2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-1-2
2015年高考数学新高考创新题型之8：解析几何(含精析)[来源：学优高考网1584640]
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之8.解析几何（含精析）一、选择题。
1．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5B 、17C 、5D 、21472．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B.233 C.305D.523．已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．224．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）二、填空题。
5．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:()222210x y a b a b+=>>可以被认为由圆222x y a +=作纵向压缩变换或由圆222x y b +=作横向拉伸变换得到的。
依据上述论述我们可以推出椭圆C 的面积公式为 .xyb-baO -a6.若P 0(x 0，y 0)在椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是0022xx yy a b+＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是 .7．我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法： ①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 ．8．若存在实常数k 和b ，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x 分别满足：f(x)≥kx ＋b 和g(x)≤kx＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x 2，φ(x)＝2eln x(其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为 .9．设,A B 分别为椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,F 为右焦点,l 为Γ在点B 处的切线,P 为Γ上异于,A B 的一点,直线AP 交l 于D ,M 为BD 中点,有如下结论:①FM 平分PFB ∠;②PM 与椭圆Γ相切;③PM 平分FPD ∠;④使得PM =BM 的点P 不存在.其中正确结论的序号是_____________.10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为圆；③设θ是ABC ∆的一内角，且7sin cos 13θθ+=，则22sin cos 1x y θθ-=表示焦点在x 轴上的双曲线；④已知两定点12(1,0),(1,0)F F -和一动点P ，若212||||(0)PF PF a a ⋅=≠，则点P 的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.三、解答题。
【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】（人教通用）2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1理（含最新原创题，含解析）(建议用时：40分钟) 一、选择题1．若A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∩B 中元素个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 因为A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }＝{x |1＜x ＜4，x ∈Z }＝{2,3}，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∩B ＝{2}． 答案 B2．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )．A.12＋i B ． 5 C.52D ．54解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋b i|＝|－12－i|＝52. 答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( )． A.815B ．12 C.25D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( )．A ．21B ．24C ．28D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28.答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b )·a 2＜0得，a ≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b )·a 2＜0，即“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12 B ．32C ．1D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x ±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2.所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f (x )＝sin (2x ＋φ)． 把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin (2x ＋π3)．答案 A9．已知O 是坐标原点，点A (－2,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值X 围是( )． A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2]解析 ∵A (－2,1)，M (x ，y )，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N (1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M (0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝2，∴|F 1A |＋|F 2A |＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23. 答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为( )．A.323 B ．403C.163D ．40解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a n n＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．3D ．2解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵f (32－x )＝f (x )，∴f (32－x )＝－f (－x )，∴f (3＋x )＝f (x )，∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a n n＋1，∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n ≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (2)＋f (0)＝f (2)＝－f (－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为__________．解析 ∵p ·q ＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)， ∴|p ＋λq |＝2＋λ2＋2λ－12＝5λ2＋5≥ 5.答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得，sin A ＝a sin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6.答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析 由y ＝x ，得y ′＝－12x，所以，曲线y ＝x在点(m ，m)处的切线方程为y －m＝－12m(x －m )，由已知，得12×32m×3m ＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以 3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b )＝6a b ＋2b a＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)． 答案 7＋4 3。
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-6-1
答案96
7．(2014·德州模拟)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值的概率为________．
专题六概率与统计
第1讲 统计与概率拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()．
A．224B.112
C．56D.28
解析根据分层抽样，应抽取男生1名，女生2名，抽取2名女生1名男生的方法有CC＝112.
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析因为4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，或者认为有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此，只能选A.
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中真命题的有____________(填序号)．
解析①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样．故①是假命题；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.故②是真命题；
答案B
2．(2014·北京顺义区统练)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为()．
【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件：1-3-2第2讲 数列的综合问题
SnTn n＋32 －1 n＋1 ∴Kn＝n· 2 ，则 cn＝ K ＝ . n＋1 2 n n＋42n＋1－1 n＋32n－1 cn＋1－cn＝ － ＋ n＋2 2 2n 1 2n＋1＋n＋2 ＝ >0， n＋2 2 所以 cn＋1>cn(n∈N*)．
n
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专题训练· 对接高考
热点二
数列与函数的交汇问题
【例 2】 已知数列{an}和{bn}，对于任意的 n∈N*，点 P(n，an) 都在经过点 A(－1,0)与点
1 B2，3的直线
l 上，并且点 C(1,2)
是函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象上一点，数列{bn}的前 n 项和 Sn＝f(n)－1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
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证明 (1)由 an＋1＝3an＋1 1 1 得 an＋1＋2＝3an＋2. 1 3 1 3 又 a1＋2＝2，所以{an＋2}是首项为2，公比为 3 的等比数列． 1 3n 所以 an＋2＝ 2 ， 3n－1 因此{an}的通项公式为 an＝ 2 .
