB DPC ABP APC S S S S S =+=+△△△△，∴2224ABC BPC S S cm ==，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【答案】BE CD =或AE AD =【分析】由于两个三角形已经具备B C ∠=∠，A A ∠=∠，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．【详解】解：∵B C ∠=∠，A A ∠=∠，∴若用“AAS ”判断ABE ACD ≌，可补充的条件是BE CD =或AE AD =；故答案为：BE CD =或AE AD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．七年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】ASA【分析】由AD BC ⊥、AD 平分BAC ∠、AD AD =可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用ASA 判定这两个三角形全等．【详解】∵AD BC ⊥，∴90BDA CDA ︒=∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAD ∠CAD =∠．在ABD △与ACD 中，BDA CDA AD AD BAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABD ACD ≌．故答案为：ASA【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等． 13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，连接AD ，CE AD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．若8CE =，5BF =，4EF =，则AD 的长为________．【答案】9【分析】只要证明(AAS)ABF CDE ≌，可得8AF CE ==，5BF DE ==，推出AD AF DF =+即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒，90A D ∠+∠=︒，90C D ∠=∠=︒，∴A C ∠=∠，∵AB CD =，∴(AAS)ABF CDE ≌，∴8AF CE ==，5BF DE ==，∵4EF =，∴()8549AD AF DF =+=+−=，故答案为：9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF ，且使BF AB ⊥，在BF 上截取BC CD =，过D 点作DE BF ⊥，使E C A ，，在一条直线上，测得16DE =米，则A ，B 之间的距离为______米．【答案】16【分析】根据已知条件可得ABC EDC △≌△，从而得到DE AB =，从而得解．【详解】∵BF AB DE BF ⊥⊥，，∴90B EDC ∠=∠=°，∵90B EDC ∠=∠=，BC CD BCA DCE =∠=∠，，∴()ASA ABC EDC ≌△△，∴DE AB =．又∵16DE =米，∴16AB =米，即A B ，之间的距离为16米．【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，AD CF =，添加一个条件，使ABC DEF ≌△△，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =（答案不唯一）【分析】先证明A EDF ∠=∠及AC DF =，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【详解】解∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =，理由是∶∵AB DE ∥，∴A EDF ∠=∠，∵AD CF =，∴AD CD CF CD +=+即AC DF =，当BC EF ∥时，有BCA EFD ∠=∠，则() ASA ABC DEF ≌， 当BCA EFD ∠=∠时，则() ASA ABC DEF ≌， 当B E ∠=∠时，则() AAS ABC DEF ≌， 当AB DE =时，则() SAS ABC DEF ≌，故答案为∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有SAS ， ASA ， AAS ， SSS 是解题的关键． 16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M 与点O 的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O 处立竖杆PO ，并将顶端的活动杆PQ 对准点M ，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N ，测量点N 与点O 的距离，该距离即为点M 与点O 的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．【详解】解：在POM 和PON △中，90OP OPPOM PON ⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ASA POM PON ∴≌，∴判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【答案】 = 180BCA α∠+∠=︒【分析】①求出90BEC AFC ∠=∠=︒，CBE ACF ∠=∠，根据AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果；②求出CBE ACF ∠=∠，由AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果．【详解】解：①90BCA ∠=︒，90α∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，BEC CFACB CA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△，BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，②α∠与BCA ∠应满足180BCA α∠+∠=︒，在BCE 中，180180CBE BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−∠，180BCA α∠=︒−∠，BCA CBE BCE ∴∠=∠+∠，ACF BCE BCA ∠+∠=∠，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，CBE ACF BEC CFACB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△， BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，故答案为：=，180BCA α∠+∠=︒．