弹性力学热应力
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热应力计算公式
热应力的计算公式可以通过热应力理论和弹性力学给出。
根据不同的情境和需要，热应力的计算公式有多种形式。
在材料力学的热应力计算中，热应力等于弹性模量乘以应变，而应变等于变形量除以原值。
热变形量则等于原值乘以热胀系数再乘以温差。
综合这些因素，可以得到热应力产生的推力等于截面积乘以弹性模量乘以热胀系数和温差。
这个公式可以表示为：σ= α × ΔT × E，其中σ是热应力，α是线膨胀系数，ΔT是温度变化，E是杨氏模量。
另一种热应力计算公式则考虑了泊松比的影响，公式为：σ_{th} = E(1 - v)(β_A - β_g)ΔT，其中E为杨氏模量，v为泊松比，β_A和β_g分别为陶瓷和玻璃的热膨胀系数，ΔT为温度变化范围。
请注意，以上公式中的单位需要统一。
例如，热应力可以有不同的单位，其中最常用的单位是MPa（兆帕），有时也会使用ksi（千克力/平方英寸）或其他单位。
线膨胀系数通常以℃为单位，杨氏模量以GPa（吉帕）为单位。
在实际应用中，需要根据具体的材料和工况选择合适的公式进行计算，并注意单位换算和参数取值。
同时，为了得到更准确的结果，还可以考虑使用有限元分析等数值方法进行热应力计算。
弹性力学第六章
第六章：温度应力
介绍温度应力的基本 概念及其求解过程
温度应力基本概念
物体表面和内部温度发生变化会引起物体膨 胀与收缩
¾ 若物体不受任何阻力，则不引起内力；但物 体与外界总有接触，它的某一部分的伸缩受到 限制，产生阻止自由伸缩的内力—热应力； ¾ 物体内部单元间的变形不能任意，互相之间 有约束—产生阻止自由伸缩的内力—热应力；
−
Eα [
b
Trdr
+
A] + C
=0
a2
b2 a
∫ ∫ A = a 2
b
Trdr ,
C=
Eα
b
Trdr
b2 − a2 a
b2 − a2 a
∫ ∫ σ r
=
Eα r2
[r2 b2
− a2 − a2
b
r
Trdr − Trdr]
a
a
∫ ∫ σθ
=
Eα [ r 2 r2 b2
+ a2 − a2
b
Trdr
+
荷，则满足相容方程的应力函数可以取为：
ϕ = cy 2
相应地，应力分量为：
σ ′x′
=
∂ 2ϕ ∂y 2
=
2c
σ
′y′
=
∂ 2ϕ ∂x 2
=
0
τ ′x′y
=
−
∂ 2ϕ ∂x∂y
=
0
总的应力分量为：
σ
x
=σ
′x
+σ
′x′
=
2c
−
EαT0 (1 −
y2 b2
)
σ y = σ ′y + σ ′y′ = 0 τ xy = τ ′xy + τ ′x′y = 0
介绍温度应力的基本 概念及其求解过程
温度应力基本概念
物体表面和内部温度发生变化会引起物体膨 胀与收缩
¾ 若物体不受任何阻力，则不引起内力；但物 体与外界总有接触，它的某一部分的伸缩受到 限制，产生阻止自由伸缩的内力—热应力； ¾ 物体内部单元间的变形不能任意，互相之间 有约束—产生阻止自由伸缩的内力—热应力；
−
Eα [
b
Trdr
+
A] + C
=0
a2
b2 a
∫ ∫ A = a 2
b
Trdr ,
C=
Eα
b
Trdr
b2 − a2 a
b2 − a2 a
∫ ∫ σ r
=
Eα r2
[r2 b2
− a2 − a2
b
r
Trdr − Trdr]
a
a
∫ ∫ σθ
=
Eα [ r 2 r2 b2
+ a2 − a2
b
Trdr
+
荷，则满足相容方程的应力函数可以取为：
ϕ = cy 2
相应地，应力分量为：
σ ′x′
=
∂ 2ϕ ∂y 2
=
2c
σ
′y′
=
∂ 2ϕ ∂x 2
=
0
τ ′x′y
=
−
∂ 2ϕ ∂x∂y
=
0
总的应力分量为：
σ
x
=σ
′x
+σ
′x′
=
2c
−
EαT0 (1 −
y2 b2
)
σ y = σ ′y + σ ′y′ = 0 τ xy = τ ′xy + τ ′x′y = 0
第九章 热应力问题
Ts Te
15
热应力问题
温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件
按位移求解温度应力的平面问题
位移势函数的引用
轴对称温度场平面热应力问题
16
按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束， 则弹性体内各点的微小长度，都将产生正应变 （ T 是弹性体 的膨胀系数），这样，弹性体内各点的形变分量为
将上式代入不计体力的平衡微分方程
yx x 0 y x y xv 0 x y
20
简化得：
2u 1 2u 1 2 v T （1 ） 0 2 2 x 2 y 2 xy x v 1 v 1 u T （1 ） 0 2 2 y 2 x 2 xy y
2 （ 1 ） x 2 （ 1 ） y T x T y
由于 和 都是常量，所以取： 2 （ 1 ）T 满足微分方程。因此 u ' ， v ' 可以作为微分方程的一 （x，y） 组特解。将
u' , v' x y
化简后得： 记 则
a
c
T W 2 a T t c
这就是热传导微分方程。
12
热应力问题