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[考点整合]
1．数列{an}的前n项和Sn与an的关系． 2．常用的数列求和方法． 3．数列{an}是单调递增数列，则an＋1－an＞0，n∈N*； 数列{an}是单调递减数列，则an＋1－an＜0，n∈N*.
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归纳总结· 思维(2)①由(1)知 cn＝a －b ＝2n－n－n＋1 ( n ∈ N )， n n 1 1 所以 Sn＝ －2n(n∈N*)． n＋1
【创新设计】(江苏专用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练1 理(含最新原创题,含解析)
又CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.
(2)取AE中点G，连接FG，BG.
因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝ AD.
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝ AD，所以BC＝ AD.
在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，
T6＝T5b6＝T3b4b5b6＝T3b1b2b3＝ T3，
……
T3n＋1＋T3n＋2＋T3n＋3＝T3n－2b3n－1b3nb3n＋1＋
T3n－1b3nb3n＋1b3n＋2＋T3nb3n＋1b3n＋2b3n＋3
＝T3n－2b1b2b3＋T3n－1b1b2b3＋T3nb1b2b3
＝ (T3n－2＋T3n－1＋T3n)，
代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，
∴2× ＋2m－(m＋1)× ＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．
4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝ ＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
(2)若该公司采用模型函数y＝ 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：
故该函数模型不符合公司要求．
2015年高考数学创新设计精品习题专题训练1-2-2
7．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
解析∵2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝c，
又b－c＝a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.
∴cosA＝＝＝－.
答案－
8．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．
答案A
2．(2014·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＋bsinB－csinC＝asinB，则角C等于()．
A.B．
C.D．
解析由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cosC＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.
答案A
3．(2014·吉林省实验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是()．
答案A
二、填空题
6．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，
∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos 60°，解得AB＝2，
∴S△ABC＝·AB·AC·sinA＝×2×4×sin 60°＝2.
第2讲 解三角形问题
一、选择题
1．(2014·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
asinAsinB＋bcos2A＝a，则因为asinAsinB＋bcos2A＝a，所以由正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinB＝sinA，即sinB＝sinA，所以＝.
【三维设计】2015年高考数学总复习创新问题专项训练(二)文北师大版
创新问题专项训练(二)一、选择题 1．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A C B ，C B －C A ，C AC B ，若A ＝{x |x 2－ax －1＝0，a ∈R }，B ＝{x ||x 2＋bx ＋1|＝1，b ∈R }，设S ＝{b |A *B ＝1}，则C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合A ＝{(x ，y )||x －2|＋|y －3|≤1}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ≤0，D 2＋E 2－4F >0}，若集合A ，B 恒满足“A ⊆B ”，则集合B 中的点所形成的几何图形面积的最小值是( )A.22πB ．πC.12πD.2π3．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋ … ＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x ·e x5．定义：若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图像关于y 轴对称 B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图像关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图像关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图像关于点(－1，0)对称二、填空题6．对于非空实数集A ，记A *＝{y |任意x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P ，满足M ⊆P .给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P ≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于________．8．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋－x2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．请你参考这些信息，推知函数f (x )的极值点是______；函数f (x )的值域是________．9.(1)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h (x )与φ(x )间的隔离直线方程为________．三、解答题10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 和g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)． (1)证明：当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数； (2)在同一函数图像上取任意两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，若f (x )满足k ＝f ′(x 0)，则称其为“K 函数”．判断函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)是否为“K 函数”？并证明你的结论．11．如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r (r 为常数)，小飞轮O 2的半径为r ，O 1O 2＝4r .在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A＝π3，在小飞轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上．