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是判断出BCE CAF ≌△△． ABC 的角平分线，过点【答案】4【分析】延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，利用ASA 证明ABD △和ACF △全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，90EBF F ∠+∠=︒，90ACF F ∠+∠=︒，EBF ACF ∴∠=∠，在ABD △和ACF △中，EBF ACF AB ACBAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ABD ACF ∴≌， BD CF ∴=，BD Q 是ABC ∠的平分线，EBC EBF ∴∠=∠．在BCE 和BFE △中，BE BECEB FEB ⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BCE BFE ∴≌， CE EF ∴=，2CF CE ∴=，24BD CF CE ∴===．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）首先根据垂直判定AB EF ∥，得到ABC F ∠=∠，再利用AAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得9AB CF ==，4BC EF ==，再利用线段的和差计算即可．【详解】（1）解：∵CD AB ⊥，EF CE ⊥，∴AB EF ∥，∴ABC F ∠=∠，在ABC 和CFE 中，ACB EAC CE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABC CFE △△≌； （2）∵ABC CFE △△≌， ∴9AB CF ==，4BC EF ==，∴5BF CF BC =−=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角形全等． 20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A ，C ，D 三点共线，ABC 和CDE 落在AD 的同侧，AB CE ∥，BC DE =，B D ∠=∠．求证：AB CE AD +=．【答案】见解析【分析】证明()AAS ABC CDE ≌，得出AB CD =，BC CE =，即可证明结论．【详解】解：∵AB CE ∥，∴A DCE ∠=∠，∵B D ∠=∠，BC DE =，∴()AAS ABC CDE ≌，∴AB CD =，BC CE =，∴AB CE CD AC AD +=+=．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明ABC CDE △≌△．21．（2022秋·八年级课时练习）已知αβ∠∠，和线段a （下图），用直尺和圆规作ABC ，使A B AB a αβ∠=∠∠=∠=，，．【答案】见解析 【分析】先作出线段AB a =，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，即可得到答案．【详解】解：作法如下图．1．作一条线段AB a =．2．分别以A ，B 为顶点，在AB 的同侧作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，，DA 与EB 相交于点C ．ABC 就是所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知ABC ，请根据“ASA”作出DEF ，使DEF ABC ≌．【答案】见解析【分析】先作MEN B ∠=∠，再在EM 上截取ED BA =，在EN 上截取EF BC =，从而得到DEF ABC ≌．【详解】解：如图，DEF 为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，已知FB CE =，AB DE ∥，ACB DFE ∠=∠，试说明：AC DF =．【答案】见解析【分析】利用ASA 定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．【详解】解：∵FB CE =，∴FB FC CE FC +=+，即BC EF =，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，在ABC 和DEF 中B E BC EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC DEF ≌△△， ∴AC DF =．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：EC AC =，BCE DCA ∠=∠，A E ∠=∠．求证：AB ED =．【答案】见解析【分析】先求出ACB ECD ∠=∠，再利用“角边角”证明ABC 和EDC △全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】证明：∵BCE DCA ∠=∠，∴BCE ACE DCA ACE ∠+∠=∠+∠，即ACB ECD ∠=∠．在ABC 和EDC △中，∵ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌△△．∴AB ED =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB DE =，AB DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：ABC DEF ≌△△； (2)若10BE =，3BF =，求FC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由AB DE ∥，得ABC DEF ∠=∠，而AB DE =，A D ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“ASA ”证明ABC DEF ≌△△； （2）根据全等三角形的性质得BC EF =，则3BF CE ==，即可求得FC 的长度．【详解】（1）解：证明：∵AB DE ∥，∴ABC DEF ∠=∠，在ABC 和DEF 中，A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABC DEF ≌△△； （2）解：由（1）知()ASA ABC DEF ≌△△，∴BC EF =， ∴BF FC CE FC +=+，∴3BF CE ==，∵10BE =，∴10334FC BE BF CE =−−=−−=，∴FC 的长度是4．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明ABC DEF ∠=∠是解题的关键． 26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 中，BD CD =，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE CDF ≌；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)72【分析】（1）根据平行线的性质可得BED CFD Ð=Ð，根据全等三角形的判定即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得DE DF =，即可求得．