温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件
按位移求解温度应力的平面问题
位移势函数的引用
轴对称温度场平面热应力问题
13
温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须 已知物体在初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已 知初瞬时以后物体表面与周围介质之间热交换的规律，即所 谓边界条件。初始条件和边界条件合称为初值条件。
第五节热应力
壁面中热应力越小。
第三，圆筒元件壁厚。壁厚的大小体现了元件内部相互约束的强弱，也
在一定程度上体现了传热热阻及传热温差的大小。壁厚越厚，元件内部约束
越强，传导同样的热量需要的温差越大，相应的热应力也越大。
CUG
圆筒形传热元件壁厚对热应力的这种影响，使得传热而又承压的强
度问题变得更为复杂。对承受内压的非传热圆筒形元件特别是常温圆筒
CUG
在这一过程中，水面以上部分的锅筒壁在水沸腾产生蒸汽后温度才显著
上升，并将温升由内壁传至外壁。
不难看出，在启动及停炉过程中，锅筒壁面内存在着不稳定的导热过程，壁
面内的温度分布不仅沿壁厚变化，而且随时间变化，此时，壁面内存在着温差及
温差造成的热应力。
对圆筒体沿径向一维不稳定导热过程，近似地视为平板导热，根据傅立叶定律有：
CUG
可以看出，圆筒体沿径向存在着稳定热传导时，壁面内热应力的大小取决于
以下因素：
第一，钢材性能，包括线膨胀性能、弹性变形性能和导热性能等。钢材线膨
胀系数小、弹性模量小且导热系数大时，其热应力就小；钢材线膨胀系数大、弹
性模量大且导热系数小时，其热应力就大。因此也称复合量αE/λ为材料的热因
子。
第二，传热负荷。传热负荷越强，壁面中热应力越大；传热负荷越弱，
αE
(t 0 − t i )
2 1−μ
αE
σtθ o = σtz 0 = −
2 1−μ
(t 0 − t i )
对普通碳钢，取
α = 1.2 × 10−5 ℃−1 ，E = 2.1 ×
μ=0.3，式（3—62）和式（3—63）可简化为：
（3—62）
（3—63）
105 MPa
σt = ±1.8∆t (MPa )
第三，圆筒元件壁厚。壁厚的大小体现了元件内部相互约束的强弱，也
在一定程度上体现了传热热阻及传热温差的大小。壁厚越厚，元件内部约束
越强，传导同样的热量需要的温差越大，相应的热应力也越大。
CUG
圆筒形传热元件壁厚对热应力的这种影响，使得传热而又承压的强
度问题变得更为复杂。对承受内压的非传热圆筒形元件特别是常温圆筒
CUG
在这一过程中，水面以上部分的锅筒壁在水沸腾产生蒸汽后温度才显著
上升，并将温升由内壁传至外壁。
不难看出，在启动及停炉过程中，锅筒壁面内存在着不稳定的导热过程，壁
面内的温度分布不仅沿壁厚变化，而且随时间变化，此时，壁面内存在着温差及
温差造成的热应力。
对圆筒体沿径向一维不稳定导热过程，近似地视为平板导热，根据傅立叶定律有：
CUG
可以看出，圆筒体沿径向存在着稳定热传导时，壁面内热应力的大小取决于
以下因素：
第一，钢材性能，包括线膨胀性能、弹性变形性能和导热性能等。钢材线膨
胀系数小、弹性模量小且导热系数大时，其热应力就小；钢材线膨胀系数大、弹
性模量大且导热系数小时，其热应力就大。因此也称复合量αE/λ为材料的热因
子。
第二，传热负荷。传热负荷越强，壁面中热应力越大；传热负荷越弱，
αE
(t 0 − t i )
2 1−μ
αE
σtθ o = σtz 0 = −
2 1−μ
(t 0 − t i )
对普通碳钢，取
α = 1.2 × 10−5 ℃−1 ，E = 2.1 ×
μ=0.3，式（3—62）和式（3—63）可简化为：
（3—62）
（3—63）
105 MPa
σt = ±1.8∆t (MPa )
弹塑性力学 第9章热应力汇总
u , v , w
x
y
z
则称 为热弹性位移势。
➢ 满足平衡方程的位移势必须满足
2 1 T
(1)
➢ 相应的应力解为
1
x
2G
2 y 2
z
1 E
[ z
( x
y )] T ,
xy
2(1
E
)
xy
yz
2(1
E
)
yz
zx
2(1
E
) zx
或
x 2G x ET /(1 2 ), xy G xy
y 2G y ET /(1 2 ), yz G yz
z 2G z ET /(1 2 ),
1 2 x
代替弹性问题中的体力fx
(x,
y,
z)，用
ET 1 2
l
(l, m, n)
代替弹性问题中的面力Fx (x, y, z)，则热弹性问题 可以用线性弹性问题的解法去求解。
热弹性问题的基本解法
➢ 应力解法——以应力为基本未知量，用应力表示 边界条件和协调方程，求得应力分量后，再计算 应变分量和位移分量。
变形协调条件，各层纤维的变形受到附近纤维的 约束，因此在板中将产生热应力。板的l >> c，且 温度与x无关，可做为一维问题，在板中仅有x方
向的应力x。
➢➢ 两端约束合力引起的应力
x
E
2c
c
T( y)dy
c
➢
两端约束弯矩引起的应力
x
3 yE
2c 3
c
T( y) ydy
x
e x
T x
0
y
e y
T y
0
弹性力学A-06温度应力的平面问题
第六章 温度应力的平面问题