(1)求点A 到达最高点时A ，C 间的距离； (2)求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值．答 案1．选B 显然集合A 的元素个数为2，根据A *B ＝1可知，集合B 的元素个数为1或3，即方程|x 2＋bx ＋1|＝1有1个根或有3个根．结合函数y ＝|x 2＋bx ＋1|的图象可得，b ＝0或4－b 24＝－1，即b ＝0或b ＝±2 2.2．选B 集合A 可以看作是由区域{(x ，y )||x |＋|y |≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的，这是一个边长为2的正方形区域，集合B 是一个圆形区域，如果A ⊆B 且集合B 中的点形成的几何图形的面积最小，则圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是|x －2|＋|y －3|＝1所表示正方形的外接圆，其面积是π×12＝π.3．选B 由于线性回归方程恒过样本点的中心(x ，y )，则由“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”一定能推出“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”，反之不一定成立．4．选D 由凸函数的定义可得该题即判断f (x )的二阶导函数f ″(x )的正负．对于A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝2e x ＋x e x，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0.5．选B 选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确．6．解析：对于①，由M ⊆P 得知，集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y |y ≥p }，M *＝{y |y ≥m }，又m ≤p ，因此有P *⊆M *，①正确；对于②，取M ＝P ＝{y |y <1}，依题意得M *＝{y |y ≥1}，此时M *∩P ＝∅，因此②不正确；对于③，取M ＝{0，－1,1}，P ＝{y |y ≤1}，此时P *＝{y |y ≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.答案：①7．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案：28．解析：显然当点P 为线段BC 的中点时，A ，P ，F 三点共线，此时AP ＝PF ，且函数f (x )取得最小值5，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝12；当x ∈[0，12]时，函数f (x )单调递减，且值域为[5，2＋1]；当x ∈[12，1]时，函数f (x )单调递增，且值域为[5，2＋1]，∴函数f (x )的值域为[5，2＋1]．答案：x ＝12[5，2＋1]9．解析：(1)由A 点的纵坐标为2，得点A 的横坐标是⎝⎛⎭⎪⎫222＝12，由矩形的边平行于坐标轴，得B 点的纵坐标是2，从而横坐标是22＝4，所以C 点的横坐标是4，纵坐标是(22)4＝14，所以点D 的横坐标等于A 点的横坐标12，点D 的纵坐标等于C 点的纵坐标14，即D 点的坐标是(12，14)．(2)容易观察到h (x )和φ(x )有公共点(e ，e)，又(x －e)2≥0，即x 2≥2e x －e ，所以猜想h (x )和φ(x )间的隔离直线为y ＝2e x －e ，下面只需证明2eln x ≤2e x －e 恒成立即可，构造函数λ(x )＝2eln x －2e x ＋e.由于λ′(x )＝2e e －xx(x >0)，即函数λ(x )在区间(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，故λ(x )≤λ(e)＝0，即2eln x －2e x ＋e≤0，得2eln x ≤2e x －e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y ＝2e x －e.答案：(1)(12，14)(2)y ＝2e x －e10．解：(1)假设g (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，则有g ′(x )＝2ax ＋b ＋c x ＝2ax 2＋bx ＋cx>0对于一切x >0恒成立，从而必有2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立．又a <0，由二次函数的图象可知：2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立是不可能的． 因此当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数．(2)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”，g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”．证明如下：对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝a x 22－x 21＋b x 2－x 1x 2－x 1＝a (x 2＋x 1)＋b ＝2ax 0＋b .又f ′(x 0)＝2ax 0＋b ，故k ＝f ′(x 0)． 故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”．对于函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)(x >0)， 不妨设x 2>x 1>0，则k ＝g x 1－g x 2x 1－x 2＝a x 21－x 22＋b x 1－x 2＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋c lnx 1x 2x 1－x 2.又g ′(x 0)＝2ax 0＋b ＋c x 0，若g (x )为“K 函数”，则必满足k ＝g ′(x 0)，即有2ax 0＋b ＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋cx 0，也即c ln x 1x 2x 1－x 2＝2c x 1＋x 2(c ≠0)，所以lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2，则0<t <1，ln t ＝t －1＋t.①设s (t )＝ln t －t －1＋t，则s ′(t )＝t －2t＋t2>0，所以s (t )在t ∈(0,1)上为增函数，s (t )<s (1)＝0，故ln t ≠t －1＋t.②①与②矛盾，因此，函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”． 11．解：(1)以O1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过π6，则点C 绕O 2转过π3.此时A (0,2r )，C (92r ，32r )．∴AC ＝－92r 2＋r －32r 2＝25－23·r .(2)由题意，设大飞轮转过的角度为θ， 则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．此时B (2r cos θ，2r sin θ)，C (4r ＋r cos 2θ，r sin 2θ)． 记点B ，C 的高度差为d ，则d ＝|2r sin θ－r sin 2θ|， 即d ＝2r |sin θ－sin θcos θ|.设f (θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]， 则f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．令f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－12或1，则θ＝2π3，4π3，0或2π.f (θ)和f ′(θ)随θ的变化情况如下表：综上所述，点B ，C 在传动过程中高度差的最大值d max ＝332r .。
2015创新设计(高中理科数学)专题二(第二篇)
4
(
)．A．16 2 B．8 2 C．8 4 D．4 4
3
3
log2x，x＞1， 一审条件 1：转化函数 y＝|log2x|为 y＝ 得到图象,如图. － log x ， 0 ＜ x ＜ 1. 2
二审条件 2：见上图.
