第4章-2(非线性方程迭代解法)
求解线性方程组的迭代解法
(4 - 1)
简记为：
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
n
aij x j bi
j 1
(i 1,2,, n)
其系数矩阵A非奇异，不妨设aii≠ 0 (1,2,…,n)可将上式 改写为等价方程组：
x1 (
a12 x2 a13x3 a1n xn b1) / a11
但在Jacobi迭代过程中, 对已经算出来的信息未 加充分利用,
即在计算x2(k 1)时, x1(k 1)已经算出, 计算xi(k 1)时, x1(k 1) , x2(k 1) ,, xi(k11) 已经算出,这些前面的最新分量未 被利用,从直观上看,在收敛的
情况下, 这些新值x1(k 1) , x2(k 1) ,, xi(k11)应比旧值x1(k) , x2(k) ,, xi(k1)更 好,更准确一些.因此,如果每计算出一个新的 分量便立即用它取代 对应的旧分量进行迭代 ,可能收敛更快并且只需 要存贮一个近 似解向量即可, 据此想法构造的迭代法 称为高斯 塞德尔 (Gauss Seidel)迭代法,其迭代格式为 :
(3 8)
M ( D L) U x(k1) n
1 ann
(an1x1(k 1)
an2 x2(k 1)
1
a x(k 1) nn1 n1
bn )
其分量形式为
x(k 1) i
1 aii
i 1
(
a x(k 1) ij j
j 1
n
n维点列收敛的一种等价描述是其对应坐标序列均
收敛，向量序列也有类似的结论。
定理1
Rn中的向量序列 x(k) 收敛于Rn中的
牛顿迭代法解非线性方程（组）
牛顿迭代法解非线性方程（组）在辨识工作中，常常需要对辨识准则或者判据进行求极值，这往往涉及到求非线性方程（组）的解问题。
牛顿迭代法是一种常用方法。
下面把自己对牛顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以方程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。
所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第一次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有人问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*比较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
非线性方程和非线性方程组的迭代解法
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
第4章 非线性方程求根的迭代法
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18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
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19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
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20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
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30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
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31
简单迭代收敛情况的几何解释
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32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
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48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
newton迭代法11-12
若f(a)f(x0)<0 成立,则根必在区间(a, x0)内,取a1=a,b1= x0;否则 必在区间(x0,b)内,取a1= x0,b1=b,
这样,得到新区间(a1,b1),其长度为[a,b]的一半,如此继续下去,进 行k次等分后,得到一组不断缩小的区间,[a,b],[a1,b1],......[ak,bk].
( x*)
2!
( x x*) 2
( p1) ( x*)
( p 1)!
( x x*)p1
( p ) ( x*)
p!
( x x*)p
如果( x*) ( x*) ( p1) ( x*) 0
而 ( p ) ( x*) 0
解三：迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2 令x0=2.5,得迭代序列: x1=5.3125, x2=72.46643066, X3=190272.0118, x4=3.444250536 1016， x5=2.042933398 1046, 计算x6时溢出
同样的方程不同的迭代格式有不同的结果 迭代函数的构造有关
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
xk x * x * xk 1 xk xk 1 g'( ) xk x * xk xk＋1
因此： 1 xk x * xk xk＋1 1 L
证毕.
定理1指出,
例1 用简单迭代法求区间(2,3)内方程x3-2x-5=0的根 lim x 解一 将方程两边同加2x+5,再开三次方，得式同解方程 x= 3 2 x 5 作迭代格式 xk+1= 3 2 xk 5 , k=0,1,
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
复杂电力系统潮流的计算机算法资料
~ SG1
PG1
jQG1
~ SG2
PG2
jQG2
G
1
U 1
U 2
2
S~L1 PL1 jQL1
等值负荷功率 （a）简单系统
~ SL2
PL2
jQL2
第26页/共92页
4－2 功率方程及其迭代解法
一、功率方程和变量、节点的分类
1、功率方程
G
~ SG1
PG1
jQG1
~ SG2
PG2
jQG2
G
1
U 1
y12
4－2 功率方程及其迭代解法
一、功率方程和变量、节点的分类
2、变量的分类
设置平衡节点的目的
➢在结果未出来之前，网损是未知的， 至少需要一个节点的功率不能给定，用 来平衡全网功率。 ➢电压计算需要参考节点。
第33页/共92页
4－2 功率方程及其迭代解法
一、功率方程和变量、节点的分类
3、约束条件 实际电力系统运行要求：
第16页/共92页
三、节点导纳矩阵的修改
不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器的
投切或变比的调整等）
改变一个支路的参数或它的投切只影响该 支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因 此仅需对原有的矩阵作某些修改。
第17页/共92页
三、节点导纳矩阵的修改
Y 矩阵的修改
不同的运行状态，（如不同结
y30
y20
以零电位作为 参考，根据基 尔霍夫电流定 律
I2
.
.
.
.
.
.
I 1 U 1 y10 (U 1 U 2) y12 (U 1 U 3) y13
.