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
（5） 热传导微分方程
由热平衡原理，可知
（温度升高积蓄的热量）= （热流传入的热量）＋（热源供给的热量）
cdxdydz T dt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt
—— 热传导微分方程。
y
qx
dy
qx
qx x
dx
其中：
a c
O zx
y
zx dz dx
a —— 称为导温系数(又称为热扩散率)。单位：米2/时。
混凝土的导温系数 a = 0.003 ~ 0.005。
说明：
式中系数： , c, , a 均可近似地当作常数，但热源强度 W 一般不能
当作常量，而必须是 W W (t )
（1） 热平衡原理
在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高 所需的热量），等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。
（2） 温度升高积蓄的热量
取如图微元体 dxdydz ，设微元体 在dt时间内，温度由 T 升高到：
—— 热平衡原理 y
dy
T T dt
t
微元体积蓄的热量为：cdxdydz T dt
2T
2T x 2
2T y 2
2T z 2
0
此时，热传导微分方程成为：
( C)
T a 2T W （b）
t
c
T W （c）
t c
而此时的 T 就是绝热温升率 。 因此有 W
t
t
c t
有：
T a 2T —— 混凝土硬化发热期热传导微分方程
热膨胀和热应力
热膨胀和热应力热膨胀和热应力是热力学中的重要概念，它们在材料科学、工程设计和物理学等领域扮演着重要的角色。
本文将对热膨胀和热应力进行详细的介绍和讨论。
一、热膨胀热膨胀是指物质在温度变化过程中的体积变化现象。
一般来说，当物体受热时，其温度会升高，由于分子内部的振动增加，会导致物体的体积膨胀。
而当物体冷却时，其温度会下降，分子的振动减少，物体体积会收缩。
这种因温度变化而引起的体积变化即为热膨胀现象。
热膨胀可以分为线膨胀、面膨胀和体膨胀。
线膨胀是指物体在一维方向上的长度变化，面膨胀是指物体在二维方向上的面积变化，体膨胀是指物体在三维空间中的体积变化。
具体的热膨胀系数可以通过实验获得，常用的描述材料热膨胀性质的物理量有线膨胀系数α、面膨胀系数β和体膨胀系数γ。
二、热应力热应力是由于温度变化引起的物体内部产生的应力。
当物体受热时，其不同部分由于温度变化不一致而导致相对的形变。
由于物体的不同部分可能存在连接或约束的情况，这就会导致内部产生应力。
这种由温度差异引起的应力即为热应力。
热应力的大小与材料的热膨胀系数、温度变化以及约束条件有关。
如果材料没有受到任何约束，其自由膨胀并且不产生应力。
而当物体被约束时，如受到墙壁的约束、与其他物体连接等，热应力就会产生。
热应力的计算可以通过热弹性力学理论和热应力分析方法来进行。
在工程设计和材料选择过程中，了解材料的热应力特性是非常重要的，以避免因热应力引起的结构破裂、变形或其他问题。
三、热膨胀与热应力的应用热膨胀和热应力在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 工程设计：在工程结构设计中，热膨胀和热应力的考虑是必不可少的。
例如，选择合适的材料和连接方式，以及考虑温度变化对结构的影响，都是为了防止由于热膨胀和热应力引起的结构变形和破坏。
2. 材料科学：研究不同材料的热膨胀性质对于材料科学的发展具有重要意义。
通过理解材料的热膨胀系数和热应力特性，可以选择合适的材料用于不同的应用领域，如机械工程、建筑材料等。
(29)弹性力学课件：热应力问题解析
热弹性问题的解法：位移法 T ij ij ij 2Gij kkij Tij
ij ij T x j x j x j x j xi ij
ij
T ij
ij
ij T T fi ( fi ) ( fi fi ) 0 x j x j xi x j x j ( fi fi T )
• 热膨胀系数（热应变系数）：
– 单位温度变化引起的弹性体单位长度的伸长量 T (1/ K ) ij ij T
T
T x
, , , , ,
T y T z T yz T zx
T xy
, , , 0, 0, 0
ij (u )
T E fi xi 1 2
T
温度变化下的位移等 于 实际荷载+热荷载 左右下引起的位移
热弹性问题的解法：位移法 T E T ij (u ) T T fi ( fi fi ) 0 xi 1 2 xi x j
AW , t BW , t 0
A 0
0 1 , E
0 1 B 0 1 ,
v W
§ 10.4 波4
反射波 u( x, t ) f1 ( x C0t ) f 2 ( x C0t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) 右行波
C0 E
v t x
1 v E t x
u v t
0
0 v, t 0 1 v, t 0 0 , 1 , 0 1 t E t
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x