【详解】（1）证明：∵BE CF ∥，∴BED CFD Ð=Ð，∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =，∴()AAS BDE CDF ≌；（2）由（1）结论可得DE DF =，∵1587EF AE AF =−=−=，∴72DE =．【点睛】全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板ABC 和DBE 按如图所示的方式摆放，连接DC ．已知DBA CBE ∠=∠，BDE BAC ∠=∠，AC DE DC ==．(1)试说明ABC DBE ≌△△．(2)若72ACD ∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)36BED ∠=︒【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可；（2）全等三角形的性质，得到BED BCA ∠=∠，证明()SSS DBC ABC ≌，得到1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，即可得解．【详解】（1）解：因为DBA CBE ∠=∠，所以DBA ABE CBE ABE ∠+∠=∠+∠，即DBE ABC ∠=∠．在ABC 和DBE 中，ABC DBE BAC BDEAC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以()AAS ABC DBE ≌． （2）因为ABC DBE ≌△△， 所以BD BA =，BCA BED ∠=∠．在DBC △和ABC 中，DC AC CB CBBD BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以()SSS DBC ABC ≌， 所以1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，所以36BED BCA ∠=∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等． 28．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段AD 是ABC 的中线，分别过点B 、C 作AD 所在直线的垂线，垂足分别为E 、F ．(1)请问BDE 与CDF 全等吗？说明理由；(2)若ACF △的面积为10，CDF 的面积为6，求ABE 的面积．【答案】(1)BDE CDF ≌△△，见解析 (2)22【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可．（2）根据中线性质，得到,ABD ACD ACF CDF CDF ==+=△△△△△BDE △S S S S S S ，结合ABEABD BDE S S S =+△△△计算即可． 【详解】（1）BDE CDF ≌△△，理由如下： ∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AE ⊥，CF AE ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDE CDF ≌．（2）∵10ACF S =△，6CDF S =△，BDE CDF ≌，∴10616ACD ACF CDF S S S =+=+=△△△，6BDE CDF S S ==，∵BD CD =∴ABD △和ACD 是等底同高的三角形∴16ABD ACD S S ==△△∴16622ABE ABD BDE S S S =+=+=△△△．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定和性质，中线的性质是解题的关键． 29．（2019·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC 中，点D 是三角形内一点，连接DA 、DB 、DC ，若,=∠=∠AB AC ADB ADC ，求证：AD 平分BAC ∠.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）已知点P 是等边三角形ABC 内的任意一点，过点P 分别作三边的垂线，分别交三边于点D 、点E 、点F .求证PD PE PF ++为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.因为ADB ADC ∠=∠，所以ADE ADF ∠=∠，因此(AAS)ADF ADE ≅，得到AF AE =.进而AFC AEB ≅，得到ABD ACD ∠=∠，因此BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【详解】（1） 已知：等边如图三角形ABC ，P 为三角形ABC 内任意一点，PD ⊥AB, PF ⊥AC, PE ⊥BC, 求证：PD+PE+PF 为定值.证明：如图：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，分别连接AP 、BP 、CP .∵ABC ABP BCP CAP S S S S =++， ∴11112222BC AG BC PE AC PF AB PD =++又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD PE PF AG ++=定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.∵ADB ADC ∠=∠，∴ADE ADF ∠=∠，又∵AD=AD∴(AAS)ADF ADE ≅，∴AF AE =∴AFC AEB ≅，∴ABD ACD ∠=∠，∴BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．。
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第十三章 全等三角形测试卷
（测试时间：90分钟 总分：100分）
班级 姓名 得分
一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分）
1． 对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；②AC=DF ；
③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④ 2． 下列说法正确的是( )
A ．面积相等的两个三角形全等
B ．周长相等的两个三角形全等
C ．三个角对应相等的两个三角形全等
D ．能够完全重合的两个三角形全等 3． 下列数据能确定形状和大小的是（ ）
A ．A
B =4，B
C =5，∠C =60° B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10
D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50°
4． 在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB = DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证明△
ABC ≌△DEF ( )
A ．AC = DF
B ．B
C = EF C ．∠B=∠E
D ．∠C=∠F 5． OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（ ）