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可见,求 f (x)的根0，
y
就是求 y f (x) 与 x 轴的交点
y f (x)
o
x
如果 f (x) 0 在区间[a,b] 上仅有一个根，则称 [a,b]
为方程的单根区间；若方程在 [a,b] 上有多个根，则称
[a,b] 为方程的多根区间。
方程的单根区间和多根区间统称为方程 的有根区间。
y y x
yx
y x
y
yx
o
x1 x0 x2
x
x 1
o
x0 x1 x2 x3
x
1 x
从而,当 x 或1 1 x 时,迭代法发散。
定理4.5 设迭代函数 (x) 满足
（1 当 x [a时,b]， a (x) b
）（2 存在正数 0 L 1 ，对任意 x [a,b] 均有
）
| (x) | L
x1 (x0 )，再将 x1 代入（到4-18）右端 x2 (x1 ) ，
继为之，得到一个数得列， 其一般表示形式为
xk1 (xk ) (k 0, 1, 2, )
（4-19 ）
通常称（4-19）为求解非线性方程的简单迭代法，也
称迭代法或迭代过程或迭代格式，(x) 称为迭代函数，
xk 称第 k 步的迭代值或简称迭代值。
对于同一个方程，由于构造出来的迭代函数 不同，有的迭代函数所构成的迭代法收敛，有的 迭代函数所构成的迭代法却发散。
迭代函数满足什么条件时，迭代法收敛？
y
yx
y
yx
y x
y x
o
x2 x1
0 x 1
x0 x
o x1 x3 x2
1 x 0
x0 x
从而,迭代函数满足条件： x 1 时,迭代法收敛。如果由迭代格式产生的源自列收敛，即limk
xk
则称迭代法收敛， 否则称迭代法发散。
若迭代法收敛于 , 则
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
即 ( ). 所以 f ( ) 0 。
几何直观：
在曲线 y (x)上得到点列 P1, P2, ，其横坐标分别
为由公式
xk1 (xk ) (k 0, 1, 2, )
困难 即使是最基本的代数方程，当次数超过4时， 在一般情况下没有根式解公式，即难以用解析法求出 方程的根，对于超越方程就更难了。
因此，研究用数值方法计算非线性方程的根就显
得非常必要。在求根时通常假设非线性方程 f x 0 中的函数 是关于 x 的连续函数。
若令 y f (x)
则它在平面直角坐标系 O xy 下的图像为连续曲线，
为了研究方便，我们主要研究方程在单 根区间上的求解方法。
4.2.1 简单迭代法
首先将方程 f (x) 0 化为一个与它同解的方程
x (x)
（4-18）
其中 (x) 为 x 的连续函数。即如果数 使 f ( ) 0，
则也有 () ， 反之， 若 () ， 则也有
f ( ) 0 。
任取一个初始值 x0，代入（4-18）的右端，得
，达到事先给定的精度要求 （即 | xk xk1 | ）时，迭代
则 x (x) 在 [a,b] 内存在唯一根 , 且对任意初始值
x0 [a,b] , 迭代法
xk1 (xk ) (k 0,1,2, )
收敛于 , 且
1．
|
xk
|
L 1 L
|
xk
xk 1
|
2．| xk
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|
Lk 1 L
(b
a)
（4-20 ） （4-21 ）
证 满足条件（1）、（2）时，易证方程 x (x)
在[a,b]内存在唯一根 。因为 xk1 (xk ) ，且 () ，
根据微分中值定理可得
xk1 (xk ) ( ) (1)( xk )
xk1 xk (xk ) (xk1) (2 )(xk xk1)
其中 1,2 [a,b] 。由条件（2）得
| xk1 | | (1) || xk | L | xk | （4-22）
xk 1
3
1 xk 2
取初始值 x0 0 ，则迭代值为
x1 3
1 2
3
0.5
0.79
， x2
3
1 0.79 2
3 0.895
0.964
，
x3
3
1 0.964 2
0.994
，…
显然,
当 k 时，
xk 1 ,即迭代法收敛于1. f (1) 0 ,所以 x 1
就是方程 f (x) 0 的根。
（2）化 f (x) 0 为等价方程 x 2x3 1 (x) ， 其迭代格式为 xk1 2xk3 1 ，同样取初始值 x0 0 x1 2 0 1 1 ，x2 2(1)3 1 3 ，x3 2(3)3 1 55 ， 显然, 当 k 时, xk ,故迭代法发散。
上述例子表明，迭代法的收敛与发散，依赖于迭 代函数的构造，迭代函数构造的方法很多。
所确定的迭代值
x1, x2, ，若迭代法收敛
lim
k
xk
，
则点列 P1, P2, 将越来越逼近所求的交点 P* 。
y
y=x
p1 p0
p*p2
o
x2 x1
x0 x
例1 用迭代法求 f (x) 2x3 x 1 0 的根。
解 （1）化方程为等价方程 x 3 1 x (x)
2
则迭代格式为
4.2 非线性方程的迭代解法
工程实际与科学计算中都遇到大量求解非线性
方程的问题。
常见的非线性方程有代数方程（二次、三次等）、 超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。
对于非线性方程
f (x) 0
(4-17)
若数 ，使 f ( ) 0 ，则称 为方程（4-17
的根，或称函数 f (x) 的零点。 ）
| xk1 xk | | (2 ) || xk xk1 | L | xk xk 1 |
又因为
| xk || xk xk1 | | xk1 | L | xk xk1 | L | xk |
将上式移项整理后，得
( 1 L ) | xk | L | xk xk1 |
从而
即（4-20）成立。再反复使用（4-22）的第2式，得
| xk xk1 | L | xk1 xk2 | Lk1 | x1 x0 | 将上式代入（4-20）即得（4-21）成立。
又因为L＜1， 所以根据（4-21）得
lim |
k
xk
|
0
即
lim
k
xk
故迭代法收敛。
当迭代函数满足定理4.5的条件且 L 较小时，根据
（4-20）式可知 只要相邻两次计算值的偏差 | xk xk1 |