(12)
为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。 又平面平衡微分方程为：
ji, j Fbi 0
(13)
在此体力为零，
将式（13）代入（12）并化简得：
2u 1 2u 1 2 v T (1 ) 0 2 2 x 2 y 2 xy x
u' x
v' y
u.’v’为微分方程的特解。
代入微分方程（14）并化简得：
3 3 T (1 ) x 3 xy 2 x
3 3 T (1 ) x y 3 yx 2
即为
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) x x x y
'' xy
E v '' u '' ( ) 2(1 ) x y
从而得总的位移分量： u = u’+ u’’ v = v’+ v’’ 并满足位移边界条件。
总的应力分量： ' ' x x x'
' ' y y y'
' '' xy xy xy
一
基本概念
1.温度场 在同一时间，物体内各点处温度值 的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。
即
T=T（x,y,z,t）
若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化， 称为稳定温度场。
若T=T（x,y,t），即温度随时间和平面内的两位置 坐标变化而变化，称为平面温度场。 2. 等温面 任一瞬间，同一温度场内温度相同 的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动， 温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化 率最快。 3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
2 v '' 1 2 v '' 1 2 u '' 0 2 2 x 2 2 xy y
相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0 得出 E u '' v '' ''
x
'' y
1 2
(
x
y
)
E u '' v '' ( ) 2 x y 1
T T n0 n
(1)
n0为沿等温面法线方 向的单位矢量。
温度梯度在各坐标轴的分量为:
(2)
4. 熱流密度 单位时间内通过等温面面积的热 量，称为热流速度，用 dQ 表示，通过单位等温面 面积的热流速度称为热流密度，即 q 熱流密度
dQ q dt S
S 等温面面积
熱流密度的矢量表示为
q x d xd yd zdt x
由式
T q x x
q x 2T d xd yd zdt 2 d xd yd zdt x x
同样可得：
由ADD’A’ 和BCC’B’ 两面传入的静热量为：
2T 2 d xd yd zdt y
由ABCD 和A’B’C’D’ 两面传入的静热量为：
(10)
xy
E xy 2(1 )
其中
1 ui u j ij x x 2 j i
(11)
将式（11）代入式（10）得：
E u v E T ( ) 1 2 x y 1 E v u E T y ( ) 1 2 y x 1 E v u xy ( ) 2(1 ) x y
(T)t=0=f(x,y,z)
边界条件有四种形式： 第一类边界条件 已知物体表面上任 一点在所有瞬间的温度，即： Ts=f(t) 其中Ts表示物体表面的温度。 第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在 所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律， 在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密 度和两者的温差成正比。即： (qn)s=β(Ts-Te)
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
又u.v都是常量，所以取： 2 2
2 (1 )T 2 x y
(16)
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方 程(14)的一组特解。
将
u x
v
y
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部 分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。 因而总的形变分量为：
x
1 [ y ( x z )] T E 1 z [ z ( y x )] T E
1 [ x ( y z )] T E
T q n
热流密度在坐标轴上的投影
q x T cos(n, x) n
T q y cos(n, y ) n
(6)
T q z cos(n, z ) n
式（6）与式（2）比较得
T q x x
(7)
T q y y
T q z z
v u 1 u v ) s l1 ( ) s l2 (1 )T y x 2 y x
(15)