审 的解，求出 A，B，C，D 点的横坐标., 题 的横坐标即是方程|log2x|＝2m8 ＋1
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３、教你审题
巧用对数函数图象解题
8
【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1：y＝m 和 l2：y＝2m＋1(m＞0)，l1 与 典例 3 函数 y＝|log2x|的图象 1 从左至右相交于点 A，B，l2 与函数＝|log2x|的图象 1 从 2 左至右相交于点 C，D．记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a，b. 3 当 m 变化时，a的最小值为
b
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)．A．16 2 B．8 2 C．8 4 D．4 4
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8 4 法二 ＋m＝ ＋m 1 2m＋1 m＋ 2 4 1 1 1 7 ＝ ＋m＋ － ≥4－ ＝ ， 1 2 2 2 2 m＋ 2 4 1 3 当且仅当 ＝m＋ ，即 m＝ 时等号成立， 1 2 2 m＋ 2 b 故 的最小值为 22＝8 2. a 答案 B
1、方法优化
根据函数的奇偶性求参数值
x 典例1 1 【典例 】 (2012· 辽宁卷)若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝( A )． 2x＋1x－a 1 2 3 A． B． C． D．1 2 3 4
[一般解法] 由题意知 f(－x)＝－f(x)恒成立， －x x 即 ＝－ ， 1 1 2－x＋2－x－a 2x＋2x－a 1 1 1 即x－2(x＋a)＝x＋2(x－a)恒成立，所以 a＝ . 2 [优美解法] (特值法) 由已知 f(x)为奇函数得 f(－1)＝－f(1)， －1 －1 即 ＝ ， －2＋1－1－a 2＋11－a 1 所以 a＋1＝3(1－a)，解得 a＝ . 2
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由二次函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋2a＋2的图象，知其对称轴为x＝，讨论得或解得a≤3或3<a≤7，综上可得a≤7.
答案C
二、填空题
6．(2014·潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为________．
解析∵a＞b＞0，ab＝1，
(2)因为x>0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.
10．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
A.B．
C．8D．24
解析∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，
即2x＋3y＝3.
∵x＞0，y＞0，
∴＋＝·(2x＋3y)
＝≥(12＋2×6)＝8.
当且仅当3y＝2x时取等号．
答案C
3．(2014·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为()．
A．2B．3
C．4D．5
解析根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．
(2)因t;0，
第2讲 不等式及线性规划
一、选择题
1．(2014·广州综合测试)已知x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为()．
A．－1B．0
C．1D．2
解析∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋＝(x＋1)＋－1，
≥2－1＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时取等号．
答案C
2．(2014·安徽“江南十校”联考)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解(1)令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.
答案B
5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若对任意x＞2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是()．
A．[－1,7]B．(－∞，3]
C．(－∞，7]D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
解析由题意得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)，故不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，化简得x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0.
答案4
8．已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，
即a≤(x＋y)＋恒成立．
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤2，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋.设f(t)＝t＋，则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是.
答案
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；
(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．
解(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.
由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.
∴＝＝＝(a－b)＋≥2.当且仅当：a－b＝时取等号．
答案2
7．(2014·吉林省实验中学)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．
解析易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)过圆心，把圆心坐标代入得：a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立．
由z＝x＋2y，得y＝－x＋.
先画出直线y＝－x，然后将直线y＝－x进行平移．
当直线过点A时，z取得最小值．
由得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.
答案B
4．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为()．
A．1B．
C．2D．
解析2x＋＝2(x－a)＋＋2a
≥2·＋2a＝4＋2a，