A ．射线OP 上的点与OA ，O
B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等
C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等
D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等
6． 如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC
时，运用的判定定理是（ ）
A ．SSS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SAS
7． 如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是（ ）
A ．AD=BC
B ．∠C=∠D
C ．A
D ∥BC
D ．OB=OC
8． 如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB = CD ，AE = CF ，
则图中全等三角形共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
（第8题）
A
D
C
B
E
F O A D C
B
（第7题）
B A
C E
D
（第6题） 2
1
9． 如图，AB =AC ，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，CF 与BE 交于点D ．有下列结论：①△
ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的( )
A ．只有①
B ．只有②
C ．只有③
D ．有①和②和③
10．如图，DE ⊥BC ，BE=EC ，且AB =5，AC =8，
则△ABD 的周长为（ ）
A ．21
B ．18
C ．13
D ．9
二、填空题（本大题共6小题；每小题2分，共12分）
11．如图，除公共边AB 外，根据下列括号内三角形全等的条件，在横线上添加适当的条件，
使△ABC 与△ABD 全等：
（1） ， (ASA)；（2） ，∠3=∠4 (AAS)． 12．如图，AD 是△ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE =AD ，连结BE ，则有
△ACD ≌△ 。
13．如图，△ABC ≌△ADE ，此时∠1= ．
14．如图，AB ⊥AC ，垂足为A ，CD ⊥AC ，垂足为C ，DE ⊥BC ，且AB=CE ，若BC =5cm ，
则DE 的长为 cm ．
15．如图，AD=BD ，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF ⊥AC ，垂足为F ，BC =6cm ，DC =2cm ，
则AE = cm ．
16．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列论断：①AB=AC ；②AD=AE ；③∠B=∠C ；④
BD=CE ．请以其中三个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题： 。
A B F C E
D （第9题）
E B A D C （第10题）
A B C 3 4 1 2 （第11题）
D D A B C （第12题） A B
E D C （第13题） 3
1 2 B
A E D （第14题） E
B D
C A （第15题） F B C （第16题） A D
E
O
N
M
P
C
B
A
N
M
E
D
C
B
A
三、解答题（本大题5小题；共68分）
17．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB．∠MON＝50°，∠OPC＝30°．求∠PCA的度数．
18．已知：如图，AB与CD相交于点O，∠ACO=∠BDO，OC=OD，CE是△ACO的角平分线，请你先作△ODB的角平分线DF（保留痕迹）再证明CE=DF．
19．如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证BM＝CN．
20．已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的
平行线BG 于点G ，DE ⊥GF ，并交AB 于点E ，连结EG ． （1）求证BG=CF ；
（2）试猜想BE +CF 与EF 的大小关系，并加以证明．
21．如图，图（1）中等腰△ABC 与等腰△DEC 共点于C ，且∠BCA ＝∠ECD ，连结BE ，
AD ，若BC ＝AC ，EC ＝DC ．求证BE ＝AD ；若将等腰△EDC 绕点C 旋转至图（2）（3）（4）情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么?
E
D C
B
A
E
D
C
A
B
B
A
D C
E
A
E
B
C
D
（1）
（2） （3）
（4）
八年级（上）《全等三角形》试卷讲评课教案
九华初级中学李海燕
教学目标：
1. 通过讲评，进一步巩固全等三角形的相关知识点。
2. 通过对典型错误的剖析、矫正、帮助学生掌握正确的思考方法和解题策略。
教学重点：
第16，19，20题的错因剖析与矫正。
教学过程：
一、考试情况分析：
班级均分：82.1 分最高分：100 分
100分的同学，全班公示，鼓掌祝贺。
分发试卷。
二、学生小组总结试卷填空和选择两块解题中错误原因和解题感受，看看哪些小组总结得比较好。
学生用投影展示自己的所思所想。
三、重点评讲解答题的19、20题
1、学生小组交流
2、学生据黑板图形讲解
3、教师点评
四、学生自我完善考卷
五、总结课堂，教师质疑
六、学生课堂训练
教案说明：
本张试卷学生考试情况较好，典型错误不多，且书写态度端正，思维过程表达清晰，可以看出学生对全等三角形的性质、判定掌握到位，如17、19有的学生能灵活运用角平分线性质及垂直平分线性质进行解答，方法比较简便。
针对考试情况，我在进行教学设计时让学生发现自己在解题中的失误或错误，重点评讲了试题中的3、19、20等题。
本课主要采用由学生说题的方法进行评讲，心理学研究表明，人在学习活动过程中，听懂不一定做的出，语
言表述则是思维活动的最高境界，语言更能训练思维的逻辑性和严密性。
学生对解题过程或者思维过程口头能表达清楚才是真的理解这道题。
总之，“学生说题”能转变学生的学习方式，建设开放而有活力的课堂，符合有效课堂的特征，是高参与的课堂、高认知的课堂、高情意的课堂。
课堂练习是针对学生在考卷中表现出的薄弱之处设计的，在学生对考卷进行评讲后进行练习，能有效帮助学生进一步掌握解题方法。
课堂针对性练习
班级姓名组别
1、如图，在△AEB和△AFC中，有下列论断：①∠EAC=∠FAB；②AB=AC；③BE=CF；④AE=AF.
请以其中三个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题.
2、（1）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线AF交BC于F，BD⊥AF于
D，CE⊥AF于E .
求证：DE=BD-EC
（2）对于（1）中的条件改为：直线AF在△ABC形外，与BC的延长线相交于F，其他条件不变，上述结论仍成立吗？(请画出图形)若成立，请证明；若不成立，请写出正确的等式，并证明.。