l2 (
把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知： 在温度应力的平面应力问题中，温度应力等于假想 体力
Fb x E T , 1 x
E T 1 y
T 2T 2 T 2 T c d x d y d z d t ( 2 2 2 ) d x d y d z d t t x y z
化简得：
T 2T 2T 2T W ( 2 2 2) t c x c y z
记
a
c
称为温度系数,上式可简写为：
dQ q n0 dt S
(3)
5. 热传导基本定率 度成正比且方向相反。 q T λ为导热系数 .
热流密度与温度梯
(4)
由上述公式(1)、(3)、(4)得
dQ dt T S n
(5)
式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下 通过等温面单位面积的热流速度。
由式（1）和（4）知
xy
2(1 ) xy E
因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方 程中的 E E换成 2 ν换成
1
1
α(1+ α ) α换成 则得到在平面应变条件下的相应方程。
第五节 微分方程的求解
在求解微分方程（14）时，应分两步进行。
1. 求出微分方程的任一组特解。
2. 不计变温T, 求出微分方程的一组补充解， 并使它和特解叠加以后满足边界条件。 为了求得微分方程的一组特解，引用一个 函数φ（x,y），使
T 2T 2T 2T W a( 2 2 2 ) t c x y z
这就是热传导微分方程。
第三节 温度场的边值条件 为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。 初始条件一般表示如下：
2 v 1 2 v 1 2u T (1 ) 0 2 2 y 2 x 2 xy y
(14)
又据平面问题的应力边界条件得：
l1 ( u v 1 u v ) s l2 ( ) s l1 (1 )T x y 2 y x
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
温度场与热传导的基本概念 热传导方程 温度场的边值条件 按位移求解温度应力的平面问题 微分方程的求解 轴对称温度场平面热应力问题
第七节
第八节
稳定温度场的差分解
应力函数差分解
第一节
温度场与热传导的基本概念
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的 趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间 的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生， 从而产生应力，称为温度应力。
十一章 热应力
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改 变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各 部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不 能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。 为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热 传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度, 得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学, 根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。
式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量， 等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。
第二节 热传导微分方程的推导 1. 热平衡原理 在任意一段时间内，物体 的任一微小部分所积蓄的热量等于传入该微小 部分的热量加上内部热源所供给的热量。 2. 热传导微分方程的推导
如图取微小六面体 dxdydz,假定该六面体的
2T 2 d xd yd zdt z
因此，传入微小六面体的总静热量为：
2T 2 T 2 T ( 2 2 2 ) d x d y d z d t x y z
假定物体内部有正热源供热，在单位时 间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生 的热量为Wdxdydzdt 根据热量平衡原理得：
Fb y
和假想面力
px l1
ET p y l2 1
ET 1
所引起的应力。
平面应变时假定τyz=τzx=εz=0，由式（8）可得 物理方程：
1 2 x ( x y ) (1 )T E 1
1 2 y ( y x ) (1 )T E 1
其中：β